Aritmetica

IDEPUNP/ CICLO REGULAR/ ABRIL-JULIO 20161ARITMÉTICA
SEMANA Nº 05
MCM – MCD
COORDINADOR: ING. JOSE FRANCISCO ALVARADO JUAREZ
RESPONSABLE: LIC. EN MAT. NESTOR JAVIER FARIAS MORCILLO
1.
MÁXIMO COMÚN DIVISOR
2.3. Por descomposición simultánea
Trabajemos con un ejemplo concreto para su
mejor comprensión
El máximo común divisor ( MCD ) de dos o más
números se define como el mayor de los divisores
comunes a ambos números que se están estudiando.
Por ejemplo.
Ejemplo. Obtener el M.C.D de los números 180,
240, 144
Si los números fueran “12” y “15”, se tendría que:
Divisores(12)  1, 2,3, 4, 6,12
Divisores(15)  1,3,5,15
Como usted puede apreciar en la descripción de los
divisores anteriores, “12” y “15” tienen dos divisores
comunes los cuales son “1” y “3” , pero por la
definición dada anteriormente el máximo común divisor
será “3”, pues se escoge al mayor.
2.
2
MC.D (180, 240, 144) = 2 x 3 = 12
No olvide que ya no se sigue sacando factores porque
15, 20 y 12 no tienen factor común.
2.4. Propiedades
1)
El M.C.D de dos números primos absolutos es la
unidad.
2)
El M.C.D de dos o más números primos entre sí
es la unidad.
3)
De dos números diferentes, estando uno de ellos
contenido en el otro, el M.C.D de ellos es el
menor.
4)
2700 = 2 2  33  52
Si se dividen 2 números por su máximo común
divisor, los cocientes que resultan son dos
números primos relativos o primos entre sí. Por
ejemplo:
Luego:
M.C.D (36, 48) = 12. Luego:
MÉTODOS DEL CÁLCULO DEL M.C.D
2.1. Por descomposición individual en sus factores
primos
Se descomponen CANONICAMENTE a ambos
números que se esta estudiando; luego el M.C.D
es igual al producto de los factores primos
comunes con su menor exponente. Por ejemplo.
2520 = 23  32  5  7
36/12 = 3 y 48/12 = 4. Así pues 3 y 4 son
cocientes primos relativos
M .C.D(2520, 2700)  2 2  32  5
2.2. Por divisiones sucesivas (algoritmo de Euclides)
5)
Se divide el número mayor entre el menor; si la
división es inexacta, se divide el menor entre el
resto de la primera división y así sucesivamente
hasta llegar a una división exacta; entonces el
último divisor será el M.C.D buscado. Se
recomienda que los cálculos anteriores se
dispongan en un esquema de la siguiente forma
Si dos o más números se multiplican o se dividen
por otro número entonces el MC.D. queda
multiplicado o dividido respectivamente por el
mismo número. Por ejemplo.
MCD (36, 48)  12 . Luego:
MCD (36  5, 48  5)  12  5
Ejemplo: Hallar M.C.D. de 2363 y 2057.
En general si:
Si MCD( A, B)  d
 MCD( Ak , Bk )  dk
Si MCD( A, B)  d
M.C.M. (2363, 2057) = 17
A B d
 MCD( , ) 
k k
k
IDEPUNP/ CICLO REGULAR/ ABRIL - JULIO 20162ARITMÉTICA
3.
MÍNIMO COMÚN MÚLTIPLO (M.C.M.)
PROPIEDADES
Se denomina mínimo común múltiplo de dos o más
números, al menor de los múltiplos comunes a ambos
números en estudio. Por ejemplo.
Si se tiene los números “12” y “15”, entonces:
Mult(12) 12,24,36,48,60,72,84,96,108,120,
Mult (15)  15,30,45,60,75,90,105,120,
Como usted vera aquí no es difícil ver que habrá
infinitos múltiplos comunes a “12” y “15” pero por la
definición se escogerá al menor de ellos; es decir “60”.
4.
MÉTODOS DEL CÁLCULO DEL M.C.M.
Por descomposición individual en sus factores primos
Se descomponen CANONICAMENTE a ambos
números que se esta estudiando; luego el mínimo
común múltiplo de ellos es igual al producto de los
factores primos comunes y no comunes con sus
mayores exponentes. Por ejemplo.
Hallar el M.C.M de los números siguientes: 180,
528, 936
2. El M.C.M de dos números de los cuales uno
contiene al otro es el mayor de ellos.
3. Si dos o más números se multiplican o dividen por
otro, el M.C.M queda multiplicado o dividido por
dicho número.
4. Si se divide el M.C.M de varios números entre cada
uno de ellos, los cocientes que resultan son
primos entre si.
5. El producto de dos números es igual al producto
M.C.D y el M.C.M de ellos.
6. Dentro de los problemas dados en el tema de MCD
y MCM se debe tener en cuenta las siguientes
propiedades.
Si se tiene los números
A
y
B tales que:
MCD( A, B)  d
Entonces:
180 = 2 2  32  5
A  dk1
1. 
Donde k1 y k2 son PESI
B  dk2
528 = 24  3  11
PESI: Primos Entre Si
936 = 2  3  13
2.
AB
.   MCD . MCM 
3.
MCM ( A, B)  k1.k2.d
3
2
Luego según la regla antes mencionada se tiene
que
MCM(180, 528, 936)  2 3 51113
 102 960
4
2
Por descomposición simultánea
Veámoslo en forma práctica:
Obtener, por ejemplo el M.C.M. de los siguientes
números 528; 132; 234
528
264
132
66
33
11
11
1
1
1. El M.C.M de dos o más números primos absolutos,
es igual al producto de ellos.
132
66
33
33
33
11
11
1
1
234
117
117
117
117
39
13
13
1
2
2
2
2
3
3
11
13
MCM(528; 132; 234)  24 32 1113
 26592
Tigre se le recuerda que las tres propiedades
dadas anteriormente deben estar en su mente si o
si pues son cruciales en el desarrollo de los
problemas.
Recuerde que si se están estudiando mas
números lo que tiene que hacer es simplemente
aumentar los parámetros tales como
k1 , k2 ,