matemática 5° básico

MATEMÁTICA 5° BÁSICO
MATERIAL DE APOYO PARA EL DOCENTE
LOCALIZACIONES, CARACTERIZACIONES
Y TRANSFORMACIONES GEOMÉTRICAS
Material elaborado por: Héctor Muñoz
Adaptación: Equipo de Matemática Programa Mejor Escuela
LOCALIZACIONES, CARACTERIZACIONES
Matemática 5º Básico
1. DESCRIPCIÓN GENERAL DE LA UNIDAD
En esta unidad se retoma el trabajo con las figuras planas y los cuerpos geométricos ya
estudiados (prismas rectos de distintas bases, pirámides rectas de distintas bases, cilindro y
cono), de manera que los estudiantes puedan estar en condiciones de caracterizarlos con el
propósito de que reconozcan y realicen distintas representaciones de estas figuras y cuerpos
geométricos en el plano.
Por otro lado se trabaja la ubicación en planos utilizando el sistema de coordenadas para
definir la localización de un objeto o la trayectoria de un punto a otro dentro del plano
Cartesiano.
También en la unidad se trabajan las transformaciones isométricas en el plano, con la
finalidad de que los estudiantes muestren su comprensión en la congruencia de figuras de
2D.
2. DURACIÓN APROXIMADA
3 semanas.
3. CONTENIDOS
3.1. Localización de puntos y figuras en el plano Cartesiano
3.2. Transformaciones isométricas
3.3. Triángulos y cuadriláteros
3.4. Prismas, pirámides y cuerpos redondos
4. OBJETIVOS DE APRENDIZAJE
Identificar y dibujar puntos en el primer cuadrante del plano cartesiano, dadas sus
coordenadas en números naturales. (OA 16)
Describir y dar ejemplos de aristas y caras de figuras 3D, y lados de figuras 2D: que son
paralelos, que se intersectan, que son perpendiculares. (OA 17)
Demostrar que comprende el concepto de congruencia, usando la traslación, la reflexión
y la rotación en cuadrículas. (OA 18)
Indicadores de evaluación
o identifican coordenadas de puntos del primer cuadrante del plano cartesiano
o identifican los puntos extremos de trazos dibujados en el primer cuadrante del plano
cartesiano
o identifican coordenadas de vértices de triángulos y cuadriláteros dibujados en el primer
cuadrante del plano cartesiano
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LOCALIZACIONES, CARACTERIZACIONES
Matemática 5º Básico
o dibujan triángulos y cuadriláteros en el primer cuadrante del plano cartesiano,
conociendo las coordenadas de sus vértices
o identifican aristas y caras paralelas, perpendiculares e intersecciones entre ellas en
figuras 3D del entorno
o identifican aristas paralelas, perpendiculares e intersecciones entre ellas en figuras 2D
del entorno
o muestran líneas paralelas, perpendiculares, además de intersecciones entre ellas, en
figuras 2D del entorno
o identifican aristas y caras que son paralelas, perpendiculares e intersecciones entre
ellas, en figuras 2D y 3D en medios impresos y electrónicos
o dibujan figuras 2D o figuras 3D que tienen aristas y caras que son paralelas o
perpendiculares
o describen las caras y aristas de figuras 3D, usando términos como paralelas,
perpendiculares, intersecciones
o describen lados de figuras 2D, usando términos como paralelas, perpendiculares,
intersecciones
o Demuestran, por medio de ejemplos, que una figura trasladada, rotada o reflejada no
experimenta transformaciones en sus ángulos
o Demuestran, por medio de ejemplos, que una figura trasladada, rotada o reflejada no
experimenta transformaciones en las medidas de sus lados
o explican el concepto de congruencia por medio de ejemplos
o identifican en el entorno figuras 2D que no son congruentes
o dibujan figuras congruentes y justifican la congruencia en su dibujo
5. HABILIDADES
Extraer información del entorno y representarla matemáticamente en diagramas, tablas y
gráficos
Usar representaciones y estrategias para comprender mejor problemas e información
matemática
Comprender y evaluar estrategias de resolución de problemas de otros
Comunicar de manera escrita y verbal razonamientos matemáticos
Documentar el procedimiento para resolver problemas, registrándolo en forma
estructurada y comprensible
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Matemática 5º Básico
MATERIAL DE APOYO COMPLEMENTARIO PARA EL DOCENTE
1. Profundización de contenidos
1.1. Acerca del plano Cartesiano
Desde tiempos muy remotos los seres humanos han tenido la necesidad de orientarse
espacialmente, confeccionando mapas, planos, cartas geográficas y a relacionar numéricamente
puntos en una superficie. Para fijar un objeto o un punto en el espacio o en el plano, se requiere
de un sistema de referencia para relacionarlo.
