Transformaciones en el plano

ACADEMIA SABATINA
TRANSFORMACIONES EN EL PLANO
Llamaremos transformación geométrica a una operación que permite producir una nueva
figura (imagen) de la dada originalmente. Las podemos clasificar en directas, cuando las
figuras conservan el sentido en el plano orientado, e inversa, cuando los sentidos de las
dos figuras son contrarios.
También se pueden clasificar según el aspecto de la imagen respecto a la original:
 Isométricas, cuando conservan las dimensiones y ángulos. Se denominan también
movimientos. Veremos las simetrías axial y central, la traslación y la rotación.
 Isomórficas, cuando conservan la forma de la figura original (los ángulos), pero existe
una proporcionalidad entre las dimensiones de las dos figuras, por ejemplo, la
homotecia.
 Anamórficas, cuando cambia la forma de la figura original, por ejemplo, la homología.
Las transformaciones isométricas son transformaciones de figuras en el plano que
se realizan sin variar las dimensiones ni el área de las mismas. La palabra isometría tiene
su origen en el griego iso (igual o mismo) y metria (medir), igual medida. La figura inicial
y la imagen son semejantes y geométricamente congruentes.
Existen tres tipos: traslación, simetría y rotación.
Traslación: es una isometría que mueve cada punto de la figura a una distancia dada,
en una dirección específica, a lo largo de un vector 𝑣 = (𝑎, 𝑏). La coordenada 𝑎
del vector indica el movimiento horizontal, si es positivo mueve a la derecha y si
es negativo a la izquierda. La coordenada 𝑏 del vector indica el movimiento
vertical, si es positivo mueve hacia arriba y si es negativo hacia abajo.
Formalmente, una traslación dada por el vector 𝑣 = (𝑎, 𝑏) es una función del plano
al plano, tal que, a todo punto (𝑥, 𝑦) le corresponde el punto (𝑥 + 𝑎, 𝑦 + 𝑏).
Ejm 1: Traslación del punto 𝐴, según el vector 𝑢
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Ejm 2: Traslación del triángulo 𝐴𝐵𝐶 , según el vector 𝑢
Ejm 3: Traslación del segmento 𝐹𝐺 , según el vector 𝑐, usando regla y compás
1. Trazamos rectas paralelas al vector c por los puntos F y G.
2. Tomamos con el compás la magnitud del vector y trazamos arcos con centro
en F y G con esta magnitud.
3. Unimos los puntos de intersección de las rectas con los arcos para obtener la
imagen.
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Rotación: es un movimiento de cambio de orientación de un cuerpo, de forma que, dado
un punto cualquiera del mismo, éste permanece a una distancia constante del
centro.
Es una transformación del plano determinada por mantener un punto fijo, llamado
centro, y rotar el plano alrededor de este punto una cierta cantidad en una
dirección específica. Esta cantidad se denomina ángulo de rotación y se toma su
medida en grados.
Si el ángulo es positivo, se rota en sentido contrario a las manecillas del reloj; si
es negativo, se rota en el sentido de las manecillas del reloj.
Ejm 4: Rotación del punto 𝐴, alrededor del punto 𝑂, un ángulo de 60°
Ejm 5: Rotación del segmento 𝐵𝐶 , alrededor del punto 𝐷, un ángulo de −120°
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Ejm 6: Rotación del triángulo 𝐸𝐹𝐺 , alrededor del punto 𝐻 , un ángulo de −90°
Cuando el ángulo de rotación es múltiplo de 90°, podemos realizar la rotación usando
papel cuadriculado, formando los ángulos rectos entre los puntos y el centro de
rotación.
1. Asumimos que el punto de rotación es (0,0).
2. Buscamos las coordenadas de cada punto de la figura con relación al punto de
rotación.
3. Intercambiamos las coordenadas de dichos puntos.
Los signos de las coordenadas dependerán del cuadrante en el que se ubique
cada punto y donde se ubicará su imagen.
Simetría: es la correspondencia exacta en la disposición regular de los puntos de una
figura con relación a un punto (centro de simetría), una recta (eje de simetría) o
un plano. Se denominan: central, axial y especular o bilateral.
Simetría central: es una transformación en la que a cada punto se le asocia otro punto,
que debe cumplir las siguientes condiciones:
a. El punto y su imagen están a igual distancia del centro de simetría.
b. El punto, su imagen y el centro de simetría pertenecen a una misma recta.
