Investigación Operativa III Luis M. Torres Mayo, 2013 Examen Final 1. Considerar el siguiente programa entero: max 5x1 + 4x2 s.r. (PE) 3x1 + 4x2 ≤ 4, 3x1 + 2x2 ≤ 3, x ,x ∈ Z . 1 2 + (a) Sea LP la relajación lineal de PE. Escribir LP en la forma estándar, y resolver este problema empleando el algoritmo del simplex. (0.5 ptos) (b) Determinar todos los planos cortantes que se obtienen al aplicar el método de Gomory sobre la solución encontrada en la parte anterior. Expresar las desigualdades correspondientes en función de las variables originales de PE. (Sugerencia: Emplear las ecuaciones de la forma estándar de LP para sustituir las variables de holgura por expresiones que incluyen únicamente variables originales.) (0.5 ptos) (c) Agregar a LP las restricciones encontradas y resolver el nuevo programa lineal por el método del simplex. (0.5 ptos) 2. Dado un grafo G = (V, E), un emparejamiento en G es un conjunto de aristas M con la propiedad de que ningún vértice de V es incidente a más de una arista de M . El problema de encontrar un emparejamiento de cardinalidad máxima puede formularse como el siguiente programa entero: X max xij ij∈E s.r. X (MAX-MATCHING) xij ≤ 1, ∀i ∈ V, ij∈δ(i) xij ∈ {0, 1}, ∀ij ∈ E, 1 donde a cada arista ij ∈ E se le ha asociado una variable binaria xij que toma el valor de 1 si y sólo si ij ∈ M . Sea PI el polı́topo formado por la envolvente convexa de las soluciones factibles al programa anterior, y sea P el polı́topo correspondiente a la región factible de su relajación lineal. Considerar el grafo descrito en la siguiente figura: 2 3 1 4 5 Demostrar que la desigualdad x12 + x23 + x34 + x45 + x15 ≤ 2 es válida para PI pero “corta” al menos un punto fraccionario x ∈ P . Probar que esta desigualdad puede obtenerse a partir de las desigualdades que definen a P empleando el esquema de redondeo de Gomory-Chvátal. (1 pto) 3. Dados v1 , v2 , . . . , vn ∈ Zn , un conjunto generador entero para L := cone(v1 , v2 , . . . , vn ) ∩ Zn es un conjunto (finito) W ⊂ Zn tal que todo vector x ∈ L puede expresarse como una combinación cónica de vectores de W , empleando únicamente coeficientes enteros. (a) Sea x ∈ Zn . Encontrar un conjunto generador para cone(x) ∩ Zn . (0.5 ptos) 2 (b) Sean x, y ∈ Z dos vectores en el plano que satisfacen la propiedad mcd(x1 , x2 ) = mcd(y1 , y2 ) = 1. Demostrar que un conjunto generador para cone(x, y) ∩ Z2 está dado por {x, y} ∪ R, donde R := v ∈ Z2 : v = αx + βy, α, β ∈ [0; 1[ . ¿A qué región geométrica corresponde el conjunto R? (0.5 ptos) 2