cartilla matematica 2ªaño

CENTRO EDUCATIVO Nº 5 “SEANADOR ALFREDO BERTÍN”
CARTILLA DE
“MATEMÁTICA
SEGUNDO AÑO”
Responsable área de matemática de primer año
Profesora: Silvia, Zeballos
Segundo A
Profesora : Alejandra Pina
Segundo B
1
NÚMEROS ENTEROS
En el diario se indican las temperaturas mínimas pronosticadas para distintas ciudades
con el dibujo de termómetros graduados en grados centígrados °C
Dibujen los termómetros que muestran las temperaturas medias del mes de enero, para
cada una de las ciudades que se indican en la tabla
Ordenar las temperaturas de la tabla de mayor a menor
Ciudad
temperatura media
Boston
1 °C bajo cero
Toronto
4 °C bajo cero
S.Francisco
8 °C sobre cero
Quito
12 °C sobre cero
Denver
2 °C bajo cero
México
13 °C sobre cero
Loma Azul, ciudad cabecera del partido del mismo nombre, se encuentre sobre la ruta
provincial 23. Las vías de ferrocarril, que cruzan la ruta a la altura de Loma Azul, marcan
la división entre la parte oeste y este de dicho partido.
Las Lilas
Piedras
35 Km
20 Km
Toldo
20 Km
Loma Azul
0 Km
15 Km
Pico Verde
Puente
25Km
Si Loma Azul es el punto de partida, podrías indicar en lenguaje matemático las distancias
hacia la dirección este y oeste?
*Cuando utilizamos conceptos tales como: arriba, abajo, antes, después, a la derecha, a
la izquierda, debe establecerse una referencia a partir de la cual se está arriba o abajo,
antes o después.
Son puntos de referencia, por ejemplo, el nivel del mar, la planta baja de un edificio, cero
grado de temperatura, el kilómetro cero de una ruta.
Si un número está precedido por un signo +, es mayor que cero y es un número natural o
entero positivo.
Si está precedido por un signo -, es menor que cero y es u n número entero negativo.
El cero es un número entero que no es positivo ni negativo.
El conjunto de los números enteros está formado por los números naturales o
enteros positivos, los enteros negativos y el 0.
2
Asignen a cada momento el número entero correspondiente
20 segundos antes del despegue
7 segundos después del despegue
El momento del despegue
Alejandro Magno murió 323 años a.C
El Aconcagua está 6.959 m sobre el nivel del mar.
En la Antártida se registran temperaturas de hasta 60 °C bajo cero.
La empresa tiene una pérdida de $5.430.
El ascensor se encuentra en el quinto subsuelo.
Un buzo está a 230 m de profundidad.
El alcohol se solidifica a 110°C bajo cero.
El Titanic está hundido a una profundidad de 4.000 m.
En el desierto las temperaturas llegan a 60°C.
El punto de ebullición del agua es de 100 °C.
Debo $25 en la perfumería.
Recta numérica, orden y valor absoluto
En la recta numérica se representan los números naturales, el cero y los números enteros
negativos.
-4
-3
-2
-1
0
+1
+2
+3
+4
+5
La distancia entre cualquier número entero y el cero se denomina valor absoluto o
módulo.
Ubiquen en la recta numérica: -2, 7, 9, -3, 5, -8, -10, 10
Indica los números siguientes y anteriores a los números dados.
3
Suma y resta de números enteros
A las 4 de la mañana la temperatura era de -3 °C. Ha subido 7 °C. Qué temperatura hay
ahora?
4
3
2
1
0 -1
-2
-3
-3 +7 = +4
Resuelvan las siguientes situaciones. Dibujen rectas numéricas que les ayuden en la
resolución.
-Si estás en el sótano 2 y bajás 2 pisos. En qué piso te encuentras ahora?
-Gabriel pierde primero 5$ y luego 10 $.
-Carlos avanza 15 pasos a la derecha y luego 6 pasos a la izquierda.
-A Cristina que debe a su hermano 200 $, le regalan 300$
-En la ciudad de Junín, la temperatura subió 3 °C y bajó por la tarde 10 °C, Cuál ha sido la
variación de la temperatura a lo largo del día?
-José está a 7 km de la meta y retrocede 5 km. En qué km se encuentra?
-Elvira está buceando a 3m bajo el nivel del mar y desciende 4 m. En dónde se encontrará
ahora?
-Cleopatra nació el año 68 a.C y vivió 38 años, En qué año murió?
