Institución de Educación Superior Institución de Educación Superior ENTRESALTOS ENTRESALTOS FAE Fortalecimiento Académico al Estudiante Ejercicio n° 39) (x 2 +7x-2)(4x 3 +6x+1) f’(x) (2x+7) arc tg (x 4+3x 2+x-2)+ 4 2 2 Ejercicio n° 40) (x 4 +e x+1)(6x+1) f’(x) (4x 3 +e x) arc tg (3x 2+x+5)+ 2 2 Ejercicio n° 41) (x 3 +4x+3)(2x+2e 2x) f’(x) (3x 2 +4) arc tg (x 2 +e2x +1)+ 2 2x 2 1+(x +3x +x-2) 1+(3x +x+5) 1+(x +e +1) Derivada de una función trigonométrica tipo arco seno f’(x) arc sen (x 2 +2)+ Ejercicio n° 43) f’(x) (2x+4) arc sen (x 4 +3x 2+1)+ Ejercicio n° 44) f’(x) (3x 2+2e 2x) arc sen (3x 2 -2x+2)+ 2 1-(x 2 +2)2 (x 2 +4x+2)(4x 3 +6x) Ejercicio n° 45) f’(x) Ejercicio n° 46) f’(x) (5x 4 -8x+3) arc sen (e2x+4 3x+2)+ En esta cartilla encontrarás guías, talleres y algunas técnicas que te ayudarán a mejorar tu rendimiento académico en diferentes aéreas tales como matemáticas, contabilidad, entre otras. ENTRESALTOS 2x(x+3) Ejercicio n° 42) 1-(x 4 +3x 2+1)2 (x 3 +e 2x +3)(6x-2) 1-(3x 2 -2x+2)2 (2e 2x+3•4 3x+1) arc sen (3x 2 -4x+1)+ (e 2x+4 3x+x+2)(6x-4) 1-(3x 2 -4x+1)2 (x 5 -4x 2 +3x+2)(2e2x +3•4 3x ln4) 1-(e 2x+4 3x+2) 2 59 ENTRESALTOS Institución de Educación Superior Institución de Educación Superior ENTRESALTOS ENTRESALTOS Ejercicio n° 28) f’(x) (8x -3)cos(3x 2-5)-6x(4x 2-3x+1)sen(3x 2 -5) 5 2 4 6 3 3 2 Ejercicio n° 29) f’(x) (24x +3x +1)cos(x +7x)-(4x +x +x-2)(4x +3x +1)sen(x +7x) Ejercicio n° 30) f’(x) (-3x 2+2)cos(x 5 -3)-5x 4 (-x 3+2x-3)sen(x5 -3) Ejercicio n° 31) f’(x) (3-3•53x ln5)cos(4x 3 +2 4x )-(3x-5 3x)(4x 2+4•2 4x ln2)sen(4x 3+2 4x) f’(x) 9 -2 3 Matemáticas I 3 -2(-40x-6 + 5 x 5)cos(8x-5+3x 5 )sen(8x -5+3x 5 ) Derivada de una función trigonométrica tipo tangente Ejercicio n° 32) f’(x) 8xtg(4x6 +7)+24x5 (4x2 -5)[1+tg2 (4x6 +7)] Ejercicio n° 33) f’(x) tg(x2+3x+1)+(x+2)(2x+3)[1+tg2 (x2 +3x+1)] Ejercicio n° 34) f’(x) (5x4+3x2)tg(3x2+2x+1)+(x5+x3+2)(6x+2)[1+tg (3x2+2x+1)] Ejercicio n° 35) f’(x) (2x+8e4x )tg(x 3+3x+1)+(x2+2e 4x )(3x 2+3)[1+tg 2(x3+3x+1)] Ejercicio n° 36) f’(x) (12x +9e )tg(x -2x+3)+(2x +3e +2)(2x-2)[1+tg (x -2x+3)] Ejercicio n° 38) ENTRESALTOS 58 5 Cuadros mágicos. (Guía de trabajo No 1). Cuadros mágicos. (Guía de trabajo No 2). Reducción de términos semejantes. (Guía de trabajo no. 1). Productos notables. (Guía de trabajo no. 1). Factorización. (Guía de trabajo No 1). Factorización. (Guía de trabajo No 2). Simplificación de fracciones algebraicas. (Guía de trabajo no. 1). 6 9 10 1 14 18 20 Matemáticas II 5 3x 2 6 3x Derivada de una función trigonométrica tipo arco tangente Ejercicio n° 37) Contenido de interés 4 3x 2(x 2 +1) f’(x) (2x arc tg(x 3 +5)+ 3 2 1+(x +5) f’(x) 12x(x 3 +4x 2 -5) (3x +8x) arc tg(6x +8)+ 1+(6x 2+8) 2 2 2 2 21 Derivadas de 1er nivel. Derivadas de 2do nivel. Derivadas de 3er nivel. Derivadas de 4to nivel. 22 26 29 32 Respuestas 36 Cuadros mágicos. (Guía de trabajo No 1). Cuadros mágicos. (Guía de trabajo No 2). Reducción de términos semejantes.(Guía de trabajo no. 1). Productos notables. (Guía de trabajo no. 1). Factorización. (Guía de trabajo No 1). Factorización. (Guía de trabajo No 2). Simplificación de fracciones algebraicas. (Guía de trabajo no. 1). Derivadas de 1er nivel. Derivadas de 2do nivel. Derivadas de 3er nivel. Derivadas de 4to nivel. 36 37 38 39 39 42 44 44 48 52 55 2 Bibliografía 60 3 ENTRESALTOS Institución de Educación Superior ENTRESALTOS Institución de Educación Superior Ejercicio n° 14) f’(x) (x 4+ 3 x 2+ 2 x+6)3 4 4 5 ENTRESALTOS (x + 43 x 2+ 52 x+6) 2 (4x 3+ 23 x+ 52 ) 3e (- 1 x4+6x3+ 7 x 2+8x-3) 5 7 3 Ejercicio n° 15) f’(x) 5e Ejercicio n° 16) f’(x) e x (5x 6+2x) (- 1 4 x +6x 3+ 37 x 2+8x-3)4 7 (- 47 x3+18x 2+ 14 x) 3 5 Derivada de una función exponencial con base distinta del número e 4 3 2 6 4 3 2 7 Ejercicio n° 17) f’(x) 4 (8x +5x +2x +x+4) 6(8x4+5x 3+2x 2+x+1)5(32x3+15x2+4x+1)ln(4) Ejercicio n° 18) f’(x) 5 (2x +4x +3x +x+4) 7(2x4+4x 3+3x 2+x+4)6(8x 3+12x 2+6x+1)ln(5) Ejercicio n° 19) f’(x) 5 (2x +x +x Ejercicio n° 20) f’(x) 6 (-3x +x Ejercicio n° 21) f’(x) 5 4 6 2 -2 +2x+3)2 -6 +2)-3 (-4)(-3x6+x -6+2)-4(-18x 5-6x -7)ln(6) ( 2 x 5+4x 3+ 7 x-3)6 9 2(2x 5+x 4 +x -2+2x+3)7(10x4+4x 3 -2x-3 +2)ln(3) 5 6(- 2 5 x +4x 3+ 57 9 x -3)5 (- 10 x 4+12x 2+ 75 )ln(2) 9 Derivada de una función trigonométrica tipo seno BIENVIENID@S al mejor espacio cognitivo y de esparcimiento académico que te ofrece la Tecnológica FITEC. En esta sección pondrás a prueba todos tus conocimientos sobre matemáticas empleando el razonamiento lógico y deductivo de una manera didáctica y divertida que te servirá para fortalecer tus conocimientos. Adelante… Ejercicio n° 22) f’(x) 3sen(4x 2 +5)+8x(3x+4)cos(4x 2 +5) Ejercicio n° 23) f’(x) (12x 3 +1)sen(x 2+4x-1)+(3x 4 +x+2)(2x+4)cos(x 2 +4x-1) Ejercicio n° 24) f’(x) (3x 2 -4e2x)sen(3x 2 +3e4x)+(x 3 -2e 2x)(6x+12e4x)cos(3x 2 +3e4x) Ejercicio n° 25) f’(x) (10x 4 -6e2x)sen(4x 3 -5)+12x 2 (2x 5 -3e2x)cos sen(4x3 -5) Ejercicio n° 26) f’(x) (12x+3•23x ln 2)sen(2x 5 -3ex)+(6x 2 2 3x )(10x 4 -3e x)cos(2x 5-3e x ) Derivada de una función trigonométrica tipo coseno Ejercicio n° 27) ENTRESALTOS 4 f’(x) 14xcos(3x 4 -3)-12x 3 (7x 2 +12)sen(3x4 -3) 57 ENTRESALTOS Institución de Educación Superior Institución de Educación Superior ENTRESALTOS ENTRESALTOS Ejercicio n° 4) f’(x) 5(4x3+2x -2+3x+-4)-6(12x 2 -4x-3+3) Ejercicio n° 5) f’(x) -7(-3x 6+4x -1+3x -6+-3)-8(-18x 5 -4x-2-18x -7) Derivada de una función logarítmica Ejercicio n° 6) f’(x) Ejercicio n° 7) f’(x) 6(12x2+2x+3) 4x 3+x 2 +3x+5 5(12x 3 - 12x-14x-5) 7 3x4 -6x 4 + x -4 +6 2 7(21x 3 - Ejercicio n° 8) Ejercicio n° 9) Ejercicio n° 10) f’(x) 7x 3 + f’(x) f’(x) 3 -2 x -14x -3) 8 3 -1 x +7x -2+3 8 -5(15x 2 -6x -3+4) 5x 3 +3x -2 +4x-4 -2(-12x 3 -16x -3+48x) -3x 4 +8x -2+24x 2 +6 Derivada de una función exponencial con base el número e 5 2 f’(x) 3e (x +x +x+8) (x 5+x2+x+8)2 (5x 4+2x+1) Ejercicio n° 12) f’(x) 5e (2x +4x +7x+4)(2x4-4x 2+7x+4) 4 (8x3 -8x+7) Ejercicio n° 13) f’(x) 2e (-5x +4x -3x-8) (-5x3+4x 2 -3x -8)(-15x 2+8x-3) 4 2 3 ENTRESALTOS 3 Ejercicio n° 11) 56 5 2 2 5 ENTRESALTOS Institución de Educación Superior Institución de Educación Superior ENTRESALTOS ENTRESALTOS CUADROS MÁGICOS Ejercicio nº 31) f’(x) (30x 4-1)(4x 5+2x 3+x+1) (20x4+6x 2+1)ln(6x 5-x+8)+ 6x 5-x+8 Ejercicio nº 32) f’(x) (-6x+10)ln(x 6+4x-5)+ Ejercicio nº 33) f’(x) (7x6+21x 2+3)ln(4x 2-3x-1)+ GUÍA DE TRABAJO No. 1 Ø ¿Cuántos escribiste? (-3x 2+10x-1)(6x 5+4) x6 +4x-5 UN POCO DE HISTORIA (x 7+7x 3+3x+1)(8x-3) 4x 2-3x-1 Derivada de una función exponencial con base e: forma compuesta Ejercicio nº 34) f’(x) 2e2x Ejercicio nº 35) f’(x) 7e7x Ejercicio nº 36) f’(x) (-1)e-x Ejercicio nº 37) f’(x) (-4)e-4x -4e -4x Ejercicio nº 38) Grabado del libro de Agrippa: Tabula Saturni Ejercicio nº 49) f’(x) -e -x 2 e 2x3 3 4x f’(x) 3 4e 4x 12e Derivadas de 4to nivel ü 1 ENTRESALTOS 6 Derivada de una función potencial Ejercicio n° 1) f’(x) 5(x3+x 2+x+5)4(3x 2+2x+1) Ejercicio n° 2) f’(x) 2(2x 4 -6x 2+ x -3+5)(8x 3 -12x- Ejercicio n° 3) 2 2 f’(x) 8(8x 3 + x-1+7x-2+4) 7(24x 2 - x-2 -14x-3) 7 2 9 21 -4 x ) 2 9 55 ENTRESALTOS Institución de Educación Superior Institución de Educación Superior ENTRESALTOS ENTRESALTOS Practica: Ejercicio nº 21) f’(x) -sen(x) cos(x) Ejercicio nº 22) f’(x) cos(x) sen(x) f’(x) 1 1+x 2 arc tg(x) Ejercicio nº 23) Ejercicio nº 24) f’(x) Ejercicio nº 25) f’(x) -tg(x) ctg(x) 1. Completa el siguiente cuadro mágico de 3x3 empleando los números de 1 a 9, de manera que sus columnas, filas y diagonales sumen 15. 5 1 (1+x ) arc tg (x) 2 2 2. -6x 2 +30x + cos(x) -x 3 +15x 2+ sen(x) Coloca nueve números consecutivos en un cuadrado de 3x3, de manera que la suma de las filas y la de las columnas sea 24. 6x +4 3x2+4x 9 7 -3 Ejercicio nº 26) Ejercicio nº 27) Ejercicio nº 28) Ejercicio nº 29) f’(x) -10x -sen(x) -x -2+4 cos(x) Otras variaciones de los cuadros mágicos, son: 3. f’(x) 9x 2 -4x -5+e x 3x 3 +x -4+e x +1 f’(x) 20x 4 +6x 2+2x -3+3e x 4x 5 +3x 2 -x-2+3e x f’(x) 1•ln(3x+5)+(x+4) Escriba una letra diferente en cada casilla, de tal manera que: Ø En cada casilla, en cada fila y en cada columna no se repita letra. Ø En cada región demarcada de no se repita letra. Así en la fila sombreada, de izquierda a derecha, se podrá completar una palabra. 3 3x+5 A 3(x+4) ln(3x+5)+ 3x+5 S L Ejercicio nº 30) ENTRESALTOS 54 f’(x) (3x 2 +2x+1)ln(5x 2 -7)+ 10x(x 3 +x 2 +x+5) 5x 2 -7 4. Ubique en cada casilla los números de: 1, 2, 3 o 4, cumpliendo las siguientes indicaciones: Ø En cada columna y en cada fila no debe repetirse número. 7 ENTRESALTOS Institución de Educación Superior Institución de Educación Superior ENTRESALTOS Ø > > 1 2 (( Ejercicio nº 12) f(x)=-6ln x =-6 Ejercicio nº 13) 2 4 3 ln x f(x)= 5 (( ENTRESALTOS 1 ln(x)= -3ln(x) 2 4 2 8 ln(x)= ln(x) 3 15 =5 -3 f’(x) x 8 f’(x) 15x > > Ejercicio nº 14) Ejercicio nº 15) Ejercicio nº 16) 3 (( 3 f(x)=ln ( x( f(x)=ln ( ( f(x)=ln ( x ( =ln ( x (= 53 ln(x) 3 3 =ln x 2 = 2 ln(x) f’(x) 2 3 (( 2 2 x =ln x = ln(x) f’(x) 3 5 3 5 3 f’(x) 3 2x 2 3x 5 3x 2 16 3 2 13 9 10 11 8 5 6 7 12 4 15 14 1 5 4 (( ( ( 4 5 f(x)=4ln Ejercicio nº 18) 3 f(x)= ln 4 ( x( Ejercicio nº 19) f(x)= 4 ln ( 7x ( Ejercicio nº 20) f’(x) 7 3 5 x =4ln x = 4 ln(x)=5ln(x) f’(x) 4 Ejercicio nº 17) 5 5 5 3 = ln x 7 4 ( (= f’(x) 3 5 15 ln(x)= ln(x) 4 7 28 5 x f’(x) 15 28x 4 x 2 ENTRESALTOS 8 2 7x 53 ENTRESALTOS Institución de Educación Superior Institución de Educación Superior ENTRESALTOS ENTRESALTOS CUADROS MÁGICOS Derivadas de 3er nivel GUÍA DE TRABAJO No. 2 Hola, apreciados estudiantes, en esta nueva sesión trabajaremos una variación de los cuadrados mágicos de 4x4 con un grado de dificultad algo mayor a la que veníamos desarrollando…diviértanse… Noción logarítmica: forma compuesta simple Primero recordemos cómo se elabora un cuadro mágico 3x3 o de orden 3. Ejercicio nº 1) f’(x) 2x2 1 Ejercicio nº 5) x f’(x) 4 5 4 5x x 1. Para resolver estos tipos de problemas de un cuadrado de orden 3, utilizamos los dígitos desde el 1 hasta el 9 a. Ejercicio nº 2) f’(x) 3 4 1 3x x b. ¿Cómo podemos utilizar esta suma para establecer la “suma mágica” en el cuadrado mágico 3x3? 3 3 7 2 7x f’(x) Ejercicio nº 6) 2x c. 4 Ejercicio nº 3) f’(x) 5 2 1 5x x Ejercicio nº 7) 2 -4 3 5 2x 3 f’(x) 2 Ejercicio nº 4) f’(x) 3 1 3x x f’(x) ¿Cómo podemos utilizar la lista anterior para reconstruir el cuadrado mágico de orden 3? ¿Cuál es la relación entre la suma mágica y el número del centro del cuadrado? -4 5x 2 x 2. Ejercicio nº 9) f(x)=ln(x -5) = -5ln(x) Ejercicio nº 10) f(x)=3ln(x 4 ) =3•4ln(x)=12ln(x) f’(x) -5x -5 x -5x 6 x Utilizando los dígitos desde 1 hasta 9, haga una lista de todas las ternas de números diferentes cuya suma es 15. f(x)=ln(x 2 ) = 2ln(x) Ejercicio nº 8) -6 ¿Cuál es la suma de los dígitos desde 1 hasta 9? 