F - Universidad de Córdoba

Fundamentos Físicos de la Ingeniería
Examen final/04 de septiembre de 2003
1.
Después de parar el motor de una canoa, ésta tiene una aceleración en sentido opuesto a su velocidad y
directamente proporcional al cuadrado de ésta. a) Expresar la velocidad de la canoa en función del tiempo.
b) Ídem la distancia recorrida al cabo de un tiempo t. c) Ídem la velocidad de la canoa después de haber recorrido una distancia x. d) Supongamos que cuando se para el motor la velocidad de la canoa era de 20 m/s y que
15 s después dicha velocidad se haya reducido a la mitad. Determinar el valor de la constante de proporcionalidad que aparece en la definición de la aceleración.
De acuerdo con el enunciado, la aceleración
a0
v0
viene dada en función de la velocidad mediante
la expresión a = −kv 2 , por lo que se trata de un
t0
movimiento rectilíneo variado general; i.e., no
se trata de un movimiento rectilíneo
uniformemente acelerado, ya que la aceleración no es constante
a
x
v
t
a) A partir de la definición de la aceleración y mediante integración obtenemos la velocidad
en función del tiempo:
dv
a = = −kv 2
dt
→
∫
v
v0
v
t
1
dv
1 1
k
dt → −   = −kt →
=
−
= + kt
2
∫
0
 v  v0
v
v v0
b) Del mismo modo, a partir de la definición de la velocidad y mediante integración,
obtenemos la posición o distancia recorrida en función del tiempo:
dx
dt 1 1
=v →
= = + kt →
dt
dx v v0
x=
1
k∫
∫
0
x
dx = ∫
0
t
dt
1
+ kt
v0

1
u = + kt
v0


du = kdt
1
t
+ kt



du 1
1   1
1 v0
1

= ln u =  ln  + kt  = ln
= ln (1 + kv0t )

1
u
k
k   v0
k
0 k
v0
c) De nuevo, a partir de la definición de la aceleración y mediante integración obtenemos la
velocidad en función del espacio recorrido:
a=
dv dx
dv
= v = −kv 2
dx dt
dx
→
∫
v
v0
x
dv
v
= −k ∫ dx → ln = −kt → v = v0 e−kt
0
v
v0
d) A partir de la expresión de la velocidad en función del tiempo, obtenida en el primer
apartado, despejamos la constante de proporcionalidad k y determinamos su valor:
1 − 1
1 −1
1
v
v0
1 1
20 = 20 = 1 = 0.003! m -1
= + kt → k =
= 10
v v0
t
15
15
300
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Examen final/04 de septiembre de 2003
2.
Un tractor de 2 t de peso, cuyas medidas más significativas se
indican en el esquema, arrastra una carga de la que tiene que tirar con una
fuerza horizontal de 1 t (a 1.5 m de altura): a) En tales condiciones,
determinar las componentes vertical y horizontal de las fuerzas que
actúan en el contacto de cada una de las ruedas con el terreno. b) ¿Qué
arrastre máximo horizontal puede realizar el tractor sin que se levanten
sus ruedas delanteras? c) Determinar el ángulo máximo de elevación que
puede tener el terreno para que el tractor, sin arrastre, lo suba sin que se
levanten sus ruedas delanteras.
NB
F
G
NA
P
A
1.5 m
fB
B
1m
2m
F
G
1.5 m
1m
2m
a) En los tractores, tan solo las ruedas traseras
son “tractoras” por lo que se “agarran al
terreno”; por el contrario, las ruedas delanteras,
en tanto que se mantenga constante la velocidad
del tractor, mantendrán constante su velocidad
angular, por lo que no necesitan “agarrarse al
terreno”. En definitiva, el diagrama de fuerzas
del cuerpo libre, aplicadas al tractor, es el que se
indica en la figura.
Aplicando las ecuaciones cardinales de la
estática, en las direcciones vertical y horizontal y tomando momentos en B, tenemos
 N A + N B = P
 N A + N B = 2 → N B = 1.75 t (por eje)



→  f B = 1 (por eje)
 fB = F




2 N A + 1.5 = 2 → N A = 0.25 t (por eje)
2 N A + 1.5 F = P

b) Rescribimos las ecuaciones anteriores para la condición crítica (NA = 0):

 N B = 2 → N B = 2 t (por eje)
 N A + N B = P


!
f =F

→  f B = 1.3 t (por eje)
 B
máx


!

