Redalyc. RELACIÓN DE FUERZA DE ENLACE ATÓMICA Y

Journal of Materials
Education
University of North Texas
vsm@.uaemex.mx
ISSN: 0738-7989
MÉXICO
2001
Robert A. McCoy
RELACIÓN DE FUERZA DE ENLACE ATÓMICA Y CURVAS DE ENERGÍA CON LAS
PROPIEDADES DE MATERIALES OBSERVADOS
Journal of Materials Education, año/vol. 23, número 006
University of North Texas
Denton, México
pp. 187-192
Journal of Materials Education Vol. 23 (4-6): 187-192 (2001)
RELACIÓN DE FUERZA DE ENLACE ATÓMICA Y CURVAS DE
ENERGÍA
CON
LAS
PROPIEDADES
DE
MATERIALES
OBSERVADOS
Robert A. McCoy
Youngstown State University, Youngstown, Ohio, USA.
RESUMEN
Este artículo describe un módulo de aprendizaje que se construyó para demostrar las relaciones entre
la fuerza de enlace atómica, la energía de enlace atómica, propiedades mecánicas básicas y la
expansión térmica de sólidos.
CONOCIMIENTOS PREVIOS
Conocimientos básicos de fuerzas atrayentes electrostáticas, relación entre fuerza y energía,
integración y diferenciación de un polinomio, y propiedades mecánicas determinadas de una prueba
de tensión.
Palabras clave: Fuerza de enlace atómica, energía de enlace atómica, módulos elásticos, fuerza de división,
expansión térmica.
OBJETIVO
INTRODUCCIÓN
Entender las relaciones entre la fuerza de enlace
atómica, la energía de enlace atómica,
propiedades mecánicas básicas y la expansión
térmica de sólidos.
EQUIPO
1. Modelo de pelota de tenis: dos pelotas de
tenis y cuatro cintas de goma anchas
2. Modelo halfpipe: lata de un diámetro de
10.16 cm y 10.16 cm de altura, espuma de
poliestireno de 55.88x10.16x5.08, una
pelota pequeña.
3. Una computadora con MS Excel
Para obtener una mejor comprensión de las
bases de las propiedades mecánicas comunes de
los sólidos, se presentan a los estudiantes tres
métodos:
1. Una expresión matemática para la fuerza de
enlace atómica seguida por la integración
para obtener la expresión de la energía
potencial y el uso de estas ecuaciones para
obtener diversas propiedades mecánicas.
2. Gráficas de las curvas de fuerza y de
energía para obtener soluciones gráficas.
3. Uso de un modelo de pelota de tenis y un
modelo halfpipe para ilustrar relaciones físicas.
188
McCoy
PROCEDIMIENTO
Se ha asignado al curso el siguiente proyecto
para trabajarlo de manera individual o en
grupos pequeños de dos o tres estudiantes cada
uno. Para un par de iones K+ y Cl- la fuerza
electrostática atrayente debido a cargas
opuestas y a fuerzas repulsivas debido a corazas
de electrones exteriores imbricados depende de
la distancia entre los centros de los iones, r, de
acuerdo con las ecuaciones:1
FA = 1.436 × r-2
y
-5
-10
FR = -5.274 × 10 × r .
Para estas ecuaciones, las fuerzas están en
unidades de voltios de electrones por
nanómetro (eV/nm) y r es la distancia en
nanómetros (nm). La fuerza neta FN que actúa
sobre una pareja de iones es justamente la suma
de las dos fuerzas.
Los estudiantes tienen que completar los
siguientes ejercicios:
a) Grafica la ecuación de FN frente a r de 0.2 a
0.6 nm usando MS Excel. Ajusta tu escala
del eje Y para que su alcance sea de –6 a
10. Cuantifica y rotula ambas coordinadas.
En lugar de usar MS Excel para este trazo.