*El nivel del agua, hace un año, en una presa era de 20 metros, pero ha ido sufriendo las
variaciones siguientes: sube 15 cm, baja 13 cm, sube 2cm, baja 7 cm, y baja 12 cm. Cuál
será el nivel actual?
*Matilde fue al banco y solicitó el saldo de su cuenta de ahorros. Le informaron que dicho
saldo es de $ 1258 y también le suministraron el detalle de sus movimientos en el último
mes: depositó $250, extrajo $300, le cobraron el impuesto inmobiliario por $47, le
cobraron $5 por mantenimiento de cuenta y obtuvo $3 de interés. Cuál era su saldo hace
un mes?
*Juan entregó las tarjetas de invitación de su cumpleaños a cinco amigos que viven sobre
la misma calle. Pero no organizó su recorrido sino que partió de su casa hacia el oeste y
caminó 30 metros, luego regresó 10 metros, caminó nuevamente hacia el oeste 60 metros
más, continuó avanzando 100 metros y regresó 120 hacia su casa. Cuáles fueron los
recorridos positivos y cuáles los negativos? A cuántos metros de su casa se encontraba
cuando entregó la última tarjeta?
*Calculen agrupando los positivos por un lado y los negativos por otro
3-2+5-6+4-7+2+1+1-3-2=
4
Suma algebraica se denomina a una sucesión de sumas y restas
Se suman los términos que suman y se resta a la suma los términos que restan. Se
resuelve.
5+3+2-7+4-8-10 = +(5+3+2+4) – (7+8+10) = +14 – 25= -9
Regla práctica para sumar y restar cuando hay paréntesis
Eliminar los paréntesis y luego operar
Si el signo que precede al paréntesis es +, el signo de los números encerrados entre los
paréntesis no cambia
Si el signo que precede al paréntesis es -, el signo de los números encerrados entre los
paréntesis cambia
+(no cambian los signos de los números)
-(si cambian los signos de los números)
Resolver
3+5+2-6+3-12-10=
-8-2-6+14+5-10=
-5+(-2-5+4)-8-(3-6)-(-10)=
10+(-20+15-30)-(15+25-35)-(10)=
Multiplicación y división de números enteros
Para multiplicar o dividir números enteros hay que tener en cuenta los signos de cada uno
de los factores y aplicar la regla de los signos
+.+=+
+.-=-.+=-.-=+
(+2).(-3)=-6
+:+=+
+:-=-:+=-:-=+
(-5).(+2)=-10
(+10).(+3)=+30
(-3).(-5)=-15
Todo número multiplicado por 0 da por resultado 0.
Todo número multiplicado o dividido por 1 da por resultado el mismo número.
Todo número multiplicado o dividido por -1 da por resultado el opuesto del número.
El cociente entre dos números iguales siempre es 1.
El cociente entre dos números opuestos siempre es -1
5
Marquen Verdadero o Falso, según corresponda
(+3).(-5)=(-3).(+5)
(+2).(+2)= (-2).(-2)
(-20): (-10)=(+20): (-10)
(-25): (+5)= (+25): (+5)
(-1).(-1).(-1)=(-1).(+1).(+1)
(-2).(+2).(-2)=(+2).(-2).(+2)
(-3).(-3).(-3)=(+3).(+3).(+3)
(+2).(+6): (-3)=(-2).(+6): (+3)
Propiedad distributiva de la multiplicación y la división
3 cm
4cm
2 cm
7 cm
Podemos calcular el área del rectángulo BxA= 7cm x 2 cm = 14 cm2
O calcular por separado el área amarilla y verde y luego sumarlas
3 cm x 2 cm + 4 cm x 2 cm = 6 cm2 + 8 cm2 = 14 cm2
La multiplicación es distributiva respecto de la suma y de la resta
Analiza la propiedad distributiva de la división
(15 + 25) : 5 = 15 : 5 + 25 : 5
40
:5= 3
+ 5
8
= 8
(18 – 6) : 3 = 18 : 3 – 6 : 3
(12) : 3 = 6 - 2
4 = 4
Se cumple
20 : (5 + 5) ≠ 20 : 5 + 20 : 5
20 : (10)
2
≠
≠
4
+ 4
8
No se cumple
La propiedad distributiva de la división respecto de la suma y de la resta se cumple sólo a la
derecha
6
Resuelvan
(6+5). 2=
(-7). (3-5)=
(21+6):3=
(42-12): (-6)=
Expresen las siguientes sumas y restas como un cociente, utilizando la propiedad distributiva
36+20= 4.(9+5)= (9+5).4
24+40=
.(
+
)
27-45=
.(
+
)
4+12= (
+
).
