Grafos: Dijkstra

UNIVERSIDAD TECNOLÓGICA NACIONAL
Materia: Algoritmos Complejos y Estructuras Complejas de Datos
Curso: K3051
Docente: Pablo A. Sznajdleder
Tema de investigación: Algoritmo de Dijkstra
Apellido y Nombre
Numero de Legajo
Croce Agustin
143.356-8
Hamie, Lucas
Tamburro, Fernando Gabriel
140.703-0
Relañez, Alejandro
142.070-7
Milar, Tomás
143.409-3
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Indice
0.
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7.
Indice . ………………………………………………………………………………....Pag. 2
Nociones previas sobre grafos ……………………………………………………..Pag. 3
Introducción ………………………………………………..………………………….Pag. 3
Estrategia del algoritmo ……………………………..……………………………….Pag. 4
Complejidad …….……………………………..………………………………………Pag. 5
Casos de uso o aplicaciones prácticas …………………………………………….Pag. 9
Conclusión……………………………………………………………………………..Pag. 10
Fuentes…………………………………………….…………………………………..Pag. 10
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Nociones previas sobre grafos
●
Grafo: Conjunto de vértices o nodos unido por aristas o arcos con el fin de representar las
relaciones binarias entre los elementos del mismo.
●
Vértice: Unidad fundamental e indivisible de un grafo. De estos parten y llegan las aristas
●
Arista: Relación entre dos vértices de un grafo sin dirección.
●
Arista Dirigida: Arista la cual también contiene una direccion.
●
Arista Ponderada: Arista que tiene asociado un peso.
●
Vértice adyacente: Un vértice a es adyacente al vértice b si existe una arista que parte de a y
llega a b.
●
Grafo Dirigido: Grafo donde todas sus aristas son dirigidas.
●
Grafo Ponderado: Grafo donde todas las aristas son ponderadas.
●
Camino de X a Y: Conjunto de aristas que conectan los vértices X e Y.
Introduccion.
El algoritmo de Dijkstra, también conocido como el algoritmo del camino mínimo fue creado en
1950 por el holandés Edsger Wybe Dijkstra. Entre los otros aportes de Dijkstra a la computación se
destaca la notación polaca inversa, el algoritmo del banquero y la estructura del semáforo para
coordinar el uso de recursos compartidos entre diferentes procesos.
Este algoritmo resuelve el problema del camino más corto, es decir, encontrar en un grafo
dirigido ponderado el camino entre dos vértices tal que la suma del peso de sus aristas sea mínima.
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Estrategia del algoritmo
Paso #1: Se marcan todos los vértices como no visitados.
Paso #2: Se establece la distancia del vértice inicial como cero y la del resto de los vértices como
infinita.
Paso #3: Se establece como vértice actual el nodo inicial.
Paso #4: Por cada vértice no visitado adyacente al vértice actual se establece como la nueva
distancia al mínimo entre la distancia actual y la suma de la distancia del vértice actual más el
peso de la arista que conecta ambos vértices.
Paso #5: Se marca el vértice actual como visitado.
Paso #6: Si el nodo destino ha sido marcado el algoritmo es finalizado siendo la distancia del
camino mínimo la distancia del nodo destino. En caso de que el nodo marcado no sea el nodo
destino se elige como nodo actual al nodo no visitado con la menor distancia y se vuelve a #4.
Versión con cola de prioridad
Las colas con prioridad (y por tanto la estructura de datos montículo con la que se representan en
memoria) se utilizan a menudo para mejorar la eficiencia de algoritmos en los que iterativamente se
precisa conocer el mínimo (o máximo) de un conjunto de valores y eliminarlo del conjunto.
1 método Dijkstra(Grafo,origen):
2
creamos una cola de prioridad Q
3
agregamos origen a la cola de prioridad Q
4
mientras Q no este vacío:
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sacamos un elemento de la cola Q llamado u
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si u ya fue visitado continuo sacando elementos de Q
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marcamos como visitado u
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para cada vértice v adyacente a u en el Grafo:
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sea w el peso entre vértices ( u , v )
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si v no ha sido visitado:
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Relajacion( u , v , w )
1 método Relajacion( actual , adyacente , peso ):
2
si distancia[ actual ] + peso < distancia[ adyacente ]
3
distancia[ adyacente ] = distancia[ actual ] + peso
4
agregamos adyacente a la cola de prioridad Q
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Complejidad algorítmica
Sin utilizar cola de prioridad: O(|V|2+|E|) = O(|V|2)
Utilizando cola de prioridad: O((|E|+|V|).log |V|)
Siendo |V| la cantidad de vértices, y |E| la cantidad de aristas del grafo.