5 Ø Se utilizan los números del 1 al 16. Ø La suma de los números en cada fila, en cada columna y en cada diagonales 34. -5 x f’(x) 12• 1 x Completar el cuadro mágico de 4x4 teniendo en cuenta que: Ø El número pequeño que se encuentra en cada región sombreada y demarcada corresponden a los números en dicha región. 12 7 19 x 15 Ejercicio n° 11) ENTRESALTOS 52 (( f(x)=7ln x 2 5 =7• 2 ln(x)= 14 ln(x) 5 5 f’(x) 14 5x 10 14 15 16 9 ENTRESALTOS Institución de Educación Superior ENTRESALTOS Institución de Educación Superior Ejercicio nº 33) 3 f’(x) ENTRESALTOS 120x4+80x 3-78x2 -50x-5 La derivada de un cociente de funciones Ejercicio nº 34) f’(x) 6x2(4x 2+7)-(2x3+5)8x 24x4+42x2-16x4-40x (4x2+7)2 (4x2+7)2 8x4+42x2-40x (4x2+7)2 2x(4x 3+ 21x-20) (4x2+7)2 Ejercicio nº 35) f’(x) f(x) (12x2 -10x)(3x2-4)-(4x3-5x2)6x 36x4-48x2-30x 3+40x-24x4+30x3 12x4-48x2-40x (3x2-4) 2 (3x2-4)2 (3x2-4) 2 Ejercicio nº 36) Ejercicio nº 37) Ejercicio nº 38) f’(x) 3x7+96x4+54x3-28x-18 x7(4x+3)2 f’(x) -2(3x2-12x-7) (3x2+7)2 f’(x) x14+24x9 +2x7-18x2+1 (x7+1) 2 4x(3x3-12x+10) (3x2-4) 2 Derivada de una función logarítmica: forma simple ENTRESALTOS 10 Ejercicio nº 39) f’(x) Ejercicio nº 40) f(x) 5 x 3 5x 51 ENTRESALTOS Institución de Educación Superior Institución de Educación Superior ENTRESALTOS ENTRESALTOS La derivada de una suma de funciones 4 2 Ejercicio nº 22) f’(x) 3x +2x+1 Ejercicio nº 23) f’(x) 15x +6x+6 Ejercicio nº 24) f’(x) -6x +6x-6 Ejercicio nº 25) f’(x) -3x +2x-x Ejercicio nº 26) f’(x) 2 2 -4 -2 -1 -1 1 x2 2 8 x3 3 -6 9x 7 -7 1 2 15x 2 2 Ejercicio nº 27) f’(x) -20x Ejercicio nº 28) f’(x) 6 x2 1 x 5 5 2 f’(x) 32 x3 10 x 3 3 9 -1 Ejercicio nº 29) 2x -7 5 La derivada de un producto de funciones Ejercicio nº 30) f’(x) 6x(2x2+1)+(3x2+3)4x=12x3+6x+12x 3+12x=24x 3+18x= 6x(4x2+3) Ejercicio nº 31) f’(x) 12x2(4x2+4)+(4x3 -6)8x=48x4+48x2+32x4-48x= =80x4 +48x2-48x= 16x(5x3+3x-3) Ejercicio nº 32) f’(x) (-2x+4)(4x4-3)+(-x2+4x+5)16x3= -8x5 +6x+16x4 -12-16x5+64x4 +80x3 = = -24x5 +80x4+80x3 +6x-12)= -2(12x5 -40x4-40x3-3x+6) 4 ENTRESALTOS 50 Baldor, Aurelio (1990). Algebra de Baldor. Editorial Publicaciones Cultural. Bogotá. 11 ENTRESALTOS Institución de Educación Superior Institución de Educación Superior ENTRESALTOS ENTRESALTOS 9 -1 a) b) c) d) e) f) g) h) i) j) (x + 5)2 (x a+1 + y b-2)2 (8 - a) 2 (3x 4 -5y 2)2 (x a+1 - 4xa-2)2 (7x 2 - 12y 3)(7x 2 + 12y3) (x + 4)3 (5x + 2y)3 (2x 2y + 4m)3 (1 - 4y) 3 k) l) m) n) o) p) q) r) s) t) (3a3 - 7xy 4)3 (2x a+4 - 8y a-1)3 (x + 5)(x + 3) (a + 9)(a - 6) (4ab2 + 6xy3)2 (y -12)(y - 7) (4x 3+ 15)(4x 3+ 5) (5y a+1 + 4)(5y a+1- 14) (7a + b)2 (5a + 10b)(5a-10b) COCIENTES NOTABLES 9 2 5• x 2 7 45 x 2 2 Ejercicio nº 7) f’(x) Ejercicio nº 8) f’(x) 3(-6)x -7 -18x -7 -3 -1 Ejercicio nº 9) f’(x) -3 x7 4 7 4 -1 x 4x -3 - 7 7 -12 x 7 7 45 x 7 2 -18 x7 -10 -12 x 7 7 -12 10 7 7x f’(x) 4(-1)x -1-1 -4x -2 -12 7 x 10 7 -4 Ejercicio nº 10) f(x) Ejercicio nº 11) f’(x) -10 7 7 x9 Ejercicio nº 17) f’(x) -3 3 2 x Ejercicio nº 12) f’(x) 3 2 x Ejercicio nº 18) f’(x) -5 7 6 x Ejercicio nº 13) f’(x) -2 x Ejercicio nº 19) f’(x) -3 3 2 x Ejercicio nº 14) f’(x) x4 Ejercicio nº 20) f’(x) -8 5 7 5 x Ejercicio nº 15) f’(x) Ejercicio nº 21) f’(x) -40 3 5 3 x 1. Cociente de la diferencia de los cuadrados de dos cantidades entre la suma o la diferencia de las x2 cantidades. Factorizamos la diferencia de cuadrados en el numerador. Simplificamos. 2. Cociente de la suma o diferencia de los cubos de dos cantidades entre la suma o diferencia de las cantidades.Factorizamos la diferencia o la suma, según el caso, de cubos en el numerador. Simplificamos. 3. Cociente de la suma o diferencia de potencias iguales de dos cantidades entre la suma o diferencia de las cantidades 3 5 5 5 5 x2 5 3 x4 Criterios de divisibilidad a) Criterio 1: la diferencia de dos cantidades con potencias iguales, pares o impares, es divisible por la diferencia de las cantidades. Y, la forma general de su solución está dada por: Ejercicio nº 16) ENTRESALTOS 12 f’(x) 6 6 3 49 ENTRESALTOS Institución de Educación Superior Institución de Educación Superior a) Criterio 2: 1a diferencia de dos cantidades con igual potencia par, es divisible por la sumacantidades. Y, la forma general de su solución está dada por: ENTRESALTOS m 1 2 cos (x) f’(x) b) Criterio 3: la suma de dos cantidades con igual potencia impar, es divisible por lasuma de las cantidades. Y, la forma general de su solución está dada por : Derivada de una función trigonométrica tipo arco seno: forma simple Ejercicio nº 40) 1 1-x 2 f’(x) m a -b = am-1- am-2 b +... + abm-2- b m-1 a+b Derivada de una función trigonométrica tipo tangente: forma simple Ejercicio nº 39) m m a +b a+b = am-1- am-2 b + ...