-14+21=
.(
+
)
Expresen las siguientes sumas como un cociente, utilizando la propiedad distributiva
3+5= (15+25):5
1+3=(
+
7-4= (
5+2= (
8-5= (
+
-4-6= (
+
):
):
):
):
):
Operaciones combinadas I
Un empleado de comercio debe completar la factura y colocar su importe total. Lo puedes
ayudar?
El cliente compró 5 libros de matemática a $103 cada uno, 7 libros de lengua a $72 c/u, 6 libros de
ciencia naturales a $124 c/u, 4 libros de cs. Sociales c/u, y 3 diccionario a $30 c/u, se le hace un
descuento de $2 por cada libro por pago al contado.
Para resolver un cálculo combinado debe respetarse el orden de resolución de las operaciones:
1. Deben resolverse las multiplicaciones y divisiones (SEPARAR EN TÉRMINOS)
2. Luego las sumas y restas
Resolver
40:20- 3.5+ 8:4+ 1=
-18:3+ 4.5 -36:12=
3- 14:7 -5.4- 9:3=
5.(-3)+ 4.(-2)- (-5)+(-8):4=
5.(-7+3)- 12: (-4)+ 20: (1-6)=
3-(4.2- 5.3)+ (-6+3).2=
7
Potenciación de números enteros
La potenciación es una forma abreviada de escribir una multiplicación de factores iguales
an= a.a.a.a.a…..(n veces)
32= 3.3= 9
a es la base, n es el exponente
Todo número, distinto de cero, elevado al exponente cero es igual a uno
1080= 1
Resuelva
72=
33=
(-2) 2 =
(-2) 3 =
(-3) 4 =
(-2) 5 =
Si el exponente es un número par, el resultado de la potencia es un número positivo
Si el exponente es un número impar, el resultado de la potencia es un número negativo
Observa!!
(-5) 2 = -5 2 da el mismo resultado?
Resolver
(-2) 6 =
-3 2 =
-5 3 =
(-2) 0 =
(-3) 4 =
Propiedades de la potenciación
La potenciación cumple con algunas propiedades que te permiten llegar al resultado de una manera más
sencilla:
Producto de potencias de igual base
2 3 . 2 2 = 2.2.2. 2.2 = 2 5 = 2 3+2 = 32
El producto de dos potencias de igual base es otra potencia de la misma base, cuyo
exponente es la suma de los exponentes dados.
Cociente de potencias de igual base
2 5 : 2 3 = 2 5 = 2.2.2.2.2 = 2 2 = 2 5-3 = 4
23
2.2.2
El cociente de dos potencias de igual base es otra potencia de la misma base, cuyo
exponente es la resta de los exponentes dados.
8
Potencia de otra potencia
( 2 3) 2 = (2.2.2) 2 = 2.2.2.2.2.2 = 2 6 = 2 3.2 = 64
La potencia de una potencia es otra de igual base, cuyo exponente es igual al producto
de los exponentes dados.
Propiedad distributiva
(3.2) 2 = 3 2. 2 2
62
= 9.4
36
= 36
(10 : 2 ) 3 = 10 3 : 2 3
53
= 1000 : 8
125
= 125
La potenciación es distributiva respecto a la multiplicación y la división.
(2+5) 2
72
49
= 2 2+ 5 2
= 4 + 25
=
29
(4-2) 3 = 4 3 - 2 3
23
= 64 – 8
8
=
56
La potenciación no es distributiva respecto de la suma y la resta.
Resolver aplicando la propiedad correspondiente en cada caso
3 2. 3 =
45:42=
(2 2 )2 =
(5 . 3)2=
(4 : 2) 3 =
(-4)2 =
(2 2. 2 )2 =
(2.3) 2 =
(4 . 2 )3 =
(2 7 : 2 5 )3 =
(4 3.4.4) : (4 2. 4) =
(5 4 )2 : (5 2 )3 =
(2 4 )2 : (2 6 )0 =
(2 4 . 4 2 )3 : ( 2 6. 4 2 )2 =
Potencias de base 10
Cualquier potencia de base 10 es igual a la unidad seguida de la cantidad de CEROS que indique el
exponente.
