UNIDAD II. ALGEBRA 2.3. Proporcionalidad directa e

Matemáticas
UNIDAD II. ALGEBRA
2.3. Proporcionalidad directa e inversa
Para poner esas expresiones en forma de ecuación, requerimos lo que
se conoce como una constante de proporcionalidad, típicamente
llamada “k”.
Hay relaciones entre magnitudes conocidas como directamente
proporcionales e inversamente proporcionales.
Retomando los ejemplos, tenemos:
Recordemos que una razón es la división o el cociente entre dos
números.
Ejemplo 1: Para una empresa, las unidades vendidas “V” de un
artículo son directamente proporcionales a la cantidad invertida en
publicidad “P”.
Proporción es la igualdad de dos razones.
Explicación alternativa de otro profesor de razones y proporciones
http://www.youtube.com/watch?v=SqsHJJyIJ-s
Unidades (V) = Constante de (k) * Inversión en publicidad (P)
Vendidas
proporcionalidad
V=kP
Directamente proporcional
Cuando hablamos que una cantidad es directamente proporcional a
otra, significa que al aumentar una, aumenta la otra.
Ejemplo 1: Para una empresa, las unidades vendidas “V” de un
artículo son directamente proporcionales a la cantidad invertida en
publicidad “P”.
Esto significa que entre mayor sea la inversión en publicidad, mayores
ventas de un artículo.
Ejemplo 2: incremento en las unidades vendidas “V” de un artículo
son directamente proporcionales al descuento “D” ofrecido al cliente.
Ejemplo 3. Para una reacción química A → B (el reactivo A se
consume y se obtiene el producto B) La velocidad de la misma es
directamente proporcional a la concentración del reactivo A.
Es decir, entre más concentrado se encuentre el reactivo A, mayor será
la velocidad de reacción.
Elaboró: MC. Marcel Ruiz Martínez
Ejemplo 2: El incremento en las unidades vendidas “V” de un artículo
son directamente proporcionales al descuento “D” ofrecido al cliente.
Incremento en (V) = Constante de (k) * Descuento ofrecido (D)
Ventas
proporcionalidad
V = kD
Ejemplo 3. Para una reacción química A → B (el reactivo A se
consume y se obtiene el producto B) La velocidad de la misma es
directamente proporcional a la concentración del reactivo A.
Donde: [A] = Concentración del reactivo A, moles/Litro.
Velocidad de reacción (v) = Constante de (k) * Concentración [A]
Proporcionalidad reactivo A
v = k[A]
Para un problema dado la constante de proporcionalidad (K) NO
DEBE CAMBIAR, de ahí su nombre de CONSTANTE.
Se le dice constante de proporcionalidad por que indica la proporción
en la cual una cantidad o variable se relaciona con la otra.
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Matemáticas
Ahora revisaremos esos ejemplos con números:
Ejemplo 1: Para una empresa en un mes determinado, las unidades
vendidas “V” de un artículo fueron de 1000 unidades, cuando la
cantidad invertida en publicidad fue de $10,000 si se sabe que las
ventas y la publicidad son directamente proporcionales ¿Cuál será la
cantidad de unidades vendidas cuando se invierten $12,000 pesos en
publicidad?
Ejemplo 2: Se desea incrementar las ventas en 200 unidades, se ha
determinado que dichas ventas aumentan de forma directamente
proporcional al descuento ofrecido al cliente, se sabe que para un mes
donde se ofreció un descuento de $50 se observó un incremento en las
ventas de 180 unidades. ¿Cuánto deberá ser el valor del descuento para
alcanzar las 200 unidades? [Que el estudiante proponga una solución]
Solución:
Si las ventas (V) y la publicidad (P) son directamente proporcionales
es válida la ecuación siguiente:
V=kP
Ahora nos dan el siguiente dato: cuando la inversión en publicidad fue
de P = $10,000 las unidades vendidas fueron de V = 1000 unidades. Si
sustituimos esos valores en la ecuación:
V=kP
1000 unidades =k ($10,000)
Por lo tanto podemos despejar “k”
k = 1000unidades/$10,000 = 0.1 unidades/$
k = 0.1 unidades/$
Ejemplo 3. Para una reacción química A → B (el reactivo A se
consume y se obtiene el producto B) La velocidad de la misma es
directamente proporcional a la concentración del reactivo A.
Donde: [A] = Concentración del reactivo A, moles/Litro.
Se observó una velocidad de reacción de 10 moles/minuto cuando la
concentración de [A] fue de 5 moles/Litro. ¿Cuál será la velocidad de
reacción al disminuir la concentración a 4 moles/Litro?
Nótese que las unidades de la constante (k) son: “unidades/$”
Como “k” es una CONSTANTE, para un problema dado no debe
cambiar, así que la ecuación para este ejemplo debe ser:
V=kP
V=(0.1 unidades/$)*P
Finalmente nos preguntan: ¿Cuál será la cantidad de unidades vendidas
cuando se invierten P = $12,000 pesos en publicidad? Simplemente
sustituimos el valor de “P”:
V=(0.1 unidades/$)*P
V=(0.1 unidades/$)*($12,000)
V=1,200 unidades RESPUESTA.
