Sobre la curvatura escalar de S2 × S2

H
Revista Integración
Escuela de Matemáticas
Universidad Industrial de Santander
Vol. 26, No. 1, 2008, pág. 23–28
Sobre la curvatura escalar de S 2 × S 2
Claudia Granados Pinzón∗
Resumen. En este trabajo se presenta una alternativa para hallar el tensor
de curvatura de S 2 × S 2 , a fin de utilizarlo en el cálculo de la curvatura
escalar en cualquier punto dado de esta variedad riemanniana.
In this paper we will show an alternative form to find the curvature tensor of S 2 × S 2 , in order to use it in the calculation of the scalar
curvature at any given point of this riemannian manifold.
Abstract.
1.
Introducción
Considérese la variedad riemanniana M = S 2 × S 2 = (p, q) ∈ R3 × R3 : |p| = |q| = 1 ,
con la métrica producto, donde S 2 es la esfera unitaria en R3 . El plano tangente a M en
el punto m = (p, q) de M , denotado por Tm M, es muy útil para encontrar el tensor de
curvatura, y se puede ver que está dado por
Tm M = {(u, w) ∈ R3 × R3 | hu, pi = hw, qi = 0},
donde h·, ·i denota el producto interno ordinario sobre R3 .
Definiendo el tensor de curvatura y la curvatura escalar de una variedad riemanniana
(M n , g) ⊂ Rr , de dimensión n > 2, podemos describir completamente la variedad salvo
movimientos en el espacio Rr .
0 Palabras
y frases claves: campo vectorial, conexión Levi Civita, tensor de curvatura y curvatura
escalar.
Key words: vector field, Levi Civita connection, curvature tensor and scalar curvature.
0 MSC2000 : Primaria: 53A30.
Secundaria: 53A10.
∗0 Escuela de Matemáticas, Universidad Industrial de Santander, Bucaramanga, Colombia, A.A. 678,
e-mail : cigranad@uis.edu.co.
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24
2.
Claudia Granados Pinzón
Preliminares
Sea M = S 2 × S 2 . El siguiente conjunto se conoce como el espacio de los campos vectoriales de M :
Γ(M ) = {X : M → R6 | X es suave y X(m) ∈ Tm M para todo m ∈ M }.
Las siguientes definiciones y teoremas proporcionan las herramientas para encontrar el
tensor de curvatura y la curvatura escalar de S 2 × S 2 .
Definición 2.1. Diremos que ∇ es una conexión sobre una variedad diferenciable M si
la función ∇ : Γ(M ) × Γ(M ) → Γ(M ), denotada por ∇(X, Y ) = ∇X Y , satisface las
siguientes propiedades para cualesquiera X, Y y Z en Γ(M ):
1. ∇X (Y + Z) = ∇X Y + ∇X Z.
2. ∇f X+Y Z = f ∇X Z + ∇Y Z para toda función suave f : M → R.
3. ∇X f Y
=
X(f )Y + f ∇X Y para toda función suave f : M → R, donde
X(f ) : M → R es la derivada direccional de f en la dirección X.
Teorema 2.2. Dada una variedad riemanniana M , existe una única conexión ∇ sobre
M, llamada conexión Levi Civita, que satisface las siguientes propiedades:
1. XhY, Zi = h∇X Y, Zi + hY, ∇X Zi.
2. (∇X Y − ∇Y X)(f ) = X(Y (f )) − Y (X(f )) para toda función suave f : M → R.
Observación 2.3.
1. El campo vectorial dado por la segunda propiedad del Teorema 2.2 es llamado el
corchete de X e Y , y se denota por [X, Y ].
2. Si ∇ es la conexión Levi Civita en R6 , entonces la conexión Levi Civita ∇ en
T
T
S 2 × S 2 cumple la igualdad ∇X Y = ∇X Y , donde ∇X Y
es la componente
tangencial.
3. En R6 tenemos que ∇X Y (m) =
d
dt Y
(α(t))|t=0 , donde α es una curva diferenciable
tal que α(0) = m y α̇(0) = X(m).
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Definición 2.4. Se define el tensor de curvatura de una variedad riemanniana M como
R : Γ(M ) × Γ(M ) × Γ(M ) → Γ(M ),
dado por
R(X, Y, Z) = R(X, Y )Z = ∇Y ∇X Z − ∇X ∇Y Z + ∇[X,Y ] Z.
