Tema 2 Temperatura y Dilatacion
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1 La temperatura es la medida de la energía cinética media por molécula. Un termómetro infrarrojo capta la energía infrarroja invisible que emiten naturalmente todos los objetos. La radiación infrarroja que proviene del canal de aire del oído pasa por el sistema óptico del termómetro y es convertida en una señal eléctrica proporcional a la energía radiada por esa área. Al calibrar esa señal con temperaturas conocidas puede mostrarse en una pantalla una cantidad digital. Objetivos Cuando termine de estudiar este capítulo el alumno: 1. Demostrará que ha comprendido las escalas de temperatura Celsius, Fahrenheit, Kelvin y Rankine, convirtiendo temperaturas específicas de una escala a sus temperaturas correspondientes en otra. 2. Distinguirá entre temperaturas específicas e intervalos de temperatura, y podrá convertir un intervalo en una escala en su equivalente en otra. 3. Escribirá las fórmulas para la dilatación lineal, la dilatación de área y la dilatación de volumen, y será capaz de aplicarlas para la resolución de problemas de tipo similar. Hemos estudiado el comportamiento de sistemas en reposo y en movimiento. Se expusieron las cantidades fundamentales de masa, longitud y tiempo para describir el estado de un sistema mecánico determinado. Considere, por ejemplo, un bloque de 10 kg que se mueve con una velocidad constante de 20 m/s. Los parámetros masa, longitud y tiempo están presentes y son suficientes para describir el movimiento. Podemos hablar del peso del bloque, de su energía cinética o de su momento o cantidad de movimiento, pero una descripción completa de un sistema requiere algo más que una simple enunciación de esas cantidades. Esto se toma patente cuando nuestro bloque de 10 kg encuentra fuerzas de fricción. Mientras el bloque se desliza hasta frenarse, su energía parece desaparecer, pero el bloque y la superficie que lo soporta están ligeramente más calientes. Academia de Física. Ing. Rafael A. Sánchez Rodríguez. 2 Si la energía se conserva, debemos suponer que la que se ha perdido reaparece en alguna forma que no hemos considerado aún. Cuando la energía desaparece a partir del movimiento visible de los objetos y no vuelve a presentarse en forma de energía potencial visible, con frecuencia notamos que la temperatura se eleva. En este capítulo expondremos el concepto de temperatura como la cuarta cantidad fundamental. Temperatura y energía térmica Hasta ahora nos han interesado únicamente las causas y los efectos del movimiento externo. Un bloque en reposo sobre una mesa se encuentra en equilibrio traslacional y rotacional respecto a sus alrededores. Un estudio más a fondo del bloque revela, sin embargo, que tiene actividad interna. Las moléculas individuales se encuentran unidas por medio de fuerza elásticas análogas (Resortes). Estas moléculas oscilan respecto a sus posiciones de equilibrio, con una frecuencia específica y una amplitud A. Por ende, tanto la energía potencial como la cinética están asociadas con el movimiento molecular. Puesto que esta energía interna se relaciona con lo caliente o lo frío que está un cuerpo recibe el nombre de energía térmica. “La energía térmica representa la energía interna total de un objeto: la suma de sus energías moleculares potencial y cinética.” Cuando dos objetos con diferentes temperaturas se ponen en contacto, se transfiere energía de uno a otro. Suponga que se dejan caer carbones calientes en un recipiente con agua, como se indica en la figura. La energía térmica se transferirá de los carbones al agua hasta que el sistema alcance una condición estable llamada equilibrio térmico. Si los tocamos, tanto el carbón como el agua nos producen sensaciones similares y ya no hay más transferencia de energía térmica. Academia de Física. Ing. Rafael A. Sánchez Rodríguez. 3 Tales cambios en los estados de energía térmica no pueden explicarse satisfactoriamente en simples términos de la mecánica clásica. Por tanto, todos los objetos deben tener una nueva propiedad fundamental que determina si estarán en equilibrio térmico con otros objetos. Esa propiedad se llama temperatura. En nuestro ejemplo, se dice que los carbones y el agua tienen la misma temperatura cuando la transferencia de energía entre ellos es igual a cero. Se dice que dos objetos se encuentran en equilibrio térmico si y sólo si tienen la misma temperatura. Una vez que se establece un medio para medir la temperatura, tenemos una condición necesaria y suficiente para el equilibrio térmico. La transferencia de energía térmica que se debe tan sólo a una diferencia de temperatura se define como calor. “El calor se define como la transferencia de energía térmica debida a una diferencia de temperatura.” Antes de estudiar cómo se mide la temperatura debemos distinguir claramente temperatura de energía térmica. Es posible que dos objetos se hallen en equilibrio térmico (igual temperatura) y que tengan diferente energía térmica. Considere una jarra de agua y una pequeña taza de agua, cada una a 90°C de temperatura. Si se mezclan, no habrá transferencia de energía, pero la energía térmica es mucho mayor en la jarra debido a que contiene mucho mayor número de moléculas. Recuerde que la energía térmica representa la suma de las energías potencial y cinética de todas las moléculas. Si vaciamos el agua de cada recipiente sobre dos bloques de hielo por separado, como se muestra en la figura 16.3, se fundirá más hielo donde se vació el volumen más grande, lo que indica que tenía más energía