El Plano Cartesiano es uno de estos sistemas de referencia. Se construye dibujando dos rectas
numéricas, una horizontal y la otra vertical, que se intersectan en sus respectivos ceros; éste
cruce en el cero se llama origen y a cada una de las rectas se las llama ejes coordenados. La
horizontal representa el eje de las ABSCISAS o eje de las equis (X) y la vertical el eje de las
ORDENADAS o eje de las yes (Y).
La utilidad del Plano Cartesiano consiste en que se puede ubicar un punto con sólo dos números.
Estos dos números se llaman: coordenadas o par ordenado y el orden es (x, y). Por ejemplo, los
puntos A(-5, -3), P(8, 2) y R(2, - 4) están ubicados en el siguiente plano Cartesiano.
En esta unidad se trabaja ubicando puntos y determinando las coordenadas de puntos en el
I CUADRANTE, de acuerdo a las Bases Curriculares vigentes.
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RENÉ DESCARTES (1596-1650)
Considerado el padre de la filosofía moderna, René Descartes, también
llamado Renatus Cartesius, fue un pensador completo, que abordó
también el estudio de las ciencias. En física, sin saber que Galileo ya lo
había hecho, resolvió el problema de las leyes que rigen el movimiento
de caída de los cuerpos. En matemáticas, fue el creador de la
geometría analítica, para lo que estableció el sistema de coordenadas
ortogonales, conocido en la actualidad como sistema cartesiano. Asimismo, contribuyó a
simplificar y normalizar la nomenclatura algebraica.
Tras escribir las Reglas para la dirección del espíritu (1628-1629) y El mundo o Tratado de la
luz (1633), en el que se incluyó su Tratado del hombre, publicó su obra de mayor relieve, el
Discurso del método (1637), que servía de prólogo a la edición conjunta de tres ensayos de
índole científica: la Dióptrica, la Geometría y los Meteoros. En 1641 escribió Meditaciones
metafísicas, y en 1644, los Principios de la filosofía. Por último, en 1649 se publicó su obra
Pasiones del alma.
En el sistema de pensamiento de Descartes, la filosofía engloba a todas las ciencias.
Representó el conocimiento como un árbol cuyas raíces son la metafísica y cuyo tronco es la
física, del que salen tres ramas principales –la medicina, la mecánica y la ética– de las que
derivan todas las otras ciencias.
El pensamiento filosófico de Descartes se fundamenta en un método que consiste en tomar
un punto de partida indudable sobre el que construir todo el conocimiento.
1.2. Acerca de la caracterización de figuras 2D y 3D
Una figura 2D podrá ser reconocida a partir de caracterizarla en función de los elementos que la
conforman. Esto es: por su forma, la cantidad de lados y vértices que tiene, si tiene lados curvos
o rectos, la cantidad de lados de la misma medida, la cantidad de ángulos rectos que tiene, si
tiene lados paralelos y/o perpendiculares, el tipo de ángulos interiores que posee, también por
la cantidad de ejes de simetría que posee, si sus diagonales tienen la misma medida, si sus
diagonales son perpendiculares, etc. Por ejemplo: ¿qué figura 2D tiene 4 lados rectos de la
misma medida y 2 pares de lados paralelos? (R: el rombo).
