Cálculo Integral - Aprende Matemáticas

Profr. Efraín Soto Apolinar.
Constante de integración
Cuando impongamos una condición que deba satisfacer la antiderivada de la función dada, por
ejemplo, que pase por un punto dado, tendremos la posibilidad de reducir toda una familia de
funciones a una sola función.
Calcula la antiderivada de la función:
Ejemplo 1
f (x) = 2 x + 1
que pasa por el punto A(0, 1).
• Primero calculamos la antiderivada y después nos preocuparemos por que pase por el punto
dado.
• La antiderivada de la función es:
F ( x ) = x2 + x + C
• Puedes verificar que esta es la antiderivada viendo que: F 0 ( x ) = f ( x ).
• Si la antiderivada debe pasar por el punto A(0, 1), entonces ésta debe satisfacer las coordenadas de ese punto.
• Matemáticamente, tenemos: F (0) = 1
F (0) = (0)2 + 0 + C = 1
⇒
C=1
• Entonces, la constante de integración es C = 1, y la antiderivada particular que satisface la
condición de pasar por el punto A(0, 1) es:
F ( x ) = x2 + x + 1
Ahora el resultado no fue una familia de funciones, dado que debían satisfacer la condición de
pasar por el punto dado.
El hecho de satisfacer la condición ocasionó que la constante de integración se convirtiera en una
constante particular (en este caso, C = 1).
Cuando no imponemos la condición de que pase por un punto, nos quedamos con una familia de
funciones, debido a que la constante ocasiona una traslación vertical a la gráfica de la antiderivada
y = F ( x ).
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y y = F(x) + C
x
Al obligar a y = F ( x ) + C que pase por un punto particular A( x0 , y0 ), estamos reduciendo la
familia de funciones a una sola.
Nosotros calculamos el valor de la constante C a partir de la condición: F ( x0 ) = y0 . Al imponer
esta condición sobre la antiderivada obtenemos:
C = y0 − F ( x0 )
Y la función que pertenece a la familia de funciones y = F ( x ) + C que cumple con esa condición
es:
y = F ( x ) + [y0 − F ( x0 )]
Entonces, desde el punto de vista geométrico, la constante C es la que genera toda la familia de
funciones, pues para cada valor de C distinto, obtenemos una nueva función.
Calcula la antiderivada de la función:
f ( x ) = 2 e2x−1
Ejemplo 2
que pasa por el punto A(0, 0).
• La antiderivada de la función es:
F ( x ) = e2x−1 + C
que puedes verificar fácilmente.
• Para que pase por el punto A(0, 3), se requiere que: F (0) = 0. Entonces,
F (0 ) = e −1 + C = 0
⇒
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C = − e −1
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• La función que cumple con la condición es:
y = e2x−1 − e−1
• Fácilmente se verifica que esta función pasa por el origen:
F (0) = e2(0)−1 − e−1 = e−1 − e−1 = 0
También podemos dar una interpretación física de la constante de integración.
Una piedra se dejó caer desde una altura h metros y su velocidad (en metros por segundo) está
dada por:
v(t) = −9.81 t
donde t está medido en segundos. Calcula la altura de la partícula (en metros) para cada valor
de t.
• La derivada de la posición es la velocidad de la partícula.
• Entonces, la antiderivada de la velocidad nos da la posición de la partícula.
• Esto quiere decir que necesitamos calcular la antiderivada de la función:
v(t) = −9.81 t
• ¿Qué función, cuando la derivamos, nos da una función lineal?
• La respuesta a esta pregunta es: «una función cuadrática.»
Si
y = a x2 + b x + c
dy
= 2 ax + b
dx
⇒
• Debes observar que la antiderivada de una lineal es una cuadrática con el coeficiente principal igual a la mitad de la pendiente de la lineal.
• Esto nos sugiere que hagamos:
s(t) = −
9.81 2
t + C = −4.905 t2 + C
2
• Ahora nos falta determinar el valor de la constante.
• Del texto del problema sabemos que la piedra se dejó caer desde una altura h.
