Introducción de factores dentro del signo radical

Unidad Nº 1: Números Racionales y Números Irracionales
Números Racionales y Operaciones:
Números Racionales (Q):
Sirven para expresar “partes de la unidad, y sus elementos tienen la forma
𝑎
𝑏
; siendo a y b números enteros, con a ≠ 0 es decir:
Q={
𝑎
𝑏
/ a, b ∈ Z y a ≠ 0 }, el conjunto de los números racionales se denota
mediante la letra Q, y existen los positivos a la derecha del cero y los
negativos a la izquierda
También se les llama “fracción” o “quebrado”
Elementos de un número racional
𝑎
𝑏
𝑎
−
𝑎𝑏
𝑎 = 𝑛𝑢𝑚𝑒𝑟𝑎𝑑𝑜𝑟
𝑏 = 𝑑𝑒𝑛𝑜𝑚𝑖𝑛𝑎𝑑𝑜𝑟
Raya fracción, no debe olvidarse
Puede tener signo: positivo (-)
o
negativo (-)
1. Adición y sustracción de números racionales
a. Fracciones con igual denominador, de dos números
Si las fracciones tienen igual denominador, se coloca el denominador común y
se suman o restan, según sea el caso, los numeradores.
Si es posible se simplifica la fracción
Ejemplos:
Adición :
12
7
+
16
7
=
12+16
7
=
Sustracción :
28
7
=4
Compilador: Prof. Samir Montilla
14
5
8
-5=
14− 8
5
6
=5
1
b. Fracciones con diferente denominador, de dos números
Si las fracciones tienen diferente denominador,

El nuevo numerador se consigue de multiplicar cada numerador por el
denominador del otro número, y entre ellos se coloca el signo correspondiente
 El nuevo denominador se consigue de multiplicar los denominadores
 Si es posible se simplifica la fracción
 Y se opera
Ejemplos:
2
Adición:
5
Sustracción:
6
+7=
8
5 𝑥 7+ 6 𝑥 8
8𝑥7
=
35+48
56
83
9
= 56
8
- =
5 7
9𝑥7 − 8𝑥5
5 𝑥 7
=
63−40
35
=
103
35
c. Sumas y Restas con más de dos números

Con igual denominador
Se debe tener cuidado al operar con los signos y respetar sus reglas
Adición :
5
7

6
2
+ 7 + 7=
5 + 6+ 2
7
Sustracción :
=
13
14
7
5
8
2
-5-5=
14− 8−2
5
=
14−10
5
4
=5
Con diferente denominador
Se debe tener cuidado al operar con los signos y respetar sus reglas
3
5
1
2
4
- ﴾ - 2 + 7 - 5 ﴿=

Se lee bien el ejercicio

Analiza si algo impide continuar
y lo trata, en este caso son los paréntesis: ()

Recuerdo que para eliminar signos de
agrupación (), [ ] o {}; se debe tomar en
3
1
2
4
cuenta el signo que lo precede: si es (+)
+ - +5=
5 2 7
todos los signos de los números que
están dentro quedan igual

Compilador: Prof. Samir Montilla
Si es (-) todos cambian de signo
7
5
1
2
2
7
+ - =

Observo que dos de los números poseen igual
denominador y como tienen signos iguales los
3
4
3+ 4
5
5
5
sumo + =

=
7
5
Ahora queda una suma algebraica de más de
dos números Racionales

m.c.d (2, 5 y 7)
Se procede a calcular el mínimo común
denominador(m.c.d) de los números
2 5 7 2
1
3
racionales

Esto se hace descomponiendo en factores los
denominadores (2, 5 y 7)
2 5 7 2
1 1
5

De la siguiente manera, números que posean
mitad (2) entera, luego los que tenga quinta
parte (5) entera y los que posean séptima
2 5 7 2
1 1 1 5
7
m.c.d (2, 5 y 7)= 2 x 5 x 7= 70
parte (7) entera

Y se multiplican 2 x 5 x 7 = 70 y este será el
denominador común

El denominador común (70) se divide entre
cada denominador del ejercicio y luego se
(70 ÷ 5)𝑥 7 + (70 ÷ 2)𝑥 1 – (70 ÷ 7)𝑥 2
=
70
multiplica por su respectivo numerador

Se colocan los signos respectivos en su mismo
orden
=

Se resuelven las divisiones del numerador

Se
(14𝑥7) + (35𝑥1) – (10𝑥2)
70
=
98 + 35 − 20
70
133 − 20
70
=
113
70
Compilador: Prof. Samir Montilla
las
multiplicaciones
del
numerador

=
resuelven
Se
suman
los
números
positivos
del
numerador

Se restan los numeradores

De ser posible se simplifica, para ello se divide
tanto el numerador como el denominador
por el mismo número
Ejercicios para resolver en la casa
1)
4)
7)
10)
7
16
14
+ 14 =
12
23
24
+ 24 =
122
+ 71 =
71
1092
+ 36 =
36
124
12
7
50
16
+
35
1456
7
+
+
12
7
33
50
+
28
25)
28)
164
-
98
714
-
64
8009
148
768
98
908
64
-
72
+
16
7
109
50
=
=
9
8
23
8
78
3
57
4
19
8
22
29)
9
- 72 - 72 −
+
12
17)
16
3)
8
=
72
6)
9)
+7=
11
14)
26)
=
109
9
8
23)
=
148
78
20)
=
7068
145
11)
19) 15 - 15 =
22)
18
25
8)
16
24
- 234 =
234 234
5)
16
13) 50 +
16)
2)
16
6
+
+
+
+
=
13
5
16
5
34
6
36
9
12)
=
15)
=
18)
=
21)
=
24)
6
-7=
27)
8
30)
-7=
13
7
40
6
8
-9=
5
-9=
103
6
- 10 =
24
12
20
2
3
3
8
-
13
=
7
4
6
5
2
+5-7=
4
+2-4=
7
3
5
+ 9 - 24 =
12
4
5
-﴾
3
7
9
3
- 4 - 11 ﴿=
6
+﴾
24
15
2
11
5
4
- + 24 ﴿=
12 48
3
-﴾5−
2
15
4
+ 5 ﴿=
2. Multiplicación de números racionales
𝑎
𝑏
𝑐
𝑑