+ a 2 bm-3- abm-2 + bm-1 c) Criterio 4 : A) La suma de dos cantidades con igual potencia par, no es divisible ni por la suma ni por la diferencia de las cantidades. Esto es, cocientes de la forma Derivada de una función trigonométrica tipo arco tangente: forma simple Ejercicio nº 41) am + bm , donde m es par, no son exactos 1 1+x 2 f’(x) B) La diferencia de dos cantidades con igual potencia impar, no es divisible por la suma de las cantidades. Es decir, cocientes de la forma: am - b m , donde m es impar, no son exactos a+b Derivadas de 2do nivel Recuerda: se dice que dos expresiones determinadas son divisibles, cuando su división es exacta, esto es, cuando al dividir a una (el dividendo) por la otra (el divisor), el residuo es cero. Derivada de una función potencial:forma simple Ejercicio nº 1) f’(x) Ejercicio nº 2) f’(x) -5 Ejercicio nº 3) f’(x) 2 5 Ejercicio nº 4) Ejercicio nº 5) Ejercicio nº 6) ENTRESALTOS 48 ENTRESALTOS 2. EJERCICIOS PROPUESTOS 4 A continuación desarrolla los ejercicios en grupos colaborativos y orientados por el tutor. f’(x) f’(x) f’(x) a) (x + y)2 – 100 (x + y) – 10 g) b) 1 + x3 1+x h) 25x2 - 49y 2 5x + 7y c) 64x3 + 27y 3 4x + 3y i) 4a 2 - 16x2y 4 2a + 4xy 2 d) 125a + 27b 5a + 3b j) 9 - 36x 3 - 6x 2 e) 8a - 125b 2a4 - 5b 5 f) 729x y - 512z 2 3 9xy - 8z 2 8•3x 6 2•7x 2 24x 2 14x 6 3 12 3 6 3 2 a – 16 a+4 4 k) 16x 4 - 25y4 4x 2 - 5y 2 15 9 13 ENTRESALTOS Institución de Educación Superior Institución de Educación Superior ENTRESALTOS ENTRESALTOS Derivada de una función logarítmica: forma simple Ejercicio nº 30) f’(x) 1 x Derivada de una función exponencial con base e: forma simple Ejercicio nº 31) f’(x) ex Derivada de una función exponencial con base distinta del número e: forma simple Factorización por diferencia de cuadrados a) Se extrae la raíz cuadrada al minuendo y al sustraendo. b) Se abren dos paréntesis. c) En el primer paréntesis se escribe la suma, y en el segundo la diferencia, de las raíces halladas en el paso 1. x Ejercicio nº 32) f’(x) 9 1n 9 Ejercicio nº 33) f’(x) 2 1n 2 x x f’(x) 7 7 1n 5 5 Ejercicio nº 35) f’(x) 1 1 1n 2 2 Ejercicio nº 36) f’(x) 0.25 1n(0.25) Ejercicio nº 34) x 1. − a 2b 8 − c2 2. − 25 x 2 y 4 − 121 3. − 49 x 2 y 6 z10 − a12 1 4. − 4 x2n − 9 2 ( 5. − 4x2 − x+ y) ( ( 6. − a+ x) − x+ 2) 2 b12 x 7. − 49a − 81 1 8. − a 2 nb 4 n − 25 10 n ENTRESALTOS 14 x Derivada de una función trigonométrica tipo seno Ejercicio nº 37) 2 f’(x) cos(x) Derivada de una función trigonométrica tipo coseno Ejercicio nº 38) f’(x) -sen(x) 47 ENTRESALTOS Institución de Educación Superior Institución de Educación Superior ENTRESALTOS ENTRESALTOS Ejercicio nº 22) f(x) 5 Ejercicio nº 23) f(x) 4 Ejercicio nº 24) f(x) 4 f(x) Ejercicio nº 25) Ejercicio nº 26) f(x) 5 x4 x 5 x x 11 x 4 5 11 4 1 1 x 1 2 x 1 1 x 1 5 x f’(x) f’(x) 5 x4 4 f’(x) 11 x 4 4 5 -1 5 4 x 4 -1 5 4 x 5 11-1 -1 2 x 4 -5 5 4 x5 5 5 -4 4 5 x4 4 11 - 4 4 11 x 4 4 - 1 -1 1 x2 2 f’(x) -1 5 f’(x) x 1 x 5 -1 1 5 5 x 4 5 x4 4 5 x 4 7 4 11 x 4 11 4 x7 4 4 -3 11x x 4 3 -1 -1 x 2 -1 3 2 2x 2 -1 -5 5 4 4 x5 4 1 5 5 5x 2 x 3 6 1 x5 5 5 -1 5x -1 6 5 5 5 x -1 5x 5 x 6 Ejercicio nº 27) f(x) 1 x3 x Ejercicio nº 28) Ejercicio nº 29) ENTRESALTOS 1 46 3 2 -3 2 f’(x) x f(x) f(x) 1 5 x 2 1 3 x7 3 x 2 f’(x) f’(x) - 3 -1 3 3 x2 2 2 5 2 2 3 x2 2 -3 2x -3 5 2 2 x5 -3 2x 2 x -2 3 3 x5 7 x 3 - 7 -1 3 7 7 x3 3 3 3 10 7 x3 3 -7 10 3 3x -7 3 3 x10 -7 3x 3 3 x 15 ENTRESALTOS Institución de Educación Superior Institución de Educación Superior ENTRESALTOS ENTRESALTOS Derivada de una función potencial: forma simple 5. 6. 7. 8. 9. 10. a²+4ª+3 m²+5m-14 y²-9y+20 a²+42ª+432 m²-30m-675 y²+50y+336 Ejercicio nº 11) f’(x) 6x 6-1 6x 5 Ejercicio nº 12) f’(x) 3x 3-1 3x 2 Ejercicio nº 13) f’(x) 5 52 -1 5 52 x x 2 2 Ejercicio nº 14) f’(x) -7x f’(x) -4 -47 -1 x 7 Ejercicio nº 15) 1. 2. 3. 4. 5. 6. a?+a²+1 m?+m²n²+n? x8+3x?+4 a?+2a²+9 a?-3a²b²+b? x?-6x²+1 Factorar una expresión que es el cubo de un binomio. El desarrollo del cubo de un binomio es: -7-1 -1-1 Ejercicio nº 16) f’(x) 1x Ejercicio nº 17) f(x) 1 x3 Ejercicio nº 18) f(x) 1 x4 x-4 -7x - 3 -1 3 x 2 0 -4 -117 x 7 7 7 f’(x) -3x f’(x) 4x 3 x 2 Ejercicio nº 20) Ejercicio nº 21) f’(x) 2 16 4-1 7x f’(x) 1 2 1 5 4x 3 x 2 1 -1 x2 x -3x 11 7 -4 -4 7 7 x11 7x x4 7 1 -1 5 1 2 1 5 2 1 - 2 2 x2 x -3 x4 -4 3 -5 2 1 ENTRESALTOS -3-1 -3 -2 f’(x) x x 2 f’(x) x x -4 1 f’(x) 1 5 5x x 2 -72 8 x -8 Ejercicio nº 19) 5 5 x3 2 5 32 x 2 -4 -47 x 7 1x x-3 2 2 2 1 - 5 5 5 5 2 -3 3 2x 1 2 1 5 2 x5 x x -1 2 -4 5 1 2x 1 5x 1 1 2 2 x 1 4 5 5 5 x4 45 ENTRESALTOS Institución de Educación Superior Institución de Educación Superior ENTRESALTOS ENTRESALTOS 3. Se observa si todos los signos son positivos o si se alternan positivo-negativo-positivo-negativo. Simplificación de fracciones algebraicas (guía de trabajo no. 1). 1. 2. 3ab 2a(x+a) 7. 1 3(x-y) 8. 3 n-m x+3 x+4 3. 2x 3y 9. a² - 2ª+ 4 a+4 4. x+1 10. a+2 m-n 5. x-2 5ª 6. 4. Se triplica el cuadrado de la raíz cúbica del primer término por la raíz cúbica del cuarto término y se compara con el segundo término del cuadrinomio dado. 5. Se triplica la raíz cúbica del primer término por el cuadrado de la raíz cúbica del cuarto término y se compara con el tercer término del cuadrinomio dado. 6. Si las dos comparaciones hechas en los pasos 4 y 5 son positivas, se trata del desarrollo del cubo de un binomio y se factoriza como tal: dentro de un paréntesis se escriben las raíces cúbicas del primero y cuarto términos del cuadrinomio y separadas por el signo más o por el signo menos, según el caso; y se eleva al cubo el paréntesis. 7. Si las dos comparaciones hechas en los pasos 4 y 5 son negativas, no se trata del desarrollo del cubo de un binomio y no se puede factorizar como tal. 3x+5 x-2 1. a³+3a²+3a+1 Derivadas de 1er nivel. 2. 27-27x+9x²-x³ Derivada de una constante 3. m³+3m²n+3mn²+n³ 4. 