Se puede usar TK Solver como repaso en la
sección 4.3 de la referencia 2.
b) Energía potencial, PE, es la integral de FN
con energía potencial cero definida como
cuando los iones se separan a una distancia
infinita. Por esto, PE = ∫ FN dr. Salva la
integral para obtener una expresión para PE
y usa MX Excel para graficar esta ecuación
frente a r desde 0.2 hasta 0.6 nm. Ajusta
otra vez tu escala del eje Y para que su
rango sea de –6 hasta 10. Cuantifica y
rotula ambas coordenadas.
c) Determina gráficamente el espacio de
equilibrio entre dos iones a la temperatura
absoluta de cero, ro, usando primero la
curva FN y luego la curva PE.
d) Determina
gráficamente
la
energía
potencial mínima, PE. Este valor
corresponde a la energía de enlace de
equilibrio del par de iones a la temperatura
de cero absoluta donde los iones poseen
energía cinética cero.
Tabla 1. Datos de la Fuerza Neta y de la Energía
Potencial
r (nm)
FN (ev/nm)
PE (eV)
0.20
-479.14
4.27
0.21
-283.63
0.54
0.22
-168.90
-1.67
0.23
-100.16
-2.99
0.24
-58.25
-3.77
0.25
-32.33
-4.21
0.26
-16.12
-4.44
0.27
-5.92
-4.55
0.28
0.51
-4.57
0.29
4.54
-4.55
0.30
7.02
-4.49
0.31
8.51
-4.41
0.32
9.34
-4.32
0.33
9.74
-4.23
0.34
9.87
-4.13
0.35
9.81
-4.03
0.36
9.64
-3.93
0.37
9.39
-3.84
0.38
9.10
-3.74
0.39
8.79
-3.65
0.40
8.47
-3.57
0.41
8.15
-3.48
0.42
7.83
-3.40
0.43
7.52
-3.33
0.44
7.22
-3.25
0.45
6.94
-3.18
0.46
6.66
-3.12
0.47
6.40
-3.05
0.48
6.15
-2.99
0.49
5.91
-2.93
0.50
5.69
-2.87
0.51
5.48
-2.81
0.52
5.27
-2.76
0.53
5.08
-2.71
0.54
4.90
-2.66
0.55
4.73
-2.61
0.56
4.56
-2.56
0.57
4.41
-2.52
0.58
4.26
-2.48
0.59
4.11
-2.43
0.60
3.98
-2.39
Journal of Materials Education Vol. 23 (4-6)
Net
(eV/nm)
NetForce
Force (eV/nm)
Relación de Fuerza de Enlace Atómica y Curvas de Energía con las Propiedades de Materiales Observados
189
Fmax
= 9.87
Fm
ax=9.87
10
10.00
8
8.00
6
6.00
4
4.00
2.00
2
r0 = 0.28
ro=0.28
0
0.00
rav
rav
PE (ev)
(eV)
PE
-2
-2.00
-4.00
-4
PE0 = - 4.58
-6
-6.00
0.2
0.2
PEo=-4.58
0.25
0.3
0.3
0.35
0.4
0.4
Distancia
I t t i DInteratómica
it
( )
0.45
0.5
0.5
0.55
0.6
0.6
r (nm)
Figura 1. Fuerza neta y energía potencial frente a la distancia interatómica.
e) Determina gráficamente la fuerza máxima,
Fmax que se necesita antes de que los iones
se puedan separar. Este valor se
correlaciona con la fuerza de división del
material.
f) Resuelve matemáticamente para r0, primero
usando la ecuación FN y luego la ecuación
PE.
g) Resuelve matemáticamente para PE0 y
compárala con el valor obtenido
gráficamente.
h) Resuelve matemáticamente para Fmax y
compárala con el valor obtenido
gráficamente.
i) Resuelve matemáticamente para el declive
de la curva FN cuando pasa a través de
cero. Esta inclinación mide la proporción
de la fuerza externa aplicada al aumento
resultado en la separación de ro Por eso el
declive se correlaciona con el módulo de
elasticidad del material, E, una medida de
la rigidez del material.
