Distribución probabilistica, binomial poisoon normal

DISTRIBUCIÓN PROBABILISTICA.
Estadística inferencial: conjunto de métodos utilizados para saber algo acerca de una
población, basándose en una muestra
Concepto
Enumeración de todos los resultados de un experimento junto con la probabilidad
asociada a cada uno.
Probabilidad de un evento: #de resultados favorables/ #total de resultados posibles.
Variable aleatoria:
Es un valor numérico determinado por el resultado de un experimento.
Una distribución probabilística discreta tiene las siguientes características:
1. La suma de todas las probabilidades asociadas a cada evento es igual a 1
2. La probabilidad de un resultado de un evento esta entre 0 y 1
3. Los resultados son mutuamente excluyentes.
Una distribución continua puede a sumir un número infinito de valores dentro de
un intervalo específico.
Calculo de la media y la varianza de una distribución de probabilidad.
Media= valor promedio a largo plazo de la variable aleatoria. Es un promedio
ponderado para el que os valores posibles que se consideran son a afectados o
sopesados por las probabilidades correspondientes de ocurrencia.
µ = Σ (Xi * P (Xi)) = E(Xi) = valor esperado
Varianza: describe el grado de dispersión o variación de una distribución.
σ2 =Σ (Xi -µ) 2 * P(Xi)
Para la desviación estándar: es la raíz cuadrada de
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σ2
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ejm
Sea X el número de equipos MSM que fallaron en una industria en los últimos 250
días.
Equipos que fallaron
0
1
2
3
4
5
6
a)
b)
c)
d)
e)
f)
Numero de días
100
60
35
20
12
15
8
Construya una distribución de probabilidades.
Cuál es la probabilidad de que fallen 3 equipos mañana.
Cuál es la probabilidad de que fallen menos de 3 equipos mañana
Cuál es la probabilidad de que fallen entre 1 y 3 equipos mañana
Cuantos equipos se espera que fallen mañana
Calcule la desviación estándar
DISTRIBUCIÓN BINOMIAL
Las observaciones posibles pueden obtenerse mediante 2 métodos de muestreo
distintos. Cada observación puede considerarse como seleccionada de una
población infinita sin reemplazo o de una población finita con reemplazo.
Una distribución probabilística binomial tiene las siguientes características:
1. La suma de todas las probabilidades asociadas a cada evento es igual a 1
2. La probabilidad de un resultado de un evento esta entre 0 y 1
3. Los resultados son mutuamente excluyentes.
La distribución binomial posee 4 propiedades esenciales:
1 un resultado de cada ensayo o realización de un experimento se clasifica en una
de dos categorías mutuamente excluyentes: éxito o fracaso; verdadero o falso;
positivo o negativo; aceptable o no aceptable; empleado o desempleado.
2. la variable aleatoria es el resultado de contar el número de éxitos en una
cantidad fija de ensayos:
Ejm. Se lanza una moneda 5 veces y se cuenta el número de veces que salió cara.
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Se escogen 20 lotes y se cuentan los que no cumplieron con las especificaciones
del producto.
3. La probabilidad de un éxito permanece igual para cada ensayo. Lo mismo
sucede con la probabilidad de un fracaso. Ejm. En un examen de verdadero y
falso, la probab que sea verdadera es ½ y de igual manera que sea falsa es ½
para todas las preguntas.
4. Los ensayos son independientes, lo cual significa que el resultado de un ensayo
no afecta el resultado de algún otro. Esto significa que no existe una
configuración rítmica con respecto a los resultados
¿Cómo se elabora una distribución probabilística binomial?
Se debe saber
1. El numero de ensayos.
2. La probabilidad de éxito en cada ensayo.
Por ejm:
Si un examen de estadística consiste en 20 preguntas de opción múltiple, el número de
ensayos es 20. Si cada pregunta tiene 5 opciones y solo una es correcta la probabilidad
de éxito para una persona que desconozca la materia es 1/5 = 0.20
La distribución
manera:
probabilística binomial se puede describir de la siguiente
𝑛
𝑛
P(X = Xi) = ∑ ( ) 𝑝 𝑥 𝑎𝑛−𝑥
𝑥
𝑥=0
𝑛!
P(X = Xi) =
∗ 𝑃 𝑋𝑖 ∗ (1 − 𝑃)𝑛−𝑋𝑖
𝑋𝑖! (𝑛 − 𝑋𝑖)!
