Diferencias finitas en la resolución de EDPs

Diferencias finitas
resolución de EDPs
en
la
Ejercicios propuestos
Ejercicio 1
La ecuación de Laplace se cumple sobre un dominio rectangular de 2 cm × 1 cm donde:
T ( x,0) = 0
 x 2
si x ≤ 1
T (x,1) = 
2 − x si x > 1
T (0, y ) = 0
T (2, y ) = 0
0≤ x ≤2
0< y <1
Obtener el sistema de ecuaciones que surge al emplear el método de diferencias
finitas si se utiliza una grilla de 3 puntos en cada dirección.
Ejercicio 2
La ecuación de Laplace se cumple sobre el dominio cuadrado de la
figura, en la que se propone la discretización a utilizar.
Obtener el sistema de ecuaciones algebraicas que surge al
emplear el método de diferencias finitas cuando:
a) f (x,0) = 1
f (x,1) = 0
b) f (x,0) = 1
f y ( x,1) = 0
f (0, y ) = 0
f (0, y ) = 0
f (1, y ) = 0 .
f (1, y ) = 0 .
Ejercicio 3
Considerar el problema de frontera en dos dimensiones gobernado por la ecuación de
Laplace sobre un dominio cuadrado de 40 cm de lado, donde las condiciones de
frontera están dadas por:
T ( x,0) = 0
T (0, y ) = 75
T (x,40) = 100
0 ≤ x ≤ 40
T (40, y ) = 50
0 < y < 40
Si se toman los pasos hx = hy = 10 cm ,
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a) ¿De qué orden es el sistema de ecuaciones algebraicas que surge al
emplear el método de diferencias finitas? Especificar las incógnitas
utilizando la nomenclatura adecuada.
b) ¿Es un sistema homogéneo? ¿Por qué?
Sea
Ti j = T (i ⋅ hx ; j ⋅ hy ) .
Escribir
las
ecuaciones
correspondientes
para
j = 3,
especificando el valor numérico de todos los coeficientes que intervienen.
Ejercicio 4
Obtener la distribución de temperaturas de una barra de 1 cm de longitud con una
difusividad térmica α 2 = 0,01 cm2 s cuyas condiciones inicial y de frontera están
dadas por:
T ( x,0) = 4 x
0 ≤ x ≤ 0,5
T ( x,0) = 4 (1 − x )
0,5 ≤ x ≤ 1
T (0, t ) = T (1, t ) = 0
t >0
Utilizar un método explícito para obtener la solución en los dos primeros pasos
temporales, tomando hx = 0,25 cm y eligiendo τ adecuadamente.
Ejercicio 5
Analizar qué sucede al colocar fuentes de calor que mantienen la temperatura
constante e igual a 100ºC en el extremo izquierdo e igual a 50ºC en el extremo
derecho de una barra de aluminio ( α 2 = 0,835 cm2 / s ) de 10 cm de longitud que
inicialmente se encuentra en equilibrio térmico a 0ºC.
Tomar hx = 2,5 cm y τ = 0,1 s , y avanzar sólo dos pasos de tiempo utilizando un
método implícito.
Ejercicio 6
Obtener la distribución de temperaturas de una barra de 3 cm de longitud con una
difusividad térmica α 2 = 1 cm2 s cuyas condiciones inicial y de frontera están dadas
por:
T ( x,0) = x ⋅ (3 − x )
0≤x ≤3
T (0, t ) = T (3 , t ) = 0
t >0
Utilizar un método donde la aproximación tanto de la derivada temporal como espacial
sea del mismo orden para obtener la solución en los dos primeros pasos temporales,
tomando hx = 1 cm y τ = 0,5 s .