Lo mismo ocurre con las figuras 3D. Esto es: por la forma de sus caras, si tiene solo caras planas,
si tiene caras curvas, por la cantidad de aristas, vértices y caras, si tiene caras paralelas y/o
perpendiculares, la cantidad de caras basales que posee, etc. Por ejemplo: tiene 4 caras planas y
4 vértices (R: el tetraedro)
1.3.
Acerca de las transformaciones isométricas y la congruencia
Una transformación isométrica o isometría de una figura es una aplicación que actúa sobre
todos los puntos que la conforman, “transportándolos” a otro lugar en el mismo plano sin alterar
su forma ni su tamaño, es decir, cuando la figura cambia de posición (orientación y sentido). En
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otras palabras, las isometrías son transformaciones del plano en el plano que conservan la
distancia. Así, si dos puntos A y B están a una distancia d(A,B) = d, sus imágenes T(A) = A’; T(B) =
B’ cumplen que su distancia es la misma, o sea, d(A’,B’) = d.
En toda transformación geométrica es necesario tener presentes tres elementos:
La figura original
La Transformación u operación que describe el cambio
La figura que se obtiene después del cambio
La figura que se obtiene después del cambio es la imagen de la figura original a través de la
transformación u operación descrita y resultan ser figuras congruentes.
Entre las transformaciones isométricas están las traslaciones, las rotaciones o giros, las
reflexiones o simetrías axiales (en torno a un eje), las reflexiones o simetrías centrales (en torno
a un punto) y las combinaciones de ellas. Estas transformaciones son conocidas también como
“movimientos” en el plano.
Traslaciones: Las traslaciones, son aquellas isometrías que permiten desplazar en línea recta
todos los puntos del plano. Este desplazamiento se hace de acuerdo a una dirección (horizontal,
vertical u oblicua), un sentido (derecha, izquierda, arriba, abajo) y una distancia o magnitud de
desplazamiento, que corresponde a la distancia que existe entre el posición inicial y la posición
final de cualquier punto de la figura que se desplaza., por lo que toda traslación queda definida
por un vector llamado “vector de traslación”.
Ejemplo: El triángulo ABC se ha trasladado de acuerdo al vector
A’B’C’
, hasta el triangulo
TODA FIGURA QUE HA SIDO TRASLADADA EN UN PLANO ES
CONGRUENTE A LA FIGURA ORIGINAL
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Rotaciones: Las rotaciones, son aquellas isometrías que permiten girar todos los puntos del
plano. Cada punto gira siguiendo un arco de circunferencia que tiene un centro y un ángulo bien
determinados, por lo que toda rotación queda definida por su centro de rotación y por su
ángulo de giro.
En una rotación se distinguen tres elementos:
El centro de rotación es el punto en torno al cual se efectúa la rotación
La magnitud de la rotación, es la medida del ángulo determinado por un punto p
cualquiera de la figura original, el centro de rotación (como vértice del ángulo), y el punto
imagen p´ correspondiente en la figura obtenida después de la rotación.
El sentido del giro que puede ser positivo (en sentido contrario a como giran las agujas del
reloj) o negativo (en el sentido que giran las agujas del reloj).
En la imagen, el banderín a sido rotado 90° en sentido positivo en torno al punto O (centro de
rotación).
TODA FIGURA QUE HA SIDO ROTADA EN UN PLANO ES
CONGRUENTE A LA FIGURA ORIGINAL
Simetrías: Las simetrías o reflexiones, son aquellas transformaciones isométricas que invierten
los puntos y figuras del plano. Esta reflexión puede ser respecto de un punto (simetría central ó
puntual) o respecto de una recta (simetría axial ó Especular).
