APLICACIÓN DE LA TEORÍA DE GAGNE EN UNA

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APLICACIÓN DE LA TEORÍA DE GAGNE EN UNA CLASE DE FÍSICA UTILIZANDO UN
MODELO MATEMÁTICO DEL COMPORTAMIENTO DE LA CONDUCCIÓN DE
TEMPERATURA EN UNA PLACA TRIANGULAR EN FORMA BIDIMENSIONAL Y
RÉGIMEN ESTACIONARIO.
Por : Lcda. Coello Pisco Silvia, Ing. Díaz José
Orlando Díaz.
ESCUELA SUPERIOR
POLITÉCNICA DEL LITORAL
Campus Gustavo Galindo Km 30.5 Vía
Perimetral, Apartado 09-01-5863, Guayaquil,
Ecuador
Instituto de Ciencias Físicas
Teléfono:042853684
3 de Mayo del 2011
Con la finalidad de ampliar y profundizar los conocimientos
en el aula de clases de Física, se procede a utilizar un modelo
matemático para la conducción de temperatura aplicando la
teoría de Gagne, con el objetivo de fortalecer e incrementar
habilidades intelectuales y cognoscitivas para tener una
mejor actitud para resolver problemas. El desarrollo de la
ecuación diferencial de la temperatura en función de las
posiciones y condiciones de frontera son necesarias, para
que los estudiantes puedan aplicar en las diferentes
situaciones o contextos,
problemas de aplicación en
Ingeniería. Por otra parte, la utilización de matemáticas
superiores como el cálculo integral y las series de Fourier dan
soluciones a ecuaciones diferenciales parciales utilizadas en la
conducción de temperatura las cuales se pueden dar solución
con una descripción matemática y simulación computacional
la cual beneficiaria enormemente no sólo al estudiante sino
también a la sociedad.
2
APLICACIÓN DE LA TEORÍA DE GAGNE EN UNA CLASE DE FÍSICA
UTILIZANDO UN MODELO MATEMÁTICO DEL COMPORTAMIENTO DE LA
CONDUCCIÓN DE TEMPERATURA EN UNA PLACA TRIANGULAR EN FORMA
BIDIMENSIONAL Y RÉGIMEN ESTACIONARIO.
Lcda. Coello Pisco Silvia, Ing. Díaz Santamaría José Orlando
Instituto de Ciencias Físicas, Escuela Superior Politécnica del Litoral, Campus Gustavo Galindo Km 30.5 Vía
Perimetral, Apartado 09-01-5863, Guayaquil, Ecuador
E-mail: josodiaz@espol.edu.e. silvicoell@rocketmail.com.
Abstract
In order to enhance the intellectual skills, cognitive student in the classroom whose goal is to help the learner's
academic performance for it to make a proper attitude and receipt of the information submitted by the teacher at
the time of resolution problems of heat conduction in a two-dimensional and steady, and any other problematic
situation that comes your way. The classic demonstration of a mathematical model to find where he is the
temperature of the plate is intended to broaden and deepen the mathematical calculation of heat conduction in a
two-dimensional and steady. In this model we propose class educational level, applying the theory of information
processing proposed by Gagne, by the teacher at the time of solving problems in which the student can perform
various calculations using definite integration and series Fourier and some additional simulation is aimed at
strengthening intellectual and cognitive skills that foster performance in solving problems
Words fix: Learning Theory of information processing, cognitive and intellectual abilities, differential and integral
equation, Fourier series
PACS: 01.40.Fk, 01.30.la,01.30.Os.0.1.50Pa
Resumen
Con la finalidad de potenciar las habilidades intelectuales, cognoscitivas del estudiante dentro del aula de clases
cuya meta es el de contribuir el desempeño académico del discente para que éste presente una adecuada actitud y
recepción de la información presentada por el docente en el instante de la resolución de problemas de
conducción de calor en forma bidimensional y régimen estacionario y cualquier otra situación problemática que se
le presente. La clásica demostración de encontrar un modelo matemático en donde se halle la temperatura de la
placa tiene como finalidad ampliar y profundizar la parte del cálculo matemático en la conducción de calor en
forma bidimensional y régimen estacionario. En este modelo de clase que proponemos a nivel didáctico,
aplicando la teoría de procesamiento de la información propuesta por Gagne, por parte del docente en el instante
de resolver problemas, en el cual el estudiante puede realizar diferentes cálculos utilizando la integración
definida y series de Fourier y algo adicional que es la simulación cuyo objetivo es fortalecer las habilidades
intelectuales y cognoscitivas lo que fomentaran el desempeño en la solución de problemas.
Palabras claves: Aprendizaje, Teoría del procesamiento de la información, habilidades cognoscitivas e
intelectuales, ecuación diferencial e integral, serie de Fourier
3
1.- INTRODUCCIÓN.
El presente trabajo de la elaboración de una clase
utilizando el método de Gagne utiliza una teoría
basada en [1]:
1.
2.
3.
