FS 3411, Física Moderna 1, Problemario III Prof. Estrella Laredo y Alfredo Bello RELATIVIDAD ESPECIAL Física Moderna I FS 3411 Problemario propuesto por: Estrella Abecassis de Laredo Alfredo Bello Septiembre 2002 FS 3411, Física Moderna 1, Problemario III Prof. Estrella Laredo y Alfredo Bello Introducción El curso de Física Moderna I es el primer contacto con la física relativista y cuántica que los estudiantes de la licenciatura en física tienen. El curso comprende como se ve en el programa oficial adjunto, una introducción a la relatividad especial y la parte de física moderna con una introducción importante sobre los experimentos que llevaron a sentar las bases de la física actual y los modelos que se propusieron para explicar estos experimentos. Después se entra a una parte más detallada y formal de Mecánica cuántica en la cual se explica el formalismo de Schrödinger y se aplica a átomos hidrogenoides para pasar luego a átomos complejos y a rudimentos de moléculas. Se adoptará el desarrollo histórico de esta fascinante etapa de descubrimientos en física que llevó a abandonar conceptos y creencias que habían sido firmemente afianzados en el Siglo XIX. El principio del siglo XX fue una época sumamente fértil para la generación de ideas, y los gigantes que fueron los protagonistas de esa revolución aún son hoy día admirados y respetados. La teoría especial de la relatividad propuesta por Albert Einstein en 1905 modifica las transformaciones galileanas para pasar de un referencial a otro que se desplaza a velocidad constante con relación al primero. A partir de los postulados de Einstein se demuestra que el éter no existe, confirmado experimentalmente por el experimento de interferometría óptica de Michelson y Morley. Se expondrán las transformaciones de Lorentz, la ley de composición de velocidades, dilatación del tiempo, concepto de simultaneidad. El concepto de masa en movimiento y masa en reposo será expuesto así como el de momentum relativista. La energía total de una partícula en mecánica relativista será deducida y también la equivalencia masaenergía. Este problemario cubre el tema 1 del Programa de FS3411, hemos tratado de agrupar los problemas más representativos de cada tema y hemos indicado las respuestas. Es nuestro consejo que traten de resolver estos problemas a medida que se va viendo la teoría para que al resolverlos en clase se den cuenta de cuales eran las dificultades o los errores que cometieron. Créannos, este es el curso más fascinante de física que van Uds. a ver. Suerte y dedicación. FS 3411, Física Moderna 1, Problemario III Prof. Estrella Laredo y Alfredo Bello Objetivos Entre los objetivos de este curso, y por ende de este problemario, que cubre los temas de Relatividad especial están los siguientes: 1) Entender el concepto del éter. 2) Entender como el experimento de Michelson Morley demostró la inexistencia del éter 3) Conocer los postulados de Einstein y sus consecuencias más importantes. 4) Saber explicar la dilatación del tiempo y la contracción de longitudes en sistemas inerciales distintos 5) Poder explicar el concepto de simultaneidad 6) Saber aplicar las transformaciones de Lorentz 7) Saber usar la ley de composición de velocidades 8) Entender la paradoja de los gemelos. 