102
=
10 x 10
=
100
seguido de dos ceros
103
=
10 x 10 x 10
=
1000
seguido de tres ceros
104
=
10 x 10 x 10 x 10
=
10000
seguido de cuatro ceros
105
=
10 x 10 x 10 x 10 x 10
=
100000
seguido de cinco ceros
106
=
10 x 10 x 10 x 10 x 10 x 10
=
1000000
seguido de seis ceros
9
Notación Científica
Las cifras de números enteros muy grandes, o las decimales extremadamente pequeñas, se
representan en forma más simplificada.
Podemos decir que la velocidad de la luz es de trescientos millones de metros por segundo, o
también de 300 000 000 m/seg .
Si hablamos de grandes cantidades de bytes, se puede decir que la capacidad de almacenamiento
de datos de una gran computadora es de 500 Terabytes, o sea, una cantidad equivalente a
500 000 000 000 000 bytes.
La distancia a los confines observables del universo es 4,6×1026 m y la masa de un protón es
1,67×10-27kg. Si nos referimos a la longitud de onda de los rayos cósmicos, se podría decir que su
medida es inferior a 0,000000000000001 metros.
Sin embargo, en los textos científicos o técnicos las cifras no aparecen escritas de forma tan
grandes, sino más bien simplificadas, utilizando un procedimiento matemático denominado
“notación científica”.
“La velocidad de la luz es de 3 x 108 m/seg ...”.
“La capacidad de almacenamiento de datos de la gran computadora es de 5 x 1014 bytes ...”
y “la longitud de onda de los rayos cósmicos es inferior a 1 x 10-14 metros...”
Veamos ahora una tabla donde aparecen expuestos diferentes valores numéricos, sus
equivalentes en notación científica y la representación numérica de cada uno:
Valor numérico
Representación en
Notación Científica
Representación numérica
Miltrillonésima
10-21
0,000000000000000000001= 1/1021
Trillonésima
10-18
0,000000000000000001= 1/1018
Milbillonésima
10-15
0,000000000000001= 1/1015
Billonésima
10-12
0,000000000001= 1/1012
Milmillonésima
10-9
0,000000001= 1/109
Millonésima
10-6
0,000001= 1/106
Milésima
10-3
0,001= 1/103
Centésima
10-2
0,01= 1/102
Décima
10-1
0,1= 1/101
Uno
Diez
Cien
Mil
Millón
Mil millones
Billón *
Mil billones
Trillón
Mil trillones
1
1
1
10
2
100
3
1 000
6
1 000 000
9
1 000 000 000
12
1 000 000 000 000
15
1 000 000 000 000 000
18
1 000 000 000 000 000 000
21
1 000 000 000 000 000 000 000
10
10
10
10
10
10
10
10
10
10
Operaciones matemáticas con notación científica
Suma y resta
Siempre que las potencias de 10 sean las mismas, se deben sumar los coeficientes (o
restar si se trata de una resta), dejando la potencia de 10 con el mismo grado. En caso de
que no tengan el mismo exponente, debe convertirse el coeficiente, multiplicándolo o
dividiéndolo por 10 tantas veces como se necesite para obtener el mismo exponente.
2×105 + 3×105 = 5×105
Ejemplo:
3×105 - 0.2×105 = 2.8×105
2×104 + 3 ×105 - 6 ×103 = (tomamos el exponente 5 como referencia)
= 0,2 × 105 + 3 × 105 - 0,06 ×105 = 3,14 ×105
Multiplicación
Para multiplicar cantidades escritas en notación científica se multiplican los coeficientes y
se suman los exponentes.
Ejemplo:
(4×1012)×(2×105) =8×1017
División
Para dividir cantidades escritas en notación científica se dividen los coeficientes y se
restan los exponentes.
Ejemplo: (48×10-10)/(12×101) = 4×10-11
Potenciación
Se eleva el coeficiente a la potencia y se multiplican los exponentes.
Ejemplo:
(3×106)2 = 9×1012.
Radicación
Se debe extraer la raíz del coeficiente y se divide el exponente por el índice de la raíz.
Ejemplos:
11
Exponente negativo
Cuando tenemos un exponente negativo hay que INVERTIR LA BASE para pasar a
exponente positivo.