Proceso de Aprendizaje
Análisis de resultados
Condiciones de Aprendizaje
Mas sin embargo esta enfoca nueve pasos de los
cuales tenemos:
a) Ganar la atención
b) Informar a los alumnos cuáles son los
objetivos
c) Evocar los conocimientos previos
d) Presentar el Contenido (nueva información)
e) Proveer guía en el aprendizaje
f) Provocar el desempeño (práctica)
g) Proveer Feedback (retroalimentación)
h) Evaluar el desempeño
i) Mejorar la retención y la transferencia
¿Pero en que consiste este proceso?
El proceso consiste capacitar a los estudiantes para
modificar su conducta y potenciar la información
verbal,
habilidades
intelectuales,
estrategias
cognoscitivas la cual le dan mayor cognición actitud y destreza motora que le servirá para la
solución de problemas de la conducción de calor en
forma bidimensional y régimen estacionario que se
propone.
Estos principios de aprendizaje servirán para:
1.
2.
Tener un conocimiento previo de las series de
Fourier.
Tener en cuenta “El principio de conducción de
calor [2] como se cumple en esta experiencia
3.
Tener una motivación y confianza de la utilidad
de la conducción de calor o temperatura en
forma bidimensional.
4.
El aprendizaje debe estar coherente con los
contenidos planteados.
¿Cuáles son las condiciones de este aprendizaje?
Se utilizará modelos matemáticos para entender la
forma de la conducción de calor.
Los metales conductores semiconductores tienen
características especiales y una de ellas es la
distribución de la temperatura de acuerdo a la
posición x, y.
1.2 OBJETO DE ESTUDIO
Nuestro objetivo como investigadores es el de
contribuir en el rendimiento académico de los
estudiantes aplicando modelos pedagógicos con la
finalidad de desarrollar destrezas y habilidades de
pensamiento cada vez que se realiza el acto
didáctico dentro del aula de clases, aunque esto no
parezca importante en la educación superior es vital
para la formación continua de los discentes, debido a
los diferentes distractores que se presenta en la
actualidad, sean de carácter emocional o social, que
afecta su estado de ánimo y en la cual los docentes
de todos los niveles deberían de concientizar para
mejorar sus clases con la finalidad de promover el
espíritu de investigador en los futuros profesionales
que requiere toda sociedad.
1.2.1 Objetivo general de la clase:
Determinar la temperatura en forma bidimensional
en régimen estacionario aplicando un modelo
matemático en la cual al finalizar la clase
instruccional el estudiante será capaz de comprender
y resolver problemas de conducción de calor.
1.2.2 Objetivos específicos de la clase:
Al finalizar la clase los estudiantes serán capaces
de:
a. Reconocer la ecuación diferencial que modele la
temperatura en función de sus posiciones.
b. Aplicar las condiciones de frontera en una placa
triangular para encontrar las constantes desconocidas
de la solución general.
c. Encontrar la distribución total de la placa
utilizando series de Fourier y proceso matemático
utilizando técnicas sobre ecuaciones diferenciales y
condiciones de frontera para resolver problemas de
conducción de temperatura en forma bidimensional.
d. Construir e interpretar los gráficos temperatura en
función de las posiciones de acuerdo a un sistema
referencial.
f. Determinar los conocimientos adquiridos y la
eficacia para resolver problemas mediante una
evaluación.
4
1.3.1.4 Habilidades psicomotrices desarrollan
suavidad en la acción precisión y el tiempo.
1.3 FUNDAMENTACIÓN TEÓRICA
Todo estudiante antes de resolver un problema de
Física debe tener muy claro las ideas de cada
concepto que intervienen en el mismo con la
finalidad de que las conclusiones del trabajo se
acerquen a un criterio científico que beneficie no
sólo al estudiante sino también a la sociedad
1.3.1.5 Actitud para resolver problemas.
Mejorar la retención y la transferencia
Proporcionar orientación de la Información.
Logar el desempeño
1.3.1 Principios de aprendizaje según Gagné:
Realizar retroalimentación
La teoría del procesamiento de información según
Gagne se basa en el aprendizaje el cual la podemos
subdividir en:
1.3.1.1 Proceso: el estímulo viene del medio
ambiente el cual va los receptores y van a los
registros sensoriales para luego ser almacenados en
la memoria de corta duración y posteriormente va la
memoria de larga duración para realizar búsqueda de
información y luego ir al generador de respuestas
para ejecutar problemas del medio ambiente.
Fomentar la retención y transferencia resolviendo
problemas [3]
Fomenta la evaluación
1.4
CONCEPTOS
DE
CALOR
Y
TEMPERATURA Y CONDUCCION DE
CALOR
Se presenta conceptos de placa bidimensional calor
y temperatura utilizados [4]
1.3.1.2 Fases del aprendizaje:
1.4.1 PLACA BIDIMENSIONAL