Para multiplicar dos números racionales


por numerador y denominador por denominador es decir: 𝑏 x 𝑑 = 𝑏 𝑥 𝑑.
Se debe tomar en cuenta la aplicación de la multiplicación de los signos
Y de ser posible se simplifica la fracción
y
Ejemplos:
7
9
7𝑥9
63
21
x =
= = 16
8 6 8 𝑥 6 48
6
5
﴾−
Compilador: Prof. Samir Montilla
8
.−9 =
9
4
6 . −8
﴿ ﴾-
5. 9
8
3
﴿=
=
− 48
45
=
−9𝑥− 8
4𝑥3
− 16
15
72
= 12 = 6
, se multiplican numerador
𝑎
𝑐
𝑎𝑥𝑐
3. División de números Racionales
Para dividir
𝑎
𝑏
𝑐
𝑑
𝑎
𝑏
𝑎
𝑏
𝑑
𝑐
÷ = x =
𝑐
𝑎
÷ 𝑑, se multiplica 𝑏 por la fracción inversa de
𝑐
,
𝑑
es decir,
𝑎𝑥𝑑
𝑏𝑥𝑐
Se debe tomar en cuenta la aplicación de la multiplicación de los signos
Y de ser posible se simplifica la fracción
−7
8
−5
8
9
7
=
9
÷6=
−5𝑥7
8𝑥9
−7𝑥9
8𝑥6
=
− 63
=
48
−35
5
− 21
=
16
método de la doble C
72
4. Potenciación en racionales (Q) con exponente N
Si
𝑎
𝑏
es un racional y n un natural, la potencia de
producto de

𝑎
𝑏
𝑎
𝑏
, n veces, es decir, ( )n =
𝑎
𝑏
x
𝑎
𝑏
𝑥
𝑎
𝑏
𝑎
𝑏
elevado a la n es el
𝑎
𝑏
………. (n veces).

Se debe tomar en cuenta los signos, cuando la base es negativa y el
exponente impar, el resultado da negativo
Y cuando la base es negativa y el exponente par, el resultado da positivo

Y de ser posible se simplifica la fracción
4 2
4
4
(3 ) = 3 x 3 =
7 3
7
16
9
7
7
(− 4 ) = − 4 x − 4 x− 4 = −
7 4
7
7
7
343
64
7
(− 4 ) = − 4 𝑥 − 4 𝑥 − 4 x − 4 = −
Compilador: Prof. Samir Montilla
2401
256
Ejercicios para resolver en la casa
1)
4
7
9
5
.− =
20
﴿
3
4) ﴾ −
7)
16
5
2)
﴾
8
12
8
9
﴿
14
﴾-
13)
−7
9
6
5
16)
6
10
÷
19)
23
2
÷5=
18
3
﴿=
11
5
10
8
=
9
9 4
3)
6
6) ﴾
.5=
17
8
x 16 =
9
11)
3
18
÷
19
6
6
8
−9
7
17)
−9
8
20)
− 17
8
=
12
13
9
7 4
6
29) (−
÷−
13
11
3
12
14
10
90
6
=
=
=
19
6
÷−
6
=
4 7
8 6
5
100 3
24
6
24) (− 5 )
12 3
)
10
26) ( )
28) ( 10 )
11
9
﴿=
21) (3 )
23) (3 )
25) (− )
12)
x
8
12
﴾-
5 2
÷ 16 =
6 5
22) (− 7 )
9
8
18)
=
8
. 13 =
16
﴿
4
9)
15)
=
÷
15
9
=
8)
14)
=
12
8
x
5) −
﴿=
. − 19 =
10) ﴾ −
6
11
27) (
6 4
)
4
9 5
)
6
30) (−
5. Sustitución de números racionales
Consiste en sustituir una letra por el valor que se le ha asignado
Ejemplo: se dan los siguientes valores
1
A. = 4
4
B. = - 5
4
C. = 3
D. =
−5
E. =
8
9
8
Y se pide resolver:
EJERCICIO PLANTEADO
SUSTITUCION DE VALORES
9
1
i.
E + A – C=
ii.
-( B – D )=
iii.
E+D=
iv.
AXB=
1
v.
B÷D=
-5÷
4
8
+4-3=
4
4
-(- 5 - (- 5) ) =
9
8
4
−5
+(
X4
8
4
5
)
=
−5
8
4
5
−5
8
−
Después de sustituir los valores se procede a resolver lo que queda planteado;
aplicando los conocimientos previos obtenidos
Compilador: Prof. Samir Montilla
Resolveré en casa:
Tomando en cuenta que:
3
A. = - 5
1
F. = 4
4
B. = - 5
G. =
−5
8
6
C. = 5
H. =
D. =
3
11
4
5
9
I. = 8
4
E. = 3
a. Efectúa y expresa el resultado como una fracción irreducible
1. A + D – C =
2. B – E + H =
3. I + F – ( J - B ) =
4. C X A =
5. G
.I=
6. F ÷ H =
7.
𝐷
𝐽
=
b. Calcular cada potencia
1. ( G ) 4 =
2. ( F ) 3 =
3. ( B ) 6 =
4. ( E ) 5 =
5. ( I ) 7 =
Compilador: Prof. Samir Montilla
5
J. = 14
7
6. Resolución de problemas en racionales
a) Alejandro recorre en bicicleta
60
9
Km los sábados y
56
6
Km los domingos.
¿Cuántos kilómetros recorre en 3 sábados 3 domingos?
b) En una empresa de 1000 empleados
4
5
son mujeres. ¿Cuántos hombres hay
en la empresa?
8
c) Elisa ahorra
1
4
del dinero que gana por su trabajo. ¿Qué parte de ese dinero
utiliza?
d) Maribel tiene
16
3
Kg de azúcar. Si lo quiere colocar en 3 recipientes con igual
cantidad de azúcar en cada uno, ¿Cuántos kilogramos debe colocar en cada
recipiente?
e) Elena va de compras con 180 Bsf. Se gasta -
3
5
de esa cantidad ¿Cuánto le
queda?
f)
Un padre reparte entre sus hijos 1800 Bsf. Al mayor le da
al mediano
1
3
4
9
de esa cantidad,
y al menor el resto. ¿Qué cantidad recibió cada uno? ¿Qué
fracción del dinero recibió el tercero?
g) En las elecciones de un pueblo,
para el partido B,
5
14
3
11
de los votos fueron para el partido A,
3
10
para C y el resto para el partido D. El total de los votos ha
sido 15 400. Calcular: el número de votos obtenidos por cada partido
Compilador: Prof. Samir Montilla
Expresiones Decimales: se clasifican en limitadas e ilimitadas.
-
Expresión Decimal Limitada:
Tiene un número limitado (finito) de cifras decimales, es decir, no hay un número que
se repita.
Ejemplos: 4,56 ; 0,0003 ; 2,9876 : 0,1 ; 3,42 , etc.
Siempre que se divida el numerador por el denominador, y la división termine y se
obtenga resto cero, la división es exacta y su resultado será un decimal finito.
Para encontrar la fracción decimal de un numero racional se debe realizar una división:
pel numerador es dividido entre el denominador y da exacta la división.
Ejemplo:
-
3
4
3` 0
20
-0-
4
0,75
decimal finito
Expresión Decimal Ilimitada: cuando el número de cifras decimales no acaba
nunca, es decir, hay uno o varios números que se repiten infinitamente. Por
ejemplo: 0,333333..... es infinito por que el 3 se repite indefinidamente. Estos
números son divisiones inexactas.
Las Expresión Decimal Ilimitada pueden ser periódicas y no periódicas.
Las expresiones periódicas pueden ser puras o mixtas.