térmica. La medición de la temperatura En general, la temperatura se determina midiendo cierta cantidad mecánica, óptica o eléctrica que varía con la temperatura. Por ejemplo, la mayor parte de las sustancias se dilatan cuando aumenta su temperatura. Si hay un cambio en cualquier dimensión que demuestre tener correspondencia unívoca con los cambios de temperatura, la variación puede emplearse como calibración para medir la temperatura. Un dispositivo calibrado de esta forma se llama termómetro. La temperatura de otro objeto puede entonces medirse colocando el termómetro en estrecho contacto con el objeto y permitiendo que los dos alcancen el equilibrio térmico. La temperatura indicada por un número en el termómetro graduado corresponde también a la temperatura de los objetos circundantes. Academia de Física. Ing. Rafael A. Sánchez Rodríguez. 4 “Un termómetro es un dispositivo que, mediante una escala graduada, indica su propia temperatura.” Son necesarios dos requisitos para construir un termómetro. El primero es que debe haber una certeza de que alguna propiedad termométrica X varía con la temperatura t. Si la variación es lineal, podemos escribir t = kX Donde k es la constante de proporcionalidad. La propiedad termométrica debe ser tal que se pueda medir fácilmente, por ejemplo, la dilatación de un líquido, la presión de un gas o la resistencia de un circuito eléctrico. Otras cantidades que varían con la temperatura son la energía de radiación, el color de la luz emitida, la presión de vapor y la susceptibilidad magnética. Se han construido termómetros para cada una de estas propiedades termométricas. La selección depende de los límites de temperatura en las que el termómetro es lineal y además de la mecánica de su uso. El segundo requisito para construir un termómetro es establecer una escala de temperaturas. Las primeras escalas de temperatura se basaron en la selección de puntos fijos superiores e inferiores correspondientes a temperaturas adecuadas para medidas de laboratorio. Dos temperaturas convenientes y fácilmente reproducibles se eligen como el punto fijo inferior y superior. “El punto fijo inferior (punto de congelación) es la temperatura a la cual el agua y el hielo coexisten en equilibrio térmico bajo una presión de 1 atm.” “El punto fijo superior (punto de ebullición) es la temperatura a la cual el agua y el vapor coexisten en equilibrio bajo una presión de 1 atm.” Una forma de medir la temperatura, que se usa muy a menudo en el trabajo científico, se originó a partir de una escala desarrollada por el astrónomo sueco Anders Celsius (1701-1744). En la escala Celsius se asignó de forma arbitraria el número 0 al punto de congelación y el número 100 al de ebullición. Así, a la presión atmosférica, hay 100 divisiones entre el punto de congelación y el punto de ebullición del agua. Cada división o unidad de la escala recibe el nombre de grado (°); por ejemplo, con frecuencia se considera que la temperatura ambiente es de 20°C, lo cual se lee como veinte grados Celsius. Otra escala para medir la temperatura fue creada en 1714 por Gabriel Daniel Fahrenheit. El desarrollo de esta escala se basó en la elección de otros puntos fijos: Fahrenheit escogió la temperatura de congelación de una solución de agua salada como su punto fijo inferior y le Academia de Física. Ing. Rafael A. Sánchez Rodríguez. 5 asignó el número y unidad de 0°F. Para el punto fijo superior eligió la temperatura del cuerpo humano. Por alguna razón inexplicable, él designó el número y la unidad 96°F para la temperatura del cuerpo. El hecho de que la temperatura del cuerpo humano sea en realidad de 98.6°F indica que se cometió un error experimental al establecer la escala. Si relacionamos la escala Fahrenheit con los puntos fijos que fueron aceptados universalmente para la escala Celsius, observamos que 0 y 100°C corresponden a 32 y 212°F respectivamente. Es posible comparar las dos escalas calibrando termómetros comunes de mercurio contenido en vidrio. En este tipo de termómetro se aprovecha el hecho de que el mercurio líquido se dilata al aumentar la temperatura. El instrumento consta de un tubo capilar de vidrio al vacío, con un depósito de mercurio en su base y cerrado en su extremo superior. Puesto que el mercurio se dilata más que el tubo de vidrio, la columna de mercurio se eleva en el tubo hasta que el mercurio, el vidrio y sus alrededores están en equilibrio. Suponga que fabricamos dos termómetros sin graduar y los colocamos en una mezcla de hielo y agua, como se indica en la figura 16.4. Después de permitir que las columnas de mercurio se estabilicen, marcamos 0°C en uno de los termómetros y 32°F en el otro. A continuación, colocamos los dos termómetros directamente sobre agua hirviendo, permitiendo que las columnas de mercurio se estabilicen en el punto de vapor. Nuevamente marcamos los dos termómetros, inscribiendo 100°C y 212°F junto al nivel del mercurio por arriba de las marcas correspondientes al punto de congelación. El nivel del mercurio es igual en ambos termómetros. Por tanto, la única diferencia entre los dos termómetros es la forma en que están graduados. Hay 100 divisiones, o grados Celsius (°C), entre el punto de congelación y el punto de vapor en el termómetro Celsius, y hay 180 divisiones, o grados Fahrenheit (°F), en el termómetro Fahrenheit. Por consiguiente, 100 grados Celsius representan el mismo intervalo de temperatura que 180 grados Fahrenheit. Simbólicamente, 100°C = 180°F o 5°C = 9°F El símbolo de grado (°) se coloca después de la C o la F para hacer énfasis en que los números corresponden a intervalos de temperatura y no a temperaturas específicas. En otras palabras, 20°F se lee “veinte grados Fahrenheit” y corresponde a una diferencia entre dos temperaturas en la escala Fahrenheit. El símbolo 20°F, por otra parte, se refiere a una marca específica del termómetro Fahrenheit. Suponga que una sartén con comida caliente se enfría de 98 a 76°F. Estos números corresponden a temperaturas específicas, como lo indica la altura de una columna de mercurio. Sin embargo, representan un intervalo de temperatura de Academia de Física. Ing. Rafael A. Sánchez Rodríguez. 