• Esto nos está diciendo que en t = 0 la posición de la partícula es: s(0) = h.
• Vamos a utilizar esta información para calcular el valor de la constante:
s(0) = −4.905 (0)2 + C = h
⇒
C=h
• Luego, la función que nos da la posición de la piedra para cada t es:
s(t) = −4.905 t2 + h
donde h es la posición desde la cual se dejó caer la piedra.
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Ejemplo 3
Profr. Efraín Soto Apolinar.
• Observa que si derivamos la función respecto del tiempo, obtenemos la función que nos
dieron para la velocidad:
ds
= −(2)(4.905) t = −9.81 t = v(t)
dt
La constante C de la familia de funciones y = F ( x ) + C (desde el punto de vista físico) representa
la condición inicial a la que se realiza el experimento que está modelado por el integrando.
En el ejemplo anterior, inicialmente la posición de la piedra era de h metros sobre el suelo, por
eso la condición inicial impuesta para calcular la función que modela el fenómeno fue que pasara
por el punto P(0, h).
Por eso dijimos que s(0) = h. Es decir, cuando t = 0 (el reloj está en el punto de arranque), la
posición de la piedra es h metros sobre el nivel del suelo.
A este proceso de calcular la antiderivada se le llama integrar la función, y al resultado se le llama
la integral indefinida.
Integral indefinida
Sean y = F ( x ), y = f ( x ) funciones tales que F 0 ( x ) = f ( x ). Entonces, la integral indefinida de f ( x )
respecto de x es F ( x ) + C, y esto se denota por:
Definición
1
Z
f ( x ) dx = F ( x ) + C
R
El símbolo se conoce como el signo de integración, f ( x ) como el integrando y la constante C como la
constante de integración.
Dado que calcular la derivada y la antiderivada de funciones son procesos inversos uno del otro,
el cálculo de las antiderivadas se puede hacer fácilmente cambiando el formulario de las reglas
de derivación como reglas de integración indefinida.
El siguiente formulario incluye las reglas de integración indefinida inmediata que podemos obtener
intercambiando los argumentos en las reglas de derivación:
i.
ii.
iii.
iv.
v.
vi.
Z
Z
Z
Z
Z
Z
(dv + dw) =
a dv = a
Z
Z
dv +
dv
dx = x + C
vn dv =
v n +1
+C
n+1
dv
= ln |v| + C
v
av dv =
av
+C
ln a
Z
dw
vii.
viii.
ix.
x.
xi.
xii.
Z
Z
Z
ev dv = ev + C
sin v dv = − cos v + C
Z
sec2 v dv = tan v + C
Z
csc2 v dv = − cot v + C
Z
Puedes encontrar
una
tabla
de
integrales
más
completa
en
los
apéndices
cos v dv = sin v + C
(capítulo
del libro.
sec v tan v dv = sec v + C
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final)
Profr. Efraín Soto Apolinar.
Créditos
Albert
Einstein
Todo debe hacerse tan simple como sea posible, pero no más.
Este material se extrajo del libro Matemáticas I escrito por Efraín Soto Apolinar. La idea es compartir estos trucos para que más gente se enamore de las matemáticas, de ser posible, mucho más
que el autor.
Autor: Efraín Soto Apolinar.
Edición: Efraín Soto Apolinar.
Composición tipográfica: Efraín Soto Apolinar.
Diseño de figuras: Efraín Soto Apolinar.
Productor general: Efraín Soto Apolinar.
Año de edición: 2010
Año de publicación: Pendiente.
Última revisión: 07 de agosto de 2010.
Derechos de autor: Todos los derechos reservados a favor de Efraín Soto Apolinar. México. 2010.
Espero que estos trucos se distribuyan entre profesores de matemáticas de todos los niveles y sean
divulgados entre otros profesores y sus alumnos.
Este material es de distribución gratuita.
Profesor, agradezco sus comentarios y sugerencias a la cuenta de correo electrónico:
efrain@aprendematematicas.org.mx
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