Según esto, una simetría central es igual que una rotación de 180º.
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Ejm 7: Simetría central del punto 𝐴, respecto a 𝑂
Ejm 8: Simetría central del triángulo 𝐵𝐶𝐷, respecto a 𝐸
Ejm 9: Simetría central del segmento 𝐹𝐺 , respecto a 𝐻 , usando regla y compás.
1. Trazamos rayos desde los puntos 𝐹 y 𝐺 hacia el centro de simetría.
2. Trazamos dos arcos con centro en 𝐻 y radio 𝐹 y 𝐺 hasta que intersequen los
rayos.
3. Unimos los puntos de intersección entre los arcos y los rayos para obtener la
imagen.
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Simetría axial: es una transformación respecto de un eje de simetría, en la cual, a cada
punto de una figura se asocia a otro punto, que cumple con las siguientes
condiciones:
a. La distancia de un punto y su imagen al eje de simetría es la misma.
b. El segmento que une un punto con su imagen es perpendicular al eje de
simetría.
Esta simetría es conocida mayormente con el nombre de reflexión. En la simetría
axial se conservan las distancias pero no el sentido de los ángulos. El eje de
simetría es la mediatriz del segmento 𝐴𝐴′.
Ejm 10: Reflexión del punto 𝐴, respecto a la recta 𝐿
Ejm 11: Reflexión del triángulo 𝐷𝐸𝐹 , respecto a la recta 𝐿
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Ejm 12: Reflexión del segmento 𝐺𝐻 , respecto a la recta 𝐿, usando regla y compás.
1. Trazamos rayos perpendiculares a la recta 𝐿 desde los puntos 𝐺 y 𝐻.
2. Trazamos dos arcos con radio 𝐺 y 𝐻 y centro los puntos de intersección de los
rayos con la recta 𝐿 (𝐼 y 𝐽).
3. Unimos los puntos de intersección entre los arcos y los rayos para obtener la
imagen.
Composición de simetrías:
Ejm 13: Si aplicamos dos simetrías respecto de ejes paralelos, obtenemos una
traslación cuyo desplazamiento es el doble de la distancia entre dichos ejes.
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Ejm 14: Si aplicamos dos simetrías respecto de ejes que se cortan en 𝐷, obtenemos
una rotación con centro en 𝐷, cuyo ángulo es el doble del que forman dichos ejes.
Ejm 15: Si aplicamos la misma simetría dos veces, obtenemos la transformación
identidad.
Líneas de simetría: una figura geométrica tiene líneas de simetría, si la imagen de la
reflexión respecto a esta línea coincide con la misma figura.
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Simetría rotacional: una figura geométrica tiene simetría rotacional cuando al rotar la
figura, alrededor de algún punto, un ángulo menor de 360°, la imagen coinciden
con la figura original.
Actividades
1. ¿Cuáles son las coordenadas del punto 𝐴 al reflejar el cuadrilátero 𝐴𝐵𝐶𝐷 con respecto
al eje 𝑥?
A.
(5,5)
B.
(5, −5)
C.
(−5, −5)
D.
(−5,5)
2. El triángulo con vértices en los puntos 𝑃 = (1,2), 𝑄 = (5,6), 𝑅 = (4,3) es reflejado
respecto al origen. ¿Cuáles son las coordenadas de los vértices del triángulo
resultante?
A.
𝑃′ = (2,1), 𝑄 ′ = (6,5), 𝑅 ′ = (3,4)
B.
𝑃′ = (−1, −2), 𝑄 ′ = (−5, −6), 𝑅 ′ = (−4, −3)
C.
𝑃′ = (−1,2), 𝑄 ′ = (−5,6), 𝑅 ′ = (−4,3)
D.
𝑃′ = (1, −2), 𝑄 ′ = (5, −6), 𝑅 ′ = (4, −3)
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3. ¿Cuáles de las siguientes transformaciones del plano no preserva la semejanza de
figuras?
A.
Rotación
B.
Traslación
C.
Reflexión
D.
Homología
4. ¿Cuál de las siguientes figuras muestra una rotación?
A.
B.
C.
D.
5. Ana hizo el siguiente diseño usando un hexágono regular y un rectángulo. ¿Cuántos
ejes de simetría tiene el diseño de Ana?
