MÉTODOS DE INTEGRACIÓN Y APLICACIONES EN EL CAMPO

MÉTODOS DE INTEGRACIÓN Y APLICACIONES EN EL CAMPO
ELÉCTRICO
RESUMEN: Se entiende por métodos de
integración cualquiera de las diferentes técnicas
elementales usadas para calcular una
antiderivada o integral indefinida de una función.
Dada una integral, se debe reconocer primero si
es un tipo de integral inmediata o si se puede
reducir a alguno de ellos haciendo
transformaciones elementales; en caso contrario,
habrá que aplicar los métodos de integración.
PALABRAS CLAVE: Integral definida, Integral
indefinida, Integración por tablas, Integración
por partes, Sustitución simple, Sustitución
trigonométrica, Derivación, Fracciones parciales,
Longitud de arco, Áreas, Volúmenes, Ecuaciones
rectangulares, Ecuaciones polares, Ecuaciones
paramétricas, Integración Doble.
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Donde: f´(x) => primitiva de la función o
derivada de f(x)
=> operación de integración
f(x) => función integral
c => constante de integración
dx => variable de integración (dx, dy, dz,
etc.)
f(x) dx => integrales
2.2 PROPIEDADES
1. ∫[f(x) + g(x)] dx =∫ f(x) dx +∫ g(x) dx
2. ∫ k f(x) dx = k ∫f(x) dx
3.
4.
1. INTRODUCCIÓN
La integración es un concepto fundamental del
cálculo y del análisis matemático. Básicamente,
una integral es una generalización de la suma de
infinitos sumandos, infinitamente pequeños.
El cálculo integral, encuadrado en el cálculo
infinitesimal, es una rama de las matemáticas en
el proceso de integración o antiderivación, es
muy común en la ingeniería y en la ciencia
también; se utiliza principalmente para el cálculo
de áreas y volúmenes de regiones y sólidos de
revolución.
2. INTEGRAL INDEFINIDA
2.1 DEFINICIÓN
5.
6. a.dx = a
dx = ax+c
a=c=constante
Integrales que contienen solamente sen:
7.
8.
9.
10.
Se define como:
f´(x)=f(x)
=> f(x)+c =
11.
2
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ELÉCTRICO
2013
12.
24.
13.
25.
14.
15.
26.
27.
28.
16.
29.
17.
30.
18.
31.
Integrales que contienen solamente cos:
32.
19.
33.
20.
Integrales que contienen solamente tan:
21.
34.
22.
35.
23.
36.
3
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ELÉCTRICO
2013
52.
37.
38.
53.
39.
Integrales que contienen solamente cot:
54.
40.
55.
41.
56.
42.
57.
43.
Integrales que contienen sen y cos:
44.
45.
46.
58.
Integrales que contienen sen y tan:
59.
60.
47.
48.
Integrales que contienen cos y tan:
61.
49.
50.
Integrales que contienen sen y cot:
62.
51.
4
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2013
Integrales que contienen cos y cot:
63.
Integrales que contienen tan y cot:
64.
Integrales que contienen sec:
65.
66.
5
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ELÉCTRICO
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6
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ELÉCTRICO
2013
3. INTEGRACIÓN POR TABLAS
La ecuación diferencial de primer orden y' = f
(x, y) toma una forma particularmente simple si
en la función f no aparecen términos con y.
En este caso, para hallar la solución general
basta con integrar ambos miembros de la
igualdad, obteniéndose:
7
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ELÉCTRICO
Ejemplos:
tabla para encontrar fácilmente su primitiva.
Este método realiza lo opuesto a la regla de la
cadena en la derivación.
1.Sea por tabla básica
𝒗𝒏+𝟏
∫ 𝒗𝒏 𝒅𝒗 =
+ 𝑪
𝒏+𝟏
Entonces:
(
Ejemplos:
𝟏−𝒏
+ 𝟏)
1.Resolver el siguiente ejercicio:
𝒏𝒙 𝒏
𝑰=
+ 𝑪
𝟏−𝒏
( 𝒏 + 𝟏)
∫ 𝟒𝒙 𝐬𝐢𝐧(𝟐𝒙𝟐 )𝒅𝒙
𝟏
𝑰 = 𝒏𝟐 . 𝒙𝒏 + 𝑪
𝒏
𝑰 = 𝒏𝟐 √𝒙 + 𝑪
2.Calcular la integral indefinida
.
Una fórmula estándar sobre derivadas establece
que
De este modo, la solución del problema es:
.
4. MÉTODO DE INTEGRACIÓN POR
SUSTITUCIÓN NORMAL O CAMBIO
DE VARIABLE
El método de integración por
sustitución o por cambio de variable se basa en
un teorema. Sea f una función derivable de x en
un intervalo, continuo, sea g una función definida
en ese intervalo I y G su primitiva en ese
intervalo, si:
=> u=f(x)
g(f(x)).f´(x)dx =
=>
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g(u).du
Sea:
𝑢 = sin(2𝑥 2 )
𝑑𝑢 = cos(2𝑥 2 )(4𝑥)𝑑𝑥
𝑑𝑢
𝑑𝑥 =
4𝑥 cos(2𝑥 2 )
Si
2 (2𝑥 2 )
𝑐𝑜𝑠
= 1 − sin(2𝑥 2 )
𝑐𝑜𝑠 2 (2𝑥 2 ) = 1 − √1 − 𝑢2
Entonces:
𝑢𝑑𝑢
𝐼= ∫
√1 − 𝑢2
Sea:
𝑧 = 1 − 𝑢2
𝑑𝑧 = 0 − 2𝑢 𝑑𝑢
Entonces:
1 𝑑𝑧
𝐼= − ∫
2 √𝑧
Donde:
1
(− +1)
𝐼
𝐼
𝐼
𝐼
1 𝑧 2
= −
+ 𝐶
2 (− 1 + 1)
2
= −√𝑧 + 𝐶
= − √1 − 𝑢2 + 𝐶
= − √1 − 𝑠𝑒𝑛2 (2𝑥 2 ) + 𝐶
5. MÉTODO DE INTEGRACIÓN POR
PARTES
El método de integración por partes es el
que resulta de aplicar el siguiente teorema:
g(u).du = G(u)+c = G(f(x))+c
Es decir se realiza un reemplazo de variables
adecuado que permita convertir el integrando en
algo sencillo con una integral o antiderivada
simple. En muchos casos, donde las integrales no
son triviales, se puede llevar a una integral de
.
Ejemplos:
1.Resolver el siguiente ejercicio
8
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ELÉCTRICO
𝑥. 𝑑𝑥
𝑠𝑒𝑛2 (𝑥)
Sea:
1
𝑑𝑣 = ∫
𝑑𝑥
𝑠𝑒𝑛2 (𝑥)
𝑣 = −𝑐𝑜𝑡𝑎𝑛(𝑥) + 𝐶1
𝑢=𝑥
𝑑𝑢 = 1𝑑𝑥
Entonces:
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𝐼= ∫
𝐼 = 𝑢𝑣 − ∫ 𝑑𝑢. 𝑣.
𝐼 = −𝑥. 𝑐𝑜𝑡𝑎𝑛 (𝑥) + ∫ 𝑐𝑜𝑡𝑎𝑛 (𝑥)𝑑𝑥
𝐼 = −𝑥. 𝑐𝑜𝑡𝑎𝑛 (𝑥) + 𝑙𝑛 |𝑠𝑒𝑛 (𝑥)| + 𝐶
6. INTEGRACIÓN POR SUSTITUCIÓN
TRIGONOMÉTRICA
La integración por sustitución
trigonométrica sirve para integrar funciones que
tienen la forma:
a)
,
b)
c)
Estos los cambios que hay que realizar según
la situación:
a)
b)
c)
La integral de esta forma, se transforma en
una integral trigonométrica en , se resuelve y
se deshace el cambio.
Ejemplos:
1.Resolver el siguiente ejercicio
𝑥 2 𝑑𝑥
∫ 2
(𝑥 + 4)2
Tenemos.
x= a tan (Ω)
x= asen (Ω)
x= a sec (Ω)
Entonces si
X=a tan (Ω) ; si a = 2
X= y sen (Ω)
𝑦2 = 𝑥2 + 4
x2
𝑠𝑒𝑛2 (Ω) =
4 + x2
𝑥 = 2𝑡𝑎𝑛(Ω)
𝑑𝑥 = 2𝑠𝑒𝑐 2 (Ω) ∗ d(Ω)
Entonces.
