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Filtros Digitales
Un filtro general de respuesta al impulso finita con n etapas, cada una con un retardo
independiente di y ganancia ai.
En electrónica, ciencias computacionales y matemáticas, un filtro digital es un sistema que
realiza operaciones matemáticas sobre una señal de tiempo discreto (secuencia) para reducir o
aumentar ciertos aspectos de la señal. Esto contrasta con el otro tipo importante de filtros
electrónicos, el filtro análogo, que es un circuito electrónico que opera sobre señales de análogas
de tiempo continuo. Una señal análoga puede ser procesada por un filtro digital si ésta es
primeramente discretizada en el tiempo y representada como una secuencia de números, después
manipulada matemáticamente, y entonces reconstruida como una nueva señal análoga. En un
filtro análogo, la señal de entrada es “directamente” manipulada por el circuito.
Un sistema de filtro digital usualmente consiste de un convertidor A/D (C/D) para muestrear la
señal de entrada de tiempo continuo, seguido por un microprocesador y algunos componentes
periféficos, tales como memoria para almacenar información, los coeficientes del filtro, etc.
Finalmente un convertidor D/A (D/C) para completar la etapa de salida. Las instrucciones de un
programa (software) ejecutadas por un microprocesador implementan el filtro digital por medio
de operaciones matemáticas en los números recibidos del convertidor convertidor A/D. En
algunas aplicaciones de alto desempeño, se puede utilizar en lugar de un microprocesador de uso
general un FPGA (Field Programmable Gate Array) o un ASIC (Application-Specific Integrated
Circuit), o, bien, un procesador especializado de DSP con una arquitectura paralela específica
para acelerar las operaciones tales como el filtrado.
Los filtros digitales pueden ser más caros que sus filtros digitales equivalentes dada su alta
complejidad, pero éstos hacen prácticos muchos diseños que son imprácticos o imposibles en la
forma de filtros análogos. Ya que los filtros digitales usan un proceso de muestreo y
procesamiento de tiempo discreto, estos experimentan cierto retardo entre la entrada y la salida,
lo cual es casi irrelevante en los filtros análogos.
Los filtros digitales son muy comunes y constituyen un elemento esencial en los dispositivos
electrónicos cotidianos, tales como teléfonos celulares, radios, televisiones, etc.
Caracterización de Filtros Digitales
Un filtro digital es caracterizado por su función de transferencia, o equivalentemente, por su
ecuación diferencia. El análisis matemático de la función de transferencia puede describir cómo
responderá a cualquier entrada. Como tal, el diseño de un filtro consiste en el desarrollo de las
especificaciones apropiada al problema (por ejemplo, un filtro pasa bajas de segundo orden con
una frecuencia específica de corte), y posteriormente reproducir un función de transferencia que
cumpla con las especificaciones.
La función de transferencia para un filtro digital lineal e invariante en el tiempo (LTI), puede
expresarse como la función de transferencia en el dominio Z; si es causal, tendrá la forma:
donde el órden del filtro es el mayor entre N o M.
Esta es la forma correspondiente de un filtro recursivo tanto para las entradas (numerador) como
salidas (denominador), lo cual típicamente resulta en un filtro con comportamiento de Respuesta
al Impulso Infinita (IIR); pero si el denominador se hace igual a la unidad (sin
retroalimentación), entonces se convierte en un filtro con respuesta al impulso finita (FIR).
Técnicas de Análisis
Existe una variedad de técnicas que pueden ser empleadas para analizar el comportamiento de
cierto filtro digital. Muchas de estas técnicas de análisis también pueden ser usadas en diseños, y
frecuentemente conforman la bases de la especificación de un filtro.
Típicamente, los filtros se analizan calculando cómo responderá el filtro a una entrada simple tal
como es el caso de la respuesta al impulso. Entonces se puede extender esta información para
visualizar la respuesta del filtro a señales más complejas.
Respuesta al Impulso
La respuesta al impulso, comúnmente denotada h[n], es una medida de cómo un filtro responde a
la función impulso unitario (delta de Kronecker). Por ejemplo, dada una ecuación diferencia, se
podría hacer x[0] = 1 y x[n] = 0 para n ≠ 0 y evaluar. La respuesta al impulso es la
caracterización del comportamiento del filtro. Los filtros digitales se clasifican en dos categorías:
Respuesta al Impulso Infinita (IIR) y Respuesta al Impulso Finita (FIR). En el caso de los filtros
FIR que son LTI, la respuesta al impulso es exactamente igual a la secuencia de los coeficientes
del filtro:
[ ]
∑
[
]
∑ [ ] [
]
Los filtros IIR, por otra parte, son recursivos, la salida depende tanto de los valores presentes y
anteriores de las entradas y también de salidas anteriores. La forma general de un filtro IIR es,
entonces:
∑
[
]
∑
[
]
Si se grafica la respuesta al impulso se puede apreciar cómo un filtro responderá a un repentino y
momentáneo estímulo .