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Ejercicio 7
Sea el siguiente problema:
∂ 2U
∂t
−
2
∂ 2U
1
16 ⋅ π
2
∂x
=0
2
0< x <
1
2
t >0
sujeto a las condiciones:
∂U
(x,0) = sen(4 π x )
∂t
U( x,0) = 0
0≤ x ≤
1 
U , t  = 0
2 
U(0, t ) = 0
1
2
t >0
Aproximar su solución tomando como tamaño de paso hx = 0,125 y τ = 0,1 para
obtener la solución en los tres primeros pasos temporales.
Ejercicio 8
La función U satisface la ecuación:
∂ 2U
∂t 2
−
∂ 2U
∂x 2
=0
0 < x <1
t >0
y las condiciones:
U( x,0) =
1
(x − x 2 )
2
U(0, t ) = 0
∂U
( x,0) = 0
∂t
U(1, t ) = 0
0 ≤ x ≤1
t >0
Calcular numéricamente, mediante un método explícito, una solución para t = 0,2
tomando como tamaño de paso espacial hx = 0,2 y eligiendo τ adecuadamente.
Ejercicio 9
En una placa rectangular de plata de 6 × 5 cm se genera calor uniformemente en
todos los puntos con una rapidez q = 1,5 cal/cm3—s. Se supone que la temperatura T
a lo largo de los borde de la placa se mantiene en las siguientes temperaturas:
T ( x,0) = x ⋅ (6 − x )
∂T
( x,5) = 0
∂y
con 0 ≤ x ≤ 6
T (0, y ) = y ⋅ (5 − y )
T (6, y ) = 0
con 0 < y < 5
donde el origen se encuentra en una esquina de la placa con las coordenadas (0,0) y
los bordes se hallan a lo largo de los ejes positivos x e y. La temperatura de estado
estable T = T ( x, y ) satisface la ecuación de Poisson:
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∂ 2T
∂x 2
( x, y ) +
∂ 2T
∂y 2
( x, y ) = −
q
k
0 < x < 6, 0 < y < 5
donde k , la conductividad térmica es k = 1,04 cal/cm—ºC—s. Determinar la distribución
de temperaturas T ( x, y ) en la placa usando hx = 1,5 cm y hy = 2,5 cm .
Ejercicio 10
La temperatura T (x, t ) de una varilla larga y delgada, de sección transversal
constante y de un material conductor homogéneo, está regida por la ecuación
unidimensional de calor. Si se genera calor en el material, la ecuación se convierte en:
∂ 2T
∂x
2
+
Kr
ρC
=K
∂T
∂t
0 < x < l, t > 0
donde l es la longitud, ρ la densidad, C el calor específico y K la conductividad
térmica de la varilla. La función r ( x, t , T ) representa el calor generado por unidad de
volumen. Se supondrá que:
l = 1,5 cm
K = 1,04 cal/cm—ºC—s
ρ = 10,6 g/cm3
C = 0,056 cal/g—ºC
y que
r (x, t , T ) = 5 cal/cm3—s
Si los extremos de la varilla se mantienen en 0 ºC, entonces:
T (0, t ) = T (l , t ) = 0
t >0
Además, se sabe que la distribución inicial de temperatura está dada por:
 πx 
T ( x,0) = sen

 l 
0≤ x ≤l
Determinar la distribución de temperaturas T (x, t ) en la varilla usando hx = 0,3 cm
para los dos primeros pasos temporales.
Ejercicio 11
En un tubo de órgano, la presión del aire p(x, t ) se rige por la ecuación de onda:
∂2 p
∂x 2
=
1 ∂2 p
c 2 ∂t 2
0 < x < l, t > 0
donde l es la longitud del tubo y c una constante física. Si el tubo se encuentra
abierto, las condiciones de frontera están dadas por:
p(0, t ) = p0
y
p(l , t ) = p0
Se supondrá que c = 1 , l = 1 y que las condiciones iniciales son:
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p(x,0) = p0 cos(2πx )
y
∂p
( x,0) = 0
∂t
0 ≤ x ≤1
Aproximar la presión de un tubo abierto en los tres primeros pasos temporales con
p0 = 0,9 usando hx = 0,2 cm .
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