Por ejemplo:
y
Ejercicios de potencias negativas
12
Radicación de números enteros
Para todo número n natural, a y b reales positivos, se tiene la equivalencia:
Ѵ36= 6
3
Ѵ64= 4
5
Ѵ32= 2
4
Ѵ81 = 3
porque
porque
porque
porque
62 = 36
43 = 64
25 = 32
34 = 81
se lee raíz cuadrada
se lee raíz cúbica
se lee raíz quinta
se lee raíz cuarta
Cuando el índice de una raíz es 2, no se escribe, y significa raíz cuadrada.
Para las raíces de índice par, y base positiva, tienen dos soluciones posibles en los
números enteros
Ѵ36= 6
4
Ѵ81 = 3
porque
porque
62 = 36
34 = 81
y
y
(-6)2 = 36
(- 3)4 = 81
Para las raíces de índice impar, y base negativa, la solución es número negativo
Ѵ-64= -4
Ѵ-32= -2
3
5
porque
porque
(- 4)3 = -64
(-2)5 = -32
Para las raíces de índice par, y base negativa, NO TIENE SOLUCION
Ѵ-36 = SIN SOLUCION
4
Ѵ-81 = SIN SOLUCION
porque
porque
62 = 36
34 = 81
y
y
(-6)2 = 36
(- 3)4 = 81
Propiedades de la radicación
Raíz de un producto
La raíz de un producto es igual al producto de las raíces de los factores.
con n distinto de cero (0).
Ejemplo

=
=
Se llega a igual resultado de la siguiente manera:
13
Raíz de un cociente
La raíz de una fracción es igual al cociente de la raíz del numerador entre la raíz del
denominador.
=
con n distinto de cero (0).
Ejemplo

=
Cuando esta propiedad distributiva se aplica a la raíz de una suma o una resta no se
cumple
Raíz de una raíz
Para calcular la raíz de una raíz se multiplican los índices de las raíces y se conserva el
radicando.
=
con n y m distintos de cero (0).
Ejemplo

=
14
Ejercicios
Ѵ10000 =
4
5
Ѵ-100000=
Ѵ-10000 =
Ѵ25=
4
Ѵ64 =
3
Ѵ125=
3
Ѵ121 =
Ѵ10.2 -8:2=
Ѵ27=
3
Ѵ-1=
Ѵ400=
Ѵ1=
3
Ѵ7.3 + 2.2=
Ѵ36 . 81 =
3
Ѵ Ѵ10000 =
Ѵ3 Ѵ64 =
Ѵ7 4 =
Ѵ-81=
3
3
Ѵ-30 -17.2=
5
Ѵ100: 4=
3
Ѵ27. 1000 =
Ѵ4. 25 =
3
4
Ѵ3 2 =
5
Ѵ2. Ѵ2 =
Ѵ3. 12 =
3
Ѵ75 : Ѵ3 =
Ѵ18 : Ѵ2 =
Ѵ-27=
Ѵ7 – 50. 5 =
3
Ѵ125 . 1000=
Ѵ-125=
Ѵ81=
Ѵ-64=
3
3
Ѵ10 5 =
Ѵ5. 3Ѵ200 =
Ѵ1000000 =
6
Ѵ64. 8=
Ѵ8 5 =
15
4
Ѵ80 : 4Ѵ5 =
Ѵ169=
Resolver
1 + Ѵ25 - (-6)2 =
3 -3
6
Ѵ1000000 + 5Ѵ10 5 + (-2)5 =
Ѵ2. Ѵ2 + (-3)2 - (-2)3 =
3
1
- 3Ѵ1000 + (-5)3 =
-2
5
3
Ѵ64 – Ѵ16 - (-2)4 =
Ѵ-125 – Ѵ36 - (-3)2 =
Operaciones combinadas II
Para resolver combinando operaciones entre números enteros, se debe separar en
términos y luego resolver respetando:
1. Se resuelven las potencias y raíces
2. Se resuelven las multiplicaciones y divisiones
3. Se resuelven las sumas y restas
72 . 2 - 33 . 3 + V25 . (-1)2 - (-10 : 2)2 =
15
V9 – 7 . (-1 ) + 5 2 + (-2 ) 3 – 6 : (-3 ) + 3 V8 – (V4 ) 2 =
(-3 ) · 2 – (-5 ) + 4 · 3 – 3 V 8 + 5 · (-2 ) =