Expresiones decimales periódicas puras: son aquellos que tiene una o más
cifras que se repiten sucesiva e infinitamente, formando el período. Se escribe
en forma abreviada coronando al período con un pequeño trazo. Todas la cifras
decimales forman parte del periodo
5
3
= 1, 666… = 1, 6̂
Periodo

5
3
20 1, 666….
20
Expresiones decimales periódicas mixtas: En estos decimales aparecen
una o más cifras antes del período. El número formado por dichas cifras se
llama anteperíodo (es un número que está entre la coma y la rayita).Hay cifras
en la parte decimal que no forman parte del periodo
11
6
= 1, 833…. = 1,83̂ 11
6
Periodo
50 1,833….
20
20
anteperiodo
Compilador: Prof. Samir Montilla
9
Ejercicios para resolver en la casa
2)
7
6
=
3)
3
2
=
7)
4
3
=
8)
33
20
9
10
=
12) 3 =
22
5
=
17)
8
13
=
18) 9 =
22)
1
10
=
23)
27)
10
4
=
28) =
1)
14
11
=
6)
12
5
11)
16)
2
8
21) 9 =
3
4
26) =
=
=
5
13) 7 =
4
7
35
=
7
2
4)
7
8
=
5)
7
20
=
9)
2
7
=
10)
4
15
=
14)
13
55
=
15) 5 =
19)
8
18
=
20)
4
22
12
=
5
4
5
25) =
24) 6 =
9
4
29) =
30)
13
5
=
Fracción Generatriz:
Dada una expresión decimal finita o infinita, siempre es posible hallar una fracción
llamada fracción generatriz.
1) Fracción Generatriz de expresiones decimales finitas o limitadas:
Transformación de un decimal finito a fracción

Se convierte el número a fracción decimal y, si se puede, se simplifica.
Para transformar el número decimal a fracción decimal
a) Como numerador se coloca todas las cifras de la expresión decimal sin la coma
b) Como denominador se utilizan potencias de diez (10, 100, 1.000, etc.)
colocando tantos ceros como cifras decimales tenga el número.
Ejemplo:
0,4 =
2)
04
10
=
4
10
0,45 =
045
100
=
45
100
12,34 =
1234
100
=
617
50
Fracción Generatriz de expresiones decimales ilimitadas periódicas puras :
Para transformar decimales ilimitados periódicos puros:

Se convierte el número a fracción decimal y, si se puede, se simplifica.
Para transformar el número decimal a fracción decimal
a) Como numerador se coloca todas las cifras de la expresión decimal sin la coma
b) Luego se le resta él o los números que están antes del período (de la rayita) o
sea, la parte entera
c) Como denominador un número formado por; un 9 por cada número que está en
el período (si hay un número bajo la rayita se coloca un 9, si hay dos números
bajo el período se coloca 99, etc.).
Compilador: Prof. Samir Montilla
10
Ejemplo:
03− 0
3 1
0,33333…. = 0,3̂ =
= =
9
9
3
̂ = 145− 1 = 144 = 16
1,454545…. =1,45
99
99
11
12,875875875…….
̂=
0,232323… = 0,23
23− 0
99
=
23
99
̂ = 12 875 − 12 = 12 863
12,875
999
999
11
3,074074074….
2,484848….
̂ = 3 074 − 3 = 3071
3,074
999
999
̂ = 248 − 2 = 246 = 82
2,48
99
99
33
3) Fracción Generatriz de expresiones decimales ilimitadas periódicas mixtas:
Se llaman así porque tienen periodo y anteperiodo
Para transformar decimales ilimitados periódicos puros:

Se convierte el número a fracción decimal y, si se puede, se simplifica.
Para transformar el número decimal a fracción decimal
a) Como numerador se coloca todas las cifras de la expresión decimal sin la coma
b) Luego se le resta él o los números que están antes del período (de la rayita) o
sea, la parte entera y el anteperíodo, o sea, todo lo que está antes de la
“rayita”.
c) Como denominador un número formado por; un 9 por cada número que está en
el período (si hay un número bajo la rayita se coloca un 9, si hay dos números
bajo el período se coloca 99, etc.) y tantos 0 como cifras tenga el anteperíodo.
Compilador: Prof. Samir Montilla
Ejemplo:
0,41111…
0,6555….
41 − 4
37
0,41̂ = 90 = 90
65 − 6
59
0,65̂ = 90 = 90
5,6777…
0,3232323….
567 − 56
511
5,67̂ = 90
= 90
̂ = 323 − 3 = 320= 160
0,323
990
990 495
12
2,1484848…
̂=
2,148
2 148 − 21
990
=
4,0747474…
2 173
990
709
̂ = 4 074 − 40 = 4 034= 2 017
4,074
990
990
495
= 330
Ejercicios para resolver en la casa

Determine la fracción generatriz de cada una de las siguientes expresiones
decimales
1) 2,32
2) 0,0023
3) 132,12
4) 145,2
5) 35,4
6) 97,2
7) 0,00123
8) 101,5
9) 45,3
10) 12,7

Encuentra la fracción generatriz de cada una de las siguientes expresiones
decimales periódicas puras y mixtas; diferenciando primero el período (la
̂
rayita) Ejemplo: 0,999 = 0,9̂ ; 0,91212..=0,912
1) 0,454545…
2) 3,252525…
3) 0,666…
4) 567,1212…
5) 5,666…
6) 2,484848…
7) 3,074074…
8) 0,186186…
9) 22,555…
10) 2,136336…
11) 3,2555…
12) 56,1222…
13) 0,18585…
14) 0,12555…
15) 7,30444…
16) 0,00999…
17) 2,6333…
18) 3,24545…
19) 1,1666…
20) 25,41212...
Compilador: Prof. Samir Montilla
Números reales (R) y Operaciones Básicas en R
Recordar:
 El símbolo ≈ se emplea para indicar que un número es aproximadamente
igual a otro. Por ejemplo π ≈ 3,141592654……
 Son muchas las situaciones decimales, tanto en la vida cotidiana como en
el mundo de la ciencia y la tecnología. Todas las aproximaciones que se
hagan de una expresión decimal ilimitada, ya sean enteras o decimales, se
denominan aproximaciones racionales ya que son números racionales
 Si se tiene una expresión decimal y se desea una aproximación con menor
número de cifras decimales, se puede realizar una aproximación por
defecto o por exceso
o aproximación por defecto: cuando una aproximación es menor que
el valor real del número
o aproximación por exceso: cuando una aproximación es mayor que el
valor real del número
 para aproximar un número decimal hasta cierto orden n, se eliminan las
cifras que están después del orden n
o si la cifra siguiente es menor que 5, entonces se aumenta la cifra n
queda igual.
Ejemplo: 3,141592654…… aproximar a la centésima
3,141592654 ≈ 3,14
o si la cifra siguiente es mayor que 5, entonces se aumenta la cifra n
en una unidad
Ejemplo: 72,26̂ …. Aproximar a la diezmilésima
72,266667 ≈ 7,2667
Compilador: Prof. Samir Montilla
13
Adición y sustracción en R:

Se alinean los números por la coma

De ser necesario se completan

Si es necesario los sumandos se aproximan a cierta cantidad de
decimales

En algunos casos se debe sustituir algunos valores, ejemplo: π,
1
8
3
, √13,
√35, e , 3,3̂ entre otros

14
Por último se suman las cifras de derecha a izquierda
Adición:
1
o 0,86̂ + √2 + 3 + 4 + π + 3,448936; con aproximación a la milésima
1) Se realizan las aproximaciones
Número
Aproximación
Por defecto
(a la milésima)
Aproximación
Por exceso
(a la milésima)
8,867
0,86̂ ≈ 8,8666666….
√2 ≈ 1,4142135
1,414
1
0,333
3
≈ 0,333333….
π ≈ 3,141592654……
3,142
3,448936
3,449
4 , este número como es entero se le coloca la coma y seguido
unos ceros hasta completar el numero de decimales que se
requiere = 4,000
2) Luego que todas las cantidades tienen la misma cantidad de
cifras decimales, se ordenan
8,867 + 1,414 + 0,333 + 4,000 + 3,142 + 3,449 =
Compilador: Prof. Samir Montilla
8,867
1,414
0,333
4,000 +
3,142
3,449
21,205
Sustracción:

Se alinean los números por la coma

De ser necesario se completan

Si es necesario los números se aproximan a cierta cantidad de
15
decimales

En algunos casos se debe sustituir algunos valores, ejemplo: π,
1
8
3
, √13,
√35, e , 3,3̂ entre otros