1+3a²-3a-a³ ENTRESALTOS Ejercicio nº 1) f’(x)= 0 Ejercicio nº 6) f’(x)= 0 Ejercicio nº 2) f’(x)= 0 Ejercicio nº 7) f’(x)= 0 Ejercicio nº 3) f’(x)= 0 Ejercicio nº 8) f’(x)= 0 Ejercicio nº 4) f’(x)= 0 Ejercicio nº 9) f’(x)= 0 Ejercicio nº 5) f’(x)= 0 Ejercicio nº 10) f’(x)= 0 44 5. 8+12a²+6a?+a6 6. 125x³+1+75x²+15x 17 ENTRESALTOS Institución de Educación Superior ENTRESALTOS Institución de Educación Superior ENTRESALTOS FACTORIZACIÓN Suma y diferencia de cubos GUÍA DE TRABAJO No.2 Trinomios cuadrados perfectos 01) 02) 03) 04) 05) 06) 07) 08) 09) 10) x 2 + 6x+9 16x 2 + 8x +1 y 2 + 10y + 25 2 4y - 24y + 36 49x 2 + 112x+ 64 81y 2 - 180y + 100 25x 2 + 30xy + 9y2 81z 2+108zw + 36w 2 64x 4y 2 + 176x2y +121w6 144x 8 - 24x 4y 5 + 5y 3 11) 12) 13) 14) 15) 16) 17) 18) 19) 20) 0.04x 2 - 4x + 100 400y 4 - 12y 2 + 0.09 a 2/4 + 4a + 16 2 x /9 - 16x/3 + 64 25x 2/4 + 20xy/3 + 16y2/9 x2 + 2x(a+b) + (a + b)2 9 - 6(x + y) + (x + y) 2 4(x + y)2 + 4(x + y)(x - y) + (x - y) 2 9(x - y) 2 + 12(x - y)(x + y) + 4(x + y)2 4(1 + a)2 - 4(1 + a)(b - 1) + (b - 1) 2 2 1) xy - y w 11) - x - y + a(x + y) 2) 5xy 2 - 15y 12) (a + 5)(a + 1)- 2(a + 1) 3) 24a 3b2 - 12a 3b 3 13) (a + b - 2)(a 2 + 2) - a 2 - 2 4) 2 4xy - 8xy - 12xy 3 2 2 2 14) (3x + 8)(x + y- z) - (3x + 8)- (x + y - 4)(3x + 8) 5) 16a 4b5 - 20a 3b2 - 24a 2b6 6) x 7) 36x 2ay b - 24xa + 1y b+1 + 12xay 2b 17) 1 + a + 8ab + 8b 8) x(a + 7) - 5(a + 7) 18) 6ax - 2by - 2bx - 12a + 6ay + 4b a+2 - 3x a+3 - 5x a 9) 2x(a - 1) - 3y(a - 1) 10) x(a + 9) - a - 9 15) xm - ym + xn - yn 2 2 2 2 2 16) a x - 8bx + a y - 8by 2 3 5 2 3 2 5 2 2 m2 - n 2 02) 2n 8n 09) x b - 1/169 x - 100 10) 0.81a 6 - 1.21b 8 03) 25a 2 - 144b2 11) 1.69x 8y 10 - 2.25z 12 04) 9x2 y 4 - 121z 8 12) a4nb6n - c12x /64 05) 400x 14 - 1 13) (m - n)2 - (x + y)2 06) 1/4 - 16x 2 14) (3x - 4) 2 - (2x - 6) 2 07) 1/16 - x4 /25 15) (3a + 2b - c) 2 - (2a + 2b)2 08) ENTRESALTOS 2 6 4 a /36 - 49b /100 18 2 3 5 19) a b - m + a b x - m x - 3a b x + 3m x 20) (x + 3)(x + 2)(x + 5) + (x + 2)(x + 5) + (x + 5) Diferencia de cuadrados 01) (1 + x)(1 - x + x2) 11) (5x3 y6 - 8z 9 )(25x6 y12 + 40x 3 y6 z9 + 64z18 ) 2) (x + 10)(x 2 - 10x + 100) 12) (6x4 - 9y7a )(36x 8 + 54x 4y 7a + 81y 14a) 3) (3a + 5b)(9a 2 - 15ab + 25b 2 ) 13) (7xa - 8y2b)(49x 2a + 56x ay 2b + 64y 4b) 4) (4xy2 + 6z 3 )(16x2 y4 - 24xy 2 z3 + 36z 6 ) 14) (x + 2)(x 2 + 10x + 28) 5) (8x 2a + 9yb )(64x4a - 72x 2a yb + 81y 2b) 15) a(19a 2 + 3ab + 12b2 ) 6) (1/2 + 5x)(1 /4 - 5x/2 + 25x 2 ) 16) (4 - 3a 2 )(9a4 + 21a2 + 31) 7) (1/3 + x 2/6)(1/9 - x2 /18 + x 4 /36) 17) (x - 5y)(19x 2 - 10xy + 7y 2) 8) (a 2/7 + 2b 4/10)(a 4 /49 - 2a2 b 4/70 + 4b 8 /100) 18) (0.3x - 0.2y 2)(0.09x 2 + 0.06xy 2 + 0.04y2 ) 9) (10 - m)(100 + 10m + m 2 ) 19) (2/5x2 - 10z3 /4y4 )(4/25x 4 + x 2z3 /y 4 + 100z 6/16y 8 ) 10) (2a - 4b)(4a2 + 8ab + 16b 2 ) 20) (7a - b)(13a2 - 14ab + 37b 2) Trinomio de la forma x² + bx + c Factor común por agrupación 2 1) 16) 25a 10 2 2 - (3a + 4) 01) 02) 03) 04) 05) 06) 07) 08) ( x + 5)(x + 3) 11) 12) 13) 14) 15) 16) 17) 18) 09) 1 3 (y + ( (y + ( 19) (w + 0.3)(w + 0.5) 10) ( x + 41 ( ( x 20) (x - 31)(x - 13) (n + 5)(n - 4) (m - 9)(m - 3) (x - 6)(x + 4) (x + 15)(x + 5) (y + 20)(y - 4) (x - 20)(x - 5) (y - 12)(y + 6) 1 2 1 5 ( (x + 1.8)(x - 1.2) (y - 1.5)(y + 1.3) (x + 20)(x + 15) (y + 30)(y - 20) (z - 33)(z + 21) (w - 45)(w - 24) (xy + 30)(xy + 4) (z - 1.4)(z - 0.9) Trinomio de la forma ax² + bx + c 01) 02) 03) 04) 05) 06) 07) 08) 09) 10) ( 2x + 1)(x + 3) (2y + 1)(y + 4) (z - 5)(3z + 1) (4x - 1)(x - 7) (5x - 3)(x + 3) (3y + 4)(2y + 3) (x - 7)(7x + 3) (4y + 16)(2y - 2) (3x - 20)(3x - 2) (5x + 9)(2x - 10 11) 12) 13) 14) 15) 16) 17) 18) 19) 20) (5x - 4)(4x + 20) (6b + 7)(4b + 5) (5x + 30)(2x + 10) (3y - 20)(2y + 30) (5z + 77)(3z - 9) (3w + 2)(0.5w + 1) (2xy + 4)(xy + 0.5) (0.5z - 2)(0.4z - 1) (0.5w - 1)(0.2w + 3) (11x - 20)(x - 10) 43 ENTRESALTOS Institución de Educación Superior ENTRESALTOS Institución de Educación Superior ENTRESALTOS Suma y diferencia de cubos 01) 1 + x3 Factorización (guía de trabajo no. 2). 02) Trinomios cuadrados perfectos 1) 2) 3) 4) 5) 6) 7) 8) 9) ( x + 3) 2 (4x + 1) (y - 5) 11) 12) 13) 14) 15) 16) 17) 18) 19) 20) 2 2 (2y - 6) 2 (7x + 8) 2 (9y - 10) 2 (5x + 3y) 2 2 (9z - 6w) 2 3 2 (8x y + 11w ) 10) (12x4 - 5 y5)2 = (x + y)(a - 1) = (a + 1)(a + 3) = (a + 2)(a + b - 3) = = (3x + 8)(3 - z) (x - y)(m + n) = (x2 + y2)(a2 - 8b) = (a + 1)(8b + 1) = (6a - 2b)(x + y - 2) = (a b - m )(1- 3x + x ) = (x + 5)(x + 3) 2 2 2 3 5 2 2 Factor común por agrupación 1) 2) =y2 ( x - w ) =5xy( y - 3 ) 3) 3 2 =12a b ( 2 - b ) 4) =4xy( 1 + 2y - 3y 2 ) 5) 6) 7) 8) 9) 10) =4a2 b 4 ( 4a2 b - 5a + 6b 2 ) =xa (x 2 + 3x 3 + 5) =12x ayb ( 3x a - 2xy + y b ) =(a + 7)(x - 5) =(a - 1)(2x - 3y) =(a + 9)(x - 1) 11) 12) 13) 14) 15) 16) 17) 18) 19) 20) 2 (0.2x - 10) (20y 2 + 0.3) 2 (a/2 + 4) 2 (x/3 - 8)2 (5x/2 + 4y/3) 2 [x + (a + b)] 2 [3 - (x + y)]2 (x + y) 2 11) 125x 9y 18 - 512z 27 x + 1000 12) 216x 03) 27a 3 + 125b3 13) 343x 3a - 512y 6b 04) 64x 3y 6 + 216z9 14) (x + 4)3 - 8 05) 512x + 729y 15) (3a + 2b) - (2a + 2b) 06) 1/8 + 125x 16) 125 - (3a + 1) 07) 1/27 + x6/216 17) 27(x - y) 3 - 8(x + y)3 08) a /343 +8b /1000 18) 0.027x - 0.008y 09) 1000 - m3 19) 8/125x 6 - 1000z 9/64y 12 10) 8a 3 - 64b 3 20) 64(a - b) 3 + 27(a + b)3 6a 3b 3 6 12 12 - 729y 21a 3 2 3 3 3 6 Trinomio de la forma x² + bx + c 01) x 2 + 8x+ 15 11) x2 + 0.6x- 2.16 02) n 2 + n- 20 12) y 2- 0.2y - 1.95 03) m 2 - 12m + 27 13) x2 + 35x + 300 04) x 2 - 2x - 24 14) y 2 + 10y - 