Ejercicios propuestos - distribucion normal

Guía de refuerzo para distribuciones.
Procuren resolverlos todos
EJERCICIOS PROPUESTOS DISTRIBUCION NORMAL
1. ¿Cuáles de los siguientes enunciados son
verdaderos?
a) La distribución normal es asimétrica
b) Es necesario conocer la media y la
desviación estándar para construir una
distribución normal específica.
c) Cada
combinación
de
media
y
desviación
estándar
define
una
distribución normal única.
d) La distribución normal se extiende al
infinito en cualquier dirección a partir de
la media.
e) La distribución normal se mide en una
escala discreta.
f) El área total bajo la curva es igual a 1,0
g) La probabilidad de que una variable
aleatoria tenga un valor entre dos
puntos cualquiera es igual al área bajo
la curva entre esos dos puntos.
2. ¿Por qué tienen que convertirse los valores
de x en valores z?
3. Para medir los conocimientos sobre cierta
materia en una misma población, se utilizan
dos tipos de pruebas, A y B. Los resultados
en ambas tienen distribución normal y la
media de los resultados en la prueba A es
78,3 con una desviación estándar de 4,2
puntos. La media de las puntuaciones en la
prueba B es 58,1 y su desviación estándar
de 3,2 puntos. Una persona ha obtenido
83,1 puntos en la prueba A y otra persona
ha conseguido 87,5 en la prueba B. ¿Cuál
de las dos personas se encuentra en mejor
posición? ¿Por qué?
4. Si Z es una variable aleatoria normal
estandarizada,
a) ¿Cuál es el rango de la variable
aleatoria Z?
b) ¿Cuál es la probabilidad de tomar un
valor menor que cero?
c) ¿Cuál es la probabilidad de que Z tome
un valor entre -3 y +3?
d) ¿Cuál es la probabilidad de obtener un
valor en el rango media más menos dos
desviaciones estándar?
e) ¿Cuál es la probabilidad de que Z tome
un valor comprendido entre –1,28 y
+1,65.
5. Usando su tabla de probabilidad normal
determine las siguientes probabilidades
para la variable aleatoria normal estándar
(Dibuje una curva normal y sombree el
área bajo la curva):
a)
b)
c)
d)
e)
f)
g)
P
P
P
P
P
P
P
(
(
(
(
(
(
(
Z < 1,32 )
-2,34 < Z < 1,76 )
Z < 3,00 )
0<Z<1)
Z > 1,457 )
-3 < Z < 3 )
Z > -2,153 )
6. Suponga que Z tiene una distribución
normal estándar. Determine el valor de z
que resuelve las siguientes probabilidades
(Dibuje una curva normal, sombree el área
bajo la curva y ponga los valores
correspondientes en el eje horizontal):
a)
b)
c)
d)
e)
f)
g)
h)
P (-z < Z < z ) = 0,95
P ( Z < z ) = 0,9
P (-z < Z < z ) = 0,99
P ( Z < z ) = 0,5
P (-z < Z < z ) = 0,684
P( Z > z ) = 0,1
P (-z < Z < z ) = 0,9973
P ( -1.24 < Z < z ) = 0,8
7. Averigüe el valor z que corresponde a cada
área descrita:
a) El 70% de los elementos está a la
derecha de este valor z.
b) El 20% de los elementos se encuentra a
la izquierda de este valor z.
c) El 10% de los elementos es mayor que
este valor z.
d) El 60% de los elementos es menor que
este valor z.
e) El 50% de los elementos se encuentran
a la derecha de este valor z
f) El 30% de los elementos se encuentran
a la izquierda de este valor z
8. La duración de un determinado tipo de
lavadora automática tiene una distribución
normal, con una media de 3,1 años y una
desviación estándar de 1,2 años. La
compañía ofrece en su garantía que si la
lavadora presenta algún defecto será
reemplazada.
a) Describa gráficamente esta distribución
en particular.
Guía de refuerzo para distribuciones.