4𝑡𝑎𝑛2 (Ω) ∗ 2sec 2 (Ω) ∗ d(Ω)
𝐼=∫
𝑥2
(
)2
𝑠𝑒𝑛2 (Ω)
8𝑡𝑎𝑛4 (Ω) ∗ sen2 (Ω) ∗ d(Ω)
𝐼=∫
16𝑡𝑎𝑛4 (Ω)
1
𝐼 = ∫ 𝑠𝑒𝑛2 (Ω) ∗ d(Ω)
2
1−cos(2Ω)
Si
𝑠𝑒𝑛2 (Ω) =
2
Remplazando:
1
1
𝐼 = ∫ 𝑑(Ω) − ∫ cos(2Ω) ∗ 𝑑(Ω)
4
4
1
sen(2Ω)
𝐼 = (Ω) −
+ C
4
8
1
2sen(Ω) ∗ cos(Ω)
𝐼 = (Ω) −
+ C
4
8
1
sen(Ω) ∗ cos(Ω)
I = (Ω) −
+ C
4
4
x
Si (Ω) = arctan 2
x
𝑠𝑒𝑛(Ω) =
2
√x + 4
2
𝑐𝑜𝑠(Ω) =
√x 2 + 4
Remplazo.
1
𝑥
1
𝑥
2
𝐼 = ∗ arctan ( ) − ∗
∗
+ 𝐶
4
2
4 √𝑥 2 + 4 √𝑥 2 + 4
1
𝑥
𝑥
𝐼 = arctan ( ) −
+𝐶
2
4
2
2(𝑥 + 4)
7. INTEGRALES CON FUNCIONES
TRIGONOMÉTRICAS
Con carácter general un cambio que resulta
muchas veces útil expresar las potencias
funciones trigonométricas mediante funciones de
9
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ELÉCTRICO
ángulos múltiples, eso pude lograrse gracias a las
siguientes identidades:
Por ejemplo las dos fórmulas anteriores
permiten substituir potencias complejas de la
función coseno por el coseno de ángulos múltiplo:
8. INTEGRACIÓN POR FRACCIONES
PARCIALES
Descomponer fracciones parciales significa
separar una función original en dos o más
fracciones. Una fracción parcial puede
descomponerse siempre que el grado del
numerador sea por lo menos un grado menor que
el denominador. Si el grado del numerador es
mayor o igual que el denominador se debe bajar
el grado mediante la prueba de la división:
Donde Q es un polinomio (el cociente de la
división) y R (x) es el resto de la división (note
que el grado del resto es menor que el del divisor
g (x)), de esta forma toda función racional se
puede escribir como la suma de un polinomio con
una función racional propia.
2013
2𝑥 2 𝑑𝑥
𝐴
𝐵
𝐶
=
+
+
(2𝑥 + 1)3
(2𝑥 + 1) (2𝑥 + 1)2 (2𝑥 + 1)3
2
(2𝑋
2𝑥 = 𝐴
+ 1)2 + 𝐵 (2𝑥 + 1) + 𝐶
−1
Sea:
𝑥= 2
1
𝐶=
2
2𝑥 2 = 4𝐴𝑥 2
1
𝐴=
2
𝑜𝑥 = 4𝐴𝑥 + 2𝐵𝑥
1
−4 = 2𝐵
2
1
𝐵= −
2
Entonces:
1
1
1
𝐼 = ∫[
+
+
] 𝑑𝑥
2
2(2𝑥 + 1) 2(2𝑥 + 1)
2(2𝑥 + 1)3
1
𝐼= ∫
𝑑𝑥
2(2𝑥 + 1)
1
+ ∫
𝑑𝑥
2(2𝑥 + 1)2
1
+ ∫
𝑑𝑥
2(2𝑥 + 1)3
Sea:
𝑧 = 2𝑥 + 1
𝑑𝑧 = 2𝑑𝑥
1 𝑑𝑧 1 𝑑𝑧 1 𝑑𝑧
𝐼= ∫ − ∫ 2+ ∫ 3
4 𝑧
4 𝑧
4 𝑧
1
1
1
𝐼 = 𝑙𝑛 |𝑧| +
−
+𝐶
4
4𝑧 8𝑧 2
1
1
1
𝐼 = 𝑙𝑛 |2𝑥 + 1| +
−
+ 𝐶
4
4(2𝑥 + 1) 8(2𝑥 + 1)
9. INTEGRACION DEFINIDA (ÁREA
BAJO LA CURVA)
9.1 DEFINICIÓN
Una integral definida matemáticamente se la
define como:
Ejemplos:
1.Resolver el siguiente ejercicio
2𝑥 2 𝑑𝑥
𝐼= ∫
(2𝑥 + 1)3
Sea:
Donde el resultado de esta integral define el
área bajo una curva dada y=f(x). Una integral
definida también es conocida como:
10
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ELÉCTRICO
=
[f(t1) + f(t2) + f(t3) +
……………………… + f(tn)] d x
=
Donde x0 = a
xn = b y
dx =
(la función se evalúa en cualquier punto ti de cada
subintervalo [xi-1, xi] con i=1,.., n) El número a es
el límite inferior de integración y el número b es
el límite superior de integración.
2013
Conociendo nosotros el cambio para
paramétricas para encontrar el área bajo una
curva, veremos que el área entre curvas es de
igual manera la diferencia entre el área de cada
curva en el intervalo [a,b].
Ejemplos:
1.Calcule el área limitada por la
curva
,
y la recta y=2.5
9.2 PROPIEDADES
1.
2.
3.
La grafica de las dos ecuaciones anteriores
es la siguiente:
4.
5.
10.
ÁREA DE REGIÓN
COMPRENDIDA ENTRE DOS CURVAS
11.
ÁREA ENTRE DOS CURVAS EN
COORDENADAS POLARES
Es un sistema de coordenadas bidimensional
en el cual cada punto del plano se determina por
un ángulo y una distancia.
Sabemos que en rectangulares utilizamos la
siguiente ecuación para encontrar el área entre
curvas
11
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ELÉCTRICO
2013
Nos encontramos que esta es una suma de
Riemann entonces podemos concluir que
Ejemplos:
1.Calcule el área bajo la curva de la
Sea P(x,y) = P( ,r)
Donde
= argumento o ángulo central
r= radio vector
ciclodie
y
Sabemos que un arco de la cicloide está en el
intervalo 0≤t≤2π. Utilizando la ecuación
encontrada anteriormente sustituimos y
encontramos el área.
Sea r= f( ) y
Sabemos que el área para uno de los
segmentos está definida como
Entonces si tomamos una pequeña variación
como la siguiente
2.Use ecuaciones paramétricas para encontrar el
área encerrada por 1 elipse centrada en (0,0).
Diremos que
Entonces si queremos sacar el área de esa
pequeña variación obtenemos
Como el área que nos interesa no es
solamente el de la pequeña variación sino que el
de un pedazo entonces lo que hacemos es sumar
todos los pequeños pedazos
12
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ELÉCTRICO
2013
Sea: x=h(t)
y=k(t)
Como un caso particular, consideremos "a" igual a
5 y "b" igual a 10.
Donde: x=a=h(to)
y=b=h(tn)
Sea x=f(x)=k(t)
y=f(x)=f(h(t))=k(t)
=> f(x)dx=f(h(t)).d(h(t))
=k(t)h´(t)dt
Podemos notar que utilizando la expresión
obtenida anteriormente podemos encontrar el
área encerrada por la elipse anterior.
Ejemplos:
1.Calcular el área de la región R encerrada por
las curvas r=4sen0 y Calcular el área de la región
R encerrada por las curvas r=4sen0 y r=4cos0.
12.
ÁREA ENTRE DOS CURVAS EN
COORDENADAS PARAMÉTRICAS
13
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ELÉCTRICO
2013
3.Hallar el área interior a la curva
2.Obtener el área del rizo interior de la
curva r=1+cos0.
4.Obtener el área de la región que es
exterior a la curva r=1 e interior a la curva
r=2sen20.
14
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ELÉCTRICO
2013
Coordenadas Polares:
Coordenadas Paramétricas:
Ejemplos:
13.
LONGITUD DE ARCOS
1.Encontrar el perímetro de un círculo de radio .
Dado que tenemos dos ecuaciones para encontrar
la longitud de arco utilizaremos ambas para
demostrar que podemos llegar al mismo
resultado.
La longitud de arco, también llamada
rectificación de una curva, es la medida de la
distancia o camino recorrido a lo largo de una
curva o dimensión lineal. Si la primera derivada
de una función es continua en [a,b] se dice que es
suave y su gráfica es una curva suave.
Ahora por la otra ecuación:
Cuando la curva es suave, la longitud de cada
pequeño segmentos de recta se puede calcular
mediante el teorema de Pitágoras
y (dL)2=(dx)2+(dy)2, de tal forma que sumando
todos los diferenciales resulta, si f es suave
en [a,b], la longitud de la curva
de f(x) desde a hasta b es:
Coordenadas Rectangulares:
Con esto demostramos que el perímetro de un
círculo es
2.Calcular la longitud de arco de la superficie de
en revolución sobre el eje
15
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ELÉCTRICO
en el punto
2013
la longitud de arco es 6.10
Parametrizando:
14.
