Introducción al Tema 6 Tema 5. Intervalos de confianza ¿Esta θ en

1
Introducción al Tema 6
Tema 5. Intervalos de confianza
Definición.
Ejemplos de intervalos de confianza.
Determinación del tamaño muestral.
¿Esta θ en el intervalo de
confianza?
Tema 6. Contraste de hipótesis
Conceptos fundamentales.
Contrastes para la media y la varianza en poblaciones normales.
Contrastes con muestras grandes.
Relación entre los intervalos de confianza y los contrastes de
hipótesis.
Determinación del tamaño muestral.
Estadı́stica I
Andrés M. Alonso
2
Distribución temporal del temario
Tema 1
Tema 2
Tema 3
Tema 4
Tema 5
Tema 6
Tema 7
1
T
T
T
T
T
T
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2
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T
T
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3
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T
T
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T
T
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P
P
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7
7
T denota una hora
de clase
de 0teorı́a 7
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5
6
7
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6
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0
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6
6
6
6
P denota una hora de clase práctica
Estadı́stica I
Andrés M. Alonso
58
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3
Tema 6. Contraste de hipótesis
Los contenidos a desarrollar en este tema son los siguientes:
Conceptos fundamentales:
• Hipótesis nula y alternativa.
• Errores de tipo I y II.
• Función de potencia de un contraste.
• Nivel de significación.
• Hipótesis unilaterales y bilaterales.
Contrastes para la media y la varianza en poblaciones normales: casos de
una y dos poblaciones.
Contrastes con muestras grandes.
Relación entre los intervalos de confianza y los contrastes de hipótesis.
Determinación del tamaño muestral.
Lecturas recomendadas: Secciones 10.1 a 10.6 del libro de Peña (2005) y el
capı́tulo 9 de Newbold (2001).
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Contrastes de hipótesis
contrastar.
(Del lat. contrastāre).
1. tr. Ensayar o comprobar y fijar la ley, peso y valor de las monedas
o de otros objetos de oro o plata, y sellar estos últimos con la marca
del contraste cuando ejecuta la operación el perito oficial.
2. tr. Comprobar la exactitud de pesas y medidas por ministerio
público, para que estén ajustadas a la ley, y acreditarlo sellándolas.
3. tr. Comprobar la exactitud o autenticidad de algo.
algo
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En estadı́stica, el contraste de hipótesis tiene la finalidad de decidir si una determinada hipótesis sobre la distribución en estudio es confirmada o invalidada
a partir de las observaciones de una muestra.
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Ejemplos de hipótesis
Las próximas elecciones municipales en Getafe otorgará dos escaños al
partido “Vientos de Pueblo”. Los partidos polı́ticos quieren contrastar esa
afirmación para posibles pactos pre–electorales ¿Cómo?
Una compañı́a recibe un gran cargamento de piezas. Sólo acepta el envı́o si
no hay más de un 5 % de piezas defectuosa. ¿Cómo tomar una decisión sin
verificar todas las piezas?
Un investigador quiere saber si una propuesta de reforma fiscal es acogida
de igual forma por hombres y mujeres ¿Cómo puede verificar esa conjetura?
Estos ejemplos tienen algo en común:
a) Se formula la hipótesis sobre la población.
b) Las conclusiones sobre la validez de la hipótesis se basarán en la información
de una muestra.
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6
Ejemplo 1. Se tienen dos monedas, una correcta (es decir la probabilidad de
cara/cruz es 1/2) y una trucada (con probabilidad de cara igual a 3/4). Se
decide jugar con una de las dos monedas seleccionada al azar, pero antes de
empezar a jugar se permite realizar un experimento de dos tiradas. El objetivo
es contrastar la hipótesis (H0) de p = 1/2.
(a) Escriba el espacio muestral:
X = {(c, c), (c, x), (x, c), (x, x)}.
(b) ¿Cuál(es) resultado(s) le harı́an pensar que la hipótesis es falsa?