Procuren resolverlos todos
b) Si la lavadora está garantizada por un
año, ¿qué proporción del total de
unidades vendidas tendrá que ser
reemplazada?
c) Si el fabricante de las lavadoras está
dispuesto a reemplazar sólo el 3% de
las lavadoras que vende. ¿Por cuántos
meses debe ofrecer la garantía para
asegurar que no más de un 3% de las
lavadoras tendrá que ser reemplazada?
d) ¿Qué porcentaje de las lavadoras
vendidas van a durar entre 3 y 6 años?
9. El consumo promedio de combustible de
una flota de 1,000 camiones sigue una
distribución normal con una media de 12
millas por galón y una desviación estándar
de 2 millas por galón.
a) ¿Cuántos camiones tendrán un
promedio de 11 millas o más por galón?
b) ¿Cuántos camiones tendrán un
promedio de menos de 10 millas por
galón?
c) ¿Cuántos camiones tendrán un
promedio entre 9,5 y 14 millas por
galón?
d) Averigüe la probabilidad de que un
camión elegido al azar tenga un
promedio de 13,5 millas por galón o
más.
e) ¿El 70% de los camiones tuvo un
promedio más alto que cuántas millas
por galón?
f) ¿El 10% de los camiones tuvo un
promedio menor que cuántas millas por
galón?
10. El departamento de mantenimiento de
LMart, tiene instrucciones de reemplazar
todas las ampolletas al mismo tiempo. La
experiencia anterior indica que la vida útil
de las ampolletas tiene una distribución
normal con una vida media de 750 horas y
una desviación estándar de 40 horas.
¿Cuándo se deben cambiar las ampolletas
para que sólo el 7% se funda?
11. Una empresa ha encontrado que la
duración de sus llamadas telefónicas a larga
distancia, tiene aproximadamente una
distribución normal, con media de 3
minutos y desviación típica de 3 minutos.
a) ¿En qué proporción las llamadas a larga
distancia tienen una duración de más de
2 minutos, pero de menos de 3 y medio
minutos?
b) ¿Qué proporción de llamadas se
completan en 1 minuto o menos?
c) Una secretaria va a hacer una llamada a
larga distancia. ¿Cuál es la probabilidad
de que dure más de 5 minutos?
12. El gerente de personal de una gran
compañía requiere que los postulantes a un
puesto efectúen una prueba de aptitud y
que en ella obtengan una calificación
mínima de 500. Si las calificaciones de la
prueba se distribuyen normalmente con
una media de 485 y desviación estándar de
30:
a) ¿Qué
porcentaje
de
postulantes
aprobará la prueba?
b) Si aquellos postulantes que obtienen un
puntaje comprendido entre 471 y 499
pueden
optar
a
una
segunda
oportunidad, y un total de 1200
postulantes rindió la primera prueba,
¿cuántos de los 1200 postulantes
tendrán derecho a rendir la prueba por
segunda vez?
c) Si el puntaje de la segunda prueba se
relaciona con el puntaje de la primera
prueba a través de la expresión: Y=1.25
X + 2.5, donde Y es el puntaje en la
segunda prueba y X es el puntaje
obtenido
en
la
primera
prueba,
determine la probabilidad de que en el
segunda
prueba
un
postulante
cualquiera elegido al azar obtenga el
puntaje aprobatorio de 500 puntos o
más.
d) Determine
un
puntaje
“k”
correspondiente al percentil 90 de la
distribución. Interprete.
13. Se regula una máquina despachadora de
refresco para que sirva un promedio de 200
mililitros por vaso. Si la cantidad de bebida
se distribuye normalmente con una
desviación estándar igual a 15 mililitros,
a) ¿cuál es la probabilidad de que un vaso
contenga entre 191 y 209 mililitros?
b) ¿cuántos
vasos
probablemente
se
derramarán si se utilizan vasos de 230
mililitros para las siguientes 1000
bebidas?
c) ¿por debajo de qué valor obtendremos
25% de las bebidas más pequeñas?