Las soluciones gráficas para las partes a), b), c),
d) y e) se pueden encontrar en la Figura 1, (que
fue graficada de los datos numéricos calculados
que se muestran en la Tabla 1). Las respuestas a
los problemas matemáticos son:
b) PE = ∫ FN dr = -1.436 × r-1 + 5.86 × 10-6 × r-9
f) ro = 0.279 nm
g) PEo = - 4.575 eV
h) Fmax = 9.87 eV/nm
i) E = 529 eV/nm2
COMENTARIOS
Para ayudar a introducir la idea del balance
entre la fuerza atrayente y la fuerza repulsiva, el
instructor puede usar dos pelotas de tenis con
tres o cuatro cintas de goma anchas envueltas
alrededor de ellas, como se muestra en la Figura
2. La tensión de las cintas de goma representa
la fuerza de enlace atómica atrayente y la
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McCoy
190
resistencia de las pelotas al estar colisionadas
corresponde a la fuerza repulsiva resultante de
los caparazones de electrones exteriores de dos
iones que se empiezan a sobrecargar. El espacio
de equilibrio entre los átomos o iones, r0,
corresponde a la configuración ligeramente
colisionada de las pelotas de tenis unidas por
las cintas de goma. El módulo de elasticidad del
par de iones que se encuentra a partir del
declive de la fuerza de la curva en la región de
r0 se correlaciona con el aumento de la fuerza
exterior que se necesita para separar las pelotas
de tenis a una unidad de distancia de su
distancia de equilibrio. La fuerza de división
del par de iones que se encuentra donde la
curva de la fuerza alcanza un valor máximo
Fmax se correlaciona con la fuerza externa que se
requiere para romper la primera cinta de goma.
Uno puede sumir que una vez que la primera
cinta de goma se rompe, las otras se
sobrecargarán y se romperán en una reacción en
cadena.
pequeña de separación. La manera en que la
energía cinética del par de iones se convierte en
energía potencial y al revés cuando el par de
iones vibra entre rmax y rmin se puede visualizar
usando la analogía de la pelota rodándola de
arriba hacia debajo de las paredes de una
bandeja redonda. Los estudiantes se
identificarán más fácilmente deslizándose en un
monopatín en una rampa. Un modelo halfpipe
se puede construir con una lata y algo de
espuma de poliestireno como se muestra en la
Figura 3. En lugar de un medio circulo en corte
transversal, la abertura de lata cortada se dobla
en forma sesgada a la curva de la energía
potencial, como se ve en la Figura 1. Cuando
una pelota se suelta en este modelo de halfpipe
sesgado, éste rola hacia atrás y hacia delante a
alturas aproximadamente iguales en cada lado,
convirtiendo su energía cinética en energía
potencial gravitacional, análoga a convertir la
energía cinética de vibración en energía
potencial de enlaces del par de iones.
Figura 3. Modelo Halfpipe
Figura 2. Modelo de pelotas de tenis
La energía de enlace del par de iones se
correlaciona con la cantidad de energía
potencial de la elasticidad guardada de las
cintas de goma en su posición de equilibrio para
mantener las pelotas juntas. La energía térmica
del par de iones se correlaciona con la cantidad
de su energía de vibración. A más alta
temperatura, más larga amplitud de vibración.
A algunas temperaturas sobre cero absoluto, el
par de iones vibra entre rmax, la distancia más
larga de separación, y rmin, la distancia más
La expansión térmica es el resultado de
combinar la amplitud más grande de
vibraciones a temperaturas más altas junto a la
forma asimétrica de la curva de la energía.
Referente al modelo halfpipe, a temperatura
más alta, más alto ruedan las pelotas a cada
lado de la bandeja. Si se asume que el promedio
de espacio entre los átomos a una temperatura
en particular está dado por ½(rmax + rmin), uno
puede ver que, cuando la temperatura aumenta,
este espacio en promedio aumenta sobre el
espacio de equilibrio debido a la naturaleza
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PE (ev)
PE (eV)
Net Force
Net
Force (eV/nm)
(eV/nm)
Relación de Fuerza de Enlace Atómica y Curvas de Energía con las Propiedades de Materiales Observados
191
25
20
15
10
5
0
-5
-10
-15
0.2
0.25
0.3
0.35
0.4
0.45
0.5
0.55
0.6
Interatomic Distance, r (nm)
Figura 4. La fuerza y la energía frente a la distancia interatómica, para enlaces fuertes (líneas gruesas) y
enlaces débiles (líneas finas).
asimétrica de la curva de la energía, como se
muestra en la línea punteada de la Figura 1.