6 ∆t = 98°F - 76°F = 22°F ∆t se usa para denotar un cambio en la temperatura. La física que se ocupa de la transferencia de energía térmica casi siempre se interesa en los cambios de temperatura. Por consiguiente, con frecuencia es necesario convertir un intervalo de temperatura de una escala en un intervalo correspondiente en otra escala, lo que se logra más eficazmente recordando, a partir de la ecuación (16.1), que un intervalo de 5°C equivale a un intervalo de 9°F. Los factores de conversión apropiados pueden escribirse como: Cuando se convierten °F en °C hay que usar el factor de la izquierda; y cuando se convierten °C en °F, hay que usar el de la derecha. Cabe recordar que la ecuación se emplea para intervalos de temperatura, así que sólo puede usarse cuando se trabaja con diferencias en ella. Es, por tanto, una cuestión muy diferente hallar la temperatura en la escala Fahrenheit que corresponda a la misma temperatura en la escala Celsius. A partir de razones y proporciones es posible llegar a una ecuación para convertir temperaturas específicas. Suponga que colocamos dos termómetros en un vaso de precipitado como se muestra en la figura Uno de los termómetros está graduado en grados Fahrenheit y el otro en grados Celsius. Los símbolos t y t denotan la misma temperatura (la del agua), pero están en escalas distintas. Con base en la figura es patente que la diferencia entre tc y 0°C corresponde al mismo intervalo que la diferencia entre t y 32°F. La razón de la primera a las 100 divisiones debe ser la misma que la razón de la segunda a las 180 divisiones; por consiguiente Al simplificar y resolver para tc se obtiene. o bien, al despejar tf. Las dos ecuaciones anteriores no son verdaderas igualdades, ya que resultan en un cambio de unidades. En vez de decir que 20°C es igual a 68°F debemos decir que una temperatura de 20°C corresponde a una de 68°F. Academia de Física. Ing. Rafael A. Sánchez Rodríguez. 7 Ejemplo 1. Durante un periodo de 24 hr. Un riel de acero cambia de temperatura de 20°F por la noche a 70°F al mediodía. Exprese estos límites de temperatura en grados Celsius. Plan: Primero se reconoce que tales límites constituyen un intervalo de temperatura, no una temperatura específica. Luego se determinan esos límites en °F y luego se convierte en °C tras reconocer que un intervalo de 5°C es el mismo intervalo que 9°F. Solución: El intervalo de temperatura en °F es ∆t = 70°F - 20°F = 50°F Para convertir el intervalo a grados Celsius, elegimos el factor de conversión que permite Cancelar las unidades Fahrenheit. O sea, Ejemplo 2. El punto de fusión del plomo es de 330°C. ¿Cuál es la temperatura correspondiente en grados Fahrenheit? Plan: En este caso se tiene una temperatura específica en la escala Celsius, y debemos convertirla en la temperatura correspondiente en la escala Fahrenheit. Primero hallaremos la diferencia de intervalos y luego sumaremos 32°F para compensar la diferencia entre los puntos cero. Solución: Al sustituir los valores en la ecuación se obtiene Es importante reconocer que tF y tc en las ecuaciones representan las temperaturas correspondientes. Los números son diferentes ya que el origen de cada escala era un punto diferente y los grados eran de diferente tamaño. Lo que estas ecuaciones nos dicen es la relación entre los números que están asignados a temperaturas específicas en dos escalas diferentes. Academia de Física. Ing. Rafael A. Sánchez Rodríguez. 8 El termómetro de gas Aunque el termómetro de mercurio en vidrio es el más conocido y usado, no es tan preciso como otros. Además, el mercurio se congela a aproximadamente —40°C, lo que restringe el intervalo en que puede ser usado. Un termómetro muy exacto con un extenso rango de medición se puede construir utilizando las propiedades de un gas. Todos los gases sujetos a calentamiento se dilatan casi de la misma forma. Si la dilatación se evita manteniendo constante el volumen, la presión aumentará proporcionalmente con la temperatura. En general, hay dos tipos de termómetros de gas. Uno de ellos mantiene la presión constante y utiliza el incremento de volumen como indicador. Este tipo se denomina termómetro a presión constante. El otro tipo, llamado termómetro a volumen constante, mide el incremento de presión en función de la temperatura. El termómetro a volumen constante se ilustra en la figura 16.6. El bulbo B contiene gas, y la presión que éste ejerce se mide por medio de un manómetro de mercurio. A medida que aumenta la temperatura del gas, éste se dilata, forzando al mercurio a desplazarse hacia abajo en el extremo cerrado del tubo y a subir en el extremo abierto. Para mantener constante el volumen de gas, el mercurio en el extremo abierto del tubo debe elevarse hasta que el nivel de mercurio en la parte cerrada del tubo coincida con la marca de referencia R. La diferencia entre los dos niveles de mercurio es entonces una indicación de la presión del gas a volumen constante. El instrumento puede calibrarse para realizar mediciones de temperatura con puntos fijos, como ya se explicó en la sección anterior. El mismo aparato puede usarse como un termómetro a presión constante (véase figura). En este caso, se permite que el volumen del gas en el bulbo B aumenta a presión constante. La presión ejercida sobre el gas se mantiene constante a 1 atm, ya sea bajando o subiendo el mercurio del tubo abierto hasta que los niveles del metal coincidan en ambos tubos. El cambio de volumen a causa de la temperatura puede indicarse por medio del nivel de mercurio en el Academia de Física. Ing. Rafael A. Sánchez Rodríguez. 