GOLPE DE ARIETE José Agüera Soriano 2012 1 GOLPE DE ARIETE CIERRE INSTANTÁNEO •Fundamento •Propagación de la onda •Valor del golpe de ariete. Fórmula de Allievi •Velocidad del sonido •Celeridad de la onda en tuberías •Oscilaciones de presión en la tubería CIERRE GRADUAL •Clasificación •Techo, o envolvente, de presiones en conducciones largas •Cálculo de la longitud crítica •Golpe de ariete en conducciones cortas •Tubería de característica variable CONDUCCIONES EN CENTRALES HIDROELÉCTRICAS José Agüera Soriano 2012 2 CIERRE INSTANTÁNEO Cuando se anula el caudal en una conducción, el flujo que circula aguas arriba choca bruscamente con el obturador (B) provocando un apiñamiento que se traduce en un aumento de presión, que se propaga por la tubería a una velocidad c. Aguas abajo, por el contrario, aparece un estiramiento que se traduce en una disminución de presión. Aunque la anulación nunca será instantánea, así lo vamos a considerar de momento a efectos de conceptos. José Agüera Soriano 2012 3 CIERRE INSTANTÁNEO LP (después) H = p / LP (antes) LP (antes) H A LP (después) V B(obturador) c c José Agüera Soriano 2012 C 4 CIERRE INSTANTÁNEO Propagación de la onda 1. a) fluido incompresible (no existe) b) tubería inelástica (difícil de conseguir) c= 2. a) fluido compresible (siempre) b) tubería inelástica c=a H =p/ V A 3. a) fluido compresible b) tubería elástica (es lo habitual) c<a F = S · p C L José Agüera Soriano 2012 B 5 CIERRE INSTANTÁNEO Fórmula de Allievi y/o de Joukowski Aparece en 1904 como máximo golpe de ariete posible, poniendo límite a la fórmula anteriormente usada de Micheaud (finales del siglo XIX). Cuando se anula el flujo en B, el fluido se va parando a la velocidad c, a la vez que sufre un aumento de presión, p (L en un tiempo t): F S p t L c H =p/ V A F = S · p m S L C L José Agüera Soriano 2012 B 6 CIERRE INSTANTÁNEO Al pasar de V a V ' menor (V ' < V): L F t m V ; S p S L V c V V V ' (cierre parcial) (cierre total) V V Para V = V más peligroso: H =p/ p c V V A c V H g F = S · p C L José Agüera Soriano 2012 B 7 Velocidad de sonido Sería la velocidad de la onda en una tubería inelástica: a = c. Trabajo de la fuerza F S p dx 2 La fuerza F que comprime la rodaja pasa de F = 0 en C, a F = S·p en C’: dW F dx dL dL dx dx F S a V C dW dx 2 Energía cinética que desaparece C' B 1 1 2 dm V S dL V 2 2 2 José Agüera Soriano 2012 8 Igualando ambas expresiones se obtiene: 1 1 S a V dx S dL V 2 2 2 dL dL dx dx V S dx variación de volumen módulo elasticdad K a S dL volumen inicial F aumento de presión p Sustituyendo de nuevo p: C C' dL dL dx dx V a V K ; a2 a K B F a K C José Agüera Soriano 2012 C' B 9 F Velocidad del sonido en el agua K = 2,03109 N/m2 (tabla 4): a 2,03 10 1425F m s 1000 K 9 C José Agüera Soriano 2012 dL dL dx dx F C' B 10 Celeridad de la onda en tuberías Al dilatarse la tubería, el fluido tarda más en pararse (la velocidad de la onda resulta menor). Haciendo intervenir la elasticidad K’ del material, llegaríamos a la fórmula de Joukowski: dL K c dx K D 1 K' e dL dx F K = módulo elasticidad fluido K´= módulo elasticidad material e = espesor tubería C C' C'' B Cuanto más elástico sea el material, menor será la celeridad. José Agüera Soriano 2012 11 Para el agua ( K 2,07 108 kgf/m 2 ) Allievi propuso: c 1425 2,07 10 D 1 K' e 8 1425 48,3 1010 D 48,3 K' e Llamando k al adimensional 1010/K‘(para distinguirlo de k cursiva de altura de rugosidad): c 9900 D 48,3 k e José Agüera Soriano 2012 12 Cuando hay dos materiales, K '2 e e1 e2 K '1 TABLA 13. Valores orientativos de k Hierro y acero Hormigón Hormigón armado Fundición Fibrocemento Poliester