Elaboró: MC. Marcel Ruiz Martínez
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Matemáticas
Cuando dos variables guardan una relación conocida como
INVERSAMENTE PROPORCIONAL, significa que al aumentar una,
la otra disminuye.
Ejemplo 4. La cantidad de unidades vendidas (V) de un artículo son
inversamente proporcionales al precio del mismo (P).
Esto significa que entre mas aumente el precio del artículo, menores
serán las unidades vendidas. En forma de ecuación queda:
V =k
1
P
O también puede expresarse:
k
V=
P
Ejemplo 5. Se ha identificado que para ciertos atletas la cantidad de
kilómetros que pueden recorrer (X) en bicicletas durante 5 horas es
inversamente proporcional al peso total de la bicicleta (P). ¿Cómo
puede expresarse dicha relación?
k
Solución: x =
P
Ejemplo 6. La distancia que puede recorrer un vehículo con 1 litro de
gasolina y con el mismo motor, es inversamente proporcional al peso
total del vehículo (p). ¿Cómo se expresa esta relación?
k
Solución: d =
p
Ahora con números:
Elaboró: MC. Marcel Ruiz Martínez
Ejemplo 4 con números. En un negocio, se lograron vender 100
unidades de en promedio de un producto, cuando el precio es de $50, si
la cantidad de unidades vendidas de un artículo son inversamente
proporcionales al precio del mismo, realice lo siguiente:
a) Elija una letra para representar cada variable del problema (dos
variables).
b) La ecuación que relaciona las ventas y el precio
c) La constante de proporcionalidad (k) con sus respectivas
unidades.
d) Las ventas esperadas cuando el precio del producto es de $60.
Solución:
INCISO A) El problema nos dice que la cantidad de unidades vendidas
son inversamente proporcionales al precio del producto, por lo cual la
respuesta al inciso A es:
k
V=
P
INCISO B) Para determinar la constante de proporcionalidad usamos el
dato siguiente: “se lograron vender 100 unidades de en promedio de un
producto, cuando el precio es de $50” sustituyendo esta información en
la ecuación obtenida en el inciso A queda:
k
100unidades =
50$
k
= 100unidades
50$
k = (100unidades ) 50$ = 5, 000 unidad $
Nótese que las unidades de la constante K son “unidad*$”
INCISO C) Con la constante de proporcionalidad la ecuación queda:
5, 000unidades *$
V=
P
Se pregunta cuales será las ventas cuando el precio del producto es de
$60, quedando:
5, 000unidades *$ 500
V=
=
unidades = 83.3unidades
60$
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Matemáticas
Práctica en clase 2.3. Proporcionalidad directa e inversa. Resuelve
los siguientes problemas:
1.- Según algunos registros, la cantidad de accidentes automovilísticos
(A) en la ciudad aumenta en forma directamente proporcional a la
cantidad de ventas (V) de bebidas alcohólicas. Si para un fin de
semana determinado se registraron 2 accidentes cuando las ventas
fueron de $100,000; determine:
a) La ecuación que relaciona los accidentes (A) con las ventas (V)
b) La constante (k) de proporcionalidad
c) Cuantos accidentes podrá haber un fin de semana cuando las
ventas aumentaron a $120,000.
NOTA IMPORTANTE: TODOS LOS PROBLEMAS SON FICTICIOS Y NO
REPRESENTAN SITUACIONES REALES. EL FIN DE LOS MISMOS ES
EJERCITAR EL PRESENTE TEMA.
2.- Un estudio ha determinado que una persona baja más fácilmente de
peso al consumir más litros de agua diarios, bajo condiciones
controladas un sujeto de prueba bajo 1.5 kilogramos en una semana al
consumir 2 litros diarios; realice lo siguiente:
a) Elija una letra para representar cada variable del problema
b) Deduzca la ecuación que relaciona ambas variables
c) Determine la constante de proporcionalidad (k) con sus
unidades.
d) Cuanto podrá bajar dicha persona si consume 2.5 litros de agua
diarios.
3.- La velocidad a la cual puede ir un vehículo determinado varía de
forma inversamente proporcional a la carga que lleva; cuando el
vehículo lleva 100 kilogramos, puede alcanzar una velocidad máxima
de 180 kilómetros por hora. Determine lo siguiente:
a) Elija una letra para representar cada variable.
b) Determine la ecuación que relaciona ambas variables
c) Determine la constante de proporcionalidad para este caso
d) Si se reduce la carga a 90 kilogramos ¿Cuál será la nueva
velocidad máxima del vehículo?
Elabore una PRÁCTICA DE EJERCICIOS siguiendo las rubricas
correspondientes: http://marcelrzm.comxa.com/Rubricas/Rubricas.htm
Puede enviar el documento final por correo electrónico a las siguientes
direcciones: marcelrzm@hotmail.com; marcelrzm@yahoo.com.mx y
marcelrz2002@yahoo.com.mx
Elaboró: MC. Marcel Ruiz Martínez
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