4-Distribuciones de funciones de variables aleatorias

4‐Distribuciones de funciones de variables aleatorias
Edgar Acuna
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Sea X una variable aleatoria . Sea H una funcion de valor real y consideremos la variable aleatoria Y=H(X). Si X es una variable aleatoria con funcion de probabilidad pX(x) o funcion de densidad fX(x) entonces se desea hallar la funcion
de probabilidad pY(y) o funcion de densidad fY(y) de Y.
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4.1 Caso I: Ambas variables aleatorias discretas
Sea X una variable aleatoria discreta con funcion de probabilidad pX(x). Sea Y=H(X) entonces,
pY ( y ) = ∑ p X ( x )
x:H ( x ) = y
Ejemplo 4.1. Suponga que la variable X asume los valores ‐1, 0 y 1 con probabilidades 1/3, ½ y 1/6 respectivamente. Hallar la funcion de probabilidad de
a) Y=3X+1
b) Y=X2
Solucion:
a) El rango de valores de Y es Ry={‐2,1,4} pY(‐2)=1/3, pY(1)=1/2 y pY(4)=1/6.
b) El rango de valores de Y es RY={0,1} con Py(0)=1/2 y pY(1)=1/3+1/6=1/2
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4.2 Caso II: X continua y Y discreta
Suponga que X es una variable aleatoria continua con funcion de densidad fX(x) que
asume cualquier valor real y sea Y una variable discreta que asume el valor 1 si X>=0 y ‐1 is X<0.
P(Y = −1) = P( X < 0) =
∫ f (x)dx
x<0
P(Y = 1) = P( X ≥ 0) =
∫ f ( x)dx
x≥0
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4.3 Caso III: Ambas variables aleatorias
continuas
Sea X una variable aleatoria continua con funcion de densidad fX(x) y sea Y=H(X) una
variable aleatoria funcion de X , entonces la densidad de Y esta dada por
fY ( y ) =
∫f
X
{ x:H ( x ) = y }
( x ) dx
FY ( y ) = P[Y ≤ y ] = P[ H ( X ) ≤ y ] =
∫f
X
{ x: H ( x ) ≤ y }
( x ) dx
Una vez que se encuentra una expresion para la acumulada de Y se deriva con respecto a Y y se obtiene la funcion de densidad.
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Ejemplo 4.2
Sea X que tiene funcion de densidad f(x)=2x si 0<x<1 y f(x)=0 en otro caso. Hallar la funcion de densidad de
a) Y=3X+1
b) Y=e‐X
Solucion:
a)FY(y)=P[Y<=y]=P[3X+1<=y]=P[X<=(y‐1)/3]=
( y −1) / 3
∫
0
2 ( y −1) / 3
0
2 xdx = x |
( y −1)2
=
, si 1 < y < 4
9
Derivando se obtiene,
fY(y)=2(y‐1)/9 si 1<y<4
b) FY(y)=P[Y<=y]=P[e‐X<=y]=P[‐X<=ln(y)]=P[X>=‐ln(y)]=1‐ln2(y) si e‐1<y<1
Derivando se obtiene,
fY(y)=‐2ln(y)/y si e‐1<y<1
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Si H es monotona creciente para a<X<b, entonces H es invertible y lo anterior se puede escribir como
FY ( y ) = P[ X ≤ H −1 ( y )] = FX ( H −1 ( y ))
Asumiendo que H es derivable y derivando ambos miembros con respecto a y se obtiene
dH−1( y)
fY ( y) = f X (H ( y))
dy
−1
Si H(a)<y<H(b)
−1
−1
Si H es decreciente, entonces FY ( y ) = P[ X ≥ H ( y )] = 1 − FX ( H ( y ))
Y derivando ambos miembros con respecto a y se obtiene
dH−1( y)
fY ( y) = − f X (H ( y))
dy
−1
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Si H(b)<y<H(a)
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Ejemplo 4.3
En el ejemplo 4.2 a) H(x)=3x+1, H es creciente en 0<x<1, y la inversa es x=H‐1(y)=(y‐
1)/3. Asi que dH‐1(y)/dy=1/3. En tanto que fX(H‐1(y))=2(y‐1)/3. Luego, fY(y)=2(y‐1)/9 para 0<y<4.
En 4.2b) la funcion H(x)=e‐x es decreciente en 0<x<1, y la inversa es x=H‐1(y=‐ln(y). Asi que, dH‐1(y)/dy=‐1/y. En tanto que fX(H‐1(y))=‐2ln(y)
Luego, fY(y)=‐(‐2ln(y))(‐1/y)=‐2ln(y)/y para e‐1<y<1
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Funcion de densidad de Y=X2
Sea X una funcion de densidad fX(x) definida en (‐a,a) . Entonces la funcion de densidad fY(y) de Y=X2 esta dada por
f Y( y ) =
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1
2
y
[ fX (
y ) + f X (−
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y )]
0<y<a2
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Ejemplo 4.5
Si X es N(0,1) hallar la funcion de densidad de Y=X2
f X ( x) =
e
− x2 / 2
2π
Luego,
fY ( y ) =
1
2
e− y/2 e− y/2
y −1 / 2 e − y / 2
+
[
]=
y
2π
2π
2π
Esta funcion de densidad corresponde a la densidad de una Chi‐
Cuadrado con 1 grado de libertad. Luego Y ~ χ (21 )
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