Tarea 9 de Ecuaciones Diferenciales Parciales Ejercicio 1. Dada

Tarea 9 de Ecuaciones Diferenciales Parciales
Ejercicio 1. Dada una función f (x) definida en −∞ < x < ∞, escribe las expresiones para
la transformada de Fourier compleja F (ω), su transformada en forma real FR (ω). Ahora
escribe las expresiones para la transformada seno de Fourier FS (ω) y la transformada coseno
de Fourier FC (ω), cuando f (x) está definida en 0 < x < ∞. Por último, expresa f (x) por
medio de su representación integral correspondiente en cada caso.
R∞
1
Respuesta parcial: En el caso complejo F (ω) = 2π
f (x)e−iωx dx. Por otro lado, en este
R ∞ −∞
caso f (x) tiene la representación integral f (x) ∼ −∞ F (ω)eiωx dω
Ejercicio 2. La siguiente función, que describe una ‘onda cuadrada’, es absolutamente integrable.


0 si x < a,
f (x) = 1 si a ≤ x ≤ b,

0 si x > b.
Grafica esta función y calcula su tansformada de Fourier F (ω). Utiliza el teorema de convergencia para encontrar el valor al que converge la representación integral
Z ∞
F (ω)eiωx dω, para cada x ∈ R.
f (x) ∼
−∞
(
(b − a)/2π, si ω = 0,
Respuesta: F (ω) =
.
e−iωb − e−iωa i/2πω, si ω 6= 0.
Recuerda que el valor al que converge la representación de f (x) depende de si x es un punto
de continuidad o discontinuidad.
Ejercicio 3. Sea F (ω) la transformada de Fourier de la función f (x). Verifica las siguientes
propiedades de la transformada de Fourier:
a) La derivada F 0 (ω) = dF (ω)/dω es la transformada de Fourier de −ixf (x).
b) F (ω − a) es la transformada de Fourier de eiax f (x).
1
F (ω/a). Por lo tanto, la transformada
c) La transformada de Fourier de f (ax), con a 6= 0, es |a|
de Fourier de f (x/a) es |a|F (aω).
2
Ejercicio 4. La función g(x) = e−x /2, es absolutamente integrable en −∞ < x < ∞, y su
2
transformada de Fourier es G(ω) = √12π e−ω /2 .
a) Utiliza la propiedad del ejercicio 3c) para verificar que la tranformada de Fourier de
1
2
2
h(x) = e−(x/σ) /2 , con σ > 0, es H(ω) = √σ2π e− 2 (σω) .
b) Ahora utiliza la propiedad de que k(x) = h(x − µ) implica K(ω) = e−iµω H(ω), para
1 x−µ 2
2 2
verificar que la tranformada de Fourier de k(x) = e− 2 ( σ ) es K(ω) = √σ2π e−iµω−σ ω /2
1
2
c) Por último, verifica que la transformada de Fourier de la función de densidad de la
1 x−µ 2
1
distribución normal f (x) = √2πσ
e− 2 ( σ ) , con media µ y desviación estándar σ, es F (ω) =
2
1 −iµω−σ 2 ω 2 /2
e
2π
Ejercicio 5. Considera la ecuación de la cuerda vibrante infinita
utt − c2 uxx = 0, −∞ < x < ∞, t > 0,
u(x, 0) = ϕ(x), −∞ < x < ∞,
ut (x, 0) = ψ(x), −∞ < x < ∞,
Z ∞
sin(ωct) iωc
Φ(ω) cos(ωct) + Ψ(ω)
a) Verifica que u(x, t) =
e dω resuelve la ecuación
ωc
−∞
diferencial y satisface las condiciones iniciales. En esta representación Φ(ω) y Ψ(ω) son las
transformadas de Fourier de ϕ(x) y ψ(x), respectivamente.
b) Un forma alternativa paraZ la solución es la representación de D’Alembert u(x, t) =
1
1 x+ct
[ϕ(x − ct) + ϕ(x + ct)] +
ψ(s) ds. Verifica que también satisface la ecuación dife2
2c x−ct
rencial y condiciones de frontera.
2
c) Encuentra la solución con ambas formas cuando ϕ(x) = e−x y ψ(x) = 0.
Ejercicio 6. La solución de la ecuación de calor para una barra infinita
ut − Kuxx = 0, −∞ < x < ∞, t > 0,
u(x, 0) = ϕ(x), −∞ < x < ∞,
Z
∞
está dada por u(x, t) =
2
Φ(ω)e−Kω t eiωx dω, en donde Φ(ω) es la transformada de Fourier
−∞
de ϕ(x).
a) Verifica que u(x, t) satisface la ecuación diferencial y la condición inicial.
b) Resuelve el problema cuando ϕ(x) = e−(
a cero.
x−µ 2
/2
σ
)
, en donde µ y σ son constantes mayores