9 tubo cerrado. La calibración consiste en marcar el nivel del mercurio en el punto de congelación y hacer otra marca de su nivel en el punto de vapor. Los termómetros de gas son útiles gracias a que sus límites prácticamente no existen. Por ello, aunado a su precisión, se usan de manera generalizada en laboratorios y en oficinas de normas. Sin embargo, son grandes y estorbosos, lo que los hace inadecuados para gran número de mediciones técnicas delicadas. La escala de temperatura absoluta Tal vez se le ha ocurrido que las escalas Celsius y Fahrenheit tienen una seria limitación. Ni 0°C ni 0°F representan realmente una temperatura de 0. En consecuencia, para temperaturas mucho más bajas que el punto de congelación resulta una temperatura negativa. Más grave aún es el hecho de que una fórmula que incluya la temperatura como variable no funcione con las escalas existentes. Por ejemplo, ya hemos estudiado la dilatación de un gas al aumentar su temperatura. Podemos establecer esta proporcionalidad como V=kt Donde k es la constante de proporcionalidad y t es la temperatura. Ciertamente, el volumen de un gas no es cero a 0°C o negativo a temperaturas negativas, conclusiones que pueden deducirse de las relaciones anteriores. Este ejemplo proporciona una clave para establecer una escala absoluta. Si podemos determinar la temperatura a la que el volumen de un gas bajo presión constante se vuelve cero, podemos determinar el verdadero cero de temperatura. Suponga que usamos un termómetro de gas a presión constante, como el de la figura. El volumen del gas en el bulbo se puede medir cuidadosamente, primero en el punto de congelación y luego en el punto de ebullición. Estos dos puntos pueden marcarse en una gráfica, como en la figura 16.8, con el volumen en la ordenada y la temperatura en la abscisa. Los puntos A y B corresponden al volumen del gas a las temperaturas de 0 y 100°C, respectivamente. Una línea recta que una estos dos puntos y se extienda a izquierda y derecha proporciona una descripción matemática del cambio de volumen en función de la temperatura. Observe que la recta puede prolongarse indefinidamente a la derecha, lo que indica que no hay límite superior para la temperatura. Sin embargo, no podemos extender la recta indefinidamente a la izquierda, porque finalmente intersecará el eje de la temperatura. En este punto teórico, el gas tendría un volumen de cero. Extender la recta aún más indicaría un volumen negativo, lo cual no tiene sentido. Por tanto, el punto en el que Academia de Física. Ing. Rafael A. Sánchez Rodríguez. 10 la recta corta el eje de la temperatura se llama el cero absoluto de temperatura. (En realidad, cualquier gas real se licúa antes de alcanzar ese punto.) Si el experimento anterior se realiza con diferentes gases, la pendiente de las curvas variará ligeramente, pero la intersección en el eje de la temperatura siempre será el mismo, próximo a —273°C. Por medio de procedimientos teóricos y experimentales muy ingeniosos se ha establecido que el cero absoluto de temperatura es —273.15°C. En este texto supondrémos que es —273°C sin temer algún error significativo. La conversión en grados Fahrenheit demuestra que el cero absoluto es igual a —460°F en esa escala. Una escala de temperatura absoluta tiene el cero absoluto de temperatura como su punto cero. Una escala de ese tipo fue propuesta por lord Kelvin (1824-1907). El intervalo en esta escala, el kelvin, ha sido adoptado por el sistema métrico internacional (SI) como la unidad básica para medir la temperatura. El intervalo sobre la escala Kelvin representa el mismo cambio de temperatura que el grado Celsius. Por tanto, un intervalo de 5 K (se lee “cinco kelvins”) es exactamente igual que 5°C. La escala Kelvin se relaciona con la escala Celsius mediante la fórmula Tk= tc + 273 Por ejemplo 0°C corresponderán a 273 K. y 100°C corresponderán a 373 K (véase en la figura 16.9). De ahora en adelante, se reservará el símbolo T para la temperatura absoluta y el símbolo t para otras temperaturas. Academia de Física. Ing. Rafael A. Sánchez Rodríguez. 11 Debido a problemas de reproducibilidad para medir exactamente los puntos de congelación y de ebullición del agua, la Oficina Internacional de Pesos y Medidas estableció una nueva norma en 1954, la cual se basa en el punto triple del agua, que es la única temperatura y presión en la que el agua, el vapor de agua y el hielo coexisten en equilibrio térmico. Este hecho tan útil ocurre a una temperatura de aproximadamente 0.01°C y a una presión de 4.58 mm de mercurio. Para conservar la congruencia con las medidas anteriores, la temperatura del punto triple del agua quedó establecida exactamente en 273.16 K. Por tanto, el kelvin se define actualmente como la fracción 1/273.16 de la temperatura del punto triple del agua. La temperatura en el SI ahora se fija por esta definición, y todas las demás escalas deben redefinirse tomando como base únicamente