14.1 DEFINICIÓN
en el intervalo
El volumen de un sólido con área transversal
conocida e integrable A(x) desde
x = a hasta x = b, es:
Obtenemos:
Resolviendo:
Evaluando de a
Obtenemos que la longitud de arco es
3.Encontrar la longitud de arco para la función
dada:
VOLÚMENES
para el intervalo de [0,1].
derivamos la función y obtenemos lo siguiente
luego por las ecuaciones de longitud de
arco obtenemos esto:
Si una gráfica de una función
continua f(x) en el intervalo [a,b] se hace girar
sobre el eje x, a la superficie bajo la curva se le
denomina “área generatriz”, a la superficie
delimitada por f(x) al girar se le llama
“superficie de revolución” y al volumen
delimitado por la superficie de revolución se le
llama “sólido de revolución”. La rotación no
necesariamente se debe de efectuar sobre el
eje x, pero sin pérdida de generalidad el eje
siempre se puede ubicar en esa posición.
14.2 MÉTODO DEL DISCO
El volumen de un sólido generado alrededor
del eje x la región bajo la curva de f(x) en el
intervalo [a,b] en que f(x) es continua es:
operamos de la siguiente manera:
hacemos una sustitución:
sacamos la primitiva y por el Teorema
fundamental del cálculo:
16
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ELÉCTRICO
El “disco” señalado en azul en la figura tiene
radio f(x) de ahí empleando el área del círculo se
obtiene la expresión previa.
Si el volumen se genera por una superficie
entre curvas, se generaliza el método de los
discos y se le denomina método de las arandelas ,
en este caso sif(x)≥g(x) en [a,b] limitan la
superficie, se tiene:
2013
2.Resolver el siguiente ejercicio
Gira alrededor de eje
...
Calcular el volúmen de la figura generada...Esfera
Ejemplos:
1.Hallar el volúmen generado al girar el área
limitada por la parábola
alrededor de la
ordenada correspondiente a x = 2.
Integramos
Dividiendo el área mediente franjas
horizontales, cuando el rectángulo genérico de la
figura gire alrededor del eje y se procede un
disco de radio 2 - x, de altura \Delta y y de
volúmen
Por teorema fundamental del cálculo
. El volúmen pedido será:
17
15.
EJERCICIOS DE
APLICACIÓN
(TRABAJOS EN CLASE - TIPO
PRUEBA)
HALLAR EL AREA DE ∆=?
∆1 = [𝑐𝑜𝑠 (2𝑥)
𝑒 3𝑥 0.8
]
3 0.2
0.8
2
− ∫ 2 sen (2𝑥)𝑒 3𝑥 𝑑𝑥 ]
3
0.2
𝑒 3𝑥 0.8
∆1 = 𝑐𝑜𝑠 (2𝑥)
]
3 0.2
0.8
2
+ ∫ 2 sen (2𝑥)𝑒 3𝑥 𝑑𝑥
3
Ejercio 1:
∆1 = 𝑐𝑜𝑠 (2𝑥)
0.2
3𝑥
𝑒
0.8 2 ∆
]
+ ( )
3 0.2 3 2
2
∆= [𝑠𝑒𝑛 (1.6)𝑒 2.4 − 𝑠𝑒𝑛 (0.4)𝑒 0.6 ]
3
4
0.8 ∆
− 𝑐𝑜𝑠 (2𝑥)𝑒 3𝑥 ]
−
0.2 9
9
0.8
∫ 2 𝑠𝑒𝑛 (2𝑥)𝑒 3𝑥 𝑑𝑥
0.2
0.8
∆= ∫ 2 𝑠𝑒𝑛 (2𝑥)𝑒 3𝑥 𝑑𝑥
0.2
𝑢 = 𝑠𝑒𝑛 (2𝑥) ;
𝑣 ′ = 𝑒 3𝑥
Sea
𝑢′ = 2 cos(2𝑥)
𝑒 3𝑥
;
𝑣=
3
0.8
0.8
∆= 2 [𝑢. 𝑣]
− ∫ 𝑢′ . 𝑣 𝑑𝑥 ]
0.2
0.2
3𝑥
𝑒
0.8
]
3 0.2
∆= 2 [𝑠𝑒𝑛 (2𝑥)
0.8
2
− ∫ cos(2𝑥)𝑒 3𝑥 𝑑𝑥 ]
3
0.2
2
4
∆= [𝑠𝑒𝑛 (1.6)𝑒 2.4 − 𝑠𝑒𝑛 (0.4)𝑒 0.6 ] − ∆1
3
3
0.8
∆1 = ∫ cos(2𝑥)𝑒
0.2
𝑢 = 𝑐𝑜𝑠 (2𝑥) ;
𝑣 ′ = 𝑒 3𝑥
3𝑥
𝑑𝑥
𝑢′ = −2 sen (2𝑥)
𝑒 3𝑥
;
𝑣=
3
10
2
∆= [𝑠𝑒𝑛 (1.6)𝑒 2.4 − 𝑠𝑒𝑛 (0.4)𝑒 0.6 ]
9
3
4
0.8
− 𝑐𝑜𝑠 (2𝑥)𝑒 3𝑥 ]
0.2
9
10
2
∆= [𝑠𝑒𝑛 (1.6)𝑒 2.4 − 𝑠𝑒𝑛 (0.4)𝑒 0.6 ]
9
3
4
− [𝑠𝑒𝑛 (1.6)𝑒 2.4
9
− 𝑠𝑒𝑛 (0.4)𝑒 0.6 ]
10
2
∆= [(0.99)(11.02) − (0.39)(1.82)]
9
3
4
− [(0.99)(11.02)
9
− (0.39)(1.82)]
10
2
4
∆= [10.9 − 0.71] − [10.9 − 0.71]
9
3
9
10
2
4
∆= (10.2) − (10.2)
9
3
9
10
∆= 6.8 − 4.53
9
∆= 2.04 𝑢2
Ejercicio 2:
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ELÉCTRICO
10
∫
0
𝑥 𝑑𝑥
(1 + 𝑥)3⁄4
10
𝑥 𝑑𝑥
(1 + 𝑥)3⁄4
∆= ∫
0
𝑢 =1+𝑥 ;
𝑑𝑢 = 𝑑𝑥
10
∆= ∫
10
∆= ∫
0
10
0
𝑢
𝑢3⁄4
; 𝑥 =𝑢−1
𝑢−1
𝑑𝑢
𝑢3⁄4
10
𝑑𝑢 + ∫
0
10
1
𝑢3⁄4
10
𝑑𝑢
∆= ∫ 𝑢1⁄4 𝑑𝑢 + ∫ 𝑢−3⁄4 𝑑𝑢
0
0
4
10
10
∆= 𝑢5⁄4 ] − 4𝑢1⁄4 ]
0
0
5
4
10
⁄4 10
5
∆= (1 + 𝑥) ] − 4(1 + 𝑥)1⁄4 ]
0
0
5
4
∆= [(1 + 10)5⁄4 − (1 + 0)5⁄4 ]
5
− 4[(1 + 10)1⁄4
− (1 + 0)1⁄4 ]
4
∆= (17.78) − 4(1.778)
5
∆= 7.11 𝑢2
X
Sen(x)
30
0.5
60
0.86
90
1
120 0.86
150 0.5
180 0
210 -0.5
240 -0.86
270 -1
300 -0.86
330 -0.5
360 0
Ejercicio 3:
Sen(2x)
0.86
0.86
0
-0.86
-0.86
0
0.86
0.86
0
-0.86
-0.86
0
∫
0
𝑥2 − 𝑥 + 5
𝑑𝑥
𝑥−1
10
∆= ∫
0
𝑥2 − 𝑥 + 5
𝑑𝑥
𝑥−1
𝑥2 − 𝑥 + 5 ⌊ 𝑋 − 1
−𝑥 2 + 𝑥 + 0
𝑋
5
10
5
∆= ∫ [𝑥 +
] 𝑑𝑥
𝑥−1
0
10
10
∆= ∫ 𝑥 𝑑𝑥 + ∫
0
0
5
𝑑𝑥
𝑥−1
1
10
10
∆= 𝑥 2 ] + 5 𝑙𝑛|𝑥 − 1|]
0
0
2
1
∆= [99] + 5[2.19 − 0.69]
2
∆= 57 𝑢2
Ejercicio 4:
Hallar el área comprendida entre
entre [0 ,𝜋] de senx y sen2x.