R = {(c, c)}.
(c) Si decide rechazar H0 si se observa R, ¿qué errores puede cometer? Calcule
la probabilidad de cada error.
Error
Tipo I
Tipo II
Estadı́stica I
Descripción
Rechazar H0 cuando es cierta
Aceptar H0 cuando es falsa
Probabilidad
(1/2)2
1 − (3/4)2
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Definición 1. Un contraste de hipótesis es cualquier partición del espacio
muestral, X , en dos regiones disjuntas: una región crı́tica o de rechazo, R, y
una región de aceptación Rc = X \ R.
Ejemplo 1.
(d) Teniendo en cuenta el apartado (b). Proponga un contraste de hipótesis
para H0 : p = 1/2.
X = R ∪ Rc = {(c, c)} ∪ {(c, x), (x, c), (x, x)}.
(e) Proponga otro contraste.
X = R∗ ∪ R∗c = ∅ ∪ {(c, c), (x, c), (x, c), (x, x)}.
(f) Calcule las probabilidades de cada tipo de error para el contraste propuesto
en (e).
Error
Descripción
Probabilidad
Tipo I Rechazar H0 cuando es cierta
0
Tipo II
Aceptar H0 cuando es falsa
1
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Metodologı́a del contraste de hipótesis - 1
1. Fijar, en función de las hipótesis y del contexto del problema, una cota para
la probabilidad de cometer el error de tipo I, que denominamos nivel de
significación del contraste, α.
2. Excluir todos los contrastes cuya región crı́tica, R, no satisfaga la condición:
Pr {R|H0} ≤ α
3. Entre los contrastes no excluidos, seleccionar el contraste que minimice la
probabilidad del error de tipo II.
Neyman–Pearson
Ejemplo 1.
(g) Obtenga todos los contrastes de nivel α = (1/2)2.
(h) ¿Cuál utilizarı́a?
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Función de potencia
Definición 2. Si las hipótesis pueden expresarse en términos de un parámetro,
θ ∈ Θ, esto es si H0 : θ ∈ Θ0 y HA : θ ∈ ΘA, se denomina función de
potencia del contraste con región crı́tica R, a la probabilidad de rechazar H0
si el valor del parámetro es θ:
β(θ) = Pr {R|θ} .
Observación 1: Un contraste tiene nivel α si β(θ) ≤ α para θ ∈ Θ0.
Observación 2: Cuando θ ∈ ΘA, la probabilidad del error de tipo II es: 1 − β(θ).
Ejemplo 1.
(i) Suponga que en lugar de dos monedas tenemos un “continuo” de monedas
con probabilidad p de cara. Calcule la función de potencia del contraste con
región crı́tica R = {(c, c)}.
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Metodologı́a del contraste de hipótesis - 2
En un problema (paramétrico) donde las hipótesis pueden expresarse en
términos de un parámetro, H0 : θ ∈ Θ0 y HA : θ ∈ ΘA:
1. Fijar, en función de las hipótesis y del contexto del problema, el nivel de
significación del contraste, α.
2. Excluir todos los contrastes cuya región crı́tica, R, no satisfaga la condición:
Pr {R|θ} ≤ α,
para todo θ ∈ Θ0.
3. Entre los contrastes no excluidos, seleccionar el contraste que maximice la
función de potencia en θ ∈ ΘA.
Probabilidad del error de tipo II = 1 − β(θ)
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H0 cierta
Rechazo H0
No rechazo H0
H0 falsa
Error de tipo I
H0 cierta
Rechazo H0
Error de tipo II
H0 falsa
Pr(R | H0)
No rechazo H0
Pr(NR | HA)
1. En el contraste de hipótesis se prima a la hipótesis nula (neutra).
2. Podemos hacer la probabilidad del error de tipo I tan pequeña como queramos, PERO esto
hace que aumente la probabilidad del error de tipo II.