esta temperatura como patrón. Una segunda escala absoluta, denominada la escala Rankine, sigue empleándose muy limitadamente pese a los esfuerzos de varias organizaciones para eliminarla totalmente. El grado Rankine se incluye en este texto sólo para tener el panorama de este tema. Tiene su punto de cero absoluto a — 460°F, y los intervalos de grado son idénticos al intervalo de grado Fahrenheit. La relación entre la temperatura en grados Rankine (°R) y la temperatura correspondiente en grados Fahrenheit es TR = tF + 460 Recuerde que las ecuaciones se aplican para temperaturas específicas. Si nos interesa un cambio de temperatura o una diferencia en temperatura, el cambio absoluto o la diferencia es la misma en kelvins que en grados Celsius. Es útil recordar que 1 K = 1°C 1°R = 1°F Ejemplo Un termómetro de mercurio y vidrio no puede usarse a temperaturas por debajo de —40°C, ya que ese metal se congela a tal temperatura, (a) ¿Cuál es el punto de congelación del mercurio en la escala Kelvin? (b) ¿Cuál es la diferencia entre esta temperatura y el punto de congelación del agua? Exprese su respuesta en kelvins. Solución (a): Sustituyendo directamente —40°C en la ecuación Tk= tc + 273 nos queda Tk = —40°C + 273 = 233 K Solución (b): La diferencia en los puntos de congelación es Dt = 0°C - (—40°C) = 40°C Puesto que la magnitud del kelvin es idéntica a la del grado Celsius, la diferencia es también de 40 kelvins. En este punto se preguntará por qué se siguen conservando las escalas Celsius y Fahrenheit. Cuando se trabaja con calor, casi siempre lo que interesa son diferencias de temperatura. Academia de Física. Ing. Rafael A. Sánchez Rodríguez. 12 En realidad, una diferencia en temperatura es necesaria para que haya transferencia de calor. Si no fuera así, el sistema estaría en equilibrio térmico. Puesto que las escalas Kelvin y Rankine se basan en los mismos intervalos que las escalas Celsius y Fahrenheit, no hay diferencia en la escala que se use para intervalos de temperatura. Por otra parte, si una fórmula requiere una Temperatura específica más que una diferencia de temperatura, se debe usar la escala absoluta. Academia de Física. Ing. Rafael A. Sánchez Rodríguez. 13 Dilatación lineal El efecto más frecuente producido por cambios de temperatura es un cambio en el tamaño. Con pocas excepciones, todas las sustancias incrementan su tamaño cuando se eleva la temperatura. Los átomos en un sólido se mantienen juntos en un arreglo regular debido a la acción de fuerzas eléctricas. A cualquier temperatura los átomos vibran con cierta frecuencia y amplitud. Amedida que la temperatura aumenta, se incrementa la amplitud (desplazamiento máximo) de las vibraciones atómicas, lo que da por resultado un cambio total en las dimensiones del sólido. Un cambio de un sólido en una dimensión se llama dilatación lineal. Experimentalmente se ha encontrado que un incremento en una sola dimensión, por ejemplo, la longitud de una barra, depende de la dimensión original y del cambio de temperatura. Por ejemplo, considere la barra de la figura. La longitud original es L0 y la temperatura inicial es t0. Cuando se calienta a una temperatura t, la nueva longitud de la barra se indica como L. Por tanto, un cambio en la temperatura, ∆t = t — t0 produce un cambio de longitud, ∆L = L — L0. El cambio de longitud proporcional está dado por donde હ es la constante de proporcionalidad llamada el coeficiente de dilatación lineal. Como un incremento en la temperatura no produce el mismo aumento en la longitud en todos los materiales, el coeficiente a es una propiedad del material. Tras despejar a de la ecuación se obtiene. Academia de Física. Ing. Rafael A. Sánchez Rodríguez. 14 El coeficiente de dilatación lineal de una sustancia puede definirse como el cambio de longitud por unidad de longitud por cada grado que cambia la temperatura. Como la razón ∆L/L0 no tiene dimensiones, las unidades de હ se dan como el inverso de grados o sea, 1/°C o 1/°F. En la tabla se presentan los coeficientes de dilatación de muchos materiales. Ejemplo. Una tubería de hierro tiene 60 m de longitud a temperatura ambiente (20°C). Si se la va a utilizar para conducir vapor, ¿cuál será la tolerancia a la dilatación y qué nueva longitud tendrá la tubería luego de que el vapor haya fluido por ella cierto tiempo? Plan: La temperatura del vapor es de 100°C, de modo que la temperatura de la tubería cambiará de 20 a 100°C, un intervalo de 80°C. El aumento de longitud se determina con la ecuación 1 K = 1°C 1°R = 1°F . Al sumar la cantidad obtenida a la longitud inicial determinaremos la nueva longitud de la tubería después de que el vapor haya pasado por ella. Solución: A partir de la tabla 16.1, sustituimos a hierr0 = 1.2 X 10-5/°C para determinar el incremento en longitud. ∆L = હHierro L0 ∆t = (1.2 X 10-5/°C)(60 m)(80°C); ∆L = 0.0576 m La nueva longitud de la tubería será L0 + ∆L, o bien L = 60 m + 0.0576 m = 60.0576 m Se necesita una tolerancia de 5.76 cm para dar cabida a la dilatación. Por el ejemplo la nueva longitud puede calcularse mediante la relación siguiente: L = L0 + હL0 ∆t Academia de Física. Ing. Rafael A. Sánchez Rodríguez. 