/ Colegio SSCC Concepción - Depto. de Matemáticas Unidad de Aprendizaje: Ecuación de la Recta Capacidades/Destreza/Habilidad: Curso: 2° E.M. Racionamiento Matemático/ Aplicación / Calcular, Resolver /Conjeturar/Analizar Valores/ Actitudes: Respeto, Solidaridad, Responsabilidad / Trabajo en equipo, Cumplimiento Aprendizajes Esperados: Deducir la ecuación de la recta en el plano cartesiano a partir de algunos elementos entregados. Cálculos de distancia entres 2 puntos. Rectas paralelas y perpendiculares. Identificar y deducir elementos secundarios del triangulo. Guía N° 21 Recursos TICs: Resolución de las problemáticas a través de un POWERPOINT en la pizarra Evaluación de proceso: Corrección de tareas, interrogaciones, trabajo en clases Tiempo: 3 semana Profesor Responsable: Miguel Fernández Riquelme Profesores de nivel: Paulina Roa - Miguel Fernández R – Gabriela Aguilera Unidad: Ecuación de la Recta Nombre:_________________________________________________CURSO:______ 1 Ecuación de la Recta Concepto de Recta Una recta es la representación gráfica de una función de primer grado. Toda función de la forma y = ax + b de IR en IR representa una línea recta. La x y la y son las variables de la ecuación, siendo x la variable independiente ya que puede tomar cualquier valor, mientras que y se llama variable dependiente, ya que su valor está determinado por el valor que tome x. Si un par de valores (x, y) pertenece a la recta, se dice que ese punto satisface la ecuación. Ejemplo: El punto (7, 2) satisface la ecuación y = x - 5, ya que al reemplazar queda 2 = 7 - 5 2 = 2 lo que resulta verdadero. Cada punto (x, y) que pertenece a una recta se puede representar en un sistema de coordenadas IR x IR, siendo “x” el valor de la abscisa e “y” el valor de la ordenada. (x, y) = (Abscisa , Ordenada) Ejemplo: El punto (-3, 5) tiene por abscisa -3 y por ordenada 5. La ecuación de la recta puede ser representada en dos formas: Forma General: ax + by + c = 0 Forma Principal: y = mx + n Pendiente de una Recta En la ecuación principal de la recta y = mx + n, el valor de m corresponde a la pendiente de la recta y n es el coeficiente de posición. La pendiente permite obtener el grado de inclinación que tiene una recta, mientras que el coeficiente de posición señala el punto en que la recta interceptará al eje de las ordenadas. Ejemplo: La ecuación y = 4x + 7 tiene pendiente 4 y coeficiente de posición 7, lo que indica que interceptará al eje y en el punto (0,7). 2 Cuando se tienen dos puntos cualesquiera (x1, y1) y (x2, y2), la pendiente queda determinada por el cuociente entre la diferencia de las ordenadas de dos puntos de ella y la diferencia de las abscisas de los mismos puntos, o sea m y 2 y1 x 2 x1 Obs. Una recta que es paralela al eje x, tiene pendiente igual a cero. Una recta que es paralela al eje y, no tiene pendiente EJERCICIOS: 1. Calcula en cada caso la pendiente de la recta determinada por los puntos: a) A (4,6) y B (2,3) b) P (-3,2) y Q (-3,5) c) M (4,8) y W (-7,8) 2. Considera el triángulo ABC, cuyos vértices son A(4,6) , B(-6,4) y C(8,2). Calcula la pendiente de la recta que contiene a cada lado del triángulo. En la ecuación general de la recta, ax + by + c = 0 la pendiente y el coeficiente de posición quedan determinados por: m a b n c b Demostrémoslo: Transformemos la ecuación general de la recta en una ecuación principal. 3 Ax + By + C = 0 y Ax C B B Ax + By = -C luego m a b y By = -Ax – C n y Ax C B c b Ejemplo: ¿Cuál es la pendiente y el coeficiente de posición de la recta 4x - 6y + 3 = 0? A = 4, b =-6, c = 3 m a m = -4/-6 = 2/3 b ; n c n = -3/-6 = 1/2 b Ejercicios Escribe la ecuación general y principal de la recta, de modo que m y n sean, respectivamente: a) Ejemplo : 1 y -1 y = 1x -1 0 = x – y -1 b) 5 y 0 c) 8 y 3 d) 3/5 y 1/ 4 e) -4/3 y 5/4 Tres puntos colineales. (alineados) “Tres puntos son colineales si pertenecen a la misma recta” A, B y C son colineales si la pendiente de AB es igual a la pendiente de BC. Ejercicios 1. Deducir si los puntos A(-2, 1), B(2, 1), C( 4, 2) son colineales. 