9) Saber aplicar la expresión del momentum relativista 10) Saber aplicar la expresión de la energía relativista 11) Poder calcular energías cinéticas de partículas relativistas 12) Poder resolver choques entre partículas 13) Entender los conceptos de la equivalencia masa energía 14) Poder encontrar la energía de enlace de un sistema ligado Estos objetivos están cubiertos por la serie de problemas propuestos a continuación sobre estos temas. Se ha tratado de proponer problemas de dificultades crecientes que ilustran los diferentes temas tratados en las clases teóricas. Muchos de estos problemas son problemas de examen en algún trimestre en el cual hemos dictado este curso. Esperamos que este problemario les ayude en el proceso de aprendizaje. FS 3411, Física Moderna 1, Problemario III Prof. Estrella Laredo y Alfredo Bello Unidades Temáticas del Programa de FS-3411 Cubiertas por este Problemario: 1.Teoría de la Relatividad Especial Transformaciones Galileanas Postulados de Einstein Simultaneidad Experimento de Michelson-Morley Transformaciones de Lorentz Masa relativista Momentum relativista Energía relativista Equivalencia masa-energía FS 3411, Física Moderna 1, Problemario III Prof. Estrella Laredo y Alfredo Bello Guía Nº 1 : Relatividad Especial 1.1.- El malvado de la película ha maquinado un plan diabólico para aniquilar al héroe, hace caer una lluvia venenosa sobre el héroe que bien prevenido posee un paraguas especial. La lluvia cae con velocidad de 20 m/s ¿A qué ángulo deberá mantener el paraguas para no sucumbir a la lluvia venenosa mientras corre a 18 km/h para escapar del peligro? Respuesta: θ = 14.0º 1.2.- En un experimento de Michelson-Morley para medir el viento de éter el interferómetro forma un ángulo θ con la vertical. Si los brazos tienen misma longitud, L, deduzca que la diferencia de tiempo entre ambos caminos será L v2 2 aproximadamente ∆t = 3 1 + 2 v cos ( 2θ ) . θ c c Fuente Ojo 1.3.- Dos cohetes se acercan: a) Si la velocidad de cada uno de ellos es 0.9c con relación a la tierra, ¿cuál es la velocidad de uno con relación al otro? b) Si la velocidad de cada uno de ellos es 30000 m/s con relación a la tierra, ¿cuál es la velocidad de uno con relación al otro? c) En este último caso ¿qué error relativo se comete al usar mecánica clásica? Respuestas: a) 0.994c b) 2 × 10−4 c c) 10-6 % 1.4.- Los Mirages alcanzan velocidades de 3x10-6 c: a) Calcule la contracción porcentual que Ud. Desde la tierra observará en su longitud. b) Cuando en su reloj haya transcurrido un año ¿cuánto habrá transcurrido en el reloj del piloto? Respuestas: a) −4.5 × 10−10 % b) 1 − 4.5 × 10−12 años FS 3411, Física Moderna 1, Problemario III Prof. Estrella Laredo y Alfredo Bello 1.5.- Un profesor está examinando a un estudiante y el tiempo fijado es de una hora en el reloj del profesor. En cuanto empieza el examen el profesor se aleja a v = 0.97c . Para señalar el fin del examen el profesor lanza un destello luminoso. ¿Cuánto tiempo habrá pasado en el reloj del estudiante entre el inicio y el fin del examen? Respuesta: 8.1 horas 1.6.- Dos gemelos astronautas vuelan con destino a dos planetas distintos distantes de la tierra de d1 y d2. Ellos quieren escoger sus velocidades de vuelo de tal manera que al volver a la tierra no presenten diferencia de edad. Encuentre la relación entre v1 y v2 que se debe cumplir. v d Respuesta: 2 = 1 v1 d 2 1.7.- Una vara se encuentra en reposo en un sistema S y tiene longitud L0 y está inclinada un ángulo θ con respecto al eje x. Encuentre su longitud L' y el ángulo de inclinación α’ con respecto al eje x’ según los mediría un observador en un sistema S’ que se moviese a una velocidad v, paralela a x, con respecto a S. ( Respuesta: L′ = L0 1 − β 2 cos2 α ) 12 , tan α ′ = γ tan α 1.8.- T desde la tierra manda una señal cada 6 minutos a P que está en un planeta. N esta montado en una nave que viaja de la tierra al planeta a una velocidad de 0.6 c con respecto a la tierra. a) ¿A qué intervalo recibe P las señales de T ? b) ¿A qué intervalo recibe N las señales de T ? Respuestas: a) 6 min. b) 12 min. FS 3411, Física Moderna 1, Problemario III Prof. Estrella Laredo y Alfredo Bello 1.9.