Preparación del Aprendizaje

Adquisición del Aprendizaje

Desempeño, Retroalimentación
transferencia
Placa de un material metálico o semiconductor con
características específicas sobre el cual vamos a
determinar la temperatura en régimen estacionario.
1.4.2 TEMPERATURA
1.3.1.3 Resultados:

La información verbal donde obtenemos
un conocimiento declarativo.

Las habilidades Intelectuales donde
obtenemos un conocimiento procedimental
donde aplicamos la:

Discriminación
objetos

Concepto
objetos
concreto
identificamos
los

Concepto
conceptos
definido
clasificamos
los

Regla demostramos los conceptos

Solución de problemas con reglas de alto
nivel resolvemos problemas.

donde
distinguimos
Estrategias cognoscitivas como retiene la
memoria es un procedimiento mental.
La temperatura es una magnitud referida a las
generalidades usuales de caliente, tibio, frío que
puede ser medida, específicamente, con un
termómetro. En física, se define como una magnitud
escalar relacionada con la energía interna de un
sistema termodinámico, definida por el principio
cero de la termodinámica. Está relacionada
directamente con la parte de la energía interna
conocida como "energía cinética", que es la energía
relacionada a los movimientos de las partículas del
sistema, sea en un sentido de traslación, rotación, o
en forma de vibraciones. A mesura de que sea mayor
la energía cinética de un sistema, se prestar atención
que éste se encuentra más "caliente"; es decir, que su
temperatura es mayor. [5]
1.4.3 CALOR
El calor es el proceso de transferencia de energía
entre diferentes cuerpos o diferentes zonas de un
mismo cuerpo que se encuentran a distintas
5
temperaturas. Este flujo siempre ocurre desde el
cuerpo de mayor temperatura hacia el cuerpo de
menor temperatura, ocurriendo la transferencia hasta
que ambos cuerpos se encuentren en equilibrio
térmico[6]
1.4.4 CONDUCCION DE TEMPERATURA
La conducción de temperatura es un elemento de
transferencia de energía térmica entre dos sistemas
basado en el contacto directo de sus partículas sin
flujo neto de materia y que tiende a igualar la
temperatura dentro de un cuerpo o entre diferentes
cuerpos en contacto por medio de transferencia de
energía cinética de las partículas. [7]
debe ejecutar, en otras palabra los objetivos del
aprendizaje, en el cual serán capaces de hacer una
vez finalizada la sesión. Generalmente su
presentación es de tipo: “Una vez finalizada esta
sesión, usted será capaz de….” con el propósito de
estimular y motivarlo para culminar el proceso y
permite al docente establecer las pautas para la
evaluación.
La finalidad es conseguir
una
expectativa del resultado que se conseguirá.
Determinar la temperatura en forma bidimensional
en régimen estacionario aplicando un modelo
matemático, técnicas del cálculo integral y
condiciones de frontera mediante la construcción e
interpretación de los gráficos temperatura en función
de las posiciones de acuerdo a un sistema referencial
c)
1.4.5 EQUILIBRIO TÉRMICO
“El equilibrio térmico es el estado alcanzado por dos
o más sistemas caracterizado por valores
particulares de las coordenadas de los sistemas
después de haber estado en comunicación entre si a
través de una pared diatérmana “.[8]
2. METODOLOGÍA
2.1 PLANIFICACIÓN DE LA CLASE