19
2013
MÉTODOS DE INTEGRACIÓN Y APLICACIONES EN EL CAMPO
ELÉCTRICO
Hallar el área comprendida entre
𝑦 2 = 8𝑥 ; 𝑥 2 = 8𝑦
𝑏
𝑐
∆= ∫(𝐶𝑆 − 𝐶𝐼)𝑑𝑥 + ∫(𝐶𝑆 − 𝐶𝐼)𝑑𝑥
𝑎
3𝜋⁄2
𝑏
∆= ∫ (𝑠𝑒𝑛 (2𝑥) − 𝑠𝑒𝑛 𝑥)𝑑𝑥
0
𝜋
+ ∫ (𝑠𝑒𝑛 𝑥 − 𝑠𝑒𝑛 (2𝑥))𝑑𝑥
3𝜋⁄2
− cos(2𝑥)
⁄
∆= (
+ cos 𝑥 )] 3𝜋 2
0
2
+ (− cos 𝑥
+
∆= ((
cos(2𝑥)
𝜋
)] 3𝜋⁄2
2
− cos(2(3𝜋⁄2))
2
+ cos(3𝜋⁄2) ) – cos(0)
+
cos(0)
)
2
+ ((− cos(3𝜋⁄2)
cos(2(3𝜋⁄2))
+
) — cos(0)
2
cos(0)
+
)
2
∆= 2.62 𝑢2
Ejercicio 5:
x
√8𝑥
-8
-6
-4
-2
0
2
4
6
8
𝑥2
8
8
4.5
2
0.5
0
2
5.66
6.93
8
0
0.5
2
4.5
8
𝑥2
8
𝑥4
8𝑥 =
64
512 = 𝑥 3
8 = 𝑥 ; 𝑦 = ±8
𝑃𝐶1(8 , 8)
𝑃𝐶2(8 , −8 )
√8𝑥 =
8
∆= ∫(𝐶𝑆 − 𝐶𝐼) 𝑑𝑥
0
8
∆= ∫ (√8𝑥 −
8
0
𝑥2
) 𝑑𝑥
8
8
1
∆= ∫ √8𝑥 𝑑𝑥 − ∫ 𝑥 2 𝑑𝑥
8
0
0
1
1
(8𝑥)3⁄2 ] 8 − 𝑥 3 ] 8
∆=
0 24
0
12
1
⁄
⁄
∆=
((64)3 2 − (0)3 2 )
12
1
− ((8)3 − (0)3 )
24
20
2013
MÉTODOS DE INTEGRACIÓN Y APLICACIONES EN EL CAMPO
ELÉCTRICO
∆= 42.66 − 21.35
∆= 21.34 𝑢2
1
1
∆= ∫ 𝑥 1⁄2 𝑑𝑥 − ∫ 𝑥 2 𝑑𝑥
0
Ejercicio 6:
Calcular el área de la región limitada por
la sinusoide𝑦 = 𝑠𝑒𝑛 𝑥 y el eje OX
cuando 0 ≤ 𝑥 ≤ 2𝜋
0
2 3⁄2 1 𝑥 3 1
∆= 𝑥 ] − ]
0 3 0
3
2 1 1
∆= − =
𝑢2
3 3 3
Ejercicio 8:
Calcular el área del dominio limitado por
la elipse cuyas ecuaciones paramétricas
vienen dadas por:
𝜋
2𝜋
∆= ∫ 𝑠𝑒𝑛 𝑥 𝑑𝑥 − ∫ 𝑠𝑒𝑛 𝑥 𝑑𝑥
0
0
𝜋
2𝜋
∆= − cos 𝑥] + cos 𝑥]
0
𝜋
∆= − cos(𝜋) + cos(0) + cos(2𝜋) − cos(𝜋)
∆= −(−1 − 1) + (1 + 1)
∆= 4𝑢2
Ejercicio 7:
Calcular el área de la región limitada
por las curvas 𝑦 = √𝑥 ; 𝑦 = 𝑥 2
0
𝑥 = 𝑎 cos 𝑡
𝑦 = 𝑏 𝑠𝑒𝑛 𝑡
∆= 2 ∫(𝑏 𝑠𝑒𝑛 𝑡 )– (𝑎 𝑠𝑒𝑛 𝑡)𝑑𝑡
𝜋
0
∆= −2𝑎𝑏 ∫ 𝑠𝑒𝑛2 𝑡 𝑑𝑡
𝜋
𝜋
∆= 2𝑎𝑏 ∫ 𝑠𝑒𝑛2 𝑡 𝑑𝑡
𝜋
0
1 − cos(2𝑡)
∆= 2𝑎𝑏 ∫ (
)
2
0
𝑡 𝑠𝑒𝑛 (2𝑡) 𝜋
∆= 2𝑎𝑏 [ +
]
0
2
4
𝜋
∆= 2𝑎𝑏
2
∆= 𝑎𝑏𝜋 𝑢2
1
∆= ∫(√𝑥 − 𝑥 2 ) 𝑑𝑥
Ejercicio 9:
0
21
2013
MÉTODOS DE INTEGRACIÓN Y APLICACIONES EN EL CAMPO
ELÉCTRICO
Calcular el área de la región limitada por
el eje OX y un arco del cicloide cuyas
ecuaciones son:
𝜋⁄4
1
1
∆= ∫ 𝜌2 𝑑𝜃
4
2
0
𝜋⁄4
1
1
∆= ∫ cos(2𝜃) 𝑑𝜃
4
2
0
𝑥 = 𝑎(𝑡 − 𝑠𝑒𝑛 𝑡)
𝑦 = 𝑎(1 − cos 𝑡)
2𝜋
∆= ∫ 𝑎(1 − cos 𝑡) 𝑎(1 − 𝑠𝑒𝑛 𝑡)𝑑𝑡
0
2𝜋
2
∆= 𝑎 ∫ (𝑡 − 𝑠𝑒𝑛 𝑡)2 𝑑𝑡
0
2𝜋
2𝜋
2𝜋
∆= 𝑎2 [∫ 𝑑𝑡 − 2 ∫ cos 𝑡 𝑑𝑡 + ∫ 𝑐𝑜𝑠 2 𝑡 𝑑𝑡]
0
∆= 𝑎
2 [𝑡
0
2𝜋
− 2𝑠𝑒𝑛 𝑡]
0
2𝜋
+ 𝑎2 ∫ (
0
0
1
𝑎2 𝑠𝑒𝑛 (2𝜃) 𝜋⁄4
∆= [
]
0
4
2
2
1
𝑎2
∆=
4
4
∆= 𝑎2 𝑢2
Ejercicio 11:
Calcular el área del círculo cuya
ecuación en coordenadas polares es 𝜌 =
𝑅
1 + 𝑐𝑜𝑠 2 𝑡
) 𝑑𝑡
4
𝑡 𝑠𝑒𝑛 (2𝑡) 2𝜋
∆= 2𝑎 𝜋 + 𝑎 [ +
]
0
2
4
2
2
∆= 2𝑎 𝜋 + 𝑎 𝜋
∆= 3𝑎2 𝜋 𝑢2
2
2
Ejercicio 10:
Calcular el área encerrada por la
lemniscata 𝜌 = 𝑎√cos(2θ)
𝜋⁄2
1
∆= (4) ( ) ∫ 𝑅 2 𝑑𝑡
2
0
𝜋⁄2
∆= 2𝑅 2 ∫ 𝑑𝑡
0
⁄
∆= 2𝑅 2 𝑡]𝜋 2
0
𝜋