3. Un contraste de hipótesis puede rechazar la hipótesis nula.
4. Un contraste de hipótesis NO puede probar la hipótesis nula.
5. Si aceptamos la hipótesis nula, debe interpretarse como que
las observaciones no han
aportado evidencia para descartarla.
6. Por el contrario, si rechazamos la hipótesis nula es porque se está razonablemente seguro
(Pr(R|H0) ≤ α) de que H0 es falsa y estamos aceptando implı́citamente la hipótesis
alternativa.
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Tipos de hipótesis
Hipótesis simple: H0 : θ = θ0.
Hipótesis compuesta: H0 : θ ∈ Θ0 y Θ0 tiene más de un elemento.
• Hipótesis unilaterales:
◦ H0 : θ ≤ θ0 vs HA : θ > θ0 .
◦ H0 : θ ≥ θ0 vs HA : θ < θ0 .
• Hipótesis bilaterales:
◦ H0 : θ = θ0 vs HA : θ 6= θ0 .
/ [θ1, θ2] .
◦ H0 : θ ∈ [θ1, θ2] vs HA : θ ∈
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Ejemplo 1.
Hipótesis simple vs simple: H0 : p = 1/2 vs HA : p = 3/4.
H0 : p ≤ 1/2 vs HA : p > 1/2
Hipótesis unilaterales:
.
H0 : p ≥ 1/2 vs HA : p < 1/2
Hipótesis bilaterales: H0 : p = 1/2 vs HA : p 6= 1/2 .
Ejemplo 2.
Las próximas elecciones municipales en Getafe otorgará dos escaños al partido “Vientos
de Pueblo”. Los partidos polı́ticos quieren contrastar esa afirmación para posibles pactos
pre–electorales. H0 : N E = 2
vs N E 6= 2 .
Una compañı́a recibe un gran cargamento de piezas. Sólo acepta el envı́o si no hay más de
un 5 % de piezas defectuosas. H0 : p ≤ 0,05
vs HA : p > 0,05 .
Un investigador quiere saber si una propuesta de reforma fiscal es acogida de igual forma
por hombres y mujeres. H0 : pH = pM
Estadı́stica I
vs HA : pH 6= pM .
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Nivel crı́tico p
Definición 3. El nivel crı́tico p (o p–valor) es el nivel de significación más
pequeño para el que la muestra obtenida obligarı́a a rechazar la hipótesis nula.
El p-valor es la probabilidad (calculada bajo H0) de obtener un resultado
que sea menos compatible con H0 que el resultado obtenido con la muestra
(x1, x2, . . . , xn).
El p-valor depende de la muestra (x1, x2, . . . , xn).
Puede considerarse como el apoyo que la hipótesis nula recibe de las
observaciones de la muestra:
• Si el p-valor es menor que el nivel de significación prefijado, el apoyo a
H0 es escaso y por tanto H0 debe rechazarse.
• Si el p-valor es mayor que el nivel de significación prefijado, el apoyo a
H0 es suficiente y por tanto H0 no debe rechazarse.
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Cálculo del nivel crı́tico p
I Contraste unilateral por la derecha: H0 : θ ≤ θ0 vs HA : θ > θ0
Valor observado del estadı́stico de contraste: T (x1, x2, . . . , xn) = t.
Región crı́tica: R = {(x1, x2, . . . , xn) : T (x1, x2, . . . , xn) > k}.
p-valor = Pr(T ≥ t |θ = θ0).
I Contraste unilateral por la izquierda: H0 : θ ≥ θ0 vs HA : θ < θ0
Valor observado del estadı́stico de contraste: T (x1, x2, . . . , xn) = t.
Región crı́tica: R = {(x1, x2, . . . , xn) : T (x1, x2, . . . , xn) < k}.
p-valor = Pr(T ≤ t |θ = θ0).
I Contraste bilateral: H0 : θ = θ0 vs HA : θ 6= θ0
Valor observado del estadı́stico de contraste: T (x1, x2, . . . , xn) = t.
