Problemas y cuestiones del Tema 4 (problemas o partes de problema marcados con *: para ampliar, con †:problema teórico complementario a teorı́a) 1. (*) Demostrar la fórmula de la esfera de influencia. 2. (†) Dada la fórmula de ∆V para una maniobra asistida por gravedad, demostrar el valor del máximo ∆V teórico, ası́ como la excentricidad de la hipérbola que corresponde a dicha maniobra máxima. Calcular dicho máximo para los planetas del Sistema Solar. 3. ¿Cuáles son los elementos a y e de una órbita selenocéntrica si el punto de llegada de la órbita geocéntrica a la esfera de influencia lunar tiene v = 1,3133 km/s, γ = 20o , λ = 30o ? ¿Se trata de una órbita de impacto/alunizaje? 4. Estudiar una misión lunar para h0 = 200 km, λ = 30o y Vi = V0 + ∆V = 10,93 km/s. ¿Cuál es el ángulo de fase Ψ y el tiempo de vuelo? ¿Es una misión de impacto/alunizaje o de sobrevuelo? En el segundo caso, calcular el ∆V necesario para obtener una órbita lunar circular en el mı́nimo radio de sobrevuelo. Repetir para λ = 60o . 5. Repetir el problema anterior para unos valores iniciales de ri = 6700 km, Vi = 10,88 km/s, λ = 60o . 6. (†) Plantear el problema del cálculo del tiempo de escape de la esfera de influencia lunar, para una misión de sobrevuelo. Aplicar al problema 5. 7. Demostrar, para el caso λ = 0o , h0 = 200 km, e inyección tangencial, que si la órbita geocéntrica es elı́ptica, la órbita selenocéntrica es siempre hiperbólica. 8. El Voyager 2 tardó 12 años en visitar Neptuno gracias a sus múltiples maniobras asistidas por gravedad. ¿Cuánto tiempo habrı́a tardado de no poder realizar dichas maniobras? (usar una transferencia tipo Hohmann) 9. Se pretende realizar una misión a Venus que consta de las siguientes fases: una primera fase con escape directo desde una órbita de aparcamiento de 200 km de altitud. Una segunda fase que consiste en una transferencia de Hohmann heliocéntrica. Una tercera fase que consiste en adquirir una órbita venusiana con una altura de periapsis de 500 km y un periodo de 12 h (se supone que la órbita de llegada tiene ya una periapsis con la altitud adecuada, gracias a correcciones realizadas durante el vuelo). Encontrar el coste energético total de la misión (km/s), y el tiempo de transferencia. 10. Se desea realizar una misión interplanetaria a Mercurio mediante una transferencia tipo Hohmann. ¿Cuál es el tiempo de vuelo? ¿Cuál es el ángulo de fase inicial que debe tener Mercurio? Si se perdiera una oportunidad de lanzamiento, ¿cuánto tiempo tardarı́a en repetirse? Considerar las órbitas de la Tierra y Mercurio coplanarias en el plano de la eclı́ptica y circulares. 11. Se planea una misión Tierra-Saturno con cuatro fases: una primera fase con escape desde una órbita de aparcamiento de 180 km de altitud. Una segunda que consiste en una transferencia de Hohmann heliocéntrica hasta Júpiter. Una tercera en la que se realiza la maniobra asistida por gravedad, con una aproximación de 11 radios jovianos. Finalmente una nueva órbita heliocéntrica hasta Saturno. Se pide: encontrar la órbita joviana, y describir la maniobra asistida por gravedad. ¿Llega la nave a Saturno? (suponiendo éste adecuadamente ubicado en su órbita). En caso afirmativo, calcular la órbita de llegada, suponiendo una altitud de periapsis de 1000 km, y calcular ∆V para circularizar la órbita. 