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EL FACTOR COMÚN
CONCEPTO 1: ¿QUÉ ES “SACAR FACTOR COMÚN”?
Para saber qué hacer primero tenemos que saber qué significa eso. Empecemos por el final, que es
más divertido.
“Común”: Que algo es igual, que algo lo tienen y lo comparten todos. Es posible que, el polinomio
al que nos enfrentemos tenga en todos los sumandos algo que se repite. Esto se puede ver muy
fácilmente con las “x”. Mirad el polinomio 1 del ejercicio de pruebas. Todos tienen, al menos, x 2
, así que eso es algo que comparten los sumandos.
“Sacar factor”: Eso que hemos encontrado, que es común a todos, tenemos que quitárselo. No me
vengáis ahora conque es inhumano, que no hay que robar, que se quedan sin comida... las
matemáticas y sus elementos son abstractos, no sufren. Vosotros sí que sufrís si suspendéis pero a
ellas les da igual.
Pero no hay que quitárselos de cualquier manera, hay que sacarlo y ponerlo en forma de factor.
¿Qué es un factor? A grosso modo
a⋅b
a⋅(b+c )
“a” es un factor de “b” porque está multiplicando a b (y por lo tanto “b” es un factor de “a”). En el
otro caso, “a” es un factor del conjunto “b+c”.
Resumen: Hay que localizar si hay algo común a todos los sumandos y, después, ponerlo “fuera”
en forma de factor.
CONCEPTO 2: ¿Y CÓMO HAGO YO ESO?
Vamos a resolver los tres ejercicios de arriba, en donde están depositadas todas las posibles dudas (o
al menos, eso piensa servidor). [NOTA: Es conveniente hacerlo a la vez que se lee siguiendo los
pasos, sino es muy difícil entender algo. También es conveniente hacerlos en orden.]
EJERCICIO 1:
4
3
2x + x +5x
2
Vamos a realizar todos los ejercicios siguiendo una serie de pasos
PASO 1: DESCOMPONER BIEN CADA SUMANDO
Me refiero, principalmente a diferenciar bien los factores internos de cada sumando y descomponer
los números en factores primos.
En este primer ejercicio no hace falta hacer nada, ya que 2 y 5 son primos.
PASO 2: VER QUÉ ES COMÚN
Es decir, que comparten todos. Observamos que todos los factores tienen al menos una x. Luego x
es factor común. Pero no debemos acabar ahí, hay que fijarse en los exponentes. Si observamos,
todos al menos tienen x 2
2x 2 [ x2 ]+ x [ x 2 ]+5 [ x2 ]
PASO 3: SACARLO COMO FACTOR.
Aquí surgen algunas dudas, pero vamos a aclararlas ya. En realidad no estamos sacando nada... sólo
estamos haciendo el timo de la estampita. Me llevo lo que es igual y a cambio les pongo un 1. Sí, es
un timo, pero si no no nos dejan el x 2 , lo que es común.
2
x ⋅( ALGO)
¿Cómo pongo ese algo? Pues mira el paso anterior y, todo lo que haya entre corchetes (que es “lo
común” lo voy a cambiar por un 1.
2
2
x ⋅(2x ⋅1+ x⋅1+5⋅1)
Ahora toca responder algunas preguntas. ¿Cuánto es 3 por 1? Aaamh... ¿Y 2 por 1? Mmmm... sí,
vas bien... ¿Y si es “Paca” por 1? ¡Exacto! Cualquier cosa que se multiplique por 1 es igual, luego
realmente el 1 no hace falta ponerlo en estos casos que vemos.
4
6
2x +6x +8x
EJERCICIO 2:
5
Realicemos todos esos pasos que os he enseñado antes.
PASO 1: DESCOMPONER BIEN ESE SUMANDO
Aquí por ejemplo sí nos conviene descomponer en factores primos el 6 y el 8.
4
6
3
2x +2⋅3 x +2 x
5
PASO 2: VER QUÉ ES COMÚN.