Definición 2.5. Sea x = zn un vector unitario en Tm M . Si tomamos una base ortonormal
{z1 , z2 , . . . , zn−1 } del hiperplano en Tm M ortogonal a x, la curvatura de Ricci en la
dirección x en m se define como
Ricm (x) =
n−1
1 X
hR(x, zi )x, zi i,
n − 1 i=1
y la curvatura escalar en m, está dada por
n
k(m) =
n n−1
XX
1X
1
Ricm (zj ) =
hR(zi , zj )zi , zj i.
n j=1
n(n − 1) j=1 i=1
Se puede demostrar que la Definición 2.5 es independiente de la base ortonormal, es decir,
las expresiones no dependen de la base ortonormal escogida.
3.
Resultado principal
Sean (p, q) ∈ S 2 × S 2 y v1 , v2 , v3 , v4 ∈ T(p,q) (S 2 × S 2 ). Supongamos que v1 = (u1 , w1 ),
v2 = (u2 , w2 ), v3 = (u3 , w3 ) y v4 = (u4 , w4 ). Para encontrar el tensor de curvatura de
S 2 × S 2 en el punto (p, q), primero extendemos los vectores v1 , v2 , v3 y v4 a campos
vectoriales mediante la función
Z i : S 2 × S 2 → R6
definida como
Zi (x, y) = vi − hvi , (x, 0)i(x, 0) − hvi , (0, y)i(0, y)
para i = 1, 2, 3, 4.
Propiedades:
1. Para i = 1, 2, 3, 4,
Zi (p, q) =vi − hvi , (p, 0)i(p, 0) − hvi , (0, q)i(0, q) = vi .
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2. h(x, y), Zi (x, y)i =hvi , (x, y)i − hvi , (x, 0)ih(x, 0), (x, y)i − hvi , (0, y)ih(0, y), (x, y)i
=hvi , (x, y)i − hvi , (x, 0)i − hvi , (0, y)i = 0.
En consecuencia, Zi (x, y) ∈ T(x,y) (S 2 × S 2 ) para todo (x, y) ∈ S 2 × S 2 , donde
i = 1, 2, 3, 4.
Ahora, si calculamos ∇Zi Zj (x, y), tenemos que
T
T
d
∇Zi Zj (x, y) = ∇Z i Z j (x, y) =
Z j (αi (t), βi (t))
,
dt
t=0
donde ∇ es la conexión en R6 , (αi (0), βi (0)) = (x, y) y (α̇i (0), β̇i (0)) = Z i (x, y).
Obsérvese que como ∇ es la conexión Levi Civita de R6 , los campos vectoriales Z i están
en Γ(R6 ) y su definición es Z i (x, y) = vi .
Por otra parte,
i
d
dh
Zj (αi (t), βi (t))
=
vj − hvj , (αi (t), 0)i(αi (t), 0) − hvj , (0, βi (t))i(0, βi (t))
dt
dt
t=0
t=0
= − hvj , (αi (0), 0)i(α̇i (0), 0) − hvj , (α̇i (0), 0)i(αi (0), 0)
− hvj , (0, βi (0))i(0, β̇i (0)) − hvj , (0, β̇i (0))i(0, βi (0))
= − hvj , (x, 0)iZi (x, 0) − hvj , Zi (x, 0)i(x, 0)
− hvj , (0, y)iZi (0, y) − hvj , Zi (0, y)i(0, y).
Así,
y
T
∇Z i Z j (x, y) = −hvj , (x, 0)iZ i (x, 0) − hvj , (0, y)iZ i (0, y)
∇Zi Zj (p, q) = (∇Z i Z j (p, q))T = −hvj , (p, 0)iZ i (p, 0) − hvj , (0, q)iZ i (0, q) = 0.
Por consiguiente,
[Zi , Zj ](p,q) = ∇Zi Zj (p, q) − ∇Zj Zi (p, q) = 0.