Sin cola de prioridad
Con cola de prioridad
Crear
Arreglo = O(1)
Montículo = O(V)
EXTRAER-MIN
O(V)
O(lg V) x V veces
RELAJACION
O(1)
O(lg V) x E veces a lo mas
Total
O(V2+E) = O(V2)
O((V+E)lg V) = O(E lg V)
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Ejemplo aplicado.
(Para simplificar, se condensaron y redujeron los pasos de la estrategia en la pág. 4, y se llamó
“vértice” al nodo, y “distancia” al camino o peso a recorrer para avanzar de un nodo a otro).
1- Me paro en el primer vertice, inicializando distancia actual o "recorrida" en 0. En todos los demas
vertices, inicializo en infinito. Una distancia infinita representa que aún no conozco o no calculé un
camino para llegar hasta ese vértice, desde donde estoy parado actualmente.
2- Obtengo los vertices candidatos (aquellos con paso directo desde el vertice actual). Como ahora los
conozco, calculo la distancia que tengo para recorrer hasta cada uno de ellos, y si es menor que la
que tenían previamente, la actualizo con el menor valor. Esta distancia se calcula como la distancia
actual o recorrida hasta el momento + distancia a recorrer para llegar a dicho candidato.
Actualizo su distancia que es la suma de la distancia que recorri hasta ahora + la distancia a recorrer
para llegar a dicho candidato.
3- De los candidatos, avanzo a aquel con menor distancia final, que es la que calculé en (2).
4- Ahora la distancia recorrida, pasa a ser la que calculé en (2) para llegar hasta el vértice donde estoy
parado. Si el vértice actual no es final: vuelvo al paso (2) y repito el proceso para los candidatos
próximos que tengo en este momento. Puede pasar que algunos ya haya calculado su distancia
anteriormente, pero no importa porque si la nueva distancia calculada es menor a la anterior, la piso,
sino; si es mayor o igual, dejo la que estaba antes. De esta forma, garantizo que la distancia total
hasta ese vértice próximo, vaya siendo achicándose a medida que exploro los distintos caminos en el
grafo.
Tenemos este grafo. Queremos encontrar el
camino mínimo desde a hasta z, asumiendo que
el sentido del grafo es de izquierda a derecha.
Paso #1: inicializo distancia del vértice inicial en 0,
todas las demás en infinito.
Camino: A
Distancia: 0
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Paso #2: obtengo los vértices adyacentes (nodos
próximos), y actualizo las distancias a cada uno
de ellos.
Camino: A
Distancia: 0
Paso #3: Vemos que la menor distancia es al
vértice C entonces avanzamos a C.
Camino: AC
Distancia: 2
Paso #4: como no llegamos al vértice final,
repetimos el paso 2 pero esta vez con respecto al
vértice actual, es decir C. Sus vértices adyacentes
son B, D y E.
- La distancia a E es 2+10 = 12, y como 12
es menor a infinito, actualizo la distancia
minima de E;
- la distancia a D es 2+8=10, menor que
infinito entonces actualizo.
Lo mismo para B, la distancia a B ahora
es 2+1=3, y como 3 es menor a 4
actualizo su distancia mínima.
Camino: AC
Distancia: 2
Continuo con el Paso #3, vemos que ahora la
menor distancia de los nodos adyacentes es B
con 3.
Camino: ACB
Distancia: 3
Paso #4: como B no es final, vuelvo al paso #2,
exploro los vértices adyacentes y actualizo las
distancias cuando sean menores a las que tenían
calculadas. En este caso para llegar a D, tengo
3+5 = 8, es menor que 10 entonces lo actualizo.
Camino: ACBD
Distancia: 8
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Avanzo al vértice a menor distancia (en este caso
D), y exploro los vértices adyacentes. La distancia
a E desde D es 8+2=10, menor que su valor
anterior 12, entonces la actualizo. Para Z lo
mismo, 8+6=14 es menor que infinito.
Camino: ACBD
Distancia: 8
Desde D el vértice a menor distancia es E con 10,
con respecto a Z que tiene 14.