∆= 2𝑅 2 [ − 0]
2
22
2013
MÉTODOS DE INTEGRACIÓN Y APLICACIONES EN EL CAMPO
ELÉCTRICO
𝜋
∆= 2𝑅 2 [ ]
2
∆= 𝜋𝑅 2 𝑢2
𝜋⁄4
2
∆1 = 𝑎 ∫ 𝑐𝑜𝑠2𝜃 𝑑𝜃
0
Ejercicio 12:
Hallar el área comprendida dentro
de la conica conocida como lennizcota de
Bernoulli 𝜌 = 𝑎√cos 2 𝜃
𝑠𝑒𝑛 2𝜃 𝜋⁄4
∆1 = 𝑎2 (
)]
0
2
𝑠𝑒𝑛 2(𝜋⁄4) 𝑠𝑒𝑛 2(0)
2
∆= 𝑎 (
−
)
2
2
𝑎2
∆1 =
2
𝜋
2
∆2 = ∫ (𝑎√cos 2𝜃) 𝑑𝜃
3𝜋⁄
4
∆2 = 𝑎
2
𝜋
∫ 𝑐𝑜𝑠2𝜃 𝑑𝜃
3𝜋⁄
4
𝜃
𝜌
0
30
60
90
120
150
180
210
240
270
300
330
360
45
135
225
315
a
0.7 a
∄
∄
∄
𝜋
𝑠𝑒𝑛 2𝜃
∆2 = 𝑎2 (
)] 3𝜋⁄
2
4
3𝜋⁄ )
𝑠𝑒𝑛
2(
𝑠𝑒𝑛
2(𝜋)
4 )
∆2 = 𝑎2 (
−
2
2
𝑎2
∆2 =
2
5𝜋⁄
4
2
∆3 = ∫ (𝑎√cos 2𝜃) 𝑑𝜃
𝜋
0.7 a
a
0.7 a
∄
∄
∄
5𝜋⁄
4
∆3 = 𝑎2 ∫ 𝑐𝑜𝑠2𝜃 𝑑𝜃
𝜋
𝑠𝑒𝑛 2𝜃 5𝜋⁄
∆3 = 𝑎 (
)]
4
2
𝜋
𝑠𝑒𝑛 2(5𝜋⁄4) 𝑠𝑒𝑛 2(𝜋)
2
∆3 = 𝑎 (
−
)
2
2
2
0.7 a
a
0
0
0
0
∆3 =
2𝜋
𝑎2
2
2
∆4 = ∫ (𝑎√cos 2𝜃) 𝑑𝜃
7𝜋⁄
4
∆4 = 𝑎
𝜃𝑛
∆=
1
∫ 𝑓 2 (𝜃) 𝑑𝜃
2
𝜃𝑜
1
∆= [𝐴1 + 𝐴2 + 𝐴3 + 𝐴4 ]
2
𝜋⁄4
2
∆1 = ∫ (𝑎√cos 2𝜃) 𝑑𝜃
0
2
2𝜋
∫ 𝑐𝑜𝑠2𝜃 𝑑𝜃
7𝜋⁄
4
2𝜋
𝑠𝑒𝑛 2𝜃
∆4 = 𝑎2 (
)] 7𝜋⁄
2
4
7𝜋⁄ )
𝑠𝑒𝑛
2(
𝑠𝑒𝑛 2(2𝜋)
4 )
2
∆4 = 𝑎 (
−
2
2
2
𝑎
∆2 =
2
23
2013
MÉTODOS DE INTEGRACIÓN Y APLICACIONES EN EL CAMPO
ELÉCTRICO
2013
𝑎
= 𝑐𝑜𝑠 3 𝑡
𝑎
1 = cos 𝑡
𝑎𝑟𝑐𝑜𝑠(1) = 𝑡
𝑡𝑛 = 0
1 𝑎2 𝑎2 𝑎2 𝑎2
∆= [ + + + ]
2 2
2
2
2
1
∆= [2𝑎2 ]
2
∆= 𝑎2 𝑢2
0
∆= −12𝑎
Ejercicio 13:
2
∫(𝑠𝑒𝑛4 𝑡 − 𝑠𝑒𝑛6 𝑡)𝑑𝑡
𝜋⁄2
𝜋⁄2
Hallar el área dentro del astroide
∆= 12𝑎2 ∫ (𝑠𝑒𝑛4 𝑡 − 𝑠𝑒𝑛6 𝑡)𝑑𝑡
0
𝑠𝑒𝑎:
∫ 𝑠𝑒𝑛𝑛 𝑡 𝑑𝑡 =
Si n=4
1
𝑠𝑒𝑛𝑛−1 (𝑡) cos 𝑡
𝑛
𝑛−1
+
∫ 𝑠𝑒𝑛𝑛−2 (𝑡) 𝑑𝑡
𝑛
𝜋⁄2
∫ 𝑠𝑒𝑛4 𝑡 𝑑𝑡
0
3
𝑥 = 𝑎𝑐𝑜𝑠 𝑡
𝑦 = 𝑎 𝑠𝑒𝑛3 𝑡
𝑎
∫ 𝑠𝑒𝑛4 𝑡 𝑑𝑡 =
0
𝑥 = 𝑎𝑐𝑜𝑠 3 𝑡 = 𝑎 (cos 𝑡)3
𝑥 ′ = 3𝑎(cos 𝑡)2 (− 𝑠𝑒𝑛 𝑡 )
𝑥 ′ = −3𝑎𝑐𝑜𝑠 2 𝑡 𝑠𝑒𝑛 𝑡
𝑦𝑥 ′ = (𝑎 𝑠𝑒𝑛3 𝑡)(−3𝑎𝑐𝑜𝑠 2 𝑡 𝑠𝑒𝑛 𝑡)
𝑦𝑥 ′ = −3𝑎2 𝑠𝑒𝑛4 𝑡 𝑐𝑜𝑠 2 𝑡
′
𝑦𝑥 = −3𝑎2 𝑠𝑒𝑛4 𝑡 (1 − 𝑠𝑒𝑛2 𝑡 )
𝑦𝑥 ′ = −3𝑎2 𝑠𝑒𝑛4 𝑡 + 3𝑎2 𝑠𝑒𝑛6 𝑡
𝑦𝑥 ′ = −3𝑎2 (𝑠𝑒𝑛4 𝑡 − 𝑠𝑒𝑛6 𝑡)
0
0
𝑎
2
∆= −12𝑎 ∫(𝑠𝑒𝑛4 𝑡 − 𝑠𝑒𝑛6 𝑡)𝑑𝑡
0
Cambio de límites
𝑥 = 𝑎𝑐𝑜𝑠 3 𝑡
𝑥=0
0 = 𝑎𝑐𝑜𝑠 3 𝑡
0
= 𝑐𝑜𝑠 3 𝑡
𝑎
0 = cos 𝑡
𝑎𝑟𝑐𝑜𝑠(0) = 𝑡
𝜋
𝑡𝑜 =
2
𝑥=𝑎
𝑎 = 𝑎𝑐𝑜𝑠 3 𝑡
1
3 𝑡
⁄
𝑠𝑒𝑛3 (𝑡)cos t] 𝜋 2 + (
0
4
4 2
−
𝜋⁄2
𝑠𝑒𝑛 (2𝑡) 𝜋⁄2
)]
0
4
∫ 𝑠𝑒𝑛4 𝑡 𝑑𝑡
0
1
𝜋
𝜋
3 𝜋 ⁄2
= ((𝑠𝑒𝑛3 ( ) cos ( )) − (𝑠𝑒𝑛3 (0)cos (0))) + ((
4
2
2
4
2
𝑎
∆= 4 ∫ −3𝑎2 (𝑠𝑒𝑛4 𝑡 − 𝑠𝑒𝑛6 𝑡)𝑑𝑡
0
𝜋⁄2
∆= 4 ∫ 𝑓(𝑥) 𝑑𝑥
Sea:
𝜋⁄2
1
𝜋 ⁄2 3
= 𝑠𝑒𝑛3 (𝑡)cos t]
+ ∫ 𝑠𝑒𝑛2 (𝑡) 𝑑𝑡
0
4
4
−
𝑠𝑒𝑛 (2(𝜋⁄2))
)
4
0 𝑠𝑒𝑛 (2(0))
𝜋 ⁄2
−( −
))]
0
2
4
𝜋⁄2
∫ 𝑠𝑒𝑛4 𝑡 𝑑𝑡 =
0
𝜋⁄2
∫ 𝑠𝑒𝑛4 𝑡 𝑑𝑡 =
0
3 𝜋 1
( − )
4 4 4
3
(𝜋 − 1)
4
Si n=6
24
MÉTODOS DE INTEGRACIÓN Y APLICACIONES EN EL CAMPO
ELÉCTRICO
𝜋⁄2
6
∫ 𝑠𝑒𝑛 𝑡 𝑑𝑡
0
𝜋⁄2
1
5
⁄
= 𝑠𝑒𝑛5 (𝑡)cos t] 𝜋 2 + ∫ 𝑠𝑒𝑛4 (𝑡) 𝑑𝑡
0
6
6
0
𝜋⁄2
3
5
∆= 12𝑎2 [ (𝜋 − 1) − (𝜋 − 1)]
4
32
1
2
∆= 12𝑎 [ (𝜋 − 1)]
32
3 2
∆= 𝑎 (𝜋 − 1)
8
Ejercicio 14:
∫ 𝑠𝑒𝑛6 𝑡 𝑑𝑡
0
1