Para ilustrar cómo se encuentra esta línea
punteada, se considera un aumento en la
temperatura sobre cero absoluto de tal manera
que el par de iones
posea una cinética combinada y energía
potencial de –4.00 eV que es 0.58 eV más
energía que si el par de iones estuviera a la
temperatura de cero absoluto. Por lo tanto este
0.58 eV representa la energía térmica añadida al
par de iones causando la vibración de los iones
entre rmax y rmin así que las enlaces iónicos se
estrechan y comprimen repetidamente. Cuando
los iones son rmax o rmin, se detienen
momentáneamente ya que invierten su
dirección de movimiento y en ese momento, los
0.58 eV de energía cinética se convierten en
energía potencial aumentada parecida a la
energía almacenada del resorte cuando se
estrecha o comprime. De la Figura 1 se
encuentra que una línea horizontal a –4.00 eV
cruza la curva PE en rmax = 0.353 nm y en rmin =
0.245 nm. Por eso después de tiempo, el
espacio promedio rav = ½(rmax + rmin) = 0.299
nm se ve como el sitio donde la línea punteada
de rav cruza la línea horizontal en –4.00 eV
(Figura 1). El incremento de rav sobre ro (0.299
– 0.279=0.020 nm) se observa como expansión
térmica. Si la curva PE hubiera sido simétrica
respecto a ro, entonces rav sería igual a ro para
todas las temperaturas y no hubiera ocurrido
ninguna expansión térmica. Sin embargo, para
casi todos los materiales sólidos, la curva PE es
asimétrica resultando que rav continúa
incrementándose sobre ro mientras la
temperatura aumenta, lo que explica la
expansión térmica observada de estos
materiales.
Continuando con la presentación de las
relaciones
discutidas
anteriormente,
el
instructor ahora debe preguntar a los
estudiantes cuáles son los efectos de
incrementar la fuerza de enlace sobre las
diversas propiedades de los materiales
observados. Estos efectos se pueden observar
permitiendo a los estudiantes que repitan los
pasos del procedimiento de la sección,
duplicando, sólo esta vez, la magnitud de FA así
que FA = 2.872 × r-2. Cuando los estudiantes
grafican esta ecuación ya revisada, necesitan
cambiar el alcance del eje Y, como se muestra
en la Figura 4. Específicamente, los estudiantes
deben observar que cuando la fuerza de enlace
aumenta, la curva FN se desplaza hacia arriba y
hacia la izquierda mientras que la curva PE se
mueve hacia abajo y hacia la izquierda y se
vuelve más simétrica. Estas observaciones
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McCoy
deben permitir a los estudiantes deducir que
mientras la fuerza del enlace aumenta,
a) el espacio de equilibrio ro, disminuye
b) el módulo de elasticidad E, aumenta
c) la fuerza de división Fmax, aumenta
d) tanto el equilibrio de la fuerza de enlaces,
PE, como el punto de fundición aumentan
e) El efecto de expansión térmica diminuye.
REFERENCIAS
1. W. Callister, Materials Science and
Engineering: An Introduction, John Wiley
and Sons (2000).
2. R. J. Ferguson, TK Solver for Windows
Student Manual, Universal Technical
Systems, Inc., (1995).
BIOGRAFÍA
Robert A. McCoy es Profesor de Ingeniería
Mecánica en la Universidad Estatal de Youngstown
(YSU), Youngstown, Ohio. Tiene título de
licenciatura y maestría de la Universidad Estatal de
Ohio y doctorado de la Universidad de California
en Berkeley. Imparte ingeniería para principiantes,
ingeniería mecánica, procesos de fabricación y
cursos de ingeniería de materiales en la YSU.
También es consejero de análisis de fallas y
miembro de la ASM y la ASEE.
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