(-1 0 ) : 2 + V2 5 · 3 + V 4 − 5 · 2 2 − 8 + V 4 · 2 3 – (-1 6 ) : 4 =
2 3 - V 10 0 : 2 + 1 5 · (-3 ) + V 4 − 5 · (-2 ) − 8 + 4 · 2 2 − V1 6 : 4 =
(1 5 − 4 ) + 3 . 3 V -8 − (-1 2 ) − 5 · 2 + (5 + 1 6 : 4 ) −5 + (1 0 − 2 3 )=
[ 1 5 − (2 3 − 1 0 : 2 )] · [ 5 + (3 ·2 − 4 )] − 3 + (8 − 2 · 3 ) =
[ (− 2 ) 5 − (−3 ) 3 ] 2 =
(5 + 3 · 2 : 6 − 4 ) - (4 : 2 − 3 + 6 ) + (7 − 8 : 2 − 2 ) 2 =
[ (1 7 − 1 5 ) 3 + (7 − 1 2 ) 2 ] : [ (6 − 7 ) · (12 − 2 3 )] =
7 · 3 + (- 6) + 23 : 4 + 3 · 2 – 7 – 9 : 3 =
1 4 − 7 + 4 · 3 - [ (-2 ) 2 · 2 - 6 )] 0 + 2 .2 2 + 6 - 5 · 3 + 3 - (5 - 2 3 : 2 ) =
(3−8)+[5−(−2)] 3 =
[(−2) 5 − (−3) 3 ] 2 =
[(17 − 15) 3 + (7 − 12) 2 ] : [(6 − 7) 2 · (12 − 23)]
16
TAREA PARA LA CASA
1-Suma algebraica
2+5–6–4+8–3=
10 – 25 – 30 + 15 – 10 + 15 – 25 =
3 + 6 – 16 – 9 + 8 – 5 =
12 – 22 – 30 + 11 – 1 + 10 – 15 =
2-Suma algebraica con paréntesis
2 + (5 – 6) – (4 + 8) – 3 =
10 – (-25 – 30) + 15 – (-10 + 15) – (-5) =
3 + (6 – 16) – (9 + 8) – 5 =
12 – (22 – 30) + 11 – (1 + 10) – 15 =
3-Operaciones Combinadas I
(- 40) : 20 – 3 . (- 5) + 8 : (- 4) + 1 =
- (- 18) : 3+ 4 . (- 5) - 36 : (- 12) =
(- 3) - 14 : (- 7) - 5 . (- 4) – (- 9) : 3 =
(- 4). (- 3) + 4 . (- 2) - (- 5) + (- 8 ): 4 =
3. (- 7 ) - 12 : (- 4) + 40 : (- 4) =
(- 18) : 6 + (- 4) . (- 5) - (- 36) : (- 12) =
(- 3) . (- 1) – 14 : (- 7) – 5 . (- 4) – 9 : (-3) =
6 . (- 3) + 4 . (- 2) - (- 5) + (- 8) : (- 4 ) =
(- 2) . (- 7) - 12 : (- 4) + 20 : (- 5) =
3 – 4 . 2 + (- 6) . 2 =
(- 60) : 20 - 3 . (- 5) + (- 8) : (- 4) + 1 =
(- 18) : (- 3) + (- 4) . 5 – (- 36) : (- 12) =
(- 4) . (- 3 ) + 4 . (- 2) - (- 5) . (- 2) + (- 8) : 4 =
5 . (- 7) - 12 : (- 4) + 10 : (- 5) =
3 - (- 4) . (- 5)+ (- 6) . 2 =
60 : (- 20) – 3 . (- 6) + (- 8) . 4 + (- 1) =
(- 18) : 3 + 4 . (- 5) - (- 36) : (- 6 )=
3 – (- 14) : (- 7) - (- 5) . (- 2) - 9 : (- 3) =
5
. (- 7) - 12 : (- 4) + 20 : (- 10) =
( - 3) - (- 4) . (- 5) + (- 6) . (- 2) =
17
Lenguaje coloquial
y
simbólico
Para expresar enunciados o nociones matemáticas se puede utilizar lenguaje coloquial o
simbólico:
El doble de cuatro disminuido en tres
2.4–3
El cuadrado de ocho aumentado en diez
82 + 10
El siguiente de un número
x + 1
El anterior de un número
x - 1
Traduzcan a lenguaje simbólico y resuelvan
El cuadrado de cuatro……..
El cubo del opuesto de cinco…….
Diez veces la raíz cuadrada de cuarenta y nuevo….
La raíz cúbica de mil……
La mitad de treinta……
El doble de la suma entre tres y cinco….
El cuadrado de nueve menos la raíz cúbica de sesenta y cuatro……
¿Cual es el número?