 2 N A + 1.5Fmáx = P
1.5Fmáx = 2 → Fmáx = 1.3 t



vertical
NB
G
fB
A
θ
1m
θ
1.5 m
B
terreno
2m
c) Para la pendiente crítica será NA = 0 y, al no
arrastrar carga alguna, será F = 0, por lo que tan
solo quedan las tres fuerzas indicadas en la figura,
que deberán ser concurrentes en B (para que el
momento sea nulo). En consecuencia, el problema
se reduce a una simple condición geométrica de
que el centro de gravedad (G) se encuentre en la
vertical del punto B:
!
1
tg θ =
= 0.6 → θ = 33.7º
1.5
horizontal
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3.
Marque en la tabla con una X la opción correcta a cada pregunta. Cada respuesta correcta contabilizará
1 punto y a cada respuesta errada se le aplicará una penalización de 0.3
1.- La masa de un cuerpo depende de
a) su posición con respecto a la superficie de
la Tierra.
b) de la aceleración de la gravedad.
c) de su cantidad de materia.
2.- Siempre que una partícula de masa m es
acelerada,
a) su energía cinética cambia.
b) el momento cinético respecto a cualquier
punto varía.
c) una fuerza neta debe estar actuando sobre
ella.
3.- Cuando una fuerza neta de 1 N actúa sobre
un cuerpo de 1 kg, el cuerpo adquiere
a) una velocidad de 1 m/s.
b) una aceleración de 1 m/s2.
c) una aceleración de 9.8 m/s2.
4.- Cuando una pelota es lanzada verticalmente
hacia arriba con una velocidad de 12 m/s,
alcanzará su altura máxima al cabo de
a) 0,6 s
b) 1.2 s
c) 1.8 s
5.- De un satélite que se mueve siguiendo una
trayectoria elíptica alrededor de un planeta
podemos afirmar que
a) la velocidad del satélite máxima ocurre en el
momento de máximo acercamiento.
a) el planeta está situado en el centro de la
elipse.
a) el módulo de la velocidad del satélite es
constante.
6.- El coeficiente de rozamiento entre dos
superficies
a) puede ser negativo.
b) debe ser positivo e inferior a la unidad.
c) debe ser positivo y puede ser superior a la
unidad.
a) seguirá una trayectoria elíptica
b) su aceleración es perpendicular a su trayectoria
c) su momento angular respecto del centro de
fuerzas se mantiene constante y la
trayectoria es plana.
8.- La aceleración centrípeta de una partícula
que sigue un movimiento circular
a) es de carácter ficticio (de hecho se relaciona
con la fuerza centrífuga).
b) es perpendicular a la trayectoria.
c) solo existe si la partícula no varía su
celeridad.
9.- La energía cinética de una partícula
a) puede ser negativa si la velocidad es nula y
la energía potencial es negativa.
b) es nula si la partícula está en reposo
c) (las respuestas anteriores son falsas)
10.- Cuando empujamos horizontalmente una
masa de 20 kg, que está en reposo sobre una
superficie horizontal (m = 0.1) con una fuerza de
2 N,
a) la fuerza de rozamiento vale 2 N
b) la fuerza de rozamiento vale 19.6N
c) la mesa se mueve con aceleración 0.98 m/s2
Pregunta
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
a)
b)
c)
X
X
X
X
X
X
X
X
X
X
7.- Cuando una partícula se mueve bajo la
acción única de una fuerza central,
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Examen final/04 de septiembre de 2003
4.
a) Hallar la aceleración del centro de masa de un cilindro macizo de 20 cm de radio y 10 kg de masa,
que rueda sin deslizar sobre un plano inclinado 30º. b) Si el cilindro parte del reposo, que velocidad alcanzará al
descender 5 m de altura.
a) Escribimos las Ecuaciones Cardinales de la dinámica de traslación (c.m) y de rotación
alrededor de un eje que pasa por el c.m., así como la condición de rodadura:
mg sen θ − f = macm




 N − mg cos θ = 0


Rf = I α





acm = Rα
N
f
c.m.
5m
mg
1
con I = mR 2
2
que constituyen un sistema de cuatro ecuaciones con
cuatro incógnitas (acm, α, f, N).
θ
Operando con las dos últimas ecuaciones, tenemos