Ecuación Diferencia
En sistemas de tiempo discreto, los filtros digitales se implementan frecuentemente convirtiendo
la función de transferencia a una ecuación diferencia lineal con coeficientes constantes mediante
la transformada Z. La función de transferencia discreta en el dominio de la frecuencia se escribe
como la razón de dos polinomios, por ejemplo:
La cual se expande a:
Y dividida por la z de mayor órden:
Los coeficientes de denominador, , son los coeficientes de alimentación en reversa y los
coeficientes del numerador son los coeficientes de alimentación hacia adelante, . La ecuación
diferencia resultante es:
O, para el ejemplo anterior,
Rearreglando los términos:
Y obteniendo la transformada z inversa:
Finalmente, resolviendo para
:
Esta ecuación muestra cómo calcular la siguiente muestra de la salida, y[n], en términos de
salidas anteriores, y[n – p] (donde p ≥ 1), la entrada presente x[n] y entradas anteriores x[n – p]
(donde p ≥ 1). Si se aplica el filtro a una entrada de esta manera resulta ser equivalente a las
implementaciones directas de la Forma I y II que se muestran a continuación, dependiendo del
órden exacto de la evaluación.
Diseño de un Filtro
El diseño de filtros digitales es un tema complejo. A pesar de que los filtros son fácilmente
entendidos y calculados, los retos prácticos de su diseño e implementación son significativos y
sujetos de mucha investigación avanzada.
Hay dos categorías de filtros digitales: filtros recursivos y filtros no recursivos. Estos son
comúnmente referidos como filtros IIR y filtros FIR, respectivamente.
Implementación de Filtros
Después que un filtro es diseñado, este debe ser implementado desarrollando un diagrama de
flujo de señal que describe al filtro en términos de operaciones realizadas sobre secuencias de
muestras.
Una función de transferencia dada puede implementarse de muchas formas. Considere como una
expresión tan simple como ax + bx + c puede ser evaluada y calculada usando el equivalente x(a
+ b) + c. En la misma manera, todas las implementaciones de un filtro pueden ser vistas como
“factorizaciones” de la misma función de transferencia, pero diferentes implementaciones
tendrán diferentes propiedades numéricas. Específicamente, algunas realizaciones son más
eficientes en términos del número de operaciones o elementos de almacenamiento requeridos
para su implementación, y otras proveen ventajas tales como una estabilidad numérica mejorada
y errores de redondeo menores. Algunas estructuras son mejores para aritmética de punto fijo y
otras son mejores para aritmética de punto flotante.
Forma Directa I
Una técnica directa para la implementación de filtros IIR es la conocida como Forma Directa I,
en la que la ecuación diferencia es evaluada directamente. Esta forma es práctica para filtros
pequeños, pero puede resultar ser ineficiente e impráctica (numéricamente inestable) para
diseños complejos. En general, esta técnica requiere 2N elementos de retardo (tanto para las
señales de entrada como para las señales de salida) para un filtro de órden N.
Forma Directa II
La técnica alternativa conocida como Forma Directa II solo requiere de N unidades de retardo,
donde N representa el órden del filtro, y lo cual es potencialmente la mitad de lo requerido por la
Forma Direct I. Esta estructura se obtiene invirtiendo el orden las secciones del numerador y
denominador de la Forma Directa I, ya que de hecho se trata de dos sistemas lineales, y se aplica
la propiedad conmutativa. Entonces, se notará que hay dos columnas de retardos (z-1) que
conforman la red central, y estas pueden ser combinadas ya que son redundantes, produciendo la
implementación que se muestra a continuación.
La desventaja consiste en que la Forma Directa II incrementa la posibilidad de un sobreflujo
aritmético para filtros de alta Q o resonancia. Se ha demostrado que cuando se incrementa Q, el
ruido del redondeo de las topologías de ambas formas directas se incrementa si límite. Esto se
debe a que, conceptualmente, la señal es primeramente pasada a través de un filtro con solo polos
(el cual normalmente incrementa la ganancia de frecuencias resonantes) antes de que el resultado
de ello sea saturado, y posteriormente es pasada a través de un filtro con solo ceros (el cual
atenúa mucho de lo que el filtro solo polos amplifico).