600 05) x 2 + 20x+ 75 15) z + 12z - 693 06) y 2 + 16y - 80 16) w2 - 69w + 1080 07) x 2 - 25x + 100 17) x2y 2 + 34xy + 120 08) y 2 - 6y - 72 y2 +5y +1 6 6 x2 + x - 1 20 20 18) z2 - 2.3z + 1.26 19) w2 + 0.8w + 0.15 20) 403 - 44x + x2 11) 12) 13) 14) 15) 16) 17) 18) 19) 20) 20x 2 + 84x- 80 24b 2 + 58b- 35 10x 2 + 110x + 300 6y 2 + 50y - 600 2 15z + 186z - 693 1.5w 2 + 4w + 2 2x 2y 2 + 5xy + 2 0.2z 2 - 1.3z + 2 0.1w 2 + 13w - 3 2 200 - 130x + 11x 09) 2 (5x - y) (2a - b + 3) 2 3 10) 2 Trinomio de la forma ax² + bx + c Diferencia de cuadrados ENTRESALTOS n 4n 1) = 2) = (m + n)(m - n) 3) = 4) = (5a + 12b)(5a - 12b) 5) = 6) = (20x 7 + 1)(20x 7 - 1) 7) = 8) = (1/4 + x /5)(1/4 - x /5) 42 9) = (x b + 1/13)(x b - 1/13) 10) = (0.9a 3 + 1.1b 4)(0.9a 3 - 1.1b 4 ) (x + 10)(x - 10) (3xy2 + 11z 4)(3xy 2 - 11z 4 ) (1/2 + 4x)(1 /2 - 4x) 2 n 4n 2 (a3/6 + 7b2/10)(a3/6 - 7b2/10) 11) = (1.3x 4 y5 + 1.5z 6 )(1.3x 4 y5 - 1.5z 6) 12) = (a 2nb 3n + c 6x /8)(a2nb 3n - c6x /8) 13) = (m - n + x + y)(m - n - x + y) 14) = (5x - 10)(x + 2) 15) = (5a + 4b - c)(a - c) 01) 02) 03) 04) 05) 06) 07) 08) 09) 10) 2x2 + 7x+ 3 2y 2 + 9y + 4 3z2 - 14z - 5 4x2 - 29x + 7 2 5x + 12x- 9 6y 2 + 21y +12 7x2 - 46x - 21 8y 2 +24y - 32 9x2 - 66x + 40 2 10x - 32x - 90 19 ENTRESALTOS Institución de Educación Superior Institución de Educación Superior ENTRESALTOS ENTRESALTOS 6 Factorización por trinomio cuadrado perfecto 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 1° Simplificación de monomios: 8 a 2b 5 2 ab 3 = 4ab 2 2° Simplificación de polinomios: x2 +7 x +10 (x +2)(x +5) x + 2 = = Ejemplo 1 (x +5)(x - 5 ) x - 5 x 2 - 25 x 2 - 16 Ejemplo 2 2 x 2 +8 x = (x +4)(x - 4) x - 4 = 2 x(x +4 ) 2x No te olvides: PRIMERO FACTORIZAR....... LUEGO SIMPLIFICAR. (a-b)² (a+b)² (x-1)² (y²+1)² (4+5x²)² (a-5)² (3-x²)² Factorización de trinomios de la forma x 2 + bx + c 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10. (x-3)(x-2) (x+5)(x-2) (x+5)(x+2) (x+2)(x+1) (a+3)(a+1) (m+7)(m-2) ((y-5)(y-4) (a+24)(a+18) (m-45)(m+15) (y+42)(y+8) Trinomio cuadrado perfecto por adición y sustracción 5. x²-4 5ax+10a 8. 3y – 6x 2mx-my-2nx+ny xy 3x²y-3xy² 6. 3x²-4x -15 x²-5x+6 9. 8 - a³ a²+2a- 8 3. 2ax+4by 3ay+6by 7. x² - x – 12 16 - x² 10. 1. 2. 3ab 2a²x+2a³ a² + a – 2 -an-m+am 4. x²-2x -3 x -3 6 SIMPLIFICACION DE FRACCIONES ALGEBRAICAS .Recuperado: Octubre 15 de 2009. www.sectormatematica.cl ENTRESALTOS 20 1. 2. 3. 4. 5. 6. (a²+a+1)( a²-a+1) (m²+mn+n²)( m²-mn+n²) (x4+x²+2) (x4-x²+2) (a²+2ª+3)( a²-2ª+3) (a²+ab-b²)( a²-ab-b²) (a²+2a+3)( a²-2a+3) Factorizar una expresión que es el cubo de un binomio 1. 2. 3. 4. 5. 6. (a+1)³ (3-x)³ (m+n)³ (1-a)³ (2+a²)³ (5x+1)³ 41 ENTRESALTOS Institución de Educación Superior Institución de Educación Superior ENTRESALTOS ENTRESALTOS d. 3 + 6x2 2 2 e. 4x + 5y f. (x + y) + 10 g. 1 - x + x2 h. 16x2 - 12xy +9y2 i. 25a2 - 15ab + 9b2 8 4 5 10 j. 4a + 10a b + 25b k. 81x2 y4 + 72xy2 z3 + 64z6 Derivadas 1er. Nivel Factorización (guía de trabajo no. 1) Factorización por factor común 1. 35m²(n³-2m) 2. x³(1+x²-4) 3. 3ª(3ª-4b+5a²b²-8b³) 4. 8x²y(2xy-1-3x²y-5y²) 5. 31a²x(3axy-2x²y²-4) 6. (x-2)(3x-2y) 7. (1-x)(1+2ª) 8. Ab(3ª+6-5a²b+8ax+4bm) MATEMATICAS II Factorización por diferencia de cuadrados Derivadas 2do. Nivel 1. (ab4+c)(ab4-c) 2. (5xy²+11)(5xy²-11) 3. 7xy³z5+a6)(7x³z5-a6) 1 4. (2x n + 3 )(2x n Derivadas 3er. Nivel 1 ) 3 5. (3x+y)(x-y) 6. (a+2x+2)(a-2) ENTRESALTOS 40 7. (7a 5n + b 6n 9 8. (an b2n + 1 5 )(7a 5n ) (an b2n b 6n ) 9 1 5 ) 21 ENTRESALTOS Institución de Educación Superior Institución de Educación Superior ENTRESALTOS ENTRESALTOS Productos notables (guía de trabajo no. 1). DERIVADAS GUÍA DE TRABAJO No. 1. Derivadas de 1er Nivel Derivada de una constante 7 Derivada de una función potencial: Forma simple a. (x + 5)2 = x2 + 10x + 25 b. (xa+1 + yb-2 )2 = x2a+2 + 2xa+1yb-2 + y2b-4 Tipo nº 2 c. (8 - a)2 = 64 - 16a + a2 d. (3x -5y ) = 9x - 30x y + 25y e. (xa+1 - 4xa -2 )2 = x2a+2 - 8x2a-1 + 16x2a-4 f. (7x2 - 12y3)(7x2 + 12y3 ) = 49x4 - 144y6 g. (x + 4)3 = x3 + 12x2 + 48x + 64 h. (5x + 2y) = 125x + 150x y + 60xy + 8y f(x)=x 3 i. (2x2y + 4m)3 = 18x6 y3 + 48x4y2m + 96x2ym2 + 64m3 5 2 j. (1 - 4y)3 = 1 - 12y + 48y2 -64y3 k. (3a3 - 7xy4)3 l. (2x Tipo nº 1 x r = rx r-1 K =0 LA DERIVADA DE UNA CONSTANTE es cero. Ejercicio nº 1) Ejercicio nº 2) Ejercicio nº 3) Ejercicio nº 4) Ejercicio nº 5) Ejercicio nº 6) Ejercicio nº 7) Ejercicio nº 8) LA DERIVADA DE UNA FUNCIÓN POTENCIAL es igual al exponente por la variable elevado a una unidad menos. f(x)=7 Ejercicio nº 11) f(x)=-4 Ejercicio nº 12) f(x)=e f(x)= 5 f(x)= 4 f (x) 8 f (x) 3 5 f (x) Ejercicio nº 10) f (x) f (x) f(x)=x 6 Ejercicio nº 13) f(x)=x Ejercicio nº 14) f(x)=x -7 Ejercicio nº 15) f(x)=x Ejercicio nº 16) f(x)=x 1 7 5 Ejercicio nº 9) 1. Ejercicios 3 7 e4 37 -4 7 4 2 2 3 a+4 8 4 2 4 3 a-1 3 - 8y ) 2 2 3 27a9 - 189a6 xy4 + 441a3x2 y8 - 343x3 y12 3a+12 = 8x - 96x 2a+8 a-1 y a+4 3a-3 + 384x y m. (x + 5)(x + 3) = x2 + 8x + 15 n. (a + 9)(a - 6) = a2 + 3a - 54 o. (4ab2 + 6xy3)2 = 16a2 b4 + 48ab2xy3 + 36x 2y6 p. (y - 12)(y - 7) = y - 19y + 84 q. (4x3 + 15)(4x3 + 5) = 16x6 + 80x3 + 75 r. (5ya+1 + 4)(5ya+1 - 14) = 25y2a+2 - 50ya+1 - 56 s. (7a + b)2 = 49a2 + 14ab + b2 t. (5a + 10b)(5a - 10b) = 25a - 100b 3a-3 - 512y 2 2 2 2. Ejercicios a. a – 4 b. 5x - 7y 7 EJERCICIOS DE DERIVADAS I, II, III Y IV NIVEL. Recuperado: Diciembre 12 