1
Rf = mR 2α
1
2 a
2
 Rf = mR cm

2
R
acm = Rα

→
1
f = macm
2
y sustituyendo este valor en la primera ecuación
1
mg sen θ − macm = macm
2
→ acm =
2
1
g sen θ = g = 3.27 m/s 2
3
3
b) Se trata de un movimiento de traslación con aceleración constante a lo largo del plano.
Descender una altura de h = 5 m implica un desplazamiento x a lo largo del plano
x=
h
5
=
= 10 m
sen θ sen 30º
y la velocidad alcanzada, partiendo del reposo, será
v = 2acm x = 2×3.27×10 = 8.08 m/s
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5.
Una barra prismática está constituida por dos materiales diferentes A y B y se somete a compresión en
sus extremos, según se indica en la figura. Determinar la variación de volumen que se produce en la barra en
función de los módulos de Young y coeficientes de Poisson de los materiales.
F
Se trata de una compresión longitudinal pura (sin esfuerzos laterales externos) en
la que ambos segmentos de la barra (A y B) están sometido a un mismo esfuerzo:
σ =−
F
S
lA
(compresor)
En cada uno de los segmentos, la deformación unitaria longitudinal vale
σ
F
εzz = = −
E
SE
S
lB
(acortamiento)
F
y la deformaciones unitarias transversales son
εxx = ε yy = −µεzz = +
µF
ES
z
(ensanchamiento)
x
de modo que el cambio de volumen será
∆V
F
= εxx + ε yy + εzz = (1− 2µ)εzz = −(1− 2µ)
V
ES
 ∆V 
Fl
Sl = −(1− 2µ)
(disminuye)
∆V = 
 V 
E
En definitiva
Segmento A: (∆V )A = −(1− 2µA )
FlA
EA
(disminuye)
Segmento B: (∆V )B = −(1− 2µB )
FlB
EB
(disminuye)
(∆V ) = (∆V )A + (∆V )B
(disminuye)
Total:
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y
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6.
La compuerta representada en la figura está formada por dos
superficies rectangulares unidas rígidamente entre si y puede girar alrededor
del eje AA’. a) Calcular el empuje que ejerce el agua sobre la compuerta.
b) Calcular el momento del par que hay que aplicar al eje AA’ para que la
compuerta no se apoye en la solera.
3m
2m
2m
A’
30 º
A
Panel vertical:
F1 = ρ ghC1S1 = 1000×9.8×1×(2×3) = 58800 N
I
hC1hP1 = xx
S
!
I xx / S 13 22 4
→ hP1 =
=
= = 1.3 m
hC1
1
3
Panel inclinado:
 F2,hor = F2 sen 30º = 73500 N

F2 = ρ ghC2 S2 = 1000×9.8× 2.5×(2×3) = 147 000 N → 



 F2,vert = F2 cos 30º = −127 306 N
hC2 = 2 + 1×sen 30º = 2.5 m
!
I
I
1
76
hC2 hP2 = xx sen 2 30º
con xx = 22 + 52 =
= 25.3 m 2
S
S
12
3
!
!
I /S
25.3
0.25 = 2.53 m
hP2 = xx sen 2 30º =
2.5
hC2
Las componentes de la resultante, su módulo y dirección son:


 Fhorz = 132300N

 Fvert −127 306 N


F = 1323002 + 127 3062 = 183603 N


→ 

θ =arctg 21218 = 43.9º

127 306


b) El momento del par que deberemos aplicar deberá ser igual a la diferencia de los
momentos de las fuerzas F1 y F2 con respecto al eje AA’; esto es,