1
𝜋 ⁄2 5
𝜋 ⁄2
= 𝑠𝑒𝑛5 (𝑡)cos t]
+ [− 𝑠𝑒𝑛3 (𝑡)cos t]
0
0
6
6
4
Hallar el área de la elipse centrada
𝜋⁄2
3
+ ∫ 𝑠𝑒𝑛2 (𝑡) 𝑑𝑡]
4
0
𝜋⁄2
∫ 𝑠𝑒𝑛6 𝑡 𝑑𝑡
0
1
1
𝜋 ⁄2 5
𝜋 ⁄2
𝑠𝑒𝑛5 (𝑡)cos t]
+ [− 𝑠𝑒𝑛3 (𝑡)cos t]
0
0
6
6
4
3 𝑡 𝑠𝑒𝑛 (2𝑡) 𝜋⁄2
+ ( −
)]
]
0
4 2
4
=
𝑥 = 𝑎 cos 𝑡 ;
𝑑𝑥 = −𝑎𝑠𝑒𝑛 𝑡
𝑡𝑛
𝑦 = 𝑏 𝑠𝑒𝑛 𝑡
0 ≤ 𝑡 ≤ 2𝜋
∆= ∫ 𝑦𝑥 ′ 𝑑𝑡
𝑡𝑜
2𝜋
∆= ∫ (𝑏 𝑠𝑒𝑛 𝑡)(−𝑎𝑠𝑒𝑛 𝑡 ) 𝑑𝑡
0
2𝜋
∆= ∫ −𝑎𝑏𝑠𝑒𝑛2 𝑡 𝑑𝑡
0
2𝜋
∆= −𝑎𝑏 ∫ (1 − 𝑐𝑜𝑠 2 𝑡) 𝑑𝑡
0
0
∆= 𝑎𝑏 ∫(1 − 𝑐𝑜𝑠 2 𝑡) 𝑑𝑡
2𝜋
0
0
∆= 𝑎𝑏 [ ∫ 𝑑𝑡 + ∫ 𝑐𝑜𝑠 2 𝑡 𝑑𝑡]
2𝜋
𝜋⁄2
∫ 𝑠𝑒𝑛6 𝑡 𝑑𝑡 =
0
5 3 𝜋 1
[ ( − )]
6 4 4 4
𝜋⁄2
∫ 𝑠𝑒𝑛6 𝑡 𝑑𝑡 =
0
2𝜋
𝑡 𝑠𝑒𝑛(2𝑡) 0
0
∆= 𝑎𝑏 [𝑡] − ( +
)] ]
2𝜋
2𝜋
2
4
5
(𝜋 − 1)
32
∆= 𝑎𝑏 [(0 − 2𝜋)
0 2𝜋 𝑠𝑒𝑛(2(0))
−( −
+
2 2
4
𝑠𝑒𝑛(2(2𝜋))
−
)]
4
25
2013
MÉTODOS DE INTEGRACIÓN Y APLICACIONES EN EL CAMPO
ELÉCTRICO
∆= 𝑎𝑏𝜋 𝑢2
𝑏
1 𝑑𝑢
𝐼1 = ∫ 2⁄3
2 𝑢
Ejercicio 15:
x
0
1
2
3
4
5
6
1.5
𝑏
0
1
𝐼1 = ∫ 𝑢−2⁄3 𝑑𝑢
2
Y
0
0.48
∄
0
1 𝑢1⁄3 2
𝐼1 = (
)]
2 1⁄3 0
3
1 √𝑥 2 − 4 2
𝐼1 = (
)]
0
2
1⁄3
1.02
0.76
0.65
0.59
1.03
3
3
√(2)2 − 4
√(0)2 − 4
1
𝐼1 = ((
)−(
))
2
1⁄3
1⁄3
1
𝐼1 = (0 + 4.76)
2
𝐼1 = 2.38
𝑎
𝑥
𝐼2 = ∫
𝑢2⁄3
0
𝑑𝑢
( )
2𝑥
𝑎
1
𝑑𝑢
𝐼2 = ∫ 2⁄3
2 𝑢
𝑎
0
1
𝐼2 = ∫ 𝑢−2⁄3 𝑑𝑢
2
0
1 𝑢1⁄3 6
𝐼2 = (
)]
2 1⁄3 0
3
1 √𝑥 2 − 4 6
𝐼2 = (
)]
0
2
1⁄3
6
𝑥 𝑑𝑥
∫3
√(𝑥 2 − 4)2
0
6
3
∆= ∫ 3
√(𝑥 2 − 4)2
0
2
𝑥 𝑑𝑥
=∫3
√(𝑥 2 − 4)2
0
6
2
𝑥 𝑑𝑥
+∫3
√(𝑥 2 − 4)2
2
𝑥 𝑑𝑥
3
√(6)2 − 4
√(0)2 − 4
1
𝐼1 = ((
)−(
))
2
1⁄3
1⁄3
𝑥 𝑑𝑥
𝑎
𝑥 𝑑𝑥
∆= lim ∫ 3
+ lim ∫ 3
𝑏→2
√(𝑥 2 − 4)2 𝑎→6 0 √(𝑥 2 − 4)2
0
∆= lim (𝐼1 ) + lim (𝐼2 )
𝑏→2
𝑎→6
𝑑𝑢
𝑠𝑒𝑎:
𝑢 = 𝑥2 − 4
𝑑𝑥 =
2𝑥
𝑏
𝑥 𝑑𝑢
𝐼1 = ∫ 2⁄3 ( )
2𝑥
𝑢
1
𝐼1 = (9.52 + 4.76)
2
𝐼1 = 2.38
∆= 𝐼1 + 𝐼2
∆= 2.38 + 2.38
∆= 4.76 𝑢2
Ejercicio 16:
Hallar la longitud de la curva 𝑦 = 𝑒 𝑥
si, entre x=1 ; x=4
0
26
2013
MÉTODOS DE INTEGRACIÓN Y APLICACIONES EN EL CAMPO
ELÉCTRICO
4
x
1
2
3
4
̂ = ∫(
𝐴𝐵
Y
2.71
7.31
20.08
54.6
1
4
̂ = ∫(
𝐴𝐵
1
1
) (1 + tan 𝜃) 𝑑𝜃
𝑠𝑒𝑛 𝜃
1
𝑠𝑒𝑛2 𝜃
+
) 𝑑𝜃
(𝑠𝑒𝑛 𝜃)(cos 2 𝜃)
𝑠𝑒𝑛 𝜃
4
1
𝑠𝑒𝑛 𝜃
̂ = ∫(
𝐴𝐵
+
) 𝑑𝜃
2 𝜃)
(cos
𝑠𝑒𝑛 𝜃
1
4
̂ = ∫(𝐶𝑠𝑐 𝜃 + tan 𝜃 𝑆𝑒𝑐 𝜃) 𝑑𝜃
𝐴𝐵
1
𝜃
̂ = (𝑙𝑛 |𝑡𝑎𝑛 ( )| + 𝑠𝑒𝑐(𝜃))] 4
𝐴𝐵
1
2
4
1
̂ = ((𝑙𝑛 |𝑡𝑎𝑛 ( )| − 𝑙𝑛 |𝑡𝑎𝑛 ( )|)
𝐴𝐵
2
2
+ (𝑠𝑒𝑐(4) − 𝑠𝑒𝑐(0)))
𝑏
̂ = ∫ √1 + (𝑓 ′ (𝑥))2 𝑑𝑥
𝐴𝐵
̂ = −3.5 + 4.74 + (1.002 + 1.0001)
𝐴𝐵
̂ = 1.2419 𝑢
𝐴𝐵
𝑎
Sea:
𝑦 = 𝑓(𝑥) = 𝑒 𝑥
𝑓 ′ (𝑥) = 𝑒 𝑥
Ejercicio 17:
4
̂ = ∫ √1 + (𝑒 𝑥 )2 𝑑𝑥
𝐴𝐵
1
Sea:
𝑢 = 𝑒𝑥
𝑑𝑢 = 𝑒 𝑥
;
4
𝑑𝑢
= 𝑑𝑥
𝑒𝑥
Hallar el arco de una elipse
centrada cuyo eje mayor sea 4, y cuyo
eje menor sea 2
√1 + 𝑢2
𝑑𝑢
𝑢
̂ =∫
𝐴𝐵
1
𝑢
= tan 𝜃
𝑎
√1 + 𝑢2 = sec 𝜃
𝑢 = tan 𝜃
𝑑𝑢 = 𝑠𝑒𝑐 2 𝜃 𝑑𝜃
4
̂ =∫
𝐴𝐵
1
sec 𝜃
𝑠𝑒𝑐 2 𝜃 𝑑𝜃
tan 𝜃
4
̂ =∫
𝐴𝐵
4
̂ = ∫(
𝐴𝐵
1
1
𝑠𝑒𝑐 3 𝜃
𝑑𝜃
tan 𝜃
cos 𝜃
1
.