Donde:
n= es el numero de ensayos
x= es el numero de éxitos de cada ensayo.
P= en la probabilidad de éxito en cada ensayo.
q= 1-p = es la probabilidad de fracaso en cada ensayo.
La media de una distribución binomial
Puede obtenerse fácilmente
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µ = E(x) = n * p
donde:
E(x)= valor esperado
n= numero de observaciones
p= probabilidad de éxito.
Desviación estándar de la distribución binomial
Ơ= √𝑛 ∗ 𝑝 ∗ 𝑞
Donde:
n= numero de observaciones
p= probabilidad de éxito.
q= 1-p = es la probabilidad de fracaso.
Forma:
Puede ser simétrica o sesgada. Siempre que p=0.5 la distribución
simétrica sin importar que tan grande o pequeña sea el valor de n.
binomial será
Cuando p ≠ 0.5 la distribución binomial será sesgada. Mientras mas cercana este p de
0.5 mayor sea el numero de observaciones, n, menos sesgada será la distribución.
Ejm:
Un 10% de los empleados de producción en la empresa W están ausentes del trabajo
en un determinado día de verano. Supóngase que se seleccionan al azar 10
trabajadores de producción para un estudio riguroso del ausentismo.
a) Cual es la variable aleatoria.
b) Tal variable es discreta o continua.
c) Desarrolle una distribución probabilística binomial para el experimento.
d) Cual es la probabilidad de que mas de 3 empleados seleccionados este ausente.
e) Cuál es la probabilidad de que menos de 7 empleados seleccionados este
ausente.
f) Cuál es la probabilidad de que entre4 y 8 empleados seleccionados este
ausente.
g) Calcule la media, varianza y la desviación estándar de la distribución.
DISTRIBUCIÓN POISSON
Es ideal para probabilidades de éxito menores de 0.05 y para n muy grandes
(n≥ 100)
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La forma limite de la distribución binomial cuando la probabilidad de éxito es
muy pequeña y n muy grande se denomina distribución probabilidad de
Poisson.
Se le conoce la ley de eventos improbables.
Aplicaciones:
Como modelo para describir la distribución de errores en la captura de datos.
# de ralladura y otros.
# de llamadas por hora.
# de llegadas de carros al día.
# de huelgas industriales importantes al año.
# de defectos por lote.
# de carreras por entrada
# de accidentes en una carretera en un periodo. Etc.
Una distribución probabilística Poisson tiene las siguientes características:
1. La suma de todas las probabilidades asociadas a cada evento es igual a 1
2. La probabilidad de un resultado de un evento esta entre 0 y 1
3. Los resultados son mutuamente excluyentes.
La distribución Poisson resulta de un conteo del # de éxitos en una cantidad fija
de ensayos.
Como se calcula:
P(X = Xi) =
µXi ∗ 𝑒 −µ
𝑋𝑖!
Donde:
µ: es la media aritmética del número de ocurrencias (éxitos) en un intervalo de
tiempo específico.
e:
es la constante 2.71828
X: es el # de ocurrencias ( éxitos) por unidad.
Cálculo de la media
Media = µ = E(x) = valor esperado.
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Calculo de la varianza y desviación estándar.
Varianza= σ2 = µ
Desviación estándar= σ = √µ
Para una distribución binomial existe un número fijo de ensayos por ejm.
Prueba de opción múltiple de 4 preguntas, puede ser 0,1,2,3,4 respuestas
correctas para una distribución poisson puede tomar un numero infinito de
valores esto es 0,1,2,3,4………. Pero las probabilidades se vuelven muy
pequeñas después de las primeras ocurrencias (éxitos)
Ejm
En un banco a la hora del almuerzo llegan en promedio 0.05 clientes por
segundo ¿Cuál es la probabilidad de que en un minuto dado lleguen
exactamente 2 clientes? ¿Lleguen mas de 2 clientes? Haga la distribución de
probabilidad.
USO DE LA DISTRIBUCION DE POISSON PARA APROXIMARSE A LA
DISTRIBUCION BINOMIAL
Para aquellas situaciones en la que n es grande (n ≥ 20) y p es muy pequeña (p
≤ 0.05) se utiliza la formula de la distribución binomial.
