existencia de la cfa. de los nueve puntos

Circunferencia de los nueve puntos
(También se la conoce como Circunferencia de Feuerbach o Circunferencia de Euler)
Enunciado
En todo triángulo no rectángulo, la circunferencia que pasa por los pies de las alturas, contiene los puntos medios de
sus lados así como los puntos medios de los segmentos determinados por cada vértice y el ortocentro.
Observaciones:
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La circunferencia de los nueve puntos es la circunferencia circunscrita al triángulo órtico del ABC dado.
Por lo tanto ya sabemos que los tres puntos pies de las alturas pertenecen a la cfa. de los nueve puntos.
Ellos son: G, E, J.
Falta probar que pertenecen a ella los puntos medios de los lados (N, M, P) y los puntos medios de los
segmentos determinados por el ortocentro y los vértices (D, H, F).
Hipótesis:
 ABC no rectángulo.
 E, G y J son los pies de las alturas (respectivamente).
 M, N, P son los puntos medios de los lados (respectivamente).
 D, F y H son los puntos medios de los segmentos determinados por los vértices y el ortocentro
(respectivamente).
Tesis:
Existe una cfa. C que contiene a G, E, J, N, M, P, D, F y H.
Prof. Giselle Palmieri
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Demostración:
Consideremos la cfa. C circunscrita al triángulo órtico de ABC.
G, J y E pertenecen a C.
Por propiedad del triángulo órtico, sabemos que las alturas de ABC están incluidas en las rectas que contienen a las
bisectrices del GEJ. I es incentro de GEJ y ortocentro de ABC.
Dichas bisectrices son bisectrices de ángulos inscritos en C , por lo tanto, por propiedad de ángulos inscritos, pasan
por el punto medio del arco que abarcan: F, D y H respectivamente. Estos puntos también pertenecen a las
mediatrices de las cuerdas que abarcan. (En el dibujo se muestra para G: [GI) es la bisectriz que corta a la mediatriz
de [JE] en F y F  C ).
Probemos que F es punto medio de [IB]:
IJB es rectángulo en I
EIB es rectángulo en E
Por L. G. de Thales, [IB] es la hipotenusa en común y contiene al centro de la cfa. que
pasa por I, E, B, J.
Este centro es el punto medio de [IF], que se obtiene cortando [IB] con la mediatriz
de [JE], cuerda de dicha cfa. Este punto es F. Por lo tanto F es punto medio de [IB].
Análogamente se prueba que H y D son puntos medios de [CI] y [AI] respectivamente y que pertenecen a C .
De esta manera probamos que D, F, H están en C .
Probemos ahora que los puntos medios de los lados pertenecen a C .
AJC es rectángulo en J
AEC es rectángulo en E
Por L. G. de Thales, [AC] es la hipotenusa en común y contiene al centro de la cfa.
que pasa por A, C, E, J.
Este centro es el punto medio de [AC], que se obtiene cortando [AC] con la
mediatriz de [JE], cuerda de dicha cfa. Este punto es N. [1]
Necesitamos probar que N  C .
Consideremos el GEJ inscrito en C :
Sabemos que la cfa. circunscrita a un triángulo contiene los puntos de intersección de la mediatriz de cada lado con
las bisectrices Interior y exterior del ángulo de vértice el opuesto a dicho lado. En nuestro dibujo: C es esa cfa., la
mediatriz es la que determinó F en la parte anterior y las bisectrices son [GA) y [GF). Deducimos entonces por [1]
que N y F son los puntos que esta propiedad menciona. Por lo tanto N  C .
Análogamente se prueba que M y P pertenecen a C .
Concluimos que: N, M y P están en C
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Circunferencia de los seis puntos
Charles Brianchon y Jean-Victor Poncelet en 1820-21 publicaron por primera vez en los Annales de
Gergonne, una demostración sobre la existencia de la circunferencia de los seis puntos. Reconocieron que sobre
ella se encuentran los puntos medios de los lados de un triángulo y los pies de las alturas (en nuestra figura se refiere
a los puntos: M, N, P y E, G, J).
Olry Terquem demostró la existencia de la circunferencia de los nueve puntos antes que Feuerbach.
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Poco tiempo después, en 1822, Karl Wilhelm Feuerbach publicó una demostración sobre la existencia de la
circunferencia de los nueve puntos y agregó otras propiedades:
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El centro de la circunferencia de los nueve puntos está situado en la recta de Euler equidistante del
ortocentro y del circuncentro.
La circunferencia de los nueve puntos es tangente a la circunferencia inscrita en el triángulo y a las
tres exinscritas a él. (Conocido como el Teorema de Feuerbach que fue considerado por Coolidge,
"el teorema más bello de la geometría elemental que se ha descubierto desde la época de Euclides"
(Boyer, 1992, p. 659).
Bibliografía:

Circunferencia de los nueve puntos - Recuperado de:
http://es.wikipedia.org/wiki/Circunferencia_de_los_nueve_puntos#Circunferencia_circunscrita_y_de_Feuerbach

Circunferencia de los nueve puntos o de Feuerbach- Recuperado de:
http://divulgamat2.ehu.es/html/Geometria/feuerbach.htm

García, F.- Circunferencia de los nueve puntos- Recuperado de: http://garciacapitan.99on.com/bella/htm/nueve.htm

Puig Adam, P.- Geometría métrica
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