Plomo PVC k = 0,5 k=5 k5 k=1 k 5,4 (5 6) k = 6,6 k=5 k 33 (20 50) José Agüera Soriano 2012 13 EJERCICIO Calcúlese la velocidad de la onda en una tubería de 600 mm de diámetro, que tiene una capa de acero (K' = 21010 kgf/m2) de 1 mm de espesor y otra de hormigón (K' = 2109 kgf/m2) de 60 mm. Solución Espesor equivalente K '2 2 109 e e1 e2 1 60 7 mm 10 K '1 2 10 Velocidad de propagación c 9900 D 48,3 k e 9900 600 48,3 0,5 7 José Agüera Soriano 2012 1037 m s 14 CIERRE INSTANTÁNEO Oscilaciones de presión en la tubería Instante, t = 0 p H= h LP A V L B José Agüera Soriano 2012 15 CIERRE INSTANTÁNEO Instante, t = (L/2)/c En MB, el fluido está en reposo y comprimido, y la tubería dilatada. LP H En AM, el fluido sigue circulando. h A LP V p / M AM= M B = L/2 José Agüera Soriano 2012 V= 0 B 16 CIERRE INSTANTÁNEO Instante, t = L/c El fluido está en reposo y comprimido, y toda la tubería dilatada. LP H h A M V= p / 0 B José Agüera Soriano 2012 17 CIERRE INSTANTÁNEO Instante, t = (3L/2)/c Como si fuera un resorte, el fluido se descomprime y empieza a circular hacia el depósito. LP En AM el fluido circula en dirección al depósito, y la presión se ha normalizado. En MB el fluido sigue en reposo y comprimido, y la tubería dilatada. H LP h A V M V= José Agüera Soriano 2012 0 B 18 CIERRE INSTANTÁNEO Instante. t = 2L/c Todo el fluido circula hacia el depósito, y, como si fuera un émbolo, actuaría sobre la rodaja que pega a B de donde no puede separarse, provocando sobre ella un estiramiento o depresión (H). LP h _ H A M V B José Agüera Soriano 2012 19 Instante, t = (5L/2)/c CIERRE INSTANTÁNEO En MB el fluido está en reposo y contraído, y la tubería encogida. En AM el fluido circula hacia el depósito. LP h A _ H V M V= José Agüera Soriano 2012 0 B 20 CIERRE INSTANTÁNEO Instante, t = 3L/c El fluido está en reposo y deprimido, y toda la tubería contraída. h A _ H M LP V= 0 B José Agüera Soriano 2012 21 Instante, t = (7L/2)/c CIERRE INSTANTÁNEO En AM el fluido circula en dirección al obturador, y la presión se ha ido normalizando. En MB el fluido sigue en reposo y deprimido. h A LP _ H V M LP V= 0 José Agüera Soriano 2012 B 22 CIERRE INSTANTÁNEO Instante, t = 4L/c La misma situación del instante cero. Quiere decir que el fenómeno se repite cada 4L/c; aunque cada vez con menor intensidad a causa del rozamiento del flujo en su ir y venir. p H= h LP A V L B José Agüera Soriano 2012 23 CIERRE GRADUAL (T = tiempo de anulación de caudal) El cierre podrá ser rápido o rapidísimo, pero nunca instantáneo. Distinguiremos entre anulaciones de caudal rápidas y lentas, aunque me gusta más hablar de conducciones largas y cortas: 2L c T T cierre rápido : L conducción larga c 2 2L c T T cierre lento : L conducción corta c 2 T T p e rr cie ido p á r cie p rre ráp ido cierre instantáneo ·c ·V dp t=0 L c 2·L c t 0 José Agüera Soriano 2012 L/c 2·L / c t 24 En el cierre instantáneo, p aparece de golpe y se mantiene el tiempo 2L/c, que es lo que tarda la onda en ir y volver al obturador. En el cierre rápido, p aparece gradualmente hasta llegar al valor de Allievi ( ·c·V), y se mantiene hasta completar el tiempo 2L/c. T T p cie rr p e rá pid o cierre instantáneo e rr cie ido p á r ·c ·V dp t=0 L c 2·L c t 0 L/c 2·L / c t Variación de la presión en el obturador durante el tiempo 2L/T . José Agüera Soriano 2012 25 Conducciones largas Puede ocurrir que en el tiempo T de anulación del caudal, la primera pequeña onda que se forma en el obturador: 1. No ha recorrido la primera mitad : 2. Se encuentra en la segunda mitad: 3. En la primera mitad, ya de vuelta: 4. En la segunda mitad, ya de vuelta: 0 < T < (L/2)/c (L/2)/c < T < L/c L/c < T < (3L/2)/c (3L/2)/c < T < 2L/c Expliquemos el caso 2, y los otros tres se pondrán luego a modo de ejercicio. José Agüera Soriano 2012 26 tec ho Caso 2: el tiempo se acaba cuando la primera onda va por la segunda mitad (sección N). de presiones C' /c) L = t =( P L D' ) t = T c) ( 2 = LP ( t = L/ = LP A' h A N' C Lc M' B1 B" LP (antes d el golpe) B' N M L/2 D B L caso 2: B4 B3 B2 H H H H H dp dH = AM = MB = L/2 AC = C D = Lc AN = DB 1 L L <T< 2 c c José Agüera Soriano 2012 27 tec ho Cuando la primera onda llega a M, mitad de tubería, la LP sería B1M’A’. de presiones C' /c) L = t =( P L D' ) t = T c) ( 2 = LP ( t = L/ = LP A' h A N' C Lc M' B1 B" LP (antes d el golpe) B' N M L/2 D B L caso 2: B4 B3 B2 H H H H H dp dH = AM = MB = L/2 AC = C D = Lc AN = DB 1 L L <T< 2 c c José Agüera Soriano 2012 28 tec ho Cuando la primera onda llega a N, la última formada (se acabó el tiempo) sale de B: la LP sería B2N’A’. de presiones C' /c) L = t =( P L D' ) t = T c) ( 2 = LP ( t = L/ = LP A' h A N' C Lc M' B1 B" LP (antes d el golpe) B' N M L/2 D B L caso 2: B4 B3 B2 H H H H H dp dH = AM = MB = L/2 AC = C D = Lc AN = DB 1 L L <T< 2 c c José Agüera Soriano 2012 29 tec ho Cuando la primera onda llega a A, la última va por D: la LP sería B3D’A’. de presiones C' /c) L = t =( P L D' ) t = T c) ( 2 = LP ( t = L/ = LP A' h A N' C Lc M' B1 B" LP (antes d el golpe) B' N M L/2 D B L caso 2: B4 B3 B2 H H H H H dp dH = AM = MB = L/2 AC = C D = Lc AN = DB 1 L L <T< 2 c c José Agüera Soriano 2012 30 tec ho Cuando la primera onda regresa, se encuentra con la última en la sección C (Lc=longitud crítica): la LP sería B4C’A’ (techo de presiones). de presiones C' /c) L (t = = LP D' ) t = T c) ( 2 = LP ( t = L/ = LP A' h A N' C Lc M' B1 B" LP (antes d el golpe) B' N M L/2 D B L caso 2: B4 B3 B2 H H H H H dp dH = AM = MB = L/2 AC = C D = Lc AN = DB 1 L L <T< 2 c c José Agüera Soriano 2012 31 ho tec de presiones C' /c) L = t =( LP D' ) t = T c) ( 2 = LP ( t = L / = LP A' h A N' C Lc M' B1 B" H H H H H LP (antes d el golpe) B' N M L/2 D L caso 2: B4 B3 B2 B dp dH = AM = MB = L/2 AC = C D = L c AN = DB 1 L L <T< 2 c c Es el instante crítico, tc = (L + Lc)/c: •el fluido esta en reposo y comprimido; •no hay pérdida de carga y el punto B3 alcanza el límite B4; •la situación es la más peligrosa; •la línea B4C'A' es el techo de presiones en la tubería. José Agüera Soriano 2012 32 C' techo de presiones EJERCICIO LP ( t = L/ c ) c) L/ 2 = T ) = (t P (t LP L A' h H H B" H H H A Lc C B' D techo de presiones M N caso 1: 0 < T < C' 1 L 2 c AM =MB = L/2 AD = N B AC = C D = LC B nes caso 3: T) c) LP ( t = L/ 2 LP ( t = tec /c ) LP ( t = L A' h H B" H H H H A B' Lc M N caso 4: 3 L 2L <T< 2 c c AM= M B = L/2 NC = BC C ) t = L/2 c B " H H H H A B' Lc esio e pr ho d H = L/ c ) LP ( N C' = T) LP ( t A' h LP ( t L 3 L <T< c 2 c M C AM=M B = L/2 NC = BC B Cuanto más rápido, menor resulta Lc y más elevado el techo de presiones. B José Agüera Soriano 2012 33 Cálculo de la longitud crítica Tiempo primera onda hasta el instante crítico: L Lc tc c Tiempo última onda hasta el instante crítico: L Lc tc T c Restamos y despejamos Lc: T c Lc 2 si L > Lc: conducción larga si L < Lc: conducción corta si L = Lc: conducción crítica José Agüera Soriano 2012 34 Golpe de ariete en conducciones cortas Fórmula de Micheaud En un cierre lento, cuando la primera onda formada vuelve al obturador aún no se ha anulado del todo el caudal. Los previsibles aumentos de presión hasta alcanzar el valor de Allievi se van compensando con las ondas que están de regreso; en consecuencia, la presión p en el obturador