El minuendo será el número de mayor valor y el sustraendo de menor
valor

Por último se restan las cifras de derecha a izquierda
o π - √2 ; usar cuatro cifras decimales (diezmilésima)
1) Se realizan las aproximaciones
Número
Aproximación
Por defecto
(a la diezmilésima)
Aproximación
Por exceso
(a la diezmilésima)
3,1416
π ≈ 3,141592654……
1,4142
√2 ≈ 1,4142135
2) Luego que todas las cantidades tienen la misma cantidad de cifras
decimales, se ordenan
3,1416 - 1,4142 =
3,1416 1,4142
1,7274
Compilador: Prof. Samir Montilla
Ejercicios para resolver en la casa
I.
Efectúa las adiciones que se indican con aproximación a las milésimas
a) √2 + 3,456387
5
̂ +π
f) 6,1̂ + √7 + 3
b) 5, 526
1
3
2
2
c)
+ 2,3̂ + √2
g) + +
2
d) 2 + √3 + π
e)
1
3
3
5
7
3
h) √7 + + √5 + √3
+ 2 + π + √2
16
II.
III.
Resuelve las siguientes sustracciones
a) 2,345 – 1,378
b) 1,345 – 2,378
c) 3,27 – 0, 0963
d) 9,87654321 – 1,23456789
e) 7,324 - 3,9876
f) 1,41421 – 1,318
Aproxima por defecto cada término a la diezmilésima y luego realiza las
sustracciones indicadas
a)
1
3
- 0,13579
b) √2 - 0,16382
c) √2 - 0,18
Compilador: Prof. Samir Montilla
d) √2 - √3
1
e) π - 7
Adición y sustracciones combinadas
Recordar
 Los paréntesis ( ), los corchetes [ ] y las llaves { }; son llamados símbolos
 En las adiciones o sustracciones sin signos de agrupación, los números
con signos iguales se suman y al resultado se le coloca el signo de los
sumandos; y los números con signos diferentes se restan y al resultado
se le coloca el signo del número que tenga mayor valor absoluto.
 En las sumas o restas, con signos de agrupación, estos se pueden
eliminar en el siguiente orden: 1ro Los paréntesis ( ), 2do los corchetes
[ ] y 3ro las llaves { }
 En las sumas o restas, con signos de agrupación, estos se pueden
eliminar según el signo que los preceda:
o Si es + o no tienen signo, se elimina el signo de agrupación y los
números que están dentro mantienen su signo
o Si es -, se elimina el signo de agrupación y los números que están
dentro cambian de signo
Adiciones y sustracciones combinadas sin signos de agrupación
π – 3 + √2 + 1,23 -
1
3
Sustituyo valores
3,141592654 – 3 + 1,4142135 + 1,23 – 0,3333333
Luego sumo por un lado los positivos y por otro los negativos
Positivos
Negativos
3,14
1,41 +
1,23
5,78
3,00 +
0,33
3,33
Luego queda
5,78 – 3,33
5,78 –
3,33
2,45
El resultado es 2,45 positivo
Compilador: Prof. Samir Montilla
17
Adiciones y sustracciones combinadas con signos de agrupación
4
̂ - [- √3 - (3,62 – 1,97﴿]} =
-π- { 5 + 2,41
se eliminan los ( ), y como lo precede el signo
negativo, cambian los signos de los números
4
̂ - [- √3 - 3,62 + 1,97]} =
-π- { 5 + 2,41
se eliminan los [ ], y como lo precede el signo
negativo, cambian los signos de los números
4
̂ + √3 + 3,62 - 1,97} =
-π- { 5 + 2,41
-π-
4
5
̂ + √3 - 3,62 + 1,97 =
- 2,41
se eliminan las { }, y como lo precede el signo
negativo, cambian los signos de los números
4
Se encuentran los valores de π, , √3
5
Luego sumo por un lado los negativos y por otro
los positivos
- 1,142 - 0,8 - 2,414 - 1,732 - 3,62 + 1,97 =
- 9,708 + 1,97
– 7,738
Compilador: Prof. Samir Montilla
Negativos
Positivos
1,142
0,800
2,414 +
1,732
3,620
9,708
Luego queda
9,708
1,970 –
7,738
1,97
El resultado es – 7,738 negativo
18
Ejercicios para resolver en la casa
1. Efectúa las siguientes operaciones
a. 2,34 – 1,37 + 4,33 + 2,76 – 3,14 =
b. 1,2345 – 2,378 + 6,3 – 0,023 =
c. 62,789 + 4,7523 – 0,999 +789,58 =
d. 896,23 – 7,586 + 456,21 – 9,21 – 412,547 =
2. Aproxima cada término a dos cifras decimales y luego realiza las
operaciones indicadas
1
a.
3
- 0,13579 + √2 =
b. √2
+ π – 0,16382 +
2
2
7
=
c. √3 - 0,18 + 3 + 5,23 – π =
d. 2,45̂ + 3,4568 - √2 + 79,231 =
5
e. 0,72̂ - + 3,25 – π + 2 =
3
̂ - 0,56̂ - √2 =
f. 3,3̂ + 0,25
g.
3
5
3
1
+ 8 - 6 - π + √3 =
3
8
h. π – 0,3̂ - 5 + 3 - √2 =
3. resuelve utilizando dos cifras decimales
a.
1
3
- [ π + (0,15 - √2﴿] =
b. √2 + π - [ 0,16382 +
2
7
+ (-47,007﴿] =
c. 3 − { 1,7 d.
[ π - (0,12 - √3 ﴿ ]} =
2
√3 - 0,18 - { 3 + 5,23 - [ π - (-√3﴿ ]} =
e. 2,1592 +
15
4
̂ - √3﴿=
- (3,42
4
5 8
f. −2,3̂ - 5 - [- 6,2̂ -(4 - 3 )- 2 ]=
Compilador: Prof. Samir Montilla
19
Multiplicación en R
a. Para multiplicar dos números reales con expresión decimal limitada, se
procede de la manera conocida, ejemplo
3,45
2,5 X
1 725
6 90 +
8,625
se toman tres decimales por que se
suman los decimales de los multiplicando
20
b. Si las expresiones decimales de uno o ambos factores son ilimitadas,
̂
entonces se utilizan aproximaciones. Ejemplo π, √3, 3,42
Ejercicios para resolver en la casa
1. Efectúa las siguiente multiplicaciones
a. 2,34 . 5,78 =
b. 3,27 . 0,063 =
e. 3928,45 . 3,54 =
c. 1,63 . 6,483 =
f. 4 860,63 . 893 =
d. 326,15 . 25,4 =
2. Aproxima a tres decimales y luego realiza las multiplicaciones indicadas
a. 0,265 . 0,3̂ =
b. √2 . 0,18 =
c. √2 . 0,85 =
1
d. 𝜋 . ( 7 ﴿ =
e. √2 . √3 =
División en R
a. Para dividir dos números reales con expresión decimal limitada, se
procede de la manera conocida, ejemplo π entre √2
3,14
1,41
314` 141
0320 2,22
0380
098
Compilador: Prof. Samir Montilla
como los dos números tienen dos decimales
se multiplican por 100 y queda 314 entre 141
Se divide de la manera ya conocida
Ejercicios para resolver en la casa
1. Aproxima a dos decimales y realiza las divisiones indicadas
e. π ÷ ( - 72,4̂) =
a. √2 ÷ 0,18 =
f. ( - √3 ﴿ ÷ π =
b. 𝛱 ÷ √3 =
g. ( - 32,4 ﴿ ÷ ( π ﴿
c. √2 ÷ 0,12 =
h. √3 ÷ 103,764̂
d. 524, 2̂ ÷ √5 =
21
Multiplicación y divisiones combinadas
Para resolver operaciones combinadas, primero se debe resolver las que están
en paréntesis, después las que están dentro de los corchetes y luego las que
están dentro de las llaves.
Ejemplo:
̂ . 62,453﴿] } =
5 ÷ { π . [ 5,4̂ ÷ (24,12
5 ÷ { 3,142 . [ 5,444 ÷ (24,121 . 62,453) ] } =
se coloca el valor de π y se dan 3 decimales
se multiplica y se eliminan los paréntesis