Región crı́tica: R = {(x1, x2, . . . , xn) : T (x1, x2, . . . , xn) < k1} ∪
{(x1, x2, . . . , xn) : T (x1, x2, . . . , xn) > k2}.
p-valor = mı́n 2 Pr(T ≤ t |θ = θ0); 2 Pr(T ≥ t |θ = θ0) .
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Tema 6. Contraste de hipótesis
Conceptos fundamentales: X
• Hipótesis nula y alternativa.
• Errores de tipo I y II.
• Función de potencia de un contraste.
• Nivel de significación.
• Hipótesis unilaterales y bilaterales.
Contrastes para la media y la varianza en poblaciones normales: casos de
una y dos poblaciones.
Contrastes con muestras grandes.
Relación entre los intervalos de confianza y los contrastes de hipótesis.
Determinación del tamaño muestral.
Estadı́stica I
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Contrastes de hipótesis en una población normal
Contrastes sobre µ:
H0 : µ = µ0 (σ conocida);
H0 : µ = µ0 (σ desconocida);
H0 : µ ≤ µ0 (σ conocida);
H0 : µ ≤ µ0 (σ desconocida);
H0 : µ ≥ µ0 (σ conocida);
H0 : µ ≥ µ0 (σ desconocida);
Estadı́stica I
n
o
R = |x̄ − µ0| > zα/2 √σn
n
o
R = |x̄ − µ0| > tn−1;α/2 √sn
n
o
R = x̄ − µ0 > zα √σn
n
o
R = x̄ − µ0 > tn−1;α √sn
n
o
R = x̄ − µ0 < z1−α √σn
n
o
R = x̄ − µ0 < tn−1;1−α √sn
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Contrastes de hipótesis en una población normal
Contrastes sobre σ:
H0 : σ = σ 0 ; R =
n
H0 : σ ≤ σ 0 ; R =
n
H0 : σ ≥ σ 0 ; R =
n
Estadı́stica I
n−1 2
s
σ02
n−1 2
s
σ02
n−1 2
s
σ02
∈
/
h
χ2n−1;1−α/2
> χ2n−1;α
,
χ2n−1;α/2
io
o
< χ2n−1;1−α
o
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Contrastes de hipótesis en una población normal - Ejemplo
Ejemplo 3. Sea X la variable ”rentabilidad de cierto tipo de fondos de
inversión tras una apreciación fuerte del marco con respecto al dólar”. Se
considera que la media de esta variable es 15. Un economista afirma que
dicha rentabilidad media ha variado, por lo que lleva a cabo un estudio
en las condiciones reseñadas anteriormente sobre una muestra de 9 fondos
cuya media muestral resulta ser de 15,308 y cuya varianza muestral corregida
(cuasivarianza) es 0,193.
a) Especificando las hipótesis necesarias, contrastar la afirmación del
economista al 5 %.
b) A partir del resultado de a), razonar si el intervalo de confianza para la
media (centrado en x) al 95 % contendrá o no al valor 15.
Volveremos a este apartado
c) Acotar el p-valor. Si el contraste se hubiera realizado al 10 %, ¿aceptarı́amos
la hipótesis de que la media de la rentabilidad es 15 tras una apreciación
fuerte del marco con respecto al dólar? Razonar brevemente la respuesta.
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20
a) Hipótesis asumidas: X1, ..., Xn es una m.a.s. de una población N (µ, σ 2).
H0 : µ = 15
vs
H1 : µ 6= 15
x−µ Rechazaremos H0 a nivel del 5 % si √sx 0 > tn−1; α2
n
15,308−15 = 2,1 > t8;0,025 = 2,306. ⇒ ¿?
Tenemos que 0,44
√
9
b) Por la dualidad intervalos de confianza-contrastes de hipótesis, 15 (valor
del parámetro apuntado en H0) ha de pertenecer al intervalo de confianza
descrito en el enunciado.