Guía de refuerzo para distribuciones.
Procuren resolverlos todos
14. ¿Cuáles de los siguientes enunciados son
verdaderos?
a) La distribución normal es asimétrica
b) Es necesario conocer la media y la
desviación estándar para construir una
distribución normal específica.
c) Cada
combinación
de
media
y
desviación
estándar
define
una
distribución normal única.
d) La distribución normal se extiende al
infinito en cualquier dirección a partir de
la media.
e) La distribución normal se mide en una
escala discreta.
f) El área total bajo la curva es igual a 1,0
g) La probabilidad de que una variable
aleatoria tenga un valor entre dos
puntos cualquiera es igual al área bajo
la curva entre esos dos puntos.
15. ¿Por qué tienen que convertirse los valores
de x en valores z?
16. Para medir los conocimientos sobre cierta
materia en una misma población, se utilizan
dos tipos de pruebas, A y B. Los resultados
en ambas tienen distribución normal y la
media de los resultados en la prueba A es
78,3 con una desviación estándar de 4,2
puntos. La media de las puntuaciones en la
prueba B es 58,1 y su desviación estándar
de 3,2 puntos. Una persona ha obtenido
83,1 puntos en la prueba A y otra persona
ha conseguido 87,5 en la prueba B. ¿Cuál
de las dos personas se encuentra en mejor
posición? ¿Por qué?
17. Si Z es una variable aleatoria normal
estandarizada,
a) ¿Cuál es el rango de la variable
aleatoria Z?
b) ¿Cuál es la probabilidad de tomar un
valor menor que cero?
c) ¿Cuál es la probabilidad de que Z tome
un valor entre -3 y +3?
d) ¿Cuál es la probabilidad de obtener un
valor en el rango media más menos dos
desviaciones estándar?
e) ¿Cuál es la probabilidad de que Z tome
un valor comprendido entre –1,28 y
+1,65.
18. Usando su tabla de probabilidad normal
determine las siguientes probabilidades
para la variable aleatoria normal estándar
(Dibuje una curva normal y sombree el
área bajo la curva):
a)
b)
c)
d)
e)
f)
g)
P
P
P
P
P
P
P
(
(
(
(
(
(
(
Z < 1,32 )
-2,34 < Z < 1,76 )
Z < 3,00 )
0<Z<1)
Z > 1,457 )
-3 < Z < 3 )
Z > -2,153 )
19. Suponga que Z tiene una distribución
normal estándar. Determine el valor de z
que resuelve las siguientes probabilidades
(Dibuje una curva normal, sombree el área
bajo la curva y ponga los valores
correspondientes en el eje horizontal):
a)
b)
c)
d)
e)
f)
g)
h)
P (-z < Z < z ) = 0,95
P ( Z < z ) = 0,9
P (-z < Z < z ) = 0,99
P ( Z < z ) = 0,5
P (-z < Z < z ) = 0,684
P( Z > z ) = 0,1
P (-z < Z < z ) = 0,9973
P ( -1.24 < Z < z ) = 0,8
20. Averigüe el valor z que corresponde a cada
área descrita:
a) El 70% de los elementos está a la
derecha de este valor z.
b) El 20% de los elementos se encuentra a
la izquierda de este valor z.
c) El 10% de los elementos es mayor que
este valor z.
d) El 60% de los elementos es menor que
este valor z.
e) El 50% de los elementos se encuentran
a la derecha de este valor z
f) El 30% de los elementos se encuentran
a la izquierda de este valor z
21. La duración de un determinado tipo de
lavadora automática tiene una distribución
normal, con una media de 3,1 años y una
desviación estándar de 1,2 años. La
compañía ofrece en su garantía que si la
lavadora presenta algún defecto será
reemplazada.
a) Describa gráficamente esta distribución
en particular.
b) Si la lavadora está garantizada por un
año, ¿qué proporción del total de
unidades vendidas tendrá que ser
reemplazada?