de 2009 ENTRESALTOS 22 c. 2a + 4xy2 39 ENTRESALTOS Institución de Educación Superior Institución de Educación Superior ENTRESALTOS ENTRESALTOS Reducción de términos semejantes (guía de trabajo no. 1). f (x) 1. a. a+b-c-b-c+2c-a=(a-a)+(b-b)+(-c+2c) a+b-c-b-c+2c-a=0+0+c Ø a+b-c-b-c+2c-a=c (agrupando por clases) (reduciendo) f (x) f (x) 1 x 1 x 5x-11y-9+20x-1-y=(5x+20x)+(-11y-y)+(-9-1) 5x-11y-9+20x-1-y=(25x)+(-12y)+(-10) Ø (5x+20x)+(-11y-y)+(-9-1)=25x-12y-10 (agrupando por clases) f (x) 3 2 f (x) 1 x 3 2 x 3 2 Ln(x) x Ejercicio nº 30) (reduciendo) f (x) 5 f (x) 5 x x4 (agrupando por clases) -81x+19y-30z+6y+80x+x-25y=(0)+(0)+(-30z) Ø (reduciendo) -81x+19y-30z+6y+80x+x-25y=-30z ex 15a 2 -6ab-8a 2 +20-5ab-31+a 2 -ab=(15a 2 -8a 2 +a 2)+(-6ab-5ab-ab)+(20-31) Ø 2 x x 1 x f (x) ln(x) ex x5 f (x) 4 x11 Ejercicio nº 31) 1 Derivada de una función exponencial con base distinta del número e: forma simple f (x) x 1 5 x ax f (x) e x ax ln(a) 1 f (x) f (x) ENTRESALTOS 7 3 4 (agrupando por clases) 15a -6ab-8a 2 +20-5ab-31+a 2 -ab=(16a 2 -8a 2 )+(-12ab)+(-11) (reduciendo) 15a 2 -6ab-8a 2 +20-5ab-31+a 2 -ab=8a 2 -12ab-11 x 7 f (x) f (x) d. 3 7 3 Derivada de una función exponencial con base e: forma simple -81x+19y-30z+6y+80x+x-25y=(-81x+80x+x)+(19y+6y-25y)+(-30z) c. f (x) 1 Derivada de una función logarítmica: Forma simple -4 1 x b. Ejercicio nº 29) 3 1 x3 Ejercicio nº 32) f (x) 9x 1 5 x2 23 ENTRESALTOS Institución de Educación Superior Institución de Educación Superior ENTRESALTOS ENTRESALTOS Cuadros mágicos (guía de trabajo no. 2). Ejercicio nº 32) Ejercicio nº 33) Ejercicio nº 34) Ejercicio nº 35) Ejercicio nº 36) f (x) f (x) 9x 2 f (x) () f (x) () f (x) 7 5 1 2 1. a. 1+2+3+4+5+6+7+8+9=45 x “Somos pensadores cuando pensamos positivamente y actuamos decididamente”. Anónimo x b. Intercalando los dígitos: c. x 0.25 x 6 1 8 8 1 6 7 5 3 3 5 7 2 9 4 4 9 2 4 9 2 2 9 4 3 5 7 7 5 3 8 1 6 6 1 8 Derivada de una función trigonométrica tipo seno sen(x) Ejercicio nº 37) f (x) cos(x) sen(x) Derivada de una función trigonométrica tipo coseno 2. cos(x) -sen(x) 10 10 11 8 Ejercicio nº 38) f (x) Derivada de una función trigonométrica tipo tangente: forma simple 10 ENTRESALTOS 24 7 2 9 15 cos(x) tg(x) 6 1 cos 2 (x) 4 5 14 1 15 12 3 16 13 37 ENTRESALTOS Institución de Educación Superior Institución de Educación Superior ENTRESALTOS ENTRESALTOS Respuestas Ejercicio nº 39) f (x) Derivada de una función trigonométrica tipo arco seno: forma simple Cuadros mágicos (guía de trabajo no. 1) 1. Suma 15 6 1 8 7 5 3 2 9 4 tg(x) arcsen(x) Ejercicio nº 40) f (x) 1 1-x 2 arc sen(x) Derivada de una función trigonométrica tipo arco tangente: forma simple 2. Suma 24. 12 8 4 5 10 9 7 6 11 arctg(x) Ejercicio nº 41) 3. L O S A O S A L S A L O A L O S 1 4 3 2 2 3 1 4 4 1 2 3 3 2 4 1 f (x) 1 1+x 2 arc tg(x) 4. ENTRESALTOS 36 25 ENTRESALTOS Institución de Educación Superior Institución de Educación Superior ENTRESALTOS ENTRESALTOS DERIVADAS Derivada de una función trigonométrica tipo arco seno GUÍA DETRABAJO No. 2. Derivadas de 2do Nivel Regla nº 1 kf kf LA DERIVADA DE UNA CONSTANTE POR UNA FUNCIÓN, es igual a la constante por la derivada de la función. Derivada de una función potencial: forma simple Ejercicio nº 1) f(x) 4x Ejercicio nº 5) f(x) 8x3 Ejercicio nº 2) f(x) -5x Ejercicio nº 6) f(x) 2x7 Ejercicio nº 3) f(x) 2 x 5 Ejercicio nº 7) Ejercicio nº 4) f(x) 2x Ejercicio nº 8) Ejercicio n° 42) f(x) (x+3)arc sen(x 2+2) Ejercicio n° 43) f(x) (x 2+4x+2)arc sen(x 4+3x 2+1) Ejercicio n° 44) f(x) (x 3+e2x +3)arc sen(3x 2 -2x +2) Ejercicio n° 45) f(x) (e 2x+4 3x+x+2)arc sen(3x 2 -4x +1) Ejercicio n° 46) f(x) (x 5-4x 2 +3x+2)arc sen(e2x +4 3x+2) 9 2 f(x) 5x 6 f(x) 3x POTENCIAS Sigue recordando: a b c c ab y c ENTRESALTOS 26 a b a b c 35 ENTRESALTOS Institución de Educación Superior Institución de Educación Superior ENTRESALTOS ENTRESALTOS f(x) 52 Ejercicio nº 11) f(x) 2 2 2 Ejercicio n° 28) f(x) Ejercicio n° 29) f(x) (4x + x + x -2 ) cos (x + 7x) Ejercicio n° 31) Ejercicio nº 12) f(x) 3 x Ejercicio nº 17) f(x) Ejercicio nº 13) f(x) -4 x Ejercicio nº 18) f(x) 4 3 f(x) 3 5 x Ejercicio nº 19) f(x) (-x + 2 x -3 ) cos (x -3e ) f(x) 3x (3x - 5 ) cos (4 x +2 ) 3 f(x) 2 5 x3 Ejercicio nº 15) f(x) Ejercicio n° 33) f(x) (x+2)tg(x +3x+1) Ejercicio n° 34) f(x) (x 5+x 3+2)tg(3x2+2x+1) Ejercicio n° 35) f(x) (x 2-3x +2e 4x)tg(x 3+4x 2+3x+1) 6 3x 2 (2x +3e +2)tg(x -2x +3) (x 2+1)arc tg(x 3+5) Ejercicio n° 38) f(x) (x3+4x 2-5)arc tg(6x 2+8) Ejercicio n° 39) f(x) (x 2+7x -2)arc tg(x 4+3x 2 +x-2) (x 4+e x+1)arc tg(3x2+x+5) f+g ENTRESALTOS 34 x5 4 Ejercicio nº 20) f(x) 5 Ejercicio nº 21) f(x) 3 x2 5 x8 3 2 2x (x +4x+3)arc tg(x +e +1) f +g LA DERIVADA DE UNA SUMA DE FUNCIONES, es igual a suma de las derivadas de las funciones 2 3 Ejercicio nº 22) f(x) x + x + x+ 5 2 3 Ejercicio nº 23) f(x) 5x +3 x + 6x + 5 Ejercicio nº 24) f(x) Ejercicio nº 25) f(x) x 3 + x2 + x 1 + 7 Ejercicio nº 26) f(x) x + 4x + 7x + 3 1 Ejercicio nº 27) f(x) Ejercicio nº 29) f(x) 2 5 8 3 1 x 3 + x 2+ 5x 3 4 2 -2 5 3 x 4 + x + 5x 5 -13 3 2 2 f(x) Ejercicio nº 28) 2 x3 + 3 x2 6x + 8 3 3 f(x) 3 Regla nº 2 f(x) Ejercicio n° 41) x 2 Ejercicio n° 37) f(x) 5 6 (4x 2-5)tg(x+7) Derivada de una función trigonométrica tipo arco tangente Ejercicio n° 40) x f(x) 4x Ejercicio n° 32) f(x) 3 2x 5 3 Ejercicio nº 14) Derivada de una función trigonométrica