A.
1
B.
2
C.
4
D.
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6. ¿Cuál de las siguientes figuras tiene simetría rotacional?
A.
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B.
C.
D.
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El diagrama muestra los muebles de la habitación de Manuel. Use la cuadrícula para
dibujar la nueva distribución de la habitación con las nuevas coordenadas:
Cama: (1, – 1); (1, – 6); (– 3, – 6); (– 3, – 1)
Silla: (4, – 2); (6, – 4); (4, – 6); (2, – 4)
Armario: (2,4); (2,6); (– 3,6); (– 3,4)
Escritorio: (– 5,2); (– 5,5); (– 6,5); (– 6,2)
7. El mueble que rotó 90° alrededor de una de sus esquinas iniciales es:
A.
Cama
B.
Armario
C.
Silla
D.
Escritorio
8. El movimiento que realizó al armario fue:
A.
Trasladarlo 4 unidades hacia abajo
B.
Rotarlo alrededor de uno de sus lados
C.
Reflejarlo respecto al eje vertical
D.
Trasladarlo 4 unidades a la izquierda
9. El mueble que reflejó respecto al origen es:
A.
Cama
B.
Armario
C.
Silla
D.
Escritorio
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10. ¿Cuál de las siguientes sería una imagen de la figura original bajo rotación?
A.
B.
C.
D.
Dibuje el paralelogramo 𝐴 = (1,5); 𝐵 = (−1,2); 𝐶 = (2,3); 𝐷 = (4,6) en un plano
cartesiano. Realice las siguientes transformaciones y de las nuevas coordenadas del
paralelogramo.
11. Traslación según el vector 𝑣 = (0,4).
12. Traslación de la imagen resultante del paso anterior según el vector 𝑢 = (6,0).
13. ¿Cuál vector transforma el cuadrilátero inicial en la imagen del ejercicio b?
Los puntos 𝐴 = (−10,7); 𝐵 = (−3,8); 𝐶 = (2,3); 𝐷 = (−5,2) son los vértices de un rombo
en el plano cartesiano. Escriba las coordenadas del rombo transformado mediante:
14. Simetría respecto al eje 𝑥.
15. Simetría respecto al eje 𝑦.
16. Simetría respecto a la recta que pasa por los puntos 𝑀 = (0, −3), 𝑁 = (3,6).
17. Rotación de 90° alrededor del punto 𝐴.
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18. Complete las figuras según las líneas de simetría mostradas. Encuentre otras líneas
de simetría, si las hay. Cree una nueva figura y rete a un compañero a descubrirla.
19. Determine cuántas líneas de simetría tiene la figura y si tiene simetría rotacional.
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20. La imagen de la palabra NOON después de rotarla 180° es NOON. ¿Qué otras
palabras tienen esta propiedad?
21. La imagen de la palabra TOT al reflejarla respecto a la línea vertical a través de la O
es TOT. ¿Qué otras palabras tienen esta propiedad?
22. La imagen de la palabra BOOK al reflejarla respecto a la línea horizontal es BOOK.
¿Qué otras palabras tienen esta propiedad?
23. La imagen del número 1881 al reflejarlo respecto a la línea horizontal y luego vertical
es 1881. ¿Qué otros números menores que 2000 tienen esta propiedad?
24. Si la moneda superior se rota alrededor de la moneda inferior hasta que esté al lado,
¿en qué posición queda la cara de la moneda superior?
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25. Busque el punto en que la bola blanca debe golpear la banda inferior para chocar
después con la bola negra.
¿Dónde debe golpear si el juego es a dos bandas?
26. Escriba las transformaciones para llegar de una figura a la otra en el orden mostrado.
27. Use el compás para dibujar un círculo de 4 pulg. de diámetro sobre un papel y córtelo.
Doble por las líneas punteadas que muestran las figuras y finalmente haga los cortes
indicados.
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28. Doble una hoja de papel por la mitad y luego nuevamente por la mitad en el otro
sentido. Realice el dibujo aquí mostrado, sobre la esquina doblada. Corte por la línea
y desdoble.
29. Polihueso: a partir de un cuadrado construir los huesos para teselar el plano,
siguiendo las indicaciones.
30. Palomita: a partir de un triángulo equilátero construir las palomitas para teselar el
plano, siguiendo las instrucciones.
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