2
2
! F1 × = 58800× = 39 200 N ⋅ m

3
3
→ ! M par = 116 620 N ⋅ m


0.53
= 155820 N ⋅ m
" F2 × AP2 = 147 000×
sen 30º

O
xx
F1
P
C1
P1
F
A
F2
P2 C2
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7.
a) Determinar la velocidad límite de una esferita de acero ( δ = 7.87 g/cm3) de 2 mm de diámetro que
cae en un recipiente que contiene glicerina a 20 ºC ( ρ = 1.26 g/cm3 , η = 1.49 Pa⋅s). b) Calcular el valor del
número de Reynolds correspondiente a esa velocidad límite para asegurarse de que fue correcto utilizar la ley de
Stokes en el apartado anterior. c) Determinar el valor máximo del diámetro de la esferita de acero que aún
permita utilizar la ley de Stokes.
Ley de Stokes : F
= 3πη D v . Número de Reynolds: ℜ =
ρDv
. Número de Reynolds crítico: ℜcrítico = 1
η
a) Expresamos las tres fuerzas que actúan sobre la esferita en su movimiento de caída en el
seno de la glicerina, sien E el empuje de Arquímedes y F la resistencia viscosa al
movimiento:
4
mg = π R 3δ g
3
4
E = π R 3ρ g
3
F = 6πη Rv
E
Inicialmente el movimiento es acelerado; pero cuando la esferita
alcanza una cierta velocidad, la resistencia viscosa es suficientemente
intensa como para, sumada el empuje de Arquímedes, compensar el
peso de la esferita. A partir de ese instante la velocidad no se
incrementará (aceleración nula):
F
v
mg
mg − E − F = ma = 0 → mg = E + F
de modo que
4 3
4
π R δ g = π R 3ρ g + 6πη Rvlím
3
3
vlím =
(7.87 −1.26)×103
18×1.49
→ vlím =
2 δ −ρ 2 δ −ρ
gR =
gD 2
9 η
18η
×9.8×(2×10−3 ) = 9.66 mm/s
2
b) El valor del número de Reynolds en estas condiciones de flujo externo es
ℜ=
1.26 × 103 × 2 × 10−3 × 9.66 × 10−3
= 0.016 < ℜcrít
1.49
que, al ser muy inferior al valor crítico, nos asegura que fue correcto utilizar la ley de Stokes
en el apartado anterior.
c) Sustituimos la expresión de la velocidad límite en la expresión del número de Reynolds
1/ 3
ℜcrítico
 18η 2ℜcrítico 
ρ D vlím ρ (δ − ρ ) 3
=
=
→
=
gD
D


18η 2
η
 ρ (δ − ρ ) g 
de modo que el valor máximo del diámetro de la esferita será:
1/ 3


18 ×1.492 × 1
D = 

6
 1.26 ( 7.89 − 1.26 ) ×10 × 9.8 
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= 7.88 mm ≈ 8 mm
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8.
Un sistema termodinámico está formado por 2 moles de hidrógeno a 2 atm y 1 mol de helio a 1 atm que
están contenidos en un cilindro rígido y adiabático, a diferente lado de un pistón buen conductor del calor
bloqueado que los separa. Inicialmente, el sistema se encuentra en equilibrio térmico a la temperatura de 0ºC. En
un instante dado desbloqueamos el pistón, de modo que el sistema evoluciona hasta que finalmente alcanza el
equilibrio. En toda esta transformación termodinámica: a) ¿Se conservará inalterada alguna variable de estado
del sistema? ¿Cuál será la temperatura final del sistema? ¿Es reversible esta transformación? Razónense las
respuestas. b) Calcular los cambios de entropía experimentados por cada uno de los dos gases y por el sistema?.
a) Por tratarse de un sistema aislado, que no intercambia energía con el exterior en forma de
calor o de trabajo, la energía interna del sistema permanece constante. Puesto que en el
estado final de equilibrio ambos gases tendrán la misma temperatura (y la misma presión),
podemos escribir
U = cte. → ∆U = ∆U H + ∆U He = nH CV ,H (Tf − T0 ) + nHeCV ,He (Tf − T0 ) =
= (nH CV ,H + nHeCV ,He ) (Tf − T0 ) = 0 → Tf = T0 = 0 º C
de modo que la temperatura final es la misma que la inicial.
El proceso es irreversible, ya que al expansionarse un gas y comprimirse el otro, contra una
presión diferente a la suya propia, hasta que adquieren una presión común pf, los estados
intermedios no serán estados de equilibrio.
b) Como los procesos implicados son irreversibles, para
calcular ∆S debemos imaginar unas transformaciones
reversibles que lleve al sistema del estado inicial al final.
Puesto que, para cada gas, la temperatura inicial es igual a la
final, podemos considerar un proceso isotermo:
H2
He
estado inicial
T = cte ⇒ d U = đQ − p d V = 0 ⇒ đQ = p d V
H2
Vf d V
đQ
p dV
V
=∫
= nR ∫
= nR ln f
V0 V
T
T
V0
rev
∆S = ∫
estado final
Determinamos los valores iniciales y finales ocupados por cada
gas:
VH =
nH RT0 2 RT0
=
= RT0
2
pH
VHe =
nHe RT0 1RT0
=
= RT0
1
pHe
He
→ V = VH + VHe = 2 RT0
Al final tenemos la misma presión en ambos gases
pf =
n RT
nH RTf
= He ' f
'
VH
VHe
→
2
1
= '
'
VH VHe