Aquí observamos que todos tienen x, así que nos tenemos que fijar en el exponente. Todos al menos
la tienen elevado a 4. Luego por esta parte x 4 . Ahora también observamos que todos tienen un 2.
Fijémonos mejor y veamos sus exponentes y observamos que no todos tienen más de 1 como
exponentes, luego simplemente el 2 es común.
[2][ x4 ]+[ 2]⋅3 [ x 4 ] x 2 +[2] 22 [ x 4 ] x
PASO 3: SACARLO COMO FACTOR.
Lo que está como corchetes es el factor común. Ya sabemos lo que hacer... ¡El jueguecito del 1!
4
2
2
2x (1⋅1+1⋅3⋅1 x +1⋅2 ⋅1⋅x )
Aquí podemos eliminar todos los 1... menos los del primer sumando. ¿Por qué? ¡Porque sólo están
ellos! Si los quitamos no quedaría nada, quedaría cero. Y eso no puede ser así porque si ahora
quiero meter el factor común de nuevo... ¿Recordáis qué pasa cuando algo se multiplica por cero?
Desaparece...
Pero bueno, la solución sería así:
2x 4 (1+3x 2+22 x)
5
2
3
−(x−1) x ( x−1) (x−1)
EJERCICIO Nº 3:
−
−
2
6
24
Este tiene pinta de más complicado... Pero siguiendo los tres pasos y aplicando los conceptos es tan
“chuminá” como los anteriores.
PASO 1: DESCOMPONER BIEN CADA SUMANDO.
Es quizás el paso más largo, aquí hay varias cosas que no nos gustan:
A) Para empezar, vamos a descomponer esos números para que sean primos
−( x−1)5 x 2(x −1)3 ( x−1)
−
− 3
2
2⋅3
2 ⋅3
B) Vamos a escribir esto de otra manera. Las fracciones en realidad “se pueden separar”. Por
ejemplo
a
1
=a⋅
b
b
y también
a
1 1
=a⋅ ⋅
b⋅c
b c
Eso es lo que quiero yo, que se ponga de esa manera, así todo será mucho más fácil de identificar
después como común y no común.
1
1 1
1 1
−( x−1)5⋅ − x 2 (x−1)3⋅ ⋅ − (x−1)⋅ 3⋅
2
2 3
2 3
También vemos otro detalle y es que todos los sumandos en realidad “restan”, desde el primero
hasta el último. Este es un caso excepcional pero nos vale para saber que cuando esto pasa, los “-”
los convertiremos en “-1” y así ya no hace falta que resten, sino que sumarán.
1
1 1
1 1
(−1)⋅( x−1)5⋅ + (−1)⋅x 2( x −1)3⋅ ⋅ + (−1)⋅( x−1)⋅ 3⋅
2
2 3
2 3
PASO 2: VER QUÉ ES COMÚN
Todos tienen un (-1), también tienen todos un (x-1), pero hay que coger el que tiene menor
1
exponente y después también observamos que todos tienen
. Así que ya sabemos qué hacer
2
1
1 1
1 1 1
[(−1) ]⋅[( x−1)]⋅(x −1)4⋅[ ] + [(−1) ]⋅x2 [( x−1) ]⋅( x−1)2⋅[ ]⋅ + [(−1)]⋅[( x−1) ]⋅[ ]⋅ 2⋅
2
2 3
2 2 3
Luego ya sólo tenemos que hacer el...
PASO 3: SACARLO COMO FACTOR
Y hacer el “Timo de la estampita”. Una pequeña anotación: una vez sacado el -1, ya lo podemos
poner fuera como “-” simplemente.
x2 ( x−1)2 1 1
1
Sol :[−( x−1)⋅ ]⋅(( x−1)4 +
+ 2⋅ )
2
3
2 3
Si observas la solución que pusimos en el blog, te darás cuenta que las fracciones han vuelto al
denominador. Se puede hacer y, de hecho, es conveniente hacerlo. Aquí lo he dejado marcado por
motivos didácticos.