Volveremos a este apartado
c) p-valor = 2P (t8 > 2,1).
p-valor ∈ (0,05, 0,1), entonces con α = 0,1 no rechazarı́amos H0.
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21
Contrastes en dos poblaciones normales independientes
Contrastes sobre µ1 − µ2:
H0 : µ1 −µ2 = d0 (σ1, σ2 conocidas);
H0 : µ1−µ2 = d0 (σ1 = σ2);
H0 : µ1 − µ2 = d0 (σ1 6= σ2);
q 2
2
σ
σ
R = |x̄ − ȳ − d0| > zα/2 n11 + n22
n
o
q
R = |x̄ − ȳ − d0| > tn1+n2−2;α/2 sp n11 + n12
q 2
2
s
s
R = |x̄ − ȳ − d0| > tf ;α/2 n11 + n22
q 2
2
σ
σ
H0 : µ1 − µ2 ≤ d0 (σ1, σ2 conocidas); R = x̄ − ȳ − d0 > zα n11 + n22
o
n
q
H0 : µ1 − µ2 ≤ d0 (σ1 = σ2); R = x̄ − ȳ − d0 > tn1+n2−2;α sp n11 + n12
q 2
2
s
s
H0 : µ1 − µ2 ≤ d0 (σ1 =
6 σ2); R = x̄ − ȳ − d0 > tf ;α n11 + n22
Estadı́stica I
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22
Contrastes en dos poblaciones normales independientes
Contrastes sobre µ1 − µ2: (continuación)
q 2
σ1
σ22
H0 : µ1 − µ2 ≥ d0 (σ1, σ2 conocidas); R = x̄ − ȳ − d0 < z1−α n1 + n2
n
o
q
1
1
H0 : µ1−µ2 ≥ d0 (σ1 = σ2); R = x̄ − ȳ − d0 < tn1+n2−2;1−α sp n1 + n2
q 2
2
s
s
H0 : µ1 − µ2 ≥ d0 (σ1 =
6 σ2); R = x̄ − ȳ − d0 < tf ;1−α n11 + n22
Contrastes sobre σ1/σ2:
2 2 H0 : σ1 = σ2; R = s1/s2 ∈
/ Fn1−1;n2−1;1−α/2 , Fn1−1;n2−1;α/2
2 2
H0 : σ1 ≤ σ2; R = s1/s2 > Fn1−1;n2−1;α
2 2
H0 : σ1 ≥ σ2; R = s1/s2 < Fn1−1;n2−1;1−α
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23
Contrastes en dos poblaciones normales - Ejemplo
Ejemplo 4. Un artı́culo de la revista Consumer Reports de noviembre de
1983 comparó varios tipos de baterı́as. Los promedio de duración de baterı́as
AA marca Duracell y de marca Everyday Energizer se denotan como µ1 y µ2,
respectivamente.
a) Contrastar la hipótesis nula de que el promedio de duración de las baterı́as
marca Duracell supera en más de una hora a la duración media de las
baterı́as marca Everyday. Para cada tipo de baterı́a se dispone de una
muestra de tamaño 100 que proporciona los siguientes datos: x̄1 = 4,3
horas, s1 = 1,5 horas, x̄2 = 4,1 horas y s2 = 1,7 horas.
H0 : µ1 − µ2 ≥ 1 vs HA : µ1 − µ2 < 1
Asumimos que las muestras son independientes entre sı́, y m.a.s. de N (µ1, σ12)
y N (µ2, σ22), respectivamente.
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24
El estadı́stico de contraste es:
x̄ − ȳ − d0 H0
t= q 2
∼ tf ,
s1
s22
n1 + n 2
donde f = entero más próximo a
(s21/n1+s22/n2)2
2 (s2 /n )2 .