ya no aumenta más. p M' Por semejanza de triángulos: o id p rá MN ON M' N' ON' 2L c p c V T M o lent 0 p = ·c ·V p N 2 L/c L/c N' tiempos T < 2 L/c T > 2 L /c José Agüera Soriano 2012 35 2L c p c V T p M' do pi á r L V p 2 T L V H 2 g T M o lent 0 p = ·c ·V p N 2 L/c L/c N' tiempos T < 2 L/c T > 2 L /c En una conducción corta (L < Lc), p aumenta con L y con V y disminuye con T. Es obvio que Micheaud llegó a su fórmula de otra manera, pues aún no existía la fórmula de Allievi. José Agüera Soriano 2012 36 Fórmula de Jouguet Partiendo de otras hipótesis Jouguet llegó a la expresión: L V H mitad que la de Micheaud g T En la realidad L V H k g T H D AU E E RR CH A P MI S UET JOUG en la que 1 < k < 2. H = 2 L ·V g ·T L ·V H = k g ·T L ·V H = g ·T L 0 L < Lc L = Lc José Agüera Soriano 2012 37 Los investigadores franceses Camichel, Eydoux y Gariel, después de más de 3000 experiencias, concluyen que en todo cierre lento siempre existe una maniobra que origina el golpe de ariete que da la fórmula de Micheaud, por lo que será ésta la que hay que aplicar en un cierre lento. El español Enrique Mendiluce (del que más adelante haremos una mención más señalada), en su afán de poner en manos de los técnicos métodos sencillos de cálculo, también sostiene este criterio aún entendiendo que puede resultar conservador. José Agüera Soriano 2012 38 EJERCICIO Calcúlese el golpe de ariete en una conducción de acero de 4000 m de longitud, 1 m de diámetro y 9 mm de espesor (Q = 1,5 m3/s y T = 3 s). Solución Celeridad de la onda c 9900 D 48,3 k e 9900 1000 48,3 0,5 9 970 m s Longitud crítica T c 3 970 Lc 1455 m 4000 m L (conducción larga) 2 2 José Agüera Soriano 2012 39 Velocidad media C' Q 1,5 V 1,9 m s 2 S 0,5 c V 970 1,9 H 188 m g 9,81 es n io s o ch d re p e 188 m te plano de carga A' Golpe de ariete B' A Lc C B Por la fórmula de Micheaud, antes de aparecer la de Allievi, se hubiera considerado: L V 4000 1,9 H 2 2 516,5 m g T 9,81 3 muy supervalorado José Agüera Soriano 2012 40 EJERCICIO Calcúlese el golpe de ariete en una conducción de hormigón armado, de 400 m de longitud, 2,8 m de diámetro y 0,4 m de espesor (Q = 40 m3/s y T = 6 s). Solución Celeridad de la onda c 9900 48,3 k D e 9900 48,3 5 2,8 0,4 1084 m s Longitud crítica Lc T c 6 1084 3252 m 400 m L (conducción corta) 2 2 José Agüera Soriano 2012 41 Velocidad media B' Q 40 V 6,5 m s 2 S 1,4 s re p e d o ech 88,4 m t A' Golpe de ariete s e n io plano de carga A L= L V 400 6,5 H 2 2 88,4 m g T 9,8 6 José Agüera Soriano 2012 400 m B 42 Tubería de característica variable Poniéndonos al lado de la seguridad, tomaríamos el menor valor de c para calcular la longitud crítica Lc , con lo que tendríamos el techo de presiones más desfavorable: T c Lc 2 Y tomaríamos el mayor valor de c para calcular el golpe de ariete: p c V Como velocidad media V tomaríamos el valor mayor. José Agüera Soriano 2012 43 Un procedimiento habitual es considerar valores medios: Velocidad media de la onda L L1 L2 L3 ... c c1 c 2 c3 L c ( Li ci ) Valor medio de la velocidad del flujo L V ( Li Vi ) ( Li Vi ) V L José Agüera Soriano 2012 44 GOLPE DE ARIETE CENTRALES HIDROELÉCTRICAS Una chimenea de equilibrio, con el mínimo desnivel respecto el embalse para que no resulte muy alta, y lo más cerca de la turbina (máxima pendiente), origina que el golpe de ariete en la tubería que va a la turbina resulte menor, y que la conducción que va al embalse quede prácticamente protegida. embalse Hr chimenea de equilibrio H H' turbina José Agüera Soriano 2012 45 José Agüera Soriano 2012 46 José Agüera Soriano 2012 47 José Agüera Soriano 2012 48 José Agüera Soriano 2012 49