APLICANDO LOS NUEVES PASO SEGÚN
GAGNÉ.
Descripción de la clase:
Para el dictado de la clase de conducción de calor se
requiere una sesión de ciento veinte minutos que
están dosificados de la siguiente manera:
a) Ganar la atención (10 min):
Planificación de la clase:
Hay que lograr la atención con estímulos, videos y
efectuar la discusión y socialización.
Presentación de un vídeo
http://www.youtube.com/watch?v=v5IC1wk4m10&
feature=related
b) Informar al estudiante los objetivos (5
min)
Este consiste en que el docente debe presentar al
inicio de cada clase los objetivos que el estudiante
Evocar y estimular los conocimiento
previos (10 min)
Para que la nueva información se asocie con
conocimiento previo con la finalidad de facilitar
aprendizaje y promover
la codificación y
almacenamiento en la memoria de largo plazo
procederá a:
el
el
el
se
Ejemplo:
Los metales conductores semiconductores tienen
características especiales y una de ellas es la
distribución de la temperatura de acuerdo a la
posición x, y.
Hacer los recordatorios de lo que es el calor,
temperatura diferencias entre ambas definiciones las
técnicas que se utilizaran para resolver el problema
propuesto.
d) Presentar
el
Contenido
información 15 min)
(nueva
El nuevo contenido es presentado al estudiante y
esta información debe ser desglosada y organizada
significativamente, explicada y luego demostrada.
Usar texto guía para facilitar la variedad de medios
de comunicación, incluyendo el texto, la narración,
los gráficos, elementos de audio y vídeo, entre otros.
Ejemplo:
“Encontrar la conducción de temperatura en una
placa triangular y cuyas condiciones de frontera
están determinadas en la gráfica de forma
dimensional y estacionaria.”
6
e)
Proveer guía en el aprendizaje (20 min)
La ayuda adicional junto con la nueva información
favorecerá la codificación para almacenar la
información en la memoria a largo plazo en el
estudiante, mediante demostraciones de ejemplos,
contraejemplos, casos de estudio, representaciones
gráficas y analogías.
Ejemplo:
Descripción matemática de los problemas
Modelo matemático a usar:
𝜕2 𝑢
𝜕𝑥 2
+
𝜕2 𝑢
𝜕𝑥 2
=0
𝑢(0.1, 𝑦) = 0
𝑢(𝑥, 1.73𝑥) = 0
𝑢 = 𝑋𝑌
Transformación de la ecuación diferencial por
separación de variables.
f)
h) Evaluar el desempeño (20 min)
Se solicitará al estudiante un desempeño adicional
para confirmar la competencia mediante una
evaluación
de
carácter
formativa,
con
retroalimentación informativa, en efecto serán
evaluados de acuerdo con el verbo de acción
establecido en el objetivo. Se tomará una evaluación
para determinar los conocimientos adquiridos y la
eficacia para resolver problemas.
i)
(1)
Condiciones iníciales y de frontera
𝑢(𝑥, 0) = 𝑈𝑜
como hacer las curvas de temperatura dentro de la
placa (una hora en su casa)
Provocar el desempeño (práctica 20min)
Evaluar el desempeño (20 min)
Se provee al estudiante la oportunidad de utilizar el
conocimiento y habilidades adquiridas en contextos
más amplios.
2.2 METODOLOGÍA MATEMÁTICA A
UTILIZAR EN ESTA CLASE PROBLEMA
APLICADO A LA FÍSICA.
Problema
Encontrar la conducción de temperatura en una placa
triangular y cuyas condiciones de frontera están
determinadas en la gráfica de forma dimensional y
estacionaria.
Se pondrá en práctica la nueva habilidad mediante la
ejecución de la acción establecida en el objetivo,