(s2
/n
)
1
2 2
1
+
n1 −1
n2 −1
x̄ − ȳ − (µ1 − µ2)
4,3 − 4,1 − 1
r
t =
= r
2
2
1,52 1,72
sx sy
+
+
100
100
n
m
194,97.
y f es el entero más cercano a
t = −3,53 < t195;1−0,05 = −1,6527 y rechazarı́amos H0.
Tablas: t120;0,95 = −1,66 y t∞;0,95 = z0,95 = −1,645
Estadı́stica I
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25
Tema 6. Contraste de hipótesis
Conceptos fundamentales: X
• Hipótesis nula y alternativa.
• Errores de tipo I y II.
• Función de potencia de un contraste.
• Nivel de significación.
• Hipótesis unilaterales y bilaterales.
Contrastes para la media y la varianza en poblaciones normales: casos de
una y dos poblaciones. X
Contrastes con muestras grandes.
Relación entre los intervalos de confianza y los contrastes de hipótesis.
Determinación del tamaño muestral.
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26
Contrastes en muestras grandes - Una población
X ∼ B(1, p) (muestras grandes):
q
0)
H0 : p = p0; R = |x̄ − p0| > zα/2 p0(1−p
n
q
0)
H0 : p ≤ p0; R = x̄ − p0 > zα p0(1−p
n
q
0)
H0 : p ≥ p0; R = x̄ − p0 < z1−α p0(1−p
n
X ∼ P oisson(λ) (muestras grandes):
n
o
p
H0 : λ = λ0; R = |x̄ − λ0| > zα/2 λ0/n
n
o
p
H0 : λ ≤ λ0; R = x̄ − λ0 > zα λ0/n
n
o
p
H0 : λ ≥ λ0; R = x̄ − λ0 < z1−α λ0/n
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27
Contrastes en muestras grandes - Dos poblaciones
Comparación de proporciones (muestras grandes e independientes):
X ∼ B(1, p1); (X1, . . . Xn1 ) m.a.s. de X.
Y ∼ B(1, p2); (Y1, . . . Yn2 ) m.a.s. de Y .
q
ȳ(1−ȳ)
H0 : p1 − p2 = d0; R = |x̄ − ȳ − d0| > zα/2 x̄(1−x̄)
+
n1
n2
q
ȳ(1−ȳ)
H0 : p1 − p2 ≤ d0; R = x̄ − ȳ − d0 > zα x̄(1−x̄)
+
n1
n2
q
ȳ(1−ȳ)
H0 : p1 − p2 ≥ d0; R = x̄ − ȳ − d0 < z1−α x̄(1−x̄)
+
n1
n2
Estadı́stica I
Andrés M. Alonso
28
Contrastes en muestras grandes - Ejemplo
Ejemplo 5. La Universidad posee un considerable volumen de ascensores y
elevadores en sus tres campus, cuyo mantenimiento realiza una empresa que
afirma que al menos el 99 % de los dı́as lectivos se encuentran funcionando todos
los ascensores y elevadores. La Universidad ha seleccionado aleatoriamente 41
dı́as lectivos. Sólo en 38 de ellos el funcionamiento de ascensores y elevadores
era total.
a) ¿Es aceptable la hipótesis que afirma la empresa de mantenimiento?
b) La Universidad quiere contrastar si existen diferencias en el porcentaje de
dı́as lectivos con total funcionamiento de ascensores y elevadores entre sus
dos campus más antiguos (G y L) y el campus más moderno (C). De los 41
dı́as estudiados, en 38 dı́as hubo total funcionamiento en G y L, mientras
que en C hubo en 40 dı́as.
Estadı́stica I
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29
a) Sea p la proporción de dı́as que funcionan todos los ascensores de la
H0 : p ≥ 0,99
universidad. Queremos contrastar
H1 : p < 0,99
El estadı́stico de contraste es: Z =
b−p0
qp
p0 (1−p0 )
n
=
38 −0,99
q41
0,99×0,01
41
= −4,06.