15 Recuerde, cuando calcula ∆L, que las unidades de a deben ser congruentes con las de ∆t. La dilatación lineal tiene propiedades tanto útiles como destructivas cuando se aplica a situaciones físicas. Los efectos destructivos hacen que los ingenieros empleen juntas de dilatación o rodamientos para brindar tolerancia a la dilatación y a la contracción. Por otra parte, la dilatación predecible de algunos materiales se utiliza para abrir o cerrar interruptores a ciertas temperaturas. Tales dispositivos se llaman termostatos. Quizá la aplicación más frecuente del principio de dilatación lineal es la banda bimetálica. Este dispositivo, mostrado en la figura. consiste en dos tiras planas de metales diferentes soldadas o remachadas entre sí. Las tiras se funden juntas de tal modo que tengan la misma longitud a una temperatura elegida t0. Si calentamos la banda se origina una elevación en la temperatura, y el material con mayor coeficiente de dilatación se alargará más. Por ejemplo, una tira de latón-hierro formará un arco hacia el lado del hierro. Cuando se retira la fuente de calor, la banda gradualmente retomará a su posición original. Si se enfría la tira por debajo de su temperatura inicial se provocará que la tira se haga arco en la otra dirección. El material con el más alto coeficiente de dilatación también disminuye su longitud más rápido. La tira bimetálica tiene muchas aplicaciones útiles, desde sistemas de control termostático hasta luces intermitentes. Puesto que la dilatación está en proporción directa al aumento de temperatura, la banda bimetálica se puede usar también como termómetro. Dilatación superficial La dilatación lineal no se restringe a la longitud de un sólido. Cualquier recta trazada a través de éste aumenta su longitud por unidad de longitud con una razón dada por su coeficiente de dilatación a. Por ejemplo, en un cilindro sólido, la longitud, el diámetro y la diagonal trazada a Academia de Física. Ing. Rafael A. Sánchez Rodríguez. 16 través del sólido aumentarán sus dimensiones en la misma proporción. En realidad, la dilatación de una superficie es exactamente análoga a una ampliación fotográfica, como se ilustra en la figura 16.12 Observe también que si el material tiene un agujero, el área de éste se dilata en la misma razón que si estuviera relleno de material. Consideremos el área de dilatación de la superficie rectangular de la figura 16.13. Tanto la longitud como el ancho del material se dilatarán en una proporción dada por la ecuación. L = L0 + હL0 ∆t Por tanto, la nueva longitud y el ancho están dados, en forma de factores por Academia de Física. Ing. Rafael A. Sánchez Rodríguez. 17 Ahora podemos deducir una expresión para la dilatación del área determinando el producto de esas dos ecuaciones. Puesto que la magnitud de a es del orden de 10~5, con toda certeza podemos despreciar el término que contiene a હ2. Luego, podemos escribir o bien donde A = LW representa la nueva área y A0 = L0 W0 el área original. Al reordenar los términos se obtiene o bien El coeficiente de dilatación superficial (gama) es aproximadamente el doble del coeficiente de dilatación lineal. Simbólicamente, donde es el cambio en área por unidad inicial de área por cada grado que cambia la temperatura. Con esta definición podemos escribir las fórmulas siguientes para la dilatación superficial Ejemplo Un disco de latón tiene un agujero de 80 mm de diámetro en su centro. Luego, el disco, que tiene 23°C, se coloca en agua hirviente durante algunos minutos. ¿Cuál será el área nueva del agujero? Academia de Física. Ing. Rafael A. Sánchez Rodríguez. 18 Plan: Primero se calcula el área del agujero a 23°C. Luego se determina el aumento del área debido al cambio de temperatura. Recuerde que el coeficiente de dilatación superficial es el doble del valor lineal dado en la tabla de coeficientes de dilatación. Expresaremos el área nueva también en mm2, así que será necesario cambiar las unidades del área. Otro método para resolver el ejemplo 16.5 sería emplear la fórmula de la dilatación lineal para determinar el aumento del diámetro y luego calcular el área nueva a partir del diámetro nuevo. Este método, en realidad, será más exacto, ya que y = 2a es una aproximación en la fórmula de la dilatación superficial. Dilatación volumétrica La dilatación del material calentado es la misma en todas direcciones; por tanto, el volumen de un líquido, gas o sólido tendrá un incremento en volumen predecible al aumentar la temperatura. Razonando de forma semejante a como se hizo en las secciones previas, obtendremos las fórmulas siguientes para la dilatación volumétrica. El símbolo (beta) es el coeficiente de dilatación volumétrica. Representa el cambio en volumen por unidad de volumen por cada grado que cambia la temperatura. Para materiales sólidos es aproximadamente el triple del coeficiente de dilatación lineal. Academia de Física. Ing. Rafael A. Sánchez Rodríguez. 19 Cuando se trabaja con sólidos, podemos obtener /3 a partir de la tabla de coeficientes de dilatación lineal. Los coeficientes de dilatación correspondientes a diferentes líquidos aparecen en la tabla. La separación molecular en el caso de los gases es tan grande que todos ellos se dilatan más o menos en la misma proporción. Ejemplo Un matraz de vidrio Pyrex se llena con 50 cm3 de mercurio a 20°C. ¿Qué volumen se derramará si el sistema se calienta de forma uniforme a una temperatura de 60°C? Consulte la figura. Plan: El volumen interior del matraz es el mismo que el volumen del fluido que contiene (50 cm3). El mercurio tiene un coeficiente de dilatación volumétrica más grande, lo que significa que el derrame equivaldrá a la diferencia entre la dilatación del mercurio ∆Vm y la del vidrio ∆V. Recuerde que v = 3હv. Solución: primero se calcula el cambio de volumen del mercurio Ahora, el cambio de volumen del interior del matraz de vidrio Academia de Física. Ing. Rafael A. Sánchez Rodríguez. 