Camino: ACBDE
Distancia: 10
Finalmente, la distancia a Z es 10+3=13, menor
que 14, entonces avanzo a Z y es el vértice final.
Por lo tanto, el camino mínimo entre A y Z es :
Camino: ACBDEZ
Distancia: 13
Ahora, qué hubiera pasado si de E a Z teníamos
una distancia mayor a 14?
Si el próximo paso me hubiera dado una distancia
mayor a la distancia precalculada (10+10=20 es
mayor que 14), no podría ni actualizar la
distancia del destino Z porque no es menor, ni
podría avanzar allí porque no sería un camino
mínimo.
Entonces tengo que regresar por donde vine
(vértice D), descartar el vértice que acabo de
recorrer y retroceder (E), y volver a repetir el paso
#3 del algoritmo nuevamente desde D. Es decir,
el camino que tenía calculado antes y no seguí,
ahora es candidato nuevamente a ser mínimo.
Finalmente, el camino A-Z en esta variante del
grafo queda:
Camino: ACBDZ
Distancia: 14
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Otro ejemplo de aplicación
http://jariasf.files.wordpress.com/2012/03/270px-dijksta_anim.gif
Casos de uso o aplicaciones prácticas
Las aplicaciones del algoritmo de Dijkstra son muy diversas y de gran importancia en distintas áreas
del conocimiento. Vamos a presentar algunas de ellas.
Encaminamiento de paquetes por los routers: En un momento dado, un mensaje puede tardar
cierta cantidad de tiempo en atravesar cada línea (por ejemplo, por efectos de congestión). En este
caso, tenemos una red con dos nodos especiales, el de inicio y el de llegada. Los pesos de las aristas
serían los costes. El objetivo del algoritmo es encontrar un camino entre estos dos nodos cuyo coste
total sea el mínimo.
Aplicaciones para Sistemas de información geográficos: extracción de características
curvilíneas de imágenes usando técnicas de minimización del camino: La imagen se representa
como una matriz de puntos, cada uno con una intensidad. Cada nodo es un punto (píxel) de la
imagen. El peso de las aristas es la diferencia de color.
Reconocimiento de lenguaje hablado: Se puede construir un grafo cuyos vértices correspondan a
palabras posibles y las aristas unan palabras que pueden ir colocadas al lado de las otras. Si el peso
de las aristas corresponde a la probabilidad de que estén así colocadas, el camino más corto en el
grafo será la mejor interpretación de la frase.
Enrutamiento de aviones y tráfico aéreo: Consiste en un agente de solicitudes de viaje software
para hacer un programa de vuelos para los clientes. El agente tiene acceso a una base de datos con
todos los aeropuertos y los vuelos como el número de vuelo, el aeropuerto de origen y destino y los
horarios de salida y de llegada. La aplicación se usa para determinar la hora de llegada más temprana
para el destino dado un aeropuerto de origen y hora de inicio.
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Conclusión:
El presente algoritmo debe tomarse como lo que es: una herramienta más para resolver problemas.
Su utilidad yace con respecto a otros como el Breadth First Search, al poder trabajar con grafos
ponderados cuyas distancias puedan ser mayores a 1, garantizando así siempre el camino mínimo no
sólo en número de pasos dados, sino también en distancia acumulada recorrida.
Por otro lado da lugar también a complejizar la noción de “distancia” entre dos nodos, por ejemplo en
un GPS, tomando en cuenta otros factores como el tráfico, la seguridad de la zona, el clima, etc. De
esta forma es posible encontrar el camino mínimo de un punto a otro de acuerdo a más de un
parámetro relevante.
Fuentes:
Implementacion en codigo java
http://www.algolist.com/code/java/Dijkstra%27s_algorithm
Ejemplo explicado – “Shortest Path using Dijkstra's Algorithm“
https://www.youtube.com/watch?v=WN3Rb9wVYDY
Algoritmo de dijstra – Wikipedia
http://es.wikipedia.org/wiki/Algoritmo_de_Dijkstra
http://en.wikipedia.org/wiki/Dijkstra's_algorithm
Aplicaciones del algoritmo
http://bioinfo.uib.es/~joemiro/aenui/procJenui/ProcWeb/actas2001/saalg223.pdf
Complejidad algoritmica
http://personal.cimat.mx:8181/~cesteves/cursos/comp420/pdf/AlgoritmosCaminosCortos.pdf
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