Utilizando las tablas podemos acotar el p − valor < 0,001
⇒ ¿?
H 0 : p1 = p2
, donde p1 es la proporción de dı́as
H1 : p1 6= p2
de total funcionamiento en G y L, y p2 lo es en C.
b) Queremos contrastar
El estadı́stico de contraste es: Z =
x̄−ȳ
r
x̄(1−x̄) ȳ(1−ȳ)
n1 + n2
, donde x̄ = pb1 = 38/41 y
ȳ = pb2 = 40/41.
Tenemos que |z| = | − 1,03| y el p − valor = 2 Pr(Z > 1,03) = 2 × 0,1515 =
0,3030. No tenemos evidencia en contra de que ambas proporciones sean
iguales.
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30
Tema 6. Contraste de hipótesis
Conceptos fundamentales: X
• Hipótesis nula y alternativa.
• Errores de tipo I y II.
• Función de potencia de un contraste.
• Nivel de significación.
• Hipótesis unilaterales y bilaterales.
Contrastes para la media y la varianza en poblaciones normales: casos de
una y dos poblaciones. X
Contrastes con muestras grandes. X
Relación entre los intervalos de confianza y los contrastes de hipótesis.
Determinación del tamaño muestral.
Estadı́stica I
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31
Intervalos de confianza y los contrastes de hipótesis
I En la deducción de los contrastes:
H0 : µ = µ0 (σ conocida);
n
o
σ
R = |x̄ − µ0| > zα/2 √n
q 2
2
σ
σ
H0 : µ1 − µ2 ≤ d0 (σ1, σ2 conocidas); R = x̄ − ȳ − d0 > zα n11 + n22
observamos que existı́a una analogı́a con la obtención de los intervalos de
confianza para la media, µ y la diferencia de medias, µ1 − µ2, respectivamente:
q
σ
σ
IC = x̄ − zα/2 √ , x̄ + zα/2 √
y IC = x̄ − ȳ − zα σ12/n + σ22/m, +∞ .
n
n
I Podemos decir que no rechazamos la hipótesis nula a un nivel de significación
α si µ0 y d0 no están en los intervalos de confianza de nivel (1-α) respectivos.
Estadı́stica I
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32
I Esa conclusión no es casual:
Cuando construimos una región de confianza, RC(x1, x2, . . . , xn), para un
parámetro, θ, buscamos que: Prθ (θ ∈ RC(X1, X2, . . . , Xn)) ≥ 1 − α, para
cada θ ∈ Θ.
Cuando construimos un contraste de hipótesis, H0 : θ = θ0, o equivalentemente cuando obtenemos su región de rechazo, RR(θ0), imponemos que:
Prθ0 ((X1, X2, . . . , Xn) ∈ RR(θ0)) ≤ α.
I Entonces,
Conocidas las regiones RR(θ), entonces
RC = {θ ∈ Θ|(x1, x2, . . . , xn) ∈
/ RR(θ)}
es una región de confianza de nivel (1-α) del parámetro.
Recı́procamente, dada la región de confianza RC, entonces
RR = {(x1, x2, . . . , xn)|θ0 ∈
/ RC(X1, X2, . . . , Xn)}
es una región de rechazo de un test con tamaño menor o igual que α.
Estadı́stica I
Andrés M. Alonso
33
Ejemplo 6. Obtener intervalos de confianza de nivel 1 − α a partir de los
siguientes contrastes de hipótesis:
o
n
a) H0 : µ = µ0 (σ conocida); R = |x̄ − µ0| > zα/2 √σn .
b) H0 : µ ≤ µ0 (σ conocida);
o
n
R = x̄ − µ0 > zα √σn .
c) H0 : µ ≥ µ0 (σ conocida);
n
o
R = x̄ − µ0 < z1−α √σn .
Ejemplo 7. Obtener un contraste de hipótesis de nivel α para H0 : σ 2 = σ02,
a partir del siguiente intervalo de confianza:
2
2
(n−1)s
a) I = χ(n−1)s
,
.