- A las 12 del mediodía un trasbordador pasa frente a la tierra con una velocidad 0.8c. Los observadores de la nave y los de la tierra están de acuerdo en que son las 12:00. a) A las 12:30 según el astronauta la nave pasa delante de una estación planetaria fija con relación a la tierra. ¿Qué hora es en la estación? b) ¿A qué distancia de la tierra en coordenadas terrestres se encuentra la estación? c) A las 12:30 según el astronauta se establece comunicación con la tierra desde la nave. ¿A qué hora según el terrícola se recibe esta señal? d) La Tierra contesta inmediatamente ¿cuándo recibirá el astronauta la repuesta según su reloj? Respuestas: a) 12:50 b) 7.2 × 1011 m c) 13:30 d) 16:30 1.10.- La ecuación para un pulso esférico de luz que sale del origen en t = t ′ = 0 es x 2 + y 2 + z 2 − c 2t 2 = 0 Muestre a partir de las transformaciones de Lorentz, que un observador O’ en S’ que se mueve a velocidad v (paralela a x) con relación a S, también medirá un pulso esférico de misma velocidad. FS 3411, Física Moderna 1, Problemario III Prof. Estrella Laredo y Alfredo Bello Guía Nº 2: Relatividad Especial, Dinámica 2.1.- Dos neutrones A y B se acercan a lo largo de una trayectoria lineal. Cada uno posee una velocidad constante βc medida desde el laboratorio. Demuestre que la energía total del neutrón B observada en el sistema en 2 2 1+ β reposo del neutrón A está dada por mc 2 1− β 2.2.- Dos partículas relativistas idénticas coliden elásticamente. Una de ellas estaba en reposo y la otra tenía un momentum p. Si las velocidades finales tienen igual magnitud ¿qué ángulo α formarían las velocidades finales? Compárelo con la predicción clásica. 1 2 K + 2mc π Respuesta: cos α = 1i , Predicción clásica 2α = 2 2 K1i + 4mc 2 2.3.- Pruebe que una partícula aislada en el vacío no puede emitir un fotón (masa en reposo nula y momentum p = E c ). Respuesta: Se obtienen dos ecuaciones incompatibles 2.4.- Encuentre la velocidad y el momentum de un protón cuya energía cinética Ek es igual a su energía en reposo, E0 . Respuesta: p = mc 3 ; v = 3 4 c 2.5.- Derive la expresión para el radio de la órbita que describe la partícula relativista de masa en reposo m, carga q, energía cinética Ek , en un campo magnético B uniforme y de dirección perpendicular al plano de la órbita. 2 1 Respuesta: R = Ek + mc 2 − m 2 c 4 9β c ( ) FS 3411, Física Moderna 1, Problemario III Prof. Estrella Laredo y Alfredo Bello 2.6.- Sean 2 partículas idénticas de masa en reposo m, energía cinética Ek y velocidad v’ en S’, que chocan y se quedan pegadas formando una partícula de masa M. S se mueve con relación a S’ hacia la izquierda con velocidad v (v = v’) paralelamente al eje x. a) Describa la colisión en S. b) Demuestre que en ambos sistemas S y S’ la energía total se conserva. c) Demuestre que la masa relativista también se conserva en ambos sistemas. 2.7.- La energía requerida para sacar un neutrón de un núcleo de He4 es de 21.6 MeV. ¿Qué error porcentual se comete si se toma para la masa del He4 la masa del He3 más la de un neutrón? Respuesta: 0.57% 2.8.- La tierra recibe energía proveniente del sol a razón de 1.345x103 watts/m2. ¿Cuál es la razón a la cual el sol pierde su masa en reposo por segundo y por año debido a su radiación Respuesta: 2.18 × 10−21 / s, 6.87 × 10-14 / año 2.9.- En un condensador un electrón inicialmente en reposo en una de las placas se separa de esta y se mueve hacia la otra distante de 1m