Guía de refuerzo para distribuciones.
Procuren resolverlos todos
c) Si el fabricante de las lavadoras está
dispuesto a reemplazar sólo el 3% de
las lavadoras que vende. ¿Por cuántos
meses debe ofrecer la garantía para
asegurar que no más de un 3% de las
lavadoras tendrá que ser reemplazada?
d) ¿Qué porcentaje de las lavadoras
vendidas van a durar entre 3 y 6 años?
22. El consumo promedio de combustible de
una flota de 1,000 camiones sigue una
distribución normal con una media de 12
millas por galón y una desviación estándar
de 2 millas por galón.
a) ¿Cuántos camiones tendrán un
promedio de 11 millas o más por galón?
b) ¿Cuántos camiones tendrán un
promedio de menos de 10 millas por
galón?
c) ¿Cuántos camiones tendrán un
promedio entre 9,5 y 14 millas por
galón?
d) Averigüe la probabilidad de que un
camión elegido al azar tenga un
promedio de 13,5 millas por galón o
más.
e) ¿El 70% de los camiones tuvo un
promedio más alto que cuántas millas
por galón?
f) ¿El 10% de los camiones tuvo un
promedio menor que cuántas millas por
galón?
23. El departamento de mantenimiento de
LMart, tiene instrucciones de reemplazar
todas las ampolletas al mismo tiempo. La
experiencia anterior indica que la vida útil
de las ampolletas tiene una distribución
normal con una vida media de 750 horas y
una desviación estándar de 40 horas.
¿Cuándo se deben cambiar las ampolletas
para que sólo el 7% se funda?
24. Una empresa ha encontrado que la
duración de sus llamadas telefónicas a larga
distancia, tiene aproximadamente una
distribución normal, con media de 3
minutos y desviación típica de 3 minutos.
a) ¿En qué proporción las llamadas a larga
distancia tienen una duración de más de
2 minutos, pero de menos de 3 y medio
minutos?
b) ¿Qué proporción de llamadas se
completan en 1 minuto o menos?
c) Una secretaria va a hacer una llamada a
larga distancia. ¿Cuál es la probabilidad
de que dure más de 5 minutos?
25. El gerente de personal de una gran
compañía requiere que los postulantes a un
puesto efectúen una prueba de aptitud y
que en ella obtengan una calificación
mínima de 500. Si las calificaciones de la
prueba se distribuyen normalmente con
una media de 485 y desviación estándar de
30:
e) ¿Qué
porcentaje
de
postulantes
aprobará la prueba?
f) Si aquellos postulantes que obtienen un
puntaje comprendido entre 471 y 499
pueden
optar
a
una
segunda
oportunidad, y un total de 1200
postulantes rindió la primera prueba,
¿cuántos de los 1200 postulantes
tendrán derecho a rendir la prueba por
segunda vez?
g) Si el puntaje de la segunda prueba se
relaciona con el puntaje de la primera
prueba a través de la expresión: Y=1.25
X + 2.5, donde Y es el puntaje en la
segunda prueba y X es el puntaje
obtenido
en
la
primera
prueba,
determine la probabilidad de que en el
segunda
prueba
un
postulante
cualquiera elegido al azar obtenga el
puntaje aprobatorio de 500 puntos o
más.
h) Determine
un
puntaje
“k”
correspondiente al percentil 90 de la
distribución. Interprete.
26. Se regula una máquina despachadora de
refresco para que sirva un promedio de 200
mililitros por vaso. Si la cantidad de bebida
se distribuye normalmente con una
desviación estándar igual a 15 mililitros,
d) ¿cuál es la probabilidad de que un vaso
contenga entre 191 y 209 mililitros?
e) ¿cuántos
vasos
probablemente se
derramarán si se utilizan vasos de 230
mililitros para las siguientes 1000
bebidas?
f) ¿por debajo de qué valor obtendremos
25% de las bebidas más pequeñas?