12. El 1 de Diciembre de 2008 el ángulo de fase entre la Tierra y Urano es de 20o . Si se quisiera realizar una misión interplanetaria directa a Urano, mediante una transferencia de Hohmann, ¿aproximadamente en qué fecha habrı́a que realizar el lanzamiento? Si no se pudiera en dicha fecha, ¿cuándo serı́a la siguiente oportunidad? Calcular el C3 necesario, y el ∆V para la inyección desde una órbita de aparcamiento a 200 km. 13. Un cometa viaja en una órbita que se puede suponer parabólica, en el plano de la eclı́ptica, con el elemento orbital p = 9 AU. El cometa, antes de llegar a su perihelio, tiene un encuentro con Júpiter (µX = 126711995,4 km3 /s2 , LX = 5,2 AU, RX = 71492 km), pasando a una distancia de 10 radios jovianos, que lo propulsa al interior del sistema solar. Hallar la órbita tras el encuentro (se puede modelar como una “maniobra” asistida por gravedad que “deflecta” la órbita en dirección al interior del sistema solar) y calcular si el cometa podrı́a llegar hasta la órbita de la Tierra. 14. Como parte de una misión a Urano (Z) una sonda realiza una maniobra asistida por gravedad en Saturno (Y) a una distancia igual a seis veces el radio de Saturno. Suponiendo las órbitas de los planetas coplanarias en el plano de la eclı́ptica y circulares (de radio igual a su radio medio), se pide estudiar la maniobra sabiendo que la órbita heliocéntrica de la sonda, antes de su encuentro con Saturno (que sucede justo antes del afelio de la sonda), tiene como elementos a = 5,8 AU y e = 0,7. Encontrar los elementos de la órbita heliocéntrica tras el encuentro y determinar si se alcanza o no la órbita de Urano. En caso afirmativo, ¿cuánto se tardarı́a en alcanzar Urano desde Saturno? 1 15. La NASA decide diseñar una misión interplanetaria para visitar Júpiter (X). Para ello se pide comparar tres posibles escenarios: a) Viaje directo a Júpiter mediante una trayectoria elı́ptica con perihelio en la Tierra y e = 0,7, de forma que la llegada a la órbita de Júpiter sucede después del perihelio y antes del afelio. b) Viaje a Júpiter mediante una trayectoria parabólica (estando situado el perihelio de la parábola en la órbita de la Tierra). c) Viaje a Venus (♀) mediante una trayectoria parabólica (estando situado el perihelio de la parábola en la órbita de Venus), se realiza una maniobra asistida por gravedad (a una altitud de 2 veces el radio de Venus) y se continúa hacia Júpiter. (Observación: La salida de la Tierra no es tangente). Suponiendo que se parte de una órbita geocéntrica de aparcamiento a 150 kilómetros de altitud, calcular para los tres casos si el escenario es viable (es decir si se puede llegar a Júpiter por dicho procedimiento), el ∆V empleado a partir de la órbita de aparcamiento geocéntrica, el tiempo total de vuelo y el ángulo de fase que debe tener Júpiter el dı́a del lanzamiento. Rellenar con los resultados la siguiente tabla: Escenario a b c ∆V (km/s) ¿Viable o no viable? Tvuelo (dı́as) ψ (o ) Si el dı́a que se dé dicho ángulo la misión no se puede llevar a cabo, ¿cuánto tiempo habrı́a que esperar para que se repitiera el ángulo de fase? Elegir el escenario más favorable en términos de tiempo que no supere un ∆V de 9 km/s desde la órbita de aparcamiento, y para dicho escenario calcular el ∆V adicional que serı́a necesario para dejar la sonda interplanetaria en una órbita circular en torno a Júpiter con un radio igual a 10 veces el radio del planeta. Planeta Mercurio Venus Marte Júpiter Saturno Urano Neptuno Plutón Sı́mbolo ' ♀ ♂ X Y Z [ \ µ (km3 /s2 ) 42828.3 324858.8 42828.3 126711995.4 37939519.7 5780158.5 6871307.8 1020.9 Radio planetario (km) 2439.7 6051.8 3397 71492 60268 25559 24764 1195 Distancia media al Sol (AU) 0.387098 0.723327 1.52372 5.2033 9.58078 19.2709 30.1927 39.3782 Valores de constantes fı́sicas para planetas del Sistema Solar 2