En estos casos X no debe exceder el valor de n pues se esta utilizando como
una distribución binomial.
Características:
Media µ = E(x) = n * p
Desviación estándar = Ơ= √𝑛 ∗ 𝑝 ∗ 𝑞
Ejm
El 50% de los residentes de Puerto Ordaz están registrados para votar, si se
eligen 25 personas al azar:
a) Cuál es la probabilidad que estén registrados menos de 6 personas.
b) Cuál es la probabilidad que no estén registrados mas de 8 personas.
c) Cuál es la probabilidad que estén registrados entre 1 y 6 personas.
DISTRIBUCION NORMAL
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La mayoría de los productos de consumo masivo siguen este tipo de
distribución, pues describe el comportamiento que debe tener la mayoría de la
población, se dice que en este tipo de distribución más del 90% tiene los
valores cercanos a la media
Una distribución probabilística continua cumple con las mismas características de las
distribuciones discretas:
1. La suma de todas las probabilidades asociadas a cada evento es igual a 1
2. La probabilidad de un resultado de un evento está entre 0 y 1
3. Los resultados son mutuamente excluyentes.
Características físicas de la distribución normal:
a) Es acampanada y la media, mediana y moda tienen el mismo valor (son
iguales)
b) Es simétrica.
c) Es asintónica (la curva se aproxima al eje X pero nunca lo toca)
d) Queda descrita por la media y la desviación estándar.
e) Existe una familia de distribuciones normales. Cada vez que cambien la
media o la desviación estándar, se origina una nueva distribución
normal.
Medias iguales pero distintas desviaciones estándar:
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La distribución normal estándar es un caso especial de la del tipo normal. Tiene una
media de 0 y una desviación estándar de 1.
Pero en la realidad no es así, la media es diferente de 0 al igual que la desviación
puede ser diferente de 1
Así que cualquier distribución normal puede convertirse a una del tipo normal
estándar mediante la siguiente fórmula:
𝑍=
X−µ
Ơ
Donde:
X = es el valor de cualquier medida u observación especifica.
µ = es la media aritmética de la distribución.
Ơ = es la desviación estándar de la distribución.
Z= para este caso es la distancia desde menos infinito hasta el valor denotado por los
parámetros. (x,Ơ,µ)
Ejm:
Luego de un gran número de observaciones se ha llegado a la conclusión de que el
ingreso semanal específico de una empresa responde a una distribución normal y es de
250 Bs fuerte con una desviación estándar de 10 Bs fuerte. Calcule el % de ingreso
semanal cuyos sueldos son:
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DISTRIBUCION PONDERADA, BINOMIAL, POISSON Y NORMAL
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1.Sea X el número de días en los que ocurrieron accidentes en una empresa
durante el años pasado.
Número de accidentes
0
1
2
3
4
Número de días
185
102
55
12
11
a) Es esta una distribución de frecuencias o una distribución de
probabilidad?
b) Construya una distribución de probabilidad.
c) Cuál es la prob de que haya dos accidentes mañana?
d) Cuál es la prob de que haya menos de dos accidentes mañana?
e) Cuál es la prob de que haya mas de dos accidentes mañana?
f) Cuantos accidentes se espera que ocurran mañana?
g) Calcule la desviación estándar.
2.Sea x el numero de Equipos que fallaron un una industria en los últimos 250
días.
equipos que fallaron
Número de días
0
100
1
60
2
35
3
20
4
12
5
15
6
8
a)
b)
c)
d)
e)
f)
Construya una distribución de probabilidad.
Cuál es la prob de que fallen 3 Equipos mañana?
Cuál es la prob de que fallen menos de 3 Equipos mañana?
Cuál es la prob de que fallen entre 1 y 4 Equipos mañana?
Cuantos Equipos se espera que fallen mañana?
Calcule la desviación estándar.
3. Una máquina fabrica una determinada pieza y se sabe que produce un 7 por
1000 de piezas defectuosas. Hallar la probabilidad de que al examinar 50
piezas sólo haya una defectuosa.
4. La probabilidad de éxito de una determinada vacuna es 0,70. Calcula la
probabilidad de a que una vez administrada a 15 pacientes:
a) Ninguno sufra la enfermedad.