5 ÷ { 3,142 . [ 5,444 ÷1506,429] } =
se divide y se eliminan los corchetes
5 ÷ { 3,142 . 0,004 } =
se multiplica y se eliminan las llaves
5 ÷ 0,013 =
se divide
384,615
Ejercicios para resolver en la casa
1. Aproxima a dos cifras decimales y luego realiza las operaciones
indicadas
a.
1
3
. (0,1315 ÷ √2 ﴿=
b. √2 ÷ ( π . 0,16382 ﴿=
c. (√3 . 0,18 ﴿÷ ( 0,6̂ . π ﴿ =
̂ ÷ 6,3 ﴿ ] ÷ 0,43 =
d. [ 4,3̂ . ( 4,53
e. (√3 ÷ √2 ﴿ . π =
f. [ 6,4̂ . ( - 2,3̂ ﴿ ] ÷ π =
g. 𝜋 . { 2 ÷ [ 4,1̂ . ﴾ 2,43 ÷ 2 ) ] } =
Compilador: Prof. Samir Montilla
Potenciación en R con exponente entero
Sea a un número real y n un número entero. Entonces an se define como el producto
de a por sí mismo n veces. El resultado b también es un número real. Esto es:
an = a.a.a.a……a = b
exponente
Términos de la potenciación en R:
base
an = b
potencia
 Potenciación en R con exponente entero positivo
En la potenciación en R, cuando el exponente n es un número entero que
pertenece a Z+ , es decir n >
a)
1
3
1 1 1
. . . =
3 3 3
o, se expresa de la siguiente manera: an a.a.a…a
1
﴾ 4
3
.
.
b) ﴾ - √3 ﴿ ﴾ - √3 ﴿ ﴾ - √3 ﴿ = ﴾ - √3 ﴿3
.
.
c) ﴾ - √7 - 4 ﴿ ﴾ - √7 - 4 ﴿ ﴾ - √7 - 4 ﴿ = ﴾ - √7 - 4 ﴿ 3
d) √6
. √6 . √6 . √6
= ﴾ √6 ﴿4
.
.
. √4π . √4π . √4π =
﴾√4
4
π
.
e) ﴾ √9 - π ﴿ ﴾ √9 - π ﴿ ﴾ √9 - π ﴿ ﴾ √9 - π ﴿ = ﴾ √9 - π4
f)
√4
π
g) -
√3
4
. - √34 . - √34 . - √34 - √34 . - √34 =
﴾√34 6
Observa cómo se desarrollan estas potencias
a) ( 2, 356) 3 = 2, 356
b)
(- √34 )4 = (- √34 )
c) (- 7)4 = -7
d)
. 2, 356 . 2, 356 ≈ 13,077
. (- √34 ) . (- √34 ) . (- √34 )=
. -7 . -7 . -7 = 2 401
(4√54− 5 )2 = 4√54− 5
. 4√54− 5
Para resolver este tipo de ejercicios debemos tener muy presente las propiedades de
la potenciación en los números Racionales (Q).
Compilador: Prof. Samir Montilla
22
D e f i n i c i ó n d e i n t e r va l o
S e l l a m a i n t e r va l o a l c o n j u n t o d e n úm e r o s r e a l e s c o m p r en d i d o s e n t r e
o t r o s d o s d a do s : a y b q u e s e l l a m a n ext r e m o s d e l i n t e r va l o .
I n t er va l o a b i e r t o
I n t er va l o a b i e r t o , ( a , b ) , e s e l c o n j u nt o d e t o d o s l o s n ú m e r o s r e a l es
m a yo r e s q u e a y m en o r e s q u e b .
(a, b) = {x
/ a < x < b}
23
I n t er va l o c e r r a d o
I n t er va l o c e r r a d o , [ a , b] , e s e l c o nj u n t o d e t o d o s l o s n ú m e r os
r e a l e s m a yo r e s o ig u a l e s q u e a y m e n o r e s o ig u a l e s q u e b .
[a, b] = {x
/ a ≤ x ≤ b}
I n t er va l o s e m i a b i e r t o p o r l a i zq u i e r d a
I n t er va l o s e m i a b i e r t o p o r l a i zq u i e r d a , ( a, b] , e s e l c o nj u n t o d e
t o d o s l o s n ú m e r o s r e a l e s m a yo r e s q u e a y m e n o r e s o i g u a l e s q ue
b.
(a, b] = {x
/ a < x ≤ b}
Compilador: Prof. Samir Montilla
I n t er va l o s e m i a b i e r t o p o r l a d e r e c h a
I n t er va l o s e m i a b i e r t o p o r l a d e r e c h a , [ a , b ) , e s el co nj u n t o d e
t o d o s l o s n ú m e r o s r e a l e s m a yo r e s o i g u a l e s q u e a y m e n o r e s q ue
b.
/ a ≤ x < b}
[a, b) = {x
24
C u a n d o q u e r e m o s no m b r ar u n c o nj u n t o d e p u n t o s f o r m a d o p o r d os
o m á s d e es t o s i n t er va l o s , s e ut i l i za e l s i g n o
( u ni ó n ) e n t r e e l l o s .
S e m irre cta s
Las
s e m i r r e ct a s
es t á n
d et e r m i n a d a s
por
un
nú m er o .
En
una
s e m i r r ec t a s e e n c ue n t r a n t o d o s l o s n ú m e r o s m a yo r e s ( o m e n o r es)
que él.
x > a
(a, +∞) = {x
/ a < x < +∞ }
x ≥ a
[ a , +∞ ) = { x
/ a ≤ x < +∞}
x < a
Compilador: Prof. Samir Montilla
(-∞, a) = {x
/ -∞ < x < a}
x ≤ a
(-∞, a] = {x
/ - ∞ < x ≤ a}
25
V a l o r a b s o l u t o y s us p r o p i e d a d e s:
Valor absoluto de un número real a, se escribe |a|, es el mismo
n ú m e r o a c u a n d o e s p o s i t i vo o c e r o , y o p u e s t o d e a , s i a e s
n e g at i vo .
|5 | = 5
|- 5 |= 5
|0 | = 0
Propiedad 1
|0 | = 0 E l ú n i c o nú m e r o r e a l c u yo V a l o r a b s o l u t o e s c e r o ,
e s e l n úm e r o c e r o.
Propiedad 2
|5 | = 5 y | - 5 |= 5 E l va l o r a b s o l u t o d e d e u n n ú m e r o r ea l
p o s i t i vo e s i g u a l a l va l o r a b s o l u t o d e un n ú m er o r e a l n eg a t i vo .
Propiedad 3
X = 3
| X |= 3
X = - 3 S i e l va l o r a b s o l u t o d e u n nú m e r o
r e a l X e s a , es o s ig n i f i c a q u e X = a ó x = - a.
Compilador: Prof. Samir Montilla
Propiedad 4
|5 + 3 |= |5 | + |3 |
| 8 |= 5 + 3
8 = 8
E l va l o r a b s o l u t o d e l a a d i c i ó n d e d o s n úm e r o s
p o s i t i vo s , e s ig u a l a l a s um a d e l o s va l o r e s
a b s o l u t o s d e c a d a su m a n d o .
|- 5 + 3 | < | - 5 | + |3 | E l va l o r a b s o l u t o de l a a d i c i ó n d e u n su m a n d o
| - 2 | <
5 + 3
p o s i t i vo y u n s um an d o n eg a t i vo , e s m en o r q u e
2 < 8
l a s um a d e l o s va l o r e s a b s o l ut o s d e l o s
.
s um a n d o s
Propiedad 5
26
|8 . 2 | = | 8 | . |2 |
| - 8 . 2 | = | - 8 | . |2 |
| 16 | = 8 . 2
| 16 | =
8 . 2
16 = 16
16 = 16
E l va l o r a b s o l u t o d e d o s n úm e r os q u e se m u l t i p l i c a n e s i g ua l a l
p r o d u c t o d e l o s va l o r e s a b s o l ut o s
Propiedad 6
𝟑
│𝟓 │=
|𝟑|
|𝟓|
=
𝟑
𝟓
E l va l o r a b s o l u t o d e l c o c i e nt e d e d o s n úm e r os r e al e s e s
i g u a l a l c o c i e nt e d e l o s va l o r e s a b s o l u t os d e l d i vi d e n d o y e l d i v i s o r .
Distancia
La distancia entre dos números reales a y b, que se escribe
d ( a , b ) , s e d ef i n e co m o e l va l o r a b s o l u t o d e l a d i f er e n c i a d e a m b o s
números:
d ( a , b ) = |b − a |
L a d i s t a n c i a e nt r e − 5 y 4 e s :
d ( − 5 , 4) = |4 − ( − 5 ) | = |4 + 5 | = | 9|
P o t e n c i a s c o n e x po n e n t e e nt e r o
Compilador: Prof. Samir Montilla