) (𝑠𝑒𝑐 2 𝜃) 𝑑𝜃
𝑠𝑒𝑛 𝜃 cos 𝜃
𝑥 = 𝑎 cos 𝑡
𝑦 = 𝑏 𝑠𝑒𝑛 𝑡
𝜋⁄2
; 𝑥 ′ = −4 𝑠𝑒𝑛 𝑡
;
𝑦 ′ = 2 cos 𝑡
̂ = ∫ √(−4 𝑠𝑒𝑛 𝑡)2 + (2 cos 𝑡)2 𝑑𝑡
𝐴𝐵
0
27
2013
MÉTODOS DE INTEGRACIÓN Y APLICACIONES EN EL CAMPO
ELÉCTRICO
̂
𝐴𝐵
𝜋⁄2
𝜋⁄2
̂ = ∫ √16 𝑠𝑒𝑛2 𝑡 + 4 cos 2 𝑡 𝑑𝑡
𝐴𝐵
= ∫ √9𝑎2 𝑠𝑒𝑛2 𝑡 𝑐𝑜𝑠 2 𝑡(𝑐𝑜𝑠 2 𝑡 + 𝑠𝑒𝑛2 𝑡 ) 𝑑𝑡
0
𝜋⁄2
0
̂ = ∫ √(𝑎 𝑠𝑒𝑛 𝑡)2 + (𝑏 cos 𝑡)2 𝑑𝑡
𝐴𝐵
𝜋⁄2
̂ = ∫ 9𝑎 𝑠𝑒𝑛 𝑡 𝑐𝑜𝑠 𝑡 𝑑𝑡
𝐴𝐵
0
𝜋⁄2
0
0
Sea:
̂ = ∫ √𝑎2 𝑠𝑒𝑛2 𝑡 + 𝑏 2 cos2 𝑡 𝑑𝑡
𝐴𝐵
𝑢 = 𝑠𝑒𝑛 𝑡
𝑑𝑢 = cos 𝑡
𝜋⁄2
𝑎2 𝑏 2 𝑎2 𝑏 2
̂ =∫ √
𝐴𝐵
+ 2 𝑑𝑡
𝑐2
𝑐
0
̂ =
𝐴𝐵
𝜋⁄2
̂ = 4 ∫ 3𝑎 𝑢 𝑑𝑢
𝐴𝐵
𝜋⁄2
0
𝑎𝑏
∫ √2 𝑑𝑡
𝑐
̂ = 6𝑎 𝑢2 ]𝜋⁄2
𝐴𝐵
0
2 𝜋 ⁄2
̂
𝐴𝐵 = 6𝑎 𝑠𝑒𝑛 𝑡]
0
𝜋
2
̂ = 6𝑎 [𝑠𝑒𝑛 ( ) − 𝑠𝑒𝑛2 (0)]
𝐴𝐵
2
̂ = 6𝑎 𝑢
𝐴𝐵
0
𝑎𝑏
𝜋 ⁄2
̂ =
𝐴𝐵
√2 . 𝑡]
0
𝑐
𝑎𝑏
̂
𝐴𝐵 =
𝑢
√2 𝜋
𝑐
Ejercicio 18:
Ejercicio 19:
Hallar
Hallar la longitud de arco del
astroide
𝑎 √𝑎 2 −𝑥 2
(2𝑥 + 2𝑦) 𝑑𝑦 𝑑𝑥
∫ ∫
0
0
𝑎 √𝑎 2 −𝑥 2
𝑣 = ∫[ ∫
0
0
√𝑎 2 −𝑥 2
𝑎
𝑣 = ∫ [2𝑥 ∫
0
2
𝑥 = 𝑎𝑐𝑜𝑠 𝑡 ;
𝑦 = 𝑎 𝑠𝑒𝑛2 𝑡 ;
𝜃𝑛
(𝑥 ′ )2
2
4
2
= 9𝑎 𝑐𝑜𝑠 𝑡 𝑠𝑒𝑛 𝑡
(𝑦′)2 = 9𝑎2 𝑠𝑒𝑛4 𝑡 𝑐𝑜𝑠 2 𝑡
𝜃0
𝜋⁄2
= ∫ √9𝑎2 𝑐𝑜𝑠 4 𝑡 𝑠𝑒𝑛2 𝑡 + 9𝑎2 𝑠𝑒𝑛4 𝑡 𝑐𝑜𝑠 2 𝑡 𝑑𝑡
0
√𝑎 2 −𝑥 2
𝑑𝑦 + 2 ∫
0
𝑦 𝑑𝑦 ] 𝑑𝑥
0
𝑎
2
2 1 ⁄2
𝑣 = ∫ [2𝑥𝑦](𝑎 − 𝑥 )
0
0
𝐿 = ∫ √(𝑥′)2 + (𝑦′)2 𝑑𝑡
̂
𝐴𝐵
(2𝑥 + 2𝑦) 𝑑𝑦 ] 𝑑𝑥
𝑎
2
2 1⁄2
+ 𝑦 2 ](𝑎 − 𝑥 ) ] 𝑑𝑥
0
𝑣 = ∫ [2𝑥((𝑎2 − 𝑥 2 )1⁄2 ) − 2𝑥(0)
0
2
+ ((𝑎2 − 𝑥 2 )1⁄2 )
− (0)2 ] 𝑑𝑥
28
2013
MÉTODOS DE INTEGRACIÓN Y APLICACIONES EN EL CAMPO
ELÉCTRICO
x
0
30
60
90
120
150
180
210
240
270
300
330
360
f(x)
2
1
-1
-2
-1
1
2
1
-1
-2
-1
1
2
𝑎
Hallar el volumen del solido de
revolución generado al rotar la región
𝑓(𝑥) = 2 cos(2𝑥) alrededor del eje OX.
𝑎
𝑣 = ∫ 2𝑥(𝑎2 − 𝑥 2 )1⁄2 𝑑𝑥 + 𝑎2 ∫ 𝑑𝑥
0
0
𝑎
− ∫ 𝑥 2 𝑑𝑥
0
𝑎 𝑥3 𝑎
𝑣 = 2𝐼1 + 𝑎2 𝑥] − ]
0 3 0
𝑎
𝐼1 = ∫ 2𝑥(𝑎2 − 𝑥 2 )1⁄2 𝑑𝑥
0
𝑑𝑢
= 𝑑𝑥
2𝑥
𝑎
𝑑𝑢
𝐼1 = ∫ 𝑥 𝑢1⁄2 (− )
2𝑥
𝑢 = 𝑎2 − 𝑥 2
0
;
−
𝑎
1
𝐼1 = − ∫ 𝑢1⁄2 𝑑𝑢
2
0
1
𝑎
𝐼1 = − 𝑢3⁄2 ]
0
3
1 2
𝑎
𝐼1 = − (𝑎 − 𝑥 2 )3⁄2 ]
0
3
1 2
𝐼1 = − (𝑎 − 𝑎2 )3⁄2
3
𝐼1 = 0
1
2 (𝑎
𝑣=𝑎
− 0) − (𝑎2 − 0)
3
2 3
𝑣 = 𝑎 𝑢3
3
Ejercicio 20:
𝑏
𝑣 = 𝜋 ∫ 𝑓(𝑥)2 𝑑𝑥
𝑎
2𝜋
𝑣 = 𝜋 ∫ (2 cos(2𝑥))2 𝑑𝑥
0
2𝜋
𝑣 = 4𝜋 ∫ 𝑐𝑜𝑠 2 (2𝑥)𝑑𝑥
0
𝑢 = 2𝑥 ;
𝑑𝑢
=2 ;
𝑑𝑥
2𝜋
𝑑𝑢
= 𝑑𝑥
2
= 2𝜋 ∫ 𝑐𝑜𝑠 2 𝑢 𝑑𝑢
0
29
2013
MÉTODOS DE INTEGRACIÓN Y APLICACIONES EN EL CAMPO
ELÉCTRICO
𝑢 𝑠𝑒𝑛 (2𝑡) 2𝜋
𝑣 = 2𝜋 ( +
)]
0
2
4
𝑣 = 2𝜋 ((2𝜋 − 0) +
−
𝑠𝑒𝑛 (2(2𝜋))
4
𝑠𝑒𝑛 (2(0))
)
4
𝑣 = 2𝜋(2𝜋)
𝑣 = 39.47 𝑢3
2
2
𝑣 = 𝜋 [4 ∫ 𝑑𝑥 + 4 ∫ √9 −
−3
2
𝑥2
𝑑𝑥 + 9 ∫ 𝑑𝑥
−3
2
−3
− ∫ 𝑥 2 𝑑𝑥]
−3
3
𝑥 2
2
2
𝑣 = 𝜋 [4𝑥]
+ 4𝐼1 + 9𝑥]
− ] ]
−3
−3 3 −3
2
𝐼1 = ∫ √9 − 𝑥 2 𝑑𝑥
−3
Ejercicio 21:
Hallar el volumen del solido de
revolución generado al rotar la región
𝑥 2 + (𝑦 − 2)2 = 9 alrededor del eje OX.
√9 − 𝑥 2 = 3 cos 𝜃
𝑥 = 3 𝑠𝑒𝑛 𝜃
𝑑𝑥 = 3 cos 𝜃 𝑑𝜃
2
𝐼1 = ∫(3 cos 𝜃) (3 cos 𝜃 𝑑𝜃)
−3
2
𝐼1 = ∫ 9 cos 2 𝜃 𝑑𝜃
−3
2
𝑣 = 𝜋 ∫ 𝑓(𝑥)2 𝑑𝑥
−3
𝑦 = 𝑓(𝑥) =?
𝑠𝑒𝑎: 𝑥 2 + (𝑦 − 2)2 = 9
√(𝑦 − 2)2 = √9 − 𝑥 2
𝑦 − 2 = √9 − 𝑥 2
𝑦 = 2 + √9 − 𝑥 2
2
2
𝑣 = 𝜋 ∫ (2 + √9 − 𝑥 2 ) 𝑑𝑥
2
−3
𝑣 = 𝜋 ∫ (4 + 4√9 − 𝑥 2 + 9 − 𝑥 2 ) 𝑑𝑥
𝜃 𝑠𝑒𝑛(2𝜃) 2
𝐼1 = 9 ( +
)]
−3
2
4
𝑥
𝑠𝑒𝑛 𝜃 cos 𝜃
𝐼1 = 9 [𝑎𝑟𝑐𝑠𝑒𝑛 ( ) + 2
]
3
2
9 2𝜋
𝐼1 = ( )
2 4
9
𝐼1 = 𝜋
4
9
𝑥3 2
2
2
𝑣 = 𝜋 [4𝑥]
+ 4 ( 𝜋) + 9𝑥]
− ] ]
−3
−3 3 −3
4
9
(35)
𝑣 = 𝜋 [4(5) + 4 ( 𝜋) + 9(5) −
]
4
3
230
𝑣 = 𝜋[
+ 9𝜋]
3
𝑣 = 329.68 𝑢3
Ejercicio 22:
Hallar el volumen del sólido en
revolución generado al rotar la región
𝑥 2 + (𝑦 − 2)2 = 4 alrededor del eje OX
entre (-2 , 2)
−3
30
2013
MÉTODOS DE INTEGRACIÓN Y APLICACIONES EN EL CAMPO
ELÉCTRICO
𝑥
𝑠𝑒𝑛 𝜃 cos 𝜃 2
𝐼1 = 9 [𝑎𝑟𝑐𝑠𝑒𝑛 ( ) + 2
]
−2
3
2
4 2𝜋
𝐼1 = ( )
2 2
𝐼1 = 2𝜋
(64)
𝑣 = 𝜋 [8(4) + 4(2𝜋) −
]
3
𝑣 = 162.73 𝑢3
16.