permitiendo al estudiante confirmar el aprendizaje
ya que la práctica incrementa la probabilidad de
retención
Y=1.73x
U=0
0.2
Ejemplo:
u=0
Simulaciones: del modelo matemático y la gráfica
de la temperatura función de las variables x e y. El
alumno deberá practicar como hacer las curvas de
temperatura dentro de la placa.
g) Proveer Feedback (retroalimentación 20
min)
Es de vital importancia que el docente proporcione
una retroalimentación específica e inmediata con
relación al desempeño del discente los problemas,
ejercicios a proponer deben ser asistidos, es decir,
usados para efectos de comprensión y codificación
lo que implica que la retroalimentación será un
feedback formativo. Adicionalmente el estudiante
necesitara de doscientos cuarenta minutos fuera de
clase para reforzar lo aprendido mediante lectura y
resolución de problemas. El alumno deberá practicar
u=Uo
0.1
Gráfica 1. Placa con las condiciones de frontera
Ecuación diferencial de la propagación de temperatura
𝜕2 𝑢
𝜕𝑥 2
+
𝜕2 𝑢
𝜕𝑥 2
=0
(1)
Condiciones iníciales y de frontera
𝑢(0.1, 𝑦) = 0
𝑢(𝑥, 0) = 𝑈𝑜
𝑢 = 𝑋𝑌
𝑢(𝑥, 1.73𝑥) = 0
7
Transformación de la ecuación diferencial por separación
de variables
𝑋 ´´
𝑋
+
𝑌 ´´
𝑌
´´
U(x, y) = ∑∞
n=1 C sen10nπx( cosh 10nπy −
coth17.3nπx senh10nπy)
=0
𝑋 ´´ + λ2 𝑋 = 0
Propagación de temperatura en forma bidimensional y
régimen estacionario
(2)
(7)
Condición inicial para hallar la serie de Fourier
2
𝑌 −λ 𝑌 =0
U(x,0)=Uo=f(x)
La propagación de temperatura en el eje x
X=C1cos λx+C2senh λx
U(x, 0) = ∑∞
n=1 C sen10nπx
(3)
Propagación de temperatura en el eje y
Y=C3cosh λx+C4senh λx
Los coeficientes de la serie de Fourier se calcula de la
siguiente forma:
(4)
∞
∞
𝑛=1
𝑛=1
𝑎𝑜
+ ∑ 𝑎𝑛𝑐𝑜𝑠𝑤𝑛𝑥 + ∑ 𝑏𝑛𝑠𝑒𝑛𝑛𝑤𝑥
2
𝑓(𝑥) =
Propagación de temperatura en forma bidimensional
U(x,y)= (C1cos λx+C2sen λx) (C3senh λy+C4cosh λy) (5)
(8)
Como es una función impar
𝑝
Condición de frontera para hallar C1 y λ
U(0.1,y)=0
𝑏𝑛 = 2/𝑝 ∫−𝑝 𝑓(𝑥). 𝑠𝑒𝑛𝑛𝑤𝑥𝑑𝑥
bn
2
0.1
C1cos λ0.1+C2sen λ0.1=0
𝑏𝑛 =
C1+C2tan λ0.1=0
∫0 𝑠𝑒𝑛10𝜋𝑛𝑥𝑑𝑥 = −
Igualando coeficientes
C1 =0
[9].
0.1
[∫0 𝑈𝑜𝑠𝑒𝑛10𝜋𝑛𝑥𝑑𝑥]
0.1
𝑐𝑜𝑠10𝜋𝑛𝑥 0.1
10𝜋𝑛
|
0
=−
(𝑐𝑜𝑠𝑛𝜋−1)
10𝜋𝑛
El coeficiente n impar
𝑏𝑛 = 20. 𝑈𝑜 [
2
10𝜋𝑛
]
tanλ0.1=0
λ0.1 =nπ
λ =10nπ
𝑏𝑛 =
4𝑈𝑜
𝜋𝑛
𝑢(𝑥, 𝑦) =
4𝑈𝑜
𝜋
∑𝑛=∞
𝑛=1
1
𝑛
. 𝑠𝑒𝑛10𝜋𝑛𝑥. ( cosh 10nπy −
coth17.3nπx senh10nπy)
Propagación de temperatura en forma bidimensional y
régimen estacionario con los datos obtenidos
Si Uo=50 oC
U= C 2sen10nπx (C3cosh 10nπy+C4 senh10nπy)
Ecuación de propagación de temperatura
Condición de frontera para hallar la relación de C3 y C4
𝑢(𝑥, 𝑦) =
U(x,1.73x)=0
U= C 2sen10nπx) (C3cosh 17.3nπx+C4 senh17.3nπx)
C3cosh 17.3nπx+C4 senh17.3nπx =0
C4 =-C 3 coth17.3nπx
U= C 2sen10nπx) C3 (cosh 10nπy - coth17.3nπx
senh10nπy)
200
𝜋
∑𝑛=∞
𝑛=1
1
𝑛
(9)
. 𝑠𝑒𝑛10𝜋𝑛𝑥. ( cosh 10nπy −
coth17.3nπx senh10nπy)
El coeficiente n par
𝑏𝑛 = 0
La función no existiría. [10]
(10)
8
3. SIMULACIÓN EN MATHLAB
Se elabora un programa para encontrar la
temperatura en función de la posición y graficar ese
punto. El alumno debe ser capaz de realizar este
programa. [11] Su fuente será similar al siguiente
pero lo pueden mejorar:
clc
disp(' Modelo Matemático Propagación de la
Temperatura');
x=input('Ingrese x= ');
y=input('Ingrese y= ');
sum=0;
for i=1:100