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b) Todos sufran la enfermedad.
c) Dos de ellos contraigan la enfermedad.
d) Mas de 3 contraigan la enfermedad
5. La probabilidad de éxito de cierto medicamento para tratar el cáncer es
0,60%. Calcular la probabilidad de que una vez administrado a 12 pacientes: a)
ninguno sufra cáncer; b) todos continúen enfermos; c) tres de ellos contraigan
la enfermedad. d) menos de 8 mejoren
6. D. Un jugador de rugby tiene 2/5 de probabilidad de hacer gol cuando juega.
Si juega 5 partidos, hallar la probabilidad de que haga: a) mas de 2 goles; b)
un gol por lo menos
7. Entre los trabajadores de una fábrica se producen 2 accidentes por semana
en promedio. a) Calcular la probabilidad que haya 2 o menos accidentes
durante dos semanas b) Calcular la probabilidad que haya 2 o menos
accidentes en cada una de 2 semanas.
8) Una computadora que opera las 24 horas se cuelga 0.25 veces por hora.
Cual es la probabilidad que no falle durante 2 horas?
9. Un agente de seguros vende pólizas a 5 individuos, todos de la misma
edad. De acuerdo con las tablas actuariales, la probabilidad de que un
individuo con esa edad viva 30 años más es de 3/5. Determinar la probabilidad
de que dentro de 30 años vivan:
a. Mas de 3 individuos
b. Exactamente 2 individuos.
10. El número medio de automóviles que llega a una estación de suministro de
gasolina es de 210 por hora. Si dicha estación puede atender a un máximo de
10 automóviles por minuto, determinar la probabilidad de que en un minuto
dado lleguen a la estación de suministro más automóviles de los que puede
atender.
11. La probabilidad de que un paciente se recupere de una enfermedad
sanguínea es 0,4. Si se sabe que 15 personas han contraído esta enfermedad,
¿cuál es la probabilidad de que:
a. Sobrevivan menos de 10 personas?
b. Sobrevivan entre 3 y 8 inclusive?
c. No Sobrevivan mas de 5?
12 El gerente de control de calidad de las galletas Marilyn esta inspeccionando
un lote de galletas de chispas de chocolate que se acaban de hornear. Si el
proceso de producción esta bajo control, el numero promedio de chispas por
galleta es de 6.0 ¿Cuál es la probabilidad de que en cualquier galleta
inspeccionada.
a) se encuentren mas de 4 chispas?
b) Entre 2 y 6 chispas?
c) Menos de 4 chispas?
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13. Basándose en registros anterior, el número promedio de accidentes de dos
carros en un distrito de policia de Barinas es de 3.4 al día. Cual es la
probabilidad de que haya:
a) menos de 6 accidentes en un día cualquiera
b) entre 2 y 8 accidentes en un día cualquiera.
14. Suponga que la cantidad de tiempo que lleva a la superintendencia de
contribuciones enviar reembolsos a los contribuyentes se distribuye
normalmente con una media de 12 semanas y una desviación de 3. Que
proporción de contribuyentes debe tener un reembolso:
a) menor a 6 semanas.
b) mayor a 8 semanas
c) entre 2 y 10 semanas.
15. Suponga que la cantidad de sodio por rebanada de pan blanco producido
por una compañía de procesamiento de comida particular se distribuye
normalmente con una media de 110 mg y una desviación estándar de 25 mg.
Cual es la probabilidad de que una rebanada seleccionada aleatoriamente
contenga:
a) entre 82 y 100 mg de sodio.
b) menos de 90 mg de sodio.
c) mas de 100 mg de sodio.
16. La probabilidad de que un arquero ataje un penal es del 80%. Si el hombre
lo intenta en 4 oportunidades, calcular la probabilidad de que: a) No ataje la
pelota; b) ataje más de 2 penal; c) ataje 3 penales.
17. La probabilidad de que un hombre lave la ropa en su casa es del 10%. Si lo
hace 7 veces, calcular la probabilidad de que: a) no lave nunca; b) lave alguna
vez; c) lave 5 veces.
18 se realiza una prueba de vida útil para un gran número de pilas alcalinas
tipo AAA. Se reveló que la duración media para un uso especifico antes de la
falla es de 19 horas con una desviación estándar de 1.2 horas. La distribución
de las duraciones se aproxima a una distribución normal. Cuál es la
probabilidad. A) que falle con más de 16 horas de uso. B) que falle entre 14 y
18 horas de uso. c) que falle antes de 15 horas
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