Master en Economia Macroeconomia II Profesor: Danilo Trupkin Problem Set 4 1 El Modelo de Crecimiento Optimo Estocastico Considere el modelo de crecimiento con incertidumbre, tal como fue descripto en clase. Es decir, suponga que el agente representativo elige la secuencia {ct , kt+1 }∞ t=0 de modo de maximizar E0 ∞ X β t ln(ct ) t=0 s.a. kt+1 = At ktα − ct ln At = ρA ln At−1 + ξ t ; ξ t ∼ i.i.d.N (0, σ 2 ) k0 > 0, A0 > 0 dados 1. Escriba la Bellman equation del problema. 2. Halle e interprete la ecuacion de Euler del problema. 3. Muestre que V (kt , At ) = E + F ln kt + G ln At es solucion del problema, donde E, F, y G son constantes que debe hallar a traves del metodo de coeficientes indeterminados. 2 Un Modelo RBC Simplificado con Shocks Tecnologicos Aditivos Considere una economia con poblacion constante de agentes con horizonte infinito. El P 1 t u(ct ), agente representativo maximiza su lifetime utility esperada descripta por ∞ t=0 1+ρ ρ > 0. Asuma que la funcion de utilidad instantanea es u(ct ) = ct − θc2t , θ > 0, suponiendo que c se encuentra siempre en el rango donde u0 (c) > 0. El output es lineal en capital, mas un shock aditivo: yt = Akt + et . No hay depreciacion; entonces kt+1 = kt + yt − ct , y asumimos que la tasa de interes es A = ρ. Finalmente, el shock sigue un proceso AR(1) : et = ρe et−1 + ξ t , donde −1 < ρe < 1 y los ξ t son shocks i.i.d. de media cero. 1. Encuentre la condicion de primer orden que relaciona ct con ct+1 esperado (la ecuacion de Euler). 1 2. Haga un guess para el consumo que tenga la forma ct = α + βkt + γet . Dado este guess, halle kt+1 como funcion de kt y et . 3. Que valores deberian tener los parametros α, β, y γ para que la ecuacion de Euler se satisfaga para todos los valores de kt y et ? 4. Cuales son los efectos de un shock de un solo periodo a ξ sobre los senderos de y, k, y c? Es decir, considere el efecto que tiene el shock sobre las variables endogenas del problema, considerando ξ > 0 para t = 1 y ξ = 0 para t > 1. 3 Un Modelo RBC con Utilizacion Variable del Capital Considere, nuevamente, una economia con poblacion constante de agentes con horizonte P∞ t infinito, donde el agente representativo maximiza el valor esperado de t=0 β u(ct , lt ), 0 < β < 1. Asuma u(ct , lt ) = ln ct + ηlt , η > 0, lt + ht = 1, donde lt y ht son las asignaciones de ocio y trabajo, respectivamente. El output, por otro lado, tiene la forma yt = At (st kt )α ht1−α . Es decir, ahora la produccion depende de las horas de trabajo, ht , y de los servicios del capital, st kt , donde s es la tasa variable de utilizacion del stock de capital k. Asuma, ademas, que la tasa de depreciacion es variable, y toma la forma δ(st ) = δ 0 svt , δ 0 > 0, v > 1 (la depreciacion es creciente y convexa en la intensidad de uso del capital). En ese sentido, ahora la ecuacion de movimiento del capital se define como kt+1 = it + (1 − δ 0 svt )kt . Finalmente, el shock sigue un proceso autorregresivo definido por ln At = ρA ln At−1 + ξ t , donde 0 < ρA < 1 y los ξ t son shocks i.i.d. de media cero. Para resumir, el problema (sin firmas) seria maximizar E0 ∞ X β t (ln ct + ηlt ) t=0 sujeto a ct + it = At (st kt )α h1−α t it = kt+1 − (1 − δ 0 svt )kt ln At = ρA ln At−1 + ξ t ; ξ t ∼ i.i.d.N (0, σ 2 ) k0 > 0, A0 > 0 dados 1. Escriba el lagrangiano de este problema, y encuentre las condiciones necesarias de primer orden. Note que ahora se introduce una variable adicional de control, st , de modo que el problema es tambien encontrar una condicion optima para la depreciacion del capital. 2 2. Interprete tanto la condicion de optimo de la intensidad de uso del capital (la condicion de primer orden respecto a st ), como la ecuacion de Euler que resulta del problema. 3. Escriba las expresiones de steady state. 4. Asigne valores a los parametros del modelo, y escriba el sistema resultante en matlab de modo de hallar las funciones de impulso-respuesta que se derivan del modelo. Interprete brevemente. Nota: el objetivo aqui no es calibrar el modelo, sino mas bien simular el mismo de manera de tener una “idea” de como se comporta la economia ante los shocks. 3