Más aún, obsérvese que
h
T iT
∇Z k ∇Z i Z j (x, y)
(p,q)
T
= ∇Z k −hvj , (x, 0)iZ i (x, 0) − hvj , (0, y)iZ i (0, y) (p,q)
= − hvj , (p, 0)i∇Z k Z i (p, 0) − Z k [hvj , (x, 0)i]Z i (x, 0) (p,q)
− hvj , (0, q)i∇Z k Z i (0, q) − Z k [hvj , (0, y)i]Z i (0, y) (p,q)
= − Z k [hvj , (x, 0)i]Z i (x, 0) (p,q) − Z k [hvj , (0, y)i]Z i (0, y) (p,q) ,
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y puesto que
Z k [hvj , (x, 0)i](p,q)
d
=
hvj , (αi (t), 0)i
dt
t=0
= hvj , (α̇i (0), 0)i = hvj , (uk , 0)i,
donde αi (0) = p y (α̇i (0), 0) = (uk , 0), reemplazando tenemos
h
T iT
∇Z k ∇Z i Z j (x, y)
= −hvj , (uk , 0)iZ i (p, 0) − hvj , (0, wk )iZ i (0, q)
(p,q)
=
−hvj , (uk , 0)i(ui , 0) − hvj , (0, wk )i(0, wi ).
Luego
∇Zk ∇Zi Zj (x, y)(p,q) = −hvj , (uk , 0)i(ui , 0) − hvj , (0, wk )i(0, wi ).
A continuación calculamos el tensor de curvatura de S 2 × S 2 en el punto (p, q):
hR(Z1 , Z2 )Z3 , Z4 i(p,q) =h∇Z2 ∇Z1 Z3 − ∇Z1 ∇Z2 Z3 + ∇[Z1 ,Z2 ] Z3 , Z4 i(p,q)
=h−hv3 , (u2 , 0)i(u1 , 0) − hv3 , (0, w2 )i(0, w1 )
+ hv3 , (u1 , 0)i(u2 , 0) + hv3 , (0, w1 )i(0, w2 ), v4 i
= − hu3 , u2 ihu1 , u4 i − hw3 , w2 ihw1 , w4 i + hu3 , u1 ihu2 , u4 i
+ hw3 , w1 ihw2 , w4 i.
Ahora, utilizando la expresión para el tensor de curvatura de S 2 × S 2 , es fácil encontrar la curvatura escalar para esta variedad en cualquier punto dado. Por ejemplo, sean
p = (1, 0, 0, 1, 0, 0) ∈ S 2 × S 2 y v1 = e2 , v2 = e3 , v3 = e5 , v4 = e6 ∈ Tp (S 2 × S 2 ).
Puesto que la curvatura escalar está dada por
4
k(p) =
1X
Ricp (vi ),
4 j=1
usando la expresión para el tensor de curvatura de S 2 × S 2 hallamos
Ricp (v1 ) =
1
hR(e2 , e3 )e2 , e3 i + hR(e2 , e5 )e2 , e5 i
3
1
+ hR(e2 , e6 )e2 , e6 i + hR(e2 , e2 )e2 , e2 i = ,
3
Ricp (v2 ) =
1
hR(e3 , e2 )e3 , e2 i + hR(e3 , e5 )e3 , e5 i
3
1
+ hR(e3 , e6 )e3 , e6 i + hR(e3 , e3 )e3 , e3 i = ,
3
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Ricp (v3 ) =
1
hR(e5 , e2 )e5 , e2 i + hR(e5 , e3 )e5 , e3 i
3
1
+ hR(e5 , e6 )e5 , e6 i + hR(e5 , e5 )e5 , e5 i = ,
3
Ricp (v4 ) =
1
hR(e6 , e2 )e6 , e2 i + hR(e6 , e3 )e6 , e3 i
3
1
+ hR(e6 , e5 )e6 , e5 i + hR(e6 , e6 )e6 , e6 i = .
3
De lo cual resulta, finalmente,
1
k(p) =
4
4
1
= .
3
3
En este ejemplo hemos encontrado la curvatura escalar de S 2 × S 2 en el punto
p = (1, 0, 0, 1, 0, 0). Similarmente se puede hallar en cualquier otro punto.
X
Referencias
[1] M. Do Carmo, Riemannian Geometry. Birkhauser, Boston, 1992.
[2] N. Prakash. Differential Geometry an Integrated Approach. Tata McGraw-Hill Publishing Company Limited, New Delhi, 1993.
Claudia Granados
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Bucaramanga, Colombia, A.A. 678
e-mail: cigranad@uis.edu.co.
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