4 2. Calcular el valor de “k” en C para que se cumpla que los 3 puntos A(-3, -2), B(6, 3), C(0, k) sean colineales. Ecuación de la recta que pasa por dos puntos Sean P(x1, y1) y Q(x2, y2) dos puntos de una recta. En base a estos dos puntos conocidos de una recta, es posible determinar su ecuación. Para ello tomemos un tercer punto R(x, y), también perteneciente a la recta. Como P, Q y R pertenecen a la misma recta, se tiene que PQ y PR deben tener la misma pendiente por ser colineales. O sea mPQ y 2 y1 x 2 x1 y mPR y y1 x x1 Luego, la ecuación de la recta que pasa por dos puntos es: y 2 y1 y y1 x 2 x1 x x1 m y y1 x x1 que también se puede expresar como (x x 1)·m y y1 Ejemplo: Determina la ecuación de la recta que pasa por los puntos P(1, 2) y Q(3, 4) y2 42 x 1 3 1 y2 2 x 1 2 y2 1 x 1 y-2=x–1 x-y+1=0 Ecuación de la recta dado punto-pendiente La ecuación de la recta que pasa por dos puntos está determinada por y 2 y1 y y1 x 2 x1 x x1 pero m y 2 y1 x 2 x1 luego reemplazando en la ecuación anterior se obtiene 5 m y y1 x x1 despejando, obtenemos que: y - y1 = m(x - x1) Ejemplo: Determina la ecuación general de la recta de pendiente -4 y que pasa por el punto (5,-3) y - y1 = m(x - x1) y - (-3) = -4(x - 5) y + 4 = -4x + 20 Luego la ecuación pedida es 4x + y - 16 = 0. Ejercicios: Encuentra la ecuación principal y general de la recta que pasa por los puntos a) A (3,4) y B (7, 4) b) G(-5,2) y B (-3,-1) c) L(1/2, 1/3) y F(0,1) Determina las ecuaciones principal y general de la recta que pasa por el punto dado y que tiene la pendiente que se indica a) Ejemplo: A (6,4) ; m = -3 (x - x1)m = y – y1 (x – 6)(-3) = y – 4 b) B(0,4) ; m = 1 6 c) C(5,5) ; m = 3/5 Rectas Paralelas, coincidentes y perpendiculares Dos rectas son paralelas cuando sus pendientes son iguales y sus coeficientes de posición distintos, o sea L1: y = m1x + n1 Entonces L1 // L2 sí y sólo si m1 = m2 L2: y = m2x + n2, Ejemplo: Las rectas y = 4x + 5 ; y = 4x - 2 son paralelas. Ambas tiene pendiente igual a cuatro Dos rectas son coincidentes (son la misma) cuando sus pendientes son iguales y sus coeficientes de posición iguales, o sea L1: y = m1x + n1 L2: y = m2x + n2, Entonces L1 coincidente con L2 sí y sólo si m1 = m2 y n1 = n2 Dos rectas son perpendiculares cuando el producto de sus pendientes es (-1), o sea L1: y = m1x + n1 Entonces L1 L2 sí y sólo si m1· m2 = -1 L2: y = m2x + n2, Ejemplo: L1: y = -2x + 3 Entonces L1 L2 ya que -2 · 0,5 = -1 L2: y = 0,5x - 4 7 Ejercicios Encuentra la ecuación general de la recta que pasa por el punto A(5,2) y es paralela a la recta de ecuación y = 3x -1 Encuentra la ecuación principal de la recta que pasa por el punto B(-2,0) y es paralela a la recta de ecuación 2x – y +5 = 0 Encuentra la ecuación principal de la recta que pasa por el origen del sistema cartesiano y es paralela a la recta que pasa por los puntos (4,1) y (6,5) ¿Son paralelas las recta que pasan, respectivamente, por los puntos A(2,4) B(5,7) y C(5,2) y D(9,6)? Calcula el valor de la constante K en la ecuación de la recta 2kx – y - 1 = 0 que es paralela a la recta de ecuación 3x - 2y + 6 = 0 8 Comprueba si el cuadrilátero ABCD, cuyos vértices son A(-1,-2) B(8, 4) C(5, 5) y D(2, 3) es un trapecio (Un trapecio es un cuadrilátero que tiene un par de lados paralelo) Encuentra la ecuación principal de la recta que pasa por el punto (3, 5) y es perpendicular a la recta de ecuación y = 1 x -2 2 Encuentra la ecuación general de la recta que pasa por el punto (-1, 3) y es perpendicular a la recta de ecuación 3x – y -1 = 0 La recta que pasa por los puntos (-3, 1) y (2, 4) ¿Es perpendicular a la recta que pasa por los puntos (-1, 3) y (1, 1)? 9 Comprueba que el triángulo ABC, cuyos vértices son A(-2, 1), B(6, 1), C(6, 4) es rectángulo en B Coordenadas del punto medio: Dados dos puntos (x 1, y 1) y (x 2 , y 2 ) el punto medio está dado por: x x1 y 2 y1 Pm 2 , 2 2 Ejemplo: Dados dos puntos A(-5, 2) y B(5, 2) Hallar las coordenadas del punto medio 55 22 , (0, 2) 2 2 Ejercicio El triangulo A(-3, -4), B(2, -1), C(0, 5) Calcular los puntos medios de cada lado del triángulo. Distancia entre dos puntos: Dados dos puntos (x1, y1) y (x 2 , y 2 ) , la distancias está dada por: 10 d (x 2 x1)2 (y 2 y1)2 Ejemplo: Hallar la distancia entre P(-3,-2) y Q(9,3) Restamos abscisa con abscisa y ordenada con ordenada 9 (3) 9 3 12 3 (2) 3 2 5 Finalmente, la distancia entre P y Q Luego d (144) ( 25 ) = (169) 13 es 13 Distancia de un punto a una recta: La distancia de un punto a una recta es la medida del segmento perpendicular trazado desde el punto a la recta. P L La expresión para calcular la distancia entre un punto P(x 1, y1) y una recta de ecuación Ax + By + C = 0 es: d Ax1 By1 C A2 B 2 Ejemplo: Hallar la distancia entre el punto A(2, 5) y la recta L: 3x +4y -7 = 0 Utilizando la expresión d Ax1 By1 C A2 B 2 y reemplazando en ella los valores dados se tiene: d 3 (2) 4 (5) 7 2 3 4 2 d 6 20 7 25 d 19 5 EJERCICIOS: Calcula la distancia entre el punto dado y la recta respectiva a) A(4, 1) y L: 2x – y +1 = 0 11 b) B(-2,5) y L: y = (-1/2)x +4 c) C(2,6) y L: 3y – x = 7 12