2
χ2
n−1;α/2
n−1;1−α/2
Ejercicio: Contrastes para H0 : σ 2 ≤ σ02 y H0 : σ 2 ≥ σ02.
Estadı́stica I
Andrés M. Alonso
34
Tema 6. Contraste de hipótesis
Conceptos fundamentales: X
• Hipótesis nula y alternativa.
• Errores de tipo I y II.
• Función de potencia de un contraste.
• Nivel de significación.
• Hipótesis unilaterales y bilaterales.
Contrastes para la media y la varianza en poblaciones normales: casos de
una y dos poblaciones. X
Contrastes con muestras grandes. X
Relación entre los intervalos de confianza y los contrastes de hipótesis. X
Determinación del tamaño muestral.
Estadı́stica I
Andrés M. Alonso
35
Determinación del tamaño muestral
H0 : µ = µ0
, donde
H1 : µ 6= µ0
µ es la media de una población N (µ, σ 2) con σ conocida.
n
o
Sabemos que R = |x̄ − µ0| > zα/2 √σn define un contraste de tamaño α.
Ejemplo 8. Consideremos el contraste de hipótesis
a) Obtenga la expresión de la función de potencia.
β(µ) = Pr(R|µ) = 1 − Pr − zα/2 +
µ0 −µ
√
σ/ n
<
X̄−µ
√
σ/ n
< zα/2 +
µ0 −µ
√
σ/ n
.
b) ¿Cómo es β(µ) como función de n? ¿De σ 2? ¿De |µ0 − µ|?
Creciente en n.
Decreciente en σ.
Creciente en |µ0 − µ|.
Estadı́stica I
¿β(µ) cuando |µ0 − µ| → 0?
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36
I Dado σ 2 y prefijado el nivel de significación, queremos tener una potencia
mayor o igual que un β % (valores usuales 90 % ó 80 %) cuando las diferencias
entre la media verdadera, µ, y la hipotética, µ0 supere un valor prefijado, d.
µ0 −µ
µ0 −µ
√
√
β(µ) = Pr(R|µ) = 1 − Φ zα/2 + σ/ n + Φ − zα/2 + σ/ n .
1
d
d
d
d
d
0.9
=
=
=
=
=
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
d
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.8
0.7
0.6
0.5
0.4
0.3
n
619
157
71
41
27
0.2
0.1
0
50
100
150
200
250
300
350
400
450
500
Statgraphics
Estadı́stica I
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37
Determinación del tamaño muestral con Statgraphics
I Una población:
Estadı́stica I
Andrés M. Alonso
38
Determinación del tamaño muestral con Statgraphics
I Dos poblaciones independientes:
Estadı́stica I
Andrés M. Alonso
39
Recapitulación
Tema 6. Contraste de hipótesis
Conceptos fundamentales:
•
•
•
•
•
Hipótesis nula y alternativa.
Errores de tipo I y II.
Función de potencia de un contraste.
Nivel de significación.
Hipótesis unilaterales y bilaterales.
W Conceptos clave en
inferencia.
Contrastes para la media y la varianza
en poblaciones normales
Contrastes con muestras grandes.
W Ejemplos de interés
práctico.
Determinación del tamaño muestral.
W ¿Cuando y por qué?
Estadı́stica I
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40
Tema 5. Intervalos de confianza
Definición.
Ejemplos de intervalos de confianza.
Determinación del tamaño muestral.
Tema 6. Contraste de hipótesis
Conceptos fundamentales.
Ejemplos de contrastes de hipótesis.
Determinación del tamaño muestral.
Su validez depende
de las hipótesis asumidas
Tema 7. Diagnosis del modelo
Contrastes de bondad de ajuste.
Transformaciones para conseguir normalidad.
Contraste χ2 de independencia y de homogeneidad.
Estadı́stica I
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