C o n e xp o n e n t e r a c io n a l o f r a c c i o n a r i o
Propiedades
27
1. a0 = 1 ·
2. a1 = a
3 . P r o d u c t o d e p o t en c i a s c o n l a m i s m a b a s e : E s o t r a p o t en c i a c o n
l a m i s m a b a s e y c u yo e xp o n e n t e e s l a su m a d e l o s e xp o n e n t e s .
am · a
n
= am+n
( − 2 ) 5 · ( − 2) 2 = ( − 2 ) 5 + 2 = ( − 2 ) 7 = − 1 2 8
4 . D i vi s i ó n d e p o t e n c i a s c o n l a m i s m a ba s e : E s o t r a p o t e n c ia c o n l a
m i s m a b a s e y c u yo e xp o n e n t e e s l a d if er e n c i a d e l o s e xp o n e n t e s .
am : a
n
= am
- n
(−2)5 : (−2)2 = (−2)5
- 2
= ( − 2) 3 = - 8
5 . P o t e n c i a d e u n a p o t e n c i a : E s ot r a po t e n c i a c o n l a m i sm a b a s e y
c u yo e xp o n e n t e e s e l p r o d u c t o d e l o s exp o n e n t e s .
(am)n=am
· n
[ ( − 2) 3 ] 2 = ( − 2) 6 = 6 4
6 . P r o d u ct o d e p o t en c i a s c o n e l m i s m o e xp o n e n t e : E s ot r a p o t e n c ia
c o n e l m i s m o e xp o n e n t e y c u ya b a s e es e l p r o d u ct o de l a s b a s e s
an · b
n
= ( a · b)
n
( − 2 ) 3 · ( 3) 3 = ( − 6 ) 3 = − 2 1 6
Compilador: Prof. Samir Montilla
7 . C o c i e n t e d e p o t en c i a s c o n e l m i s m o e xp o n e n t e : E s o t r a p o t e n c i a
c o n e l m i s m o e xp o n e n t e y c u ya b a s e es e l c o c i e n t e d e l a s ba s e s .
an : b
n
= ( a : b)
n
( − 6 ) 3 : 3 3 = ( − 2) 3 = − 8
U n r a d i c a l e s u n a exp r e s i ó n d e l a f or m a
, en la que n
; c o n t a l q u e c u a n do a s e a n eg a t i vo , n h a d e s er im p a r .
P o t e n c i a s y r a d i c a l es
S e p u e d e e xp r e s a r u n r a d i c a l e n f or m a d e p o t e n c i a :
Compilador: Prof. Samir Montilla
y a
28
R a d i a l e s e q u i va l e n t e s
U t i l i za n d o l a n o t a c i ó n d e e xp o n e n t e f r a c c i o n a r i o y l a p r o p i e d a d d e
las
f r a cc i o n e s
q ue
dice
que
si
se
multiplica
n u m er a d o r
y
d e n o m i n a d o r p or un m i s m o n úm er o l a f r a cc i ó n e s eq u i va l e n t e ,
o b t e n e m o s q u e:
29
S i s e m u l t i p l i c a n o d i v i d e n e l í n d i c e y e l e xp o n e n t e d e u n r a d i c a l
p o r u n m i sm o n úm e r o n a t ur a l , s e o bt i e n e o t r o r a d i c a l eq u i v a l e n t e .
S i m p l i f i c a c i ó n d e r ad i c a l e s
S i e x i s t e u n n ú m e r o n a t u r a l q u e d i vi d a a l ín d i c e y a l e xp o n e n t e ( o
l o s e xp o n e n t e s ) d e l r a d i c a n d o , s e o bt i e n e u n r a d i c a l s i m p l if i c a d o .
1 H a l l a m o s e l m ín i m o c o m ún m ú l t i p l o d e l o s ín d i c e s , q u e s e r á e l
c o m ú n ín d i c e
2 D i v i d i m o s e l c o m ú n ín d i c e p o r c a d a u n o d e l o s ín d i c e s y c a d a
resultado
o bt e n i d o
c o r r e s p o n d i e nt e s .
Compilador: Prof. Samir Montilla
se
multiplica
por
sus
e xp o n e n t e s
E xt r a c c i ó n d e f a c t or e s f u er a d e l s i g n o r a d i c a l
S e d e s c o m p o n e e l r a d i c a n d o e n f a c t or es . S i :
1 U n e xp o n e n t e e s m e n o r
que el
c o r r e s p o n d i e nt e s e d e j a e n e l r a d i c a n do .
índice,
el
f a ct or
30
2 U n e xp o n e n t e e s i g u a l a l ín d i c e , e l f ac t o r c or r es p o n d i e n t e s a l e
fuera del radicando.
3
Un
e xp o n e n t e
es
m a yo r
que
el
ín d i c e ,
se
d i vi d e
dicho
e xp o n e n t e p o r e l ín d i c e . E l c o c i e n t e o b t e n i d o e s e l e xp o n e n t e
d e l f ac t or f u er a d el r a d i c a n d o y e l r e s t o e s e l e xp o n e n t e d e l
f a c t or d e nt r o d e l r ad i c a n d o .
I n t r o d u c c i ó n d e f a ct o r e s d e nt r o d e l s ig no r a d i c a l
S e i n t r o d u c e n l o s f a c t o r e s e l e va d o s a l ín d i c e c o r r e s p o n d i e n t e d e l
radical.
Compilador: Prof. Samir Montilla
31
S o l a m e n t e p u e d e n s u m a r s e ( o r e s t ar se ) d o s r a d i c a l e s c u a n d o
son radicales semejantes, es decir, si son radicales con el
m i s m o ín d i c e e i g u al r a d i c a n d o .
R a d i c a l e s d e l m i s m o ín d i c e
P a r a m u l t i p l i c a r r ad i c a l e s c o n e l m i s m o ín d i c e s e m u l t i p l i c a n l o s
r a d i c a n d o s y s e d ej a e l m i sm o ín d i c e .
C u a n d o t e r m i n e m os d e r e a l i za r u n a o p e r a c i ó n e xt r a e r e m o s f a c t or e s
d e l r a d i c a l , s i e s p os i b l e .
Compilador: Prof. Samir Montilla
R a d i c a l e s d e d i s t i n t o ín d i c e
P r i m e r o s e r e d u c e n a ín d i c e c o m ú n y l u e g o s e m u l t i p l i c a n .
32
R a d i c a l e s d e l m i s m o ín d i c e
Para
d i vi d i r
radicales
con
el
mismo
ín d i c e
se
dividen
r a d i c a n d o s y s e d ej a e l m i sm o ín d i c e .
R a d i c a l e s d e d i s t i n t o ín d i c e
P r i m e r o s e r e d u c e n a ín d i c e c o m ú n y l u e g o s e d i vi d e n .
Compilador: Prof. Samir Montilla
los
Cuando
t e r m i n em o s
de
r e a l i za r
una
o p e r a c ió n
s i m p l i f i c ar e m o s e l r a d i c a l , s i e s p o s i b l e .
33
P a r a e l e va r u n r a d i c a l a u n a p o t e n c i a , s e e l e va a d i c h a p o t e n c i a e l
r a d i c a n d o y s e d ej a e l m i s m o ín d i c e .
Compilador: Prof. Samir Montilla
L a r a í z d e u n r a d i c a l e s o t r o r a d i c a l d e i g u a l r a d i c a n d o y c u yo
34
ín d i c e e s e l p r o d u ct o d e l o s d os ín d i c e s .
L a r a c i o n a l i za c i ó n d e r a d i c a l e s c o n s i s t e e n q u i t ar l o s r a d i ca l e s d e l
denominador, lo que permite facilitar el cálculo de operaciones
c o m o l a s u m a d e f r ac c i o n e s .
P o d e m o s d i st i n g u i r t r e s c a s o s.
1 R a c i o n a l i za c i ó n d e l t i p o