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El doble de dos
La cuarta parte de cien
La potencia cuarta de tres
La sexta parte de treinta y seis
El cuadrado de cinco
La raíz cuarta de ochenta y uno
La tercera parte de cubo de tres
L a mitad de dos
La raíz cuadrada de veinticinco
El doble de tres aumentado en dos
El doble de la raíz cuadrada de dieciséis
La tercera parte de nueve
La raíz cubica de ocho
La mitad de seis aumentado en cuatro
El triple de la raíz cuadrada de cien
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El cubo de tres disminuido en el doble de diez
El triple de cien disminuido en la raíz cuadrada de cien
La suma del doble de seis y el triple de tres disminuido en la raíz cuadrada de cuatro
La diferencia entre el triple de cuatro y el doble de seis, aumentado en la raíz cuadrada de
cien
La potencia cuarta de de diez aumentada en el cuádruple de cinco
La mitad de cien disminuida en tres unidades
La tercera parte de doce multiplicada por la mitad de seis unidades
La quinta parte de ciento veinticinco disminuida en cinco unidades
La raíz cúbica de sesenta y cuatro aumentada en cuatro unidades
La potencia cuarta de tres aumentada en la raíz cuadrada de cuatro
El cuadrado del siguiente de seis
El cuadrado del anterior a seis
La cuarta parte de ochenta disminuida en el doble de tres unidades
La potencia décima de diez dividida la potencia sexta de diez
El triple de el cuadrado de ocho menos el doble de noventa
19
ECUACIONES
Una ecuación es una igualdad en la que hay, por lo menos, un dato desconocido, es
decir, una incógnita, y resolverla significa encontrar el o los valores de la incógnita que
hacen verdadera la igualdad.
En toda ecuación se distinguen dos miembros en la igualdad
2x +7 + x - 1 = 12 – x + 2
Primer miembro
De la igualdad
Segundo miembro
de la igualdad
Resuelve las siguientes ecuaciones.
a) 3x – 28 = 17 x
c) 4x – 3 – 9 = 10 x
e) 38 – 17 = 3z + 4 z
h) 6x + 30 – 5x = 25
j) 5x - 15 – 4x = 16
l) 3x + 30 – 5x = 20
n) 5x - 40 – 4x = 16
p) x + 30 – 5x = 38
b) 2x – 15 = 9 – 4 x
d) 20 – y – 10 = 12 – 20 + y
f) 4x – 12 = 24 –3 x
i) 3x + 30 = 5x + 4
k) 2x + 36 = 3x + 6
m) 10x + 25 = 5x + 5
o) 2x + 36 = 3x + 6
q) 2x + 25 = 5x + 4
TAREA: Resuelve las siguientes ecuaciones. Luego comprueba los resultados.
a) 3x – 4 = 16 x
b) 4x + 5 + x = 3 + 2x + 4 x
c) 10x – 3x + 5 = 18 – x + 4 x
d) 21x – 6x + 12 = 30 – x + 5 x
e) -8 – x = 2x + 7 x
f) x – 8 = 2x + 7 x
g) 3x + 2x + 5 = 4x – 20 x
h) 6x – 3x + 1 = – x + 5 x
i) –4x – 2x –10 = 2x – 34 x
j) 30 – 5x + 2x = 0 x
Dado el perímetro de cada figura, encuentra el valor de x:
a.
P = 36 cm
B C= _______
20
b.
P = 40 cm
La medida de x = _______
Planteen y resuelvan las ecuaciones para hallar el perímetro de cada figura
Triángulo equilátero
Cuadrado
3x + 25 cm
5x – 25 cm
5x + 5 cm
x + 75 cm
Rombo
100cm – x
Rectángulo
4x – 25cm
3x – 1 cm
X + 1 cm
X + 3cm
Problemas
Lenguaje coloquial y ecuaciones
La suma de tres números impares consecutivos es igual a cincuenta y siete, cuál es el número?
Si a un número se le suma cinco se obtiene la diferencia entre su doble y uno, cuál es el número?
El triple del anterior es igual al mismo número aumentado en siete unidades.
El doble del anterior es igual al mismo número aumentado en tres unidades
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La diferencia entre el triple de un número y el número aumentado en dos unidades es igual a diez.
Cuál es número cuyo siguiente es igual al doble de nueve?
Cuál es número cuya quinta parte disminuida en diez es igual a veinte?
Cuál es número cuyo duplo más su cuádruplo es igual a veinticuatro?