20 El volumen que se derrama resulta de la diferencia entre las dos dilataciones La dilatación anómala del agua Suponga que se llena el bulbo del tubo de la figura 16.15 con agua a 0°C de modo que el estrecho cuello se llene parcialmente. La dilatación o contracción del agua se puede medir fácilmente observando el nivel del agua en el tubo. A medida que se incrementa la temperatura del agua, el agua contenida en el tubo baja gradualmente indicando una contracción. La contracción continúa hasta que la temperatura del bulbo y la del agua son de 4°C. Cuando la temperatura aumenta por arriba de 4°C, el agua cambia de dirección y se eleva en forma continua, indicando la dilatación normal con un incremento de temperatura. Esto significa que el agua tiene su volumen mínimo y su densidad máxima a 4°C. La variación en la densidad del agua con la temperatura se muestra gráficamente en la figura La dilatación irregular del agua. A medida que se aumenta la temperatura del vital líquido de 0 a 8°C, primero se contrae y después se dilata. Si estudiamos la gráfica en la zona de las altas temperaturas, notamos que la densidad aumenta gradualmente hasta un máximo de 1.0 g/cm3 a 4°C. Luego, la densidad decrece de forma gradual hasta que el agua alcanza el punto de congelación. El hielo ocupa un volumen mayor Academia de Física. Ing. Rafael A. Sánchez Rodríguez. 21 que el agua y a veces, cuando se forma, puede causar que se rompan las tuberías de agua si no se toman las debidas precauciones. Variación de la densidad del agua cerca de los 4°C. El mayor volumen del hielo se debe a la forma en que se unen los grupos de molécula en una estructura cristalina. A medida que se funde el hielo, el agua formada aún contiene grupos de moléculas enlazadas en esa estructura cristalina abierta. Cuando estas estructuras empiezan a romperse, las moléculas se mueven muy juntas, aumentando la densidad. Este es el proceso dominante hasta que el agua alcanza una temperatura de 4°C. Desde ese punto hasta altas temperaturas, se produce un aumento en la amplitud de las vibraciones moleculares y el agua se dilata. Una vez más, el alumno principiante puede maravillarse ante el hecho de que la ciencia pueda ser tan exacta. El hecho de que la densidad del agua a 4°C “resulte ser exactamente de 1.00 g/cm3” debe ser en verdad una coincidencia sorprendente. Sin embargo, al igual que las temperaturas del punto de congelación y del punto de ebullición, este resultado es también la consecuencia de una definición. Los científicos que establecieron el sistema métrico definieron el kilogramo como la masa de 1000 cm3 de agua a 4°C. Posteriormente el kilogramo fue redefinido en términos de un cilindro de platino iridiado, que sirve como patrón. Academia de Física. Ing. Rafael A. Sánchez Rodríguez. 22 Estrategia para resolver problemas. 1. Lea el problema detenidamente y después trace un bosquejo, marcando la información proporcionada. Use subíndices cero para distinguir entre los valores iniciales y finales de longitud, área, volumen y temperatura. 2. No confunda temperaturas específicas t con intervalos de temperatura ∆t. La práctica de usar la marca de grado antes y después del símbolo es útil, por ejemplo, 55°C - 22°C = 33°C. 3. Para problemas de dilatación asegúrese de incluir la unidad de temperatura con la constante para evitar multiplicar por el intervalo de temperatura incorrecto. Si el coeficiente es 1/°C, entonces el intervalo ∆t debe estar en grados Celsius. 4. Los coeficientes de dilatación de área y volumen para sólidos pueden determinarse multiplicando por dos o por tres, respectivamente, los valores lineales dados en la tabla 5. Cuando se le pida determinar un valor inicial o final de longitud, área, volumen o temperatura, generalmente es más fácil calcular primero el cambio en ese parámetro y luego resolver el valor inicial o final. Por ejemplo, puede determinar la temperatura final tf calculando primero ∆t y luego sumando o restando para encontrar tf. 6. La dilatación simultánea de diferentes materiales debe ajustarse teniendo en cuenta los diferentes grados de dilatación de cada uno de ellos. Para un líquido que se encuentra dentro de un recipiente sólido, el incremento o decremento neto en volumen es igual a la diferencia en los cambios experimentados por cada material. Academia de Física. Ing. Rafael A. Sánchez Rodríguez. 23 Resumen y repaso Hemos visto que, debido a la existencia de cuatro escalas de temperatura de uso común, las conversiones de temperatura son importantes. También ha estudiado usted un efecto importante de los cambios de temperatura de los materiales: un cambio en sus dimensiones físicas. Los principales conceptos se resumen a continuación. • Existen cuatro escalas de temperatura con las que usted debe estar muy familiarizado. Una comparación de ellas aparece en la figura donde se presentan sus valores para el punto de ebullición, el punto de congelación y el cero absoluto en cada escala. Es importante que distinga entre un intervalo de temperatura ∆t y una temperatura específica t. Ésta es una guía para intervalos de temperatura: Academia de Física. Ing. Rafael A. Sánchez Rodríguez. 24 • Para temperaturas específicas, es necesario corregir la diferencia del intervalo, pero también hay que hacer una corrección por el hecho de que se asignan números distintos a las mismas temperaturas: • Las relaciones siguientes se aplican a la dilatación térmica de sólidos: • En la dilatación volumétrica de un líquido se usa la misma relación que para un sólido salvo, desde luego, que para el líquido no hay coeficiente de dilatación lineal a. Sólo se necesita . Academia de Física. Ing. Rafael A. Sánchez Rodríguez. 