sum=sum+(sin(31.41*(2*i1)*x)*(cosh(31.41*(2*i-1)*y)-coth(54.34*(2*i1)*x)*sinh(31.41*(2*i-1)*y)))/(2*i-1);
end
sum=sum*63.66;
fprintf('La temperatura en x=%6.2f e y =%6.2f es el
u(x,y)= %10.2f\n',x,y,sum);
m=0:0.001:0.1;
n=1.73*m;
x=0:0.001:0.1;
plot(m,n,0.05,0.01,'o');
title('La temperatura en funcion de la posicion x e
y');
text(0.04,0.1,'y=1.73*x')
text(0.05,0.02,'u(x,y)=39.98 ')
xlabel('x(m)');
ylabel('y(m)');
La ejecución del programa será:
Modelo Matemático Propagación de la Temperatura
Ingrese x= 0.05
Ingrese y= 0.01
La temperatura en x= 0.05 e y = 0.01 es el u(x,y)=
39.98
4. CONCLUSIONES
En nuestro estudio podemos concluir que en la teoría
de Robert Gagne sobre el proceso de la información,
provee a los profesores y estudiantes una
metodología que favorece a la cognición y la
orientación de la información así como el
mejoramiento de las habilidades intelectuales y
psicomotrices las cuales nos dan una mejor actitud
para resolver problemas, y no solamente resolverlos
sino más bien aplicarla en cualquier contexto y
asignatura estudiada por cada individuo.
En esta teoría se fomenta la retroalimentación y
mejoramiento del desempeño, por otra parte, no se
descuida la evaluación la cual es muy detallada y
oportuna en el cual no cabe dudas de su
cuantificación sea esta de carácter formativa o
sumativa.
Más sin embargo, en este estudio se logró establecer
como condiciones externas: el crear la expectativa
mediante el uso de la tecnología como son las TICS
y los graficadores de las series de Fourier que
permite observar el modelo de conducción de calor o
temperatura en forma bidimensional y re régimen
estacionario, viene a ser un agregado en el proceso
de aprendizaje, en el cual se observó que en los
diferentes procesos internos que tienen lugar
durante un proceso de aprendizaje se ven
necesariamente
afectados
por
condiciones
externas al individuo, tales condiciones externas
son definidas por Gagné como los eventos de
instrucción, externos al individuo, que permite que
se produzca un proceso de aprendizaje conocido en
el campo educativo como “el acto didáctico”. Cabe
acotar que la combinación de las condiciones
internas con las condiciones externas puede dar
lugar a diferentes resultados de aprendizaje:
habilidades intelectuales, estrategias cognitivas,
información verbal, destrezas motrices y actitudes.
REFERENCIAS.
Fig. 2 La temperatura en función de la posición x e y
[1]. Gagné, R.(1976). Número especial de la Revista
de Tecnología Educativa, dedicado exclusivamente a
artículos de Gagné, Vol. 5, No 1.
[2]. Karlekar, Desmond.Transferencia de Calor.
Pags.149-159. Segunda Edición.Minesota. 2005
[3]. Máster Francisca Flores 2011
Teoría del Aprendizaje. Módulos 1-5. [3]
[4]. Karlekar, Desmond.Transferencia de Calor.
Pags.149-159. Segunda Edición.Minesota. 2005
[5]. Halliday, David; Robert Resnick (1960-2007).
Fundamentos de Física México.
9
[6].Paul Tipler Física Tercera Edición .México.
Págs. 485-563
[7]. Frank Blatt Física Tercera Edición.Pags.274-345
[8].Zemansky Mark; Dittman Richard. Calor y
Temperatura págs.6-8.
[9].Peter V. O Neil Matemáticas avanzadas para
Ingeniería Ed. Thompson México .Págs. 49-97
Cap.2
[10]. Dennis J. Zill Ecuaciones Diferenciales
Ordinarias. Capítulo 10. México 2010.
[11].Herón Morales, Mathblab 7 para Ciencias de
Ingeniería Cap. 3,4 ,5,13