tipo tangente Ejercicio n° 36) f(x) 5 x 4 (4x + 3x+1) cos (3x - 5) Ejercicio n° 30) Ejercicio nº 16) (7x +12) cos (3x - 3) 6 7 x7 Derivada de una función trigonométrica tipo coseno Ejercicio n° 27) 3 5 5 4x + 6x 2 + 3x 2 + 3 27 ENTRESALTOS Institución de Educación Superior Institución de Educación Superior Regla nº 3 ENTRESALTOS fg f g+ f g LA DERIVADA DE UN PRODUCTO DE FUNCIONES es igual a la derivada de la primera función por la segunda función menos la primera función por la derivada de la segunda función f(x) Ejercicio nº 30) ENTRESALTOS 3 2 Ejercicio n° 13) f(x) e (-5x -4x -3x-8) Ejercicio n° 14) f(x) e 2 (x4+ 3 x 2+ 2 x + 6)3 4 5 2 2 (3x +3) (2 x + 1) 3 2 Ejercicio nº 31) f(x) (4x 6)(4 x + 4) Ejercicio nº 32) f(x) ( Ejercicio nº 33) f(x) (x + 5x + 6x ) (4x x 2 + 4x + 5)(4x 4 3 2 3) 2 5) (- 1 x 4+ 6x 4 + 7 x4 + 8x-3)5 7 3 Ejercicio n° 15) f(x) e Ejercicio n° 16) f(x) x 2e x5 Derivada de una función exponencial con base distinta del número e Regla nº 4 f g f g f g g2 LA DERIVADA DE UN COCIENTE DE FUNCIONES, es igual a la derivada de la función del numerador por la función del denominador menos la función del numerador por la derivada de la función del denominador, dividido todo ello por el denominador al cuadrado Ejercicio nº 34) f(x) 2x + 5 4 x2 + 7 f(x) Ejercicio nº 36) x 2 x4 6 f(x) 3 x3 4 x4 6 4 3 2 7 Ejercicio n° 18) f(x) 5 (2x +4x +3x +x+4) Ejercicio n° 19) f(x) 3 (2x +x +x +2x+3) Ejercicio n° 20) f(x) 6 (-3x +x +2) f(x) 5 4 6 -2 -6 3 -3 (- 2 x 5+ 4x 3 + 7 x-3) 6 9 5 2 3 x2 4 3 x2 2 x 3 Ejercicio nº 37) f(x) Ejercicio nº 38) x 2 x5 6 f(x) x4 x 3 28 2 4 (8x +5x +2x +x+4) Derivada de una función trigonométrica tipo seno 4 x3 5 x2 Ejercicio nº 35) ENTRESALTOS 3 f(x) Ejercicio n° 21) 3 4 Ejercicio n° 17) 3x 2 7 Ejercicio n° 22) f(x) (3x+4)sen(4x 2+5) Ejercicio n° 23) f(x) (3x 4+x+2)sen(x 2+4x-1) Ejercicio n° 24) f(x) (x 3-2e 2x)sen(3x 2+3e 4x) Ejercicio n° 25) f(x) (2x 5-3e 2x)sen(4x 3-5) Ejercicio n° 26) f(x) (6x 2+2 3x)sen(2x 5-3e x) 33 ENTRESALTOS Institución de Educación Superior ENTRESALTOS Institución de Educación Superior ENTRESALTOS DERIVADAS DERIVADAS GUÍA DE TRABAJO No. 4. Derivadas de 4to Nivel GUÍA DE TRABAJO No. 3. Derivadas de 3er Nivel Derivada de una función potencial Ejercicio no 1) f(x) (x 3+x 2+x+5)5 Recuerda En las fórmulas de las derivadas que aparecen a continuación, cuando ponemos la letra u lo que estamos representando es una función que depende de la variable x y que f(x) (2x 4-6x 2+ 7 x-3+5) 2 2 Ejercicio no 3) f(x) (8x + 2 x-1+7x-2+4)8 9 Ejercicio no 4) f(x) (4x 3+2x-2+3x-4)-5 Ejercicio no 5) f(x) (-3x 6+4x-1+3x -6 -3)-7 Ejercicio no 2) Ejercicio no 7) Ejercicio no 8) f(x) f(x) f(x) Ejercicio no 9) f(x) Ejercicio n° 10) f(x) u(x) Derivada de una función logarítmica: forma compuesta simple 3 Derivada de una función logarítmica Ejercicio no 6) realmente se Ln(4x3+x 2+3x+5) 6 Ln(3x 4-6x 2+ 7 x-4+6) 5 2 Ln(7x + 3 x-1+7x -2+3)7 8 Tipo nº 3 u u Ln(u) LA DERIVADA DEL LOGARITMO NEPERIANO DE UNA FUNCIÓN DE x es igual a la derivada de la función de x dividida entre dicha función Ejercicio nº 1) f(x) ln (2 x ) Ejercicio nº 2) f(x) ln Ejercicio nº 3) f(x) Ejercicio nº 4) f(x) ln (3 x ) ( ) ln ( ) 3x 4 5x 2 Ejercicio nº 5) f(x) 4ln(5x) Ejercicio nº 6) f(x) 3 ln (7x) 2 Ejercicio nº 7) f(x) -4 ln 2X 5 3 ( ) 3 Ln(5x3+3x -2+4x+4) -5 LOGARITMOS -2 4 Ln(-3x +8x +24x+6) -2 Recuerda de la ESO: Ln(a b ) = bLn(a) Derivada de una función exponencial con base el número e El LOGARITMO DE “a” ELEVADO A “b” es igual al exponente b multiplicado por el logaritmo de a Ejercicio n° 11) Ejercicio n° 12) ENTRESALTOS 32 f(x) f(x) 5 2 e (x +x +x+8) 4 2 3 e (2x -4x +7x+4) Ejercicio nº 8) f(x) ln(x 2) Ejercicio nº 9) f(x) ln(x -5) Ejercicio nº 10) f(x) 3ln(x4) 5 29 ENTRESALTOS Institución de Educación Superior Institución de Educación Superior ENTRESALTOS ENTRESALTOS Ejercicio nº 11) Ejercicio nº 12) Ejercicio nº 13) Ejercicio n° 14) f(x) f(x) f(x) f(x) 2 5 (x ) 7ln Ejercicio nº 17) 1 2 (x ) 6ln 4 ln 5 ln Ejercicio nº 16) Ejercicio nº 18) 2 3 (x ) Ejercicio nº 19) (x) Ejercicio nº 15) f(x) ln f(x) f(x) f(x) 3 Ejercicio nº 20) ( ) 3 x2 Ejercicio nº 21) ( ) 4ln ( x ) 3 ln 4 ( x ) 4ln ( 7x ) 2 ln 11 9x ) 7 ( f(x) ln f(x) 3 x5 4 5 2 x -2 Ejercicio nº 28) f(x) Ln(4x +3x - x +3e ) Ejercicio nº 29) f(x) (x+4)1n(3x+5) Ejercicio nº 30) f(x) (x3+x 2+ x+5)1n(5x 2-7) Ejercicio nº 31) f(x) (4x 5+2x 3+ x+1)1n(6x 5-x+8) Ejercicio nº 32) f(x) (-3x 2+10x-1)1n(x6+4x-5) Ejercicio nº 33) f(x) (x 7+7x 3+3x+1)1n(4x2-3x-1) 5 7 5 3 5 4 5 Derivada de una función exponencial con base e: Forma compuesta f(x) ln cos(x) Tipo nº 5 eu TRIGONOMETRÍA eu u Recuerda: cos(x) ctg(x)= sen(x) LA COTANGENTE DE UN ÁNGULO, es igual al coseno de dicho ángulo dividido entre el senodel mismo. LA DERIVADA DEL NÚMERO “e” ELEVADO A UNA FUNCIÓN DE x es igual al número “e” elevado a dicha función de x multiplicado por la derivada de dicha función Ejercicio nº 34) f(x) e2x Ejercicio nº 35) f(x) e7x Ejercicio nº 22) f(x) ln sen(x) Ejercicio nº 23) f(x) ln arc tg(x) Ejercicio nº 36) f(x) e-x Ejercicio nº 24) f(x) ln (-x3 + 15x2+ sen(x)) Ejercicio nº 37) f(x) e-4x Ejercicio nº 25) f(x) ln (3x 2+4x) Ejercicio n° 26) Ejercicio nº 27) ENTRESALTOS 30 2x 3 Ejercicio nº 38) f(x) e Ejercicio nº 39) f(x) 3e 4x f(x) ln (5x -2+4cos(x)) f(x) ln (3x 3 +x -4+ e x+1) 31 ENTRESALTOS