25 Cuestionario de repaso Temperatura y Dilatación. 1. Dos trozos de mineral de hierro caliente se dejan caer en un recipiente de agua. El sistema queda aislado y se deja que alcance el equilibrio térmico. ¿Es realmente cierto que el mineral de hierro y el agua tienen la misma energía térmica? ¿Es necesariamente cierto que ambos tienen la misma temperatura? Explique la repuesta. 2. Señale con claridad la diferencia entre energía térmica y temperatura. 3. Si se coloca una flama debajo de un termómetro de mercurio en cristal, la columna de mercurio primero cae y luego se eleva. Explique ese hecho. 4. ¿Qué factores es necesario tomar en cuenta en el diseño de un termómetro sensible? 5. ¿Hasta qué punto es eficaz nuestro sentido del tacto como un medio para juzgar la temperatura? ¿El objeto“más caliente” siempre es el que tiene la temperatura más alta? 6. Si tuviera usted un termómetro sin graduaciones ¿cómo haría para marcarlo en grados Celsius? 7. Una regla de 6 in se dilata 0.0014 in cuando la temperatura se eleva 1°C. ¿Cuánto se dilataría una regla de 6 cm hecha del mismo material, a causa del mismo intervalo de cambio de temperatura? 8. Una varilla de bronce une los lados opuestos de un aro del mismo material. Si el sistema se calienta uniformemente, ¿conservará el aro su forma circular? 9. Una tuerca de bronce se usa con un perno de acero. ¿Cómo resultará afectado el ajuste entre ambos cuando solamente se caliente el perno, si sólo se calienta la tuerca o si los dos se calientan por igual? 10. Una tapa de aluminio se enrosca firmemente en la boca de un frasco de pepinillos a la temperatura ambiente. Después de dejar el frasco de pepinillos uno o dos días dentro de un refrigerador, la tapa no puede quitarse con facilidad. Explique la situación. Sugiera la forma de quitar la tapa con facilidad. ¿Cómo podría haber resuelto el fabricante ese problema? Academia de Física. Ing. Rafael A. Sánchez Rodríguez. 26 11. Describa la dilatación del agua cuando se acerca a 4°C. ¿Por qué la superficie es lo primero que se congela en un lago? ¿Cuál es la temperatura probable en el fondo del lago cuando la superficie está congelada? Problemas de medición de temperatura. 1. La temperatura normal del cuerpo humano es de 98.6°F ¿Cuál es la temperatura correspondiente en la escala Celsius? 2. El punto de ebullición del azufre es de 444.5°C. ¿Cuál es la temperatura correspondiente en la escala Fahrenheit? 3. Un riel de acero se enfría de 70 a 30°C en 1 h. ¿Cuál es la variación de temperatura en grados Fahrenheit en ese mismo lapso? 4. ¿A qué temperatura la escala Celsius y la escala Fahrenheit coinciden en una misma lectura numérica? 5. Un trozo de carbón vegetal que estaba inicialmente a 180°F experimenta una disminución de temperatura de 120°F. Exprese este cambio de temperatura en grados Celsius. ¿Cuál es la temperatura final en la escala Celsius? 6. La acetona hierve a 56.5°C y el nitrógeno líquido hierve a — 196°C. Exprese estas temperaturas específicas en la escala Kelvin. ¿Cuál es la diferencia entre esas temperaturas en la escala Celsius? 7. El punto de ebullición del oxígeno es —297.35°F Exprese esta temperatura en kelvins y en grados Celsius. 8. Si el oxígeno se enfría de 120 a 70°F, ¿cuál es la variación de temperatura en kelvins? 9. Una pared de ladrillo refractario tiene una temperatura interna de 313°F y una temperatura exterior de 73°F. Exprese la diferencia de temperaturas en kelvins. Academia de Física. Ing. Rafael A. Sánchez Rodríguez. 27 10. El oro se funde a 1336 K. ¿Cuál es la temperatura correspondiente en grados Celsius y en grados Fahrenheit? 11. Una muestra de gas se enfría de —120 a — 180°C. Exprese la variación de temperatura en kelvins y en grados Fahrenheit. Problemas Dilatación Lineal, Superficial y Volumetrica 12. Una losa de concreto tiene 20 m de largo. ¿Cuál será el incremento en su longitud si la temperatura cambia de 12 a 30°C? Suponga que a = 9 X 10_6/°C. 13. Un trozo de tubo de cobre tiene 6 m de longitud a 20°C. ¿Qué incremento de longitud tendrá cuando se caliente a 80°C? 14. Una barra de plata tiene 1 ft de longitud a 70°F. ¿Cuánto se incrementará su longitud cuando se introduzca en agua hirviendo (212°F)? 15. El diámetro de un orificio en una placa de acero es de 9 cm cuando la temperatura es de 20°C. ¿Cuál será el diámetro del orificio a 200°C? 16. Una varilla de bronce tiene 2.00 m de longitud a 15°C. ¿A qué temperatura se tendrá que calentar la varilla para que su nueva longitud sea de 2.01 m? 17. Una placa cuadrada de cobre que mide 4 cm por lado a 20°C se calienta hasta 120°C. ¿Cuál es el incremento del área de la placa de cobre? 18. Un orificio circular en una placa de acero tiene un diámetro de 20.0 cm a 27°C. ¿A qué temperatura se tendrá que calentar la placa para que el área del orificio sea de 314 cm2? 19. ¿Cuál es el incremento de volumen en 16.0 litros de alcohol etñico cuando la temperatura se incrementa en 30°C? 20. Un matraz Pyrex tiene un volumen interior de 600 mi a 20°C. ¿A qué temperatura el volumen interior será de 603 mi? Academia de Física. Ing. Rafael A. Sánchez Rodríguez. 28 21. Si 200 cm3 de benceno llenan exactamente una taza de aluminio a 40°C y el sistema se enfría a 18°C, ¿cuánto benceno (a 18°C) puede agregarse a la taza sin que se derrame? 22. Un vaso de laboratorio Pyrex se llena hasta el borde con 200 cm3 de mercurio a 20°C. ¿Cuánto mercurio se derramará si la temperatura del sistema se eleva a 68°C? Academia de Física. Ing. Rafael A. Sánchez Rodríguez.