1. En las turbinas de vapor se
genera calor interno por fricción
entonces calcular: La variación de
la entropía
S12 y encontrar el calor Q’.
Si:
𝑘𝐽
𝑘𝐽
S1 = 30,5 y S2= 40,4
𝑦 = 𝑓(𝑥) =?
𝑠𝑒𝑎: 𝑥 2 + (𝑦 − 2)2 = 4
√(𝑦 − 2)2 = √4 − 𝑥 2
𝑦 − 2 = √4 − 𝑥 2
𝑦 = 2 + √4 − 𝑥 2
2
𝐾
2
𝑣 = 𝜋 ∫ (2 + √4 − 𝑥 2 ) 𝑑𝑥
2
−2
𝑣 = 𝜋 ∫ (4 + 4√4 − 𝑥 2 + 4 − 𝑥 2 ) 𝑑𝑥
−2
2
APLICACIONES REALES
2
𝐾
T1= 480 K Y T2 = 591 K
Para encontrar lo que se pide
primero debemos encontrar Q’
entones aplicamos la siguiente
fórmula:
2
𝑣 = 𝜋 [4 ∫ 𝑑𝑥 + 4 ∫ √4 − 𝑥 2 𝑑𝑥 + 4 ∫ 𝑑𝑥
−2
−2
2
−2
− ∫ 𝑥 2 𝑑𝑥]
−2
3
𝑥 2
2
2
𝑣 = 𝜋 [4𝑥]
+ 4𝐼1 + 4𝑥]
− ] ]
−2
−3 3 −2
2
𝐼1 = ∫ √4 − 𝑥 2 𝑑𝑥
−2
√4 − 𝑥 2 = 2 cos 𝜃
𝑥 = 2 𝑠𝑒𝑛 𝜃
𝑑𝑥 = 2 cos 𝜃 𝑑𝜃
2
𝐼1 = ∫(2 cos 𝜃) (2 cos 𝜃 𝑑𝜃)
−2
2
𝐼1 = ∫ 4 cos 2 𝜃 𝑑𝜃
−3
𝜃 𝑠𝑒𝑛(2𝜃) 2
𝐼1 = 4 ( +
)]
−2
2
4
31
2013
MÉTODOS DE INTEGRACIÓN Y APLICACIONES EN EL CAMPO
ELÉCTRICO
2. Calcular el baricentro del
siguiente dominio plano definido
en coordenadas polares (graficar
el dominio):
Para mayor claridad en la resolución:
XG = I1/AD
YG = I2/AD
Cambiando a coordenadas polares:
x = r.cos θ
y = r.sen θ
|J| = r.dr.d θ
0≤θ≤π
0 ≤ r ≤ 2θ
Resolviendo:
Calculando el área con un cambio de
fórmula a coordenadas polares:
32
2013
MÉTODOS DE INTEGRACIÓN Y APLICACIONES EN EL CAMPO
ELÉCTRICO
Expresando el punto:
3. Cálculo de ruido a la salida de un
amplificador integrando por
tramos.
Estimar el valor rms de tensión a la
salida de un amplificador, si la
densidad espectral de ruido de
tensión a la entrada es la que se
muestra en la gráfica superior, y la
respuesta frecuencial del
amplificador es la que se muestra en
la gráfica inferior. Si la señal de
entrada del amplificador es de 0.5
Vpp, determinar el SNR.
Reemplazando:
33
2013
MÉTODOS DE INTEGRACIÓN Y APLICACIONES EN EL CAMPO
ELÉCTRICO
La densidad espectral en la salida
del amplificador es:
c) A partir de la frecuencia
el valor rms a la salida del
amplificador es:
el ruido es blanco y de valor
, y el amplificador
funciona con ganancia
.
Esta situación ya ha sido calculada y el
valor r ms que resulta es:
La integral la evaluamos por tramos
de frecuencia, buscando situaciones ya
previamente calculadas:
a) En el rango
nos encontramos
un ruido con espectro tipo circuito
El valor rms total en la salida del
amplificador será:
integrado,
b) En el rango
el ruido es
blanco y de valor
, y la
ganancia del amplificador se amplifica a
razón de 20dB/ dC. Esta situación no ha
sido previamente estudiada y debe ser
integrada:
Para calcular la relación señal ruido,
debemos obtener el nivel de ruido a la
entrada:
la relación señal ruido es:
34
2013
MÉTODOS DE INTEGRACIÓN Y APLICACIONES EN EL CAMPO
ELÉCTRICO
4. Vigas Curvas: Establecer
las relaciones básicas necesarias
para obtener la distribución de
esfuerzos en una viga curva,
debidos a la flexión considerada
aisladamente y deducir la
ecuación que da la distribución de
los esfuerzos de flexión.
Solución:
a) Considerar un elemento
diferencial de la viga correspondiente a
un ángulo dɵ.
b) Como resultado de la flexión, y
de que las secciones planas permanecen
planas, una sección cualquiera p-q rota a
p oq, con tracción sobre la fibra interna
y compresión sobre la externa. La
rotación deja fijo un punto sobre el eje
neutro.
c) El alargamiento de la fibra a una
distancia y de la superficie neutra es
ydɸ.
O
Donde s es el esfuerzo de flexión.
f) La suma de todas las fuerzas
diferenciales debe ser cero para el
equilibrio; entonces.
o
o
g) Además, el momento de las
fuerzas diferencial alrededor de
cualquier punto debe ser igual al par
aplicado M. Tomando el punto K como un
centro conveniente de momentos.
O
O
h) Manejando
dividiendo (rn- y
y
y2, se obtiene
i)
d) La longitud original de la fibra
diferencial es (rn-y) dɵ
e) Como el esfuerzo es proporcional
a la deformación,
𝑦
𝑑𝐴
𝑛 −𝑦
j) Pero de f(X)=𝑟
= 0,y ydA
representa el momento alrededor del
eje neutro de las áreas diferenciales
que comprenden la sección. Por tanto,
ydA puede escribirse como Ae, donde e
35
2013
MÉTODOS DE INTEGRACIÓN Y APLICACIONES EN EL CAMPO
ELÉCTRICO
es la distancia del eje neutro al eje
centroidal.
k) Así, la ecuación en (g) puede
escribirse
𝑑∅
𝐸
𝑑𝜃
𝑀
𝑦2
𝑑∅
𝐸 ∫ 𝑟 −𝑦 𝑑𝐴
𝑑𝜃
𝑛
𝑑∅
= 𝑀 = 𝑑𝜃 𝐸[𝐴𝑒 ] o
l) La Ecuación de esfuerzos en (e)
puede escribirse
la cual da la variación del esfuerzo.
=𝐴
𝑒
17.
BIBLIOGRAFÍA Y WEBGRAFÍA
Documentos de la web:
[1] http://www.tec-digital.itcr.ac.cr/revistamatematica/cursoslinea/CALCULODIFERENCIAL/cursoelsie/aplicacionesintegral/html/aplicaciones-integral.pdf
[2] http://bjglez.webs.ull.es/aplicaciones_de_la_integral.pdf
[3] http://www.ehu.es/~mtpalezp/libros/ana2_11.pdf
[4] http://www.slideshare.net/normavalle
[5] http://es.scribd.com/doc/34843338/Cual-es-la-aplicacion-de-lasintegrales-en-ingenieria-Industrial
[6] http://cvb.ehu.es/open_course_ware/castellano/tecnicas/ejer_resu_infini/
ejercicios-resueltos/tema-8-aplicaciones-geometricas.pdf
[7] http://www.calculointegrales.com/p/integrales-trigonometricas.html
[8] http://es.wikipedia.org/wiki/Integraci%C3%B3n_por_sustituci%C3%B3n_tri
gonom%C3%A9trica
36
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MÉTODOS DE INTEGRACIÓN Y APLICACIONES EN EL CAMPO
ELÉCTRICO
[9] http://www.itescam.edu.mx/principal/sylabus/fpdb/recursos/r72923.PDF
[10] http://www.taringa.net/posts/ciencia-educacion/9062747/AlgunasAplicaciones-de-la-integral-en-ingenieria_.htmlLibros:
[11] CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL, WILLIAM ANTHONY GRAN
VILLE, TRIGÉSIMA EDICIÓN.
[12] CÁLCULO DE DEMIDOVICH, TERCERA EDICIÓN.
[13] TEMAS DADOS EN CLASE POR ING. XAVIER ESPINOZA
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