Simetría Axial: Dada una recta fija L del plano, se llama simetría o reflexión axial con respecto a
L, a aquella isometría tal que, si P y P´ son puntos homólogos con respecto a ella, PP´ es
perpendicular a L y, además, el punto medio de PP´ está en L. Es decir, PL = P’L. El P’Q’R’ es el
reflejo del PQR con respecto a L. L recibe el nombre de eje de simetría.
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Simetría Central: Dado un punto fijo O del plano, se llama simetría (reflexión) con respecto a O a
aquella isometría que lleva cada punto P del plano a una posición P’ de modo que P’ está en la
recta OP, a distinto lado con respecto a O, y OP = OP' . El punto O se llama centro de la simetría y
P, P’ puntos correspondientes u homólogos de la simetría. En la imagen, el P’Q’R’ es simétrico al
PQR con respecto al punto O (Centro de Simetría).
TODA FIGURA QUE HA SIDO REFLEJADA A TRAVÉS DE UN EJE O UN
PUNTO EN UN PLANO ES CONGRUENTE A LA FIGURA ORIGINAL
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MATERIAL DE TRABAJO PARA EL AULA
GUÍA N° 1. ADIVINA EL PUNTO
En esta guía, la situación problemática se presenta a través de un juego en parejas, en que
uno de los estudiantes dibuja un punto en el plano Cartesiano (sin que el otro lo vea) y el
otro, haciendo la menor cantidad de preguntas posibles, descubre las coordenadas del punto
dibujado por su compañera(o). Luego invierten roles. Gana quien haya realizado menos
preguntas para descubrir las coordenadas.
GUÍAS N° 2 y 3. IDENTIFICANDO Y REPRESENTANDO PUNTOS EN EL PLANO CARTESIANO
La tarea matemática que tienen que realizar los estudiantes en la guía N° 2, es determinar las
coordenadas de puntos dibujados en el plano Cartesiano, y en la guía N° 3, es la tarea
inversa. Es decir, dadas las coordenadas, ubican los puntos en el plano Cartesiano.
GUÍAS N° 4 y 5. DESCUBRIENDO LA FIGURA Y DIBUJANDO FIGURAS EN EL PLANO
CARTESIANO
Estas dos guías están referidas a la misma tarea matemática. Dadas las coordenadas de los
puntos correspondientes a los vértices, ubican esos puntos en plano Cartesiano y luego unen
dichos puntos con líneas rectas para formar las figuras. En el caso de la guía N° 4
corresponde a una figura 2D cualquiera y en la guía N° 5 a polígonos.
GUÍA N° 6. RESOLVIENDO PROBLEMAS
En esta guía, los estudiantes tienen que aplicar los conocimientos relativos identificar puntos
y coordenadas de puntos y vértices de figuras, determinación del perímetro de figuras y
traslaciones de puntos y figuras en el primer cuadrante del plano Cartesiano.
GUÍA N° 7. CARACTERIZANDO CUBOS
En esta guía los estudiantes caracterizaran cubos, identificando caras paralelas y caras
perpendiculares, intersecciones de dos y tres caras.
GUÍA N° 8. REPRESENTANDO FIGURAS 2D Y 3D POR SUS CARACTERÍSTICAS
Los estudiantes dibujan figuras 2D y 3D, dadas algunas de sus características. Los dibujos los
realizan sobre tramas cuadradas de puntos.
GUÍAS N° 9, 10, 11 Y 12. COMPRUEBAN CONGRUENCIAS EN TRANSFORMACIONES
ISOMÉTRICAS
En estas guías, los estudiantes comprobaran la congruencia existente entre una figura y
aquella que resulta de aplicar una transformación isométrica, también conocidas como
movimientos: traslaciones, rotaciones y reflexiones. Algunas técnicas que podrían surgir de
los estudiantes para comprobar la congruencia son: la medición de lados y ángulos y
superposición de las figuras. Por tanto, disponga de reglas, transportadores y tijeras por si las
requieren.
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