VH' = 2VHe'
→ 
 '
'


VH + VHe = 2 RT0

4


VH' = RT0


3
→ 

V ' = 2 RT

He
0

3


4
cal
J 
= +4.78 
cal
J
3
K
K 
= +1.41
 → ∆S = +0.34
2
cal
J
K
K
(∆S )He = R ln = −0.81 = −3.37 
3
K
K 
(∆S )H = 2 R ln = 1.14
de modo que el sistema experimenta un incremento de entropía, ya que evoluciona
espontáneamente hacia un nuevo estado de equilibrio
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Examen final/04 de septiembre de 2003
9.
Considérese un conductor aislado, como el que se indica en la figura,
que posee una carga eléctrica +Q en equilibrio. a) ¿Cuánto vale el campo
eléctrico en el interior del conductor? Razonar la respuesta. b) ¿Dónde se sitúa la
carga eléctrica? Hacer un esquema de la distribución de la carga eléctrica en el
conductor. ¿En que zonas de la superficie del conductor es mayor la densidad de
carga? Razonar las respuestas. c) Aplicar el Teorema de Gauss para calcular la
intensidad del campo eléctrico en las proximidades de la superficie exterior del
conductor ¿En que zonas de la superficie del conductor es más intenso el campo
eléctrico?
conductor
Pie
aislante
a) El campo eléctrico en el interior de un conductor en equilibrio es nulo. Esto es así porque,
si el campo no fuese nulo, las cargas eléctricas se
moverían bajo la acción del mismo y el conductor no
estaría en equilibrio.
+
+
b) La carga eléctrica se distribuye en la superficie del
conductor. Este resultado es una consecuencia inmediata
del teorema de Gauss, al aplicarlo a una superficie
gaussiana en el interior del conductor.
La densidad de carga es mayor en las zonas de mayor
curvatura, tal como se ilustra en la figura. Es decir, tiende
a acumularse en las zonas más “puntiagudas. A este
efecto se le conoce como “poder de las puntas”.
+ ++
+
+ ++
+
+
+
Poder de
las puntas
c) Consideramos una superficie gaussiana de forma cilíndrica, con una de sus bases en el
interior de conductor y la otra fuera del mismo. Por ser el campo nulo en el interior del
conducto, no hay flujo a través de la base interior de la superficie gaussiana. En el exterior
del conductor, cerca de su superficie, el campo es normal a la
σ E
superficie por ser ésta una superficie equipotencial, por lo que
dS
tampoco existe flujo a través de la superficie lateral del cilindro
+ +
gaussiano. Siendo σ la densidad superficial de carga, el cálculo
del flujo a través de la base exterior del cilindro y el teorema de
E=0 +
Gauss nos permiten escribir:
σ dS
dΦ = E dS =
ε0
σ
→ E=
ε0
+
Como consecuencia, el campo eléctrico será más intenso donde sea mayor la densidad de
carga, esto es, en la zonas de mayor curvatura.
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10.
Examen final/04 de septiembre de 2003
Calcular y justificar el valor de R para que el puente de la figura esté equilibrado.
El puente está equilibrado cuando no circula corriente por la rama CD (rama puente) lo que
significa que la distribución de intensidades es la que se indica en la figura. Para que se
presente tal circunstancia deberá ser nula la diferencia de potencial entre los puntos o nudos
C y D; esto es, los puntos C y D están al mismo potencial, de modo que
VAC = VAD
→ 5 I1 = 3I 2
C
5Ω
VCB = VDB → RI1 = 6 I 2