Cuál es el número cuyo triplo aumentado en doce es igual a dieciocho?
El triplo de un número más el doble del mismo es igual a ocho veces el número disminuido en
quince unidades.
Cuál es número cuya mitad es igual a la raíz cuadrada de dieciséis?
Cuál es el número cuya tercera parte es igual a la raíz cúbica de veintisiete?
Cuáles número cuya tercera parte disminuida en diez unidades es igual a once
Cuál es número cuyo duplo más su triplo es igual a veinticinco?
Cuál es número cuyo duplo aumentado en tres es igual a veinticinco?
Cuál es el número cuyo anterior es igual a la novena parte de ochenta y uno?
Cuál es el número cuya mitad es igual a la raíz cuadrada de sesenta y cuatro?
Ecuaciones y ángulos
Hallar el valor de cada uno de los siguientes ángulos
a = 3x – 10º
a = 9x – 20 º
b = x + 20 º
b = 6x + 5 º
22
Hallar el valor de cada uno de los siguientes ángulos
a + b = 70 º
a=b
Planteen las ecuaciones y hallen el valor de cada uno de los ángulos
a = 2x – 10º
a = 2x
b = 3x – 75º
b = 6x
c=x
a = 4x + 10º
a = 3x – 20º
b = 2x + 10 º
b = x + 20º
c = x + 25 º
c = 5x + 10º
23
a = 4x + 28º
a = 7x
b = 3x – 9º
b = 4x + 8º
c = 5x + 2º
Ecuaciones con potenciación y radicación
X2 – 25 = 0
Γx – 12 = 0
4x2 – 7 = 29
Γ2x – 1 = -7
Γx + 8 = 0
3
V1 – 11x = -2
5
Γx = 3
3
x2 + 3 = 28
La base y la altura de un rectángulo miden 5x y 3x respectivamente. Si el área es de 60
cm2, cuánto mide la base y la altura de la figura?
El lado de un cuadrado mide 3x2, si el área es de 144 m2, cuánto mide el lado de
cuadrado?
La base de un paralelogramo mide 3x y su altura mide x. si el área es de 300 m2, cuál es
el valor de la base y la altura de la figura?
La base mayor de un trapecio isósceles mide 9x, la base menor 5x y la altura mide 6x. si
el área es de 168 m2. Calcule el valor de las medidas del trapecio.
La base y la altura de un campo rectangular miden 6x y 3x respectivamente. Si el área es
de 162 km2, calcule el valor de los lados.
La base y la altura de un paralelogramo miden 6x y 3x respectivamente. Si el área es de
450 m2, cuánto miden la base y la altura del cuadrilátero.
24
El cuadrado de un binomio
Vamos a trabajar
Separamos las siguientes figuras, etiquetando sus lados como se indica:
Con estas cuatro figuras armamos un cuadrado mayor, según este esquema:
que resulta ser igual a
Para construir una figura de lado b+a utilizamos:
1. un cuadrado de lado b (b2)
2. un cuadrado de lado a (a2)
3. un rectángulo de lado a y de lado b (ab)
4. un rectángulo de lado a y de lado b (ab)
Resolver
( m + 3 )² =
(-2x² + 5y) ² =
( 1 + 3x²)² =
(a+b)²=
( 6a + b)² =
(3a² + 5x³)² =
(a²x + by²)² =
( ax + a ) ² =
(4a -3x)² =
(7x + 11) ² =
25
El Cubo de un binomio
Se tiene que (a+b)3 = a3+3a2b+3ab2+b3.
Vamos a verlo:
(a+b)3
a3+3a2b+3ab2+b3
26
R e s o l ve r
( x + 2) 3 =
( 3 x − 2) 3 =
( x + 1 )3 =
( 2a - 3b)3 =
(p+3)3=
( x - a )3 =
( 2 x + 5) 3 =
( m + 2n )3 =
(2x - 5) 3 =
En álgebra, un binomio consta únicamente de dos términos, separados por un signo de más (+) o
de menos (-). En otras palabras, es una expresión algebraica formada por la suma de dos
monomios.
Monomio es una expresión algebraica en la que se utilizan potenciales naturales de variables
literales que constan de un solo término (si hubiera + o - seria binomio) , un número llamado
coeficiente. Las únicas operaciones que aparecen entre las letras son el producto y la potencia de
exponentes naturales. Se denomina polinomio a la suma de varios monomios.
Ejemplos: 2x, 3x2, 4xy, 5 x4
27