S e m u l t i p l i c a e l n um e r a d o r y e l d e n o m i na d o r p or
Compilador: Prof. Samir Montilla
.
35
2 R a c i o n a l i za c i ó n d e l t i p o
S e m u l t i p l i c a n u m e r a d o r y d e n o m i n a d or p o r
3
R a c i o n a l i za c i ó n
del
tipo
,
y
en
g e n er a l
.
cuando
el
d e n o m i n a d o r s e a u n b i n o m i o c o n a l m e no s u n r a d i c a l .
S e m u l t i p l i c a e l n u m e r a d or y d e n o m i n a d o r p o r e l c o n j ug a d o d e l
denominador.
E l c o n j u g a do d e u n b i n o m i o e s i g u a l a l b i n o m i o c o n e l s i g no c e n t r a l
cambiado:
Compilador: Prof. Samir Montilla
36
T am b i é n t e n em o s q u e t e n e r e n cu e n t a q u e: " s um a p or d if er e n c i a e s
i g u a l a d if e r e n c i a de c u a d r a d o s " .
Compilador: Prof. Samir Montilla
F ó r m u l a p a r a r e s ol ve r e c u a c i o n e s d e s e g u n d o g r a d o
S i u n a e c u a c i ó n e s c u a d r á t i c a, p er o n o t i e n e l a f or m u l a ,
A x 2 + B x + C = 0 , c o n A ≠ 0 , s e r e s u e l ve n t o d a s l a s o p e r a c i o n e s
i n d i c a d a s p a r a r e d uc i r l a a e s a f or m a, y c o n o c e r a s í c u á l e s s o n s us
c o ef i c i e n t e s . F o r m u la 𝒙 =
−𝒃±√𝒃𝟐 −𝟒𝒂𝒄
𝟐𝒂
Ejemplo: a) 3x2 – 2x – 1 = 0
A= 3, B= –2, C=–1
S e s u s t i t u ye n l o s va l o r e s e n l a f or m u l a
𝒙=
−(−𝟐) ± √(−𝟐)𝟐 − 𝟒. 𝟑. (−𝟏)
𝟐. 𝟑
𝒙=
𝟐 ± √ 𝟒 + 𝟏𝟐
𝟔
𝒙=
𝟐 ± √ 𝟏𝟔
𝟔
𝒙=
𝟐 ±𝟒
𝟔
𝒙𝟏 =
𝟐 ±𝟒
𝒙𝟐 =
𝟐 ±𝟒
𝟔
𝟔
=
=
𝟔
𝟔
−𝟐
𝟔
= 1
= −
𝟏
𝟑
Compilador: Prof. Samir Montilla
37
Las
ecuaciones
irracionales,
o
e c u ac i o n e s
con
radicales,
s on
aquellas que tienen la incógnita bajo el signo radical.
Resolución de ecuaciones irracionales
1º Se aísla un radic al en uno de los dos m iem bros, pasando al otro
m iem bro el resto de los térm inos, aunque tengan tam bién radicales.
2º Se elevan al cuadrado los dos m iem bros.
3º Se resuelve la ecuación obtenida.
4º Se comprueba si las soluciones obtenidas verifican la ecuación
inicial. Hay que tener en cuenta que al elevar al cuadrado una ecuación
se obtiene otra que tiene las mismas soluciones que la dada y, además
las de la ecuación que se obtiene cambiando el signo de uno de los
m iem bros de la ecuación.
5º Si la ecuación tiene varios radicales, se repiten las dos primeras
fases del proceso hasta eliminarlos todos.
1 º A i s l a m o s e l r a d i ca l :
2 º E l e va m o s a l c u ad r a d o l o s d os m i e m b r o s :
3 º R e s o l ve m o s l a ecu a c i ó n :
Compilador: Prof. Samir Montilla
38
4 º C om p r o b am o s :
L a e c u a c i ó n t i e n e po r s o l u c i ó n x = 2 .
39
Inecuaciones de primer grado con una incógnita
Se denomina “desigualdad” a toda expresión que se establece entre números
reales mediante las expresiones: “menor que” (<)
“mayor que” (>)
“mayor o igual que” (≥) “menor o igual que”(≤)
Una inecuación de primer grado con una incógnita es una desigualdad que
involucra números reales una sola variable elevada al exponente uno. El valor
de la incógnita que convierte a la inecuación en una desigualdad verdadera se
denomina solución de la inecuación. El conjunto de todas las soluciones de la
inecuación se llama conjunto solución y se denota con la letra S.
Ejemplos:
Compilador: Prof. Samir Montilla
a) 3x + 2 < 5
3x + 2 – 2 < 5 – 2
.
se resta en ambos miembros – 2 y se
Eliminan en el 1er miembro
3x < 5 – 2
se restan los del 2do miembro
3x < 3
se dividen ambos miembros entre 3
3 x
3
<
40
3
3
X < 1
la solución es todos los valores menores
.
que uno, puede realizarse una recta
numérica para ubicar la solución.
b)
𝑋
8
–6> –
2
5
c) ( 7X – 1) ≥ 10X
d)
.
12 x
𝑥−1
≤3
Resolución de sistemas de ecuaciones por el método de sustitución
1 Se despeja una incógnita en una de las ecuaciones.
2 Se sustituye la expresión de esta incógnita en la otra ecuación,
obteniendo un ecuación con una sola incógnita.
3 Se resuelve la ecuación.
4 El valor obtenido se sustituye en la ecuación en la que aparecía la
incógnita despejada.
5 Los dos valores obtenidos constituyen la solución del sistema.
Compilador: Prof. Samir Montilla
1 Despejamos una de las incógnitas en una de las dos ecuaciones.
Elegimos la incógnita que tenga el coeficiente más bajo.
2 Sustituimos en la otra ecuación la variable x, por el valor anterior:
3 Resolvemos la ecuación obtenida:
4 Sustituimos el valor obtenido en la variable despejada.
5 Solución
Resolución de sistemas de ecuaciones por el método de reducción
1 Se preparan las dos ecuaciones, multiplicándolas por los números que
convenga.
2 La restamos, y desaparece una de las incógnitas.
3 Se resuelve la ecuación resultante.
4 El valor obtenido se sustituye en una de las ecuaciones iniciales y se
resuelve.
5 Los dos valores obtenidos constituyen la solución del sistema.
Compilador: Prof. Samir Montilla
41
Lo más fácil es suprimir la y, de este modo no tendríamos que preparar
las ecuaciones; pero vamos a optar por suprimir la x, para que veamos
mejor el proceso.
Restamos y resolvemos la ecuación:
42
Sustituimos el valor de y en la segunda ecuación inicial.
Solución:
Resolución de sistemas de ecuaciones por el método de igualación
1 Se despeja la misma incógnita en ambas ecuaciones.
2 Se igualan las expresiones, con lo que obtenemos una ecuación con una
incógnita.
3 Se resuelve la ecuación.
4 El valor obtenido se sustituye en cualquiera de las dos expresiones en
las que aparecía despejada la otra incógnita.
5 Los dos valores obtenidos constituyen la solución del s istema.
1 Despejamos, por ejemplo, la incógnita x de la primera y segunda
ecuación:
Compilador: Prof. Samir Montilla
2 Igualamos ambas expresiones:
43
3 Resolvemos la ecuación:
4 Sustituimos el valor de y, en una de las dos expresiones en las que
tenemos despejada la x:
5 Solución:
Compilador: Prof. Samir Montilla