y dividiendo m.a.m. estas dos ecuaciones tenemos
5 3
=
→ 3× R = 5× 6
R 6
que es la conocida “regla del producto en cruz”, de modo que
R=
5× 6
= 10 Ω
3
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I1
I1
I2
A
I
R
3Ω
B
I2
D
6Ω
12 V, r = 1 Ω
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Examen final/04 de septiembre de 2003
11.
Por dos conductores rectilíneos e indefinidos, situados
perpendicularmente entre sí, en un plano, circulan intensidades
constantes I1 e I2, como se indica en la figura. a) Determinar el vector
campo magnético creado por dichas corrientes en un punto genérico P
del plano Oxy. b) ¿En qué punto del plano Oxy el campo es nulo?
y
P(x,y)
I2
O
I1
x
a) Comenzamos determinando, mediante el teorema de
Ampère, el campo magnético a una distancia r de un largo
conductor rectilíneo que transporta
una intensidad de corriente I. Para ello
I
calculamos la circulación de campo B a lo largo de una trayectoria
circular (línea de campo) situada en un plano perpendicular al
r
conductor:
B
∫" B ⋅ dl = ∫" B dl = B ∫" dl = B 2πr = µ I
→ B=
0
µ0 I
2π r
El campo magnético en P(x,y) se obtiene como la superposición de los campos magnéticos
creados por cada uno de los conductores en dicho punto; esto es,
B = B1 + B2 =
µ0 I1
µ I
µ I
I 
k − 0 2 k = 0  1 − 2  k
2π y
2π x
2π  y x 
b) La condición de que el campo magnético sea nulo nos lleva a escribir
B=
µ0  I1 I 2 
 − = 0 →
2π  y x 
I1 I 2
− =0 →
y x
y=
I1
x
I2
que es la ecuación de una recta que pasa por el origen de coordenadas y cuya pendiente es
I1/I2.
Departamento de Física Aplicada
ETSIAM
Universidad de Córdoba
Fundamentos Físicos de la Ingeniería
Examen final/04 de septiembre de 2003
En una línea de corriente alterna de 220 V y 50 Hz se conectan en paralelo las tres cargas siguientes:
12.
inductivo
• Z1 = 30 Ω con cos φ1 = 0.8
• Z2 = 20 Ω con cos φ2 = 0.85 inductivo
inductivo
• Z3 = 40 Ω con cos φ3 = 0.9
a) Calcular la intensidad que circula por cada una de las cargas, y la intensidad total. b) Determinar la potencia
total consumida y el factor de potencia del conjunto. c) Evaluar la capacidad del condensador que hay que
colocar para corregir totalmente el factor de potencia.
Determinamos las impedancias de cada carga:
cos φ1 = 0.8
→ φ1 = 36.9º → Z1 = 30 36.9º = (24.0 + 18.0 j ) Ω
cos φ2 = 0.85 → φ2 = 31.8º → Z 2 = 20 31.8º = (17.0 + 10.5 j ) Ω
cos φ3 = 0.9
→ φ3 = 25.8º → Z3 = 40 25.8º = (36.0 + 17.4 j ) Ω
a) Las intensidades en cada una de las carga son:
I
I1 1 I2 2 I3 3
V
I1 =
V1 220 0º
=
= 7.3 −36.9º = (5.9 − 4.4 j ) A
Z1 30 36.9º
I2 =
220 0º
V2
=
= 11.0 −31.8º = (9.4 − 5.8 j ) A
Z 2 20 31.8º
I3 =
220 0º
V3
=
= 5.5 −25.8º = (5.0 − 2.4 j ) A
Z3 40 25.8º
y la intensidad total es
I$I
= 1 + I 2 + I 3 = (20.3 −12.6 j ) = 23.9 −31.8 A
b) El factor de potencia y la potencia consumida son
f.p. = cos 31.8º = 0.85
P = VI cos φ = 220× 23.9× 0.85 = 4467 W = 4.47 kW
c) Deberemos colocar un condensador en paralelo que compense la
corriente reactiva retrasada de la instalación:
→
I
C = react
ωV
φ
Ireact
I react = I cond
V
=
1/ ωC
Iact
I
de modo que
C=
12.6
= 1.82×10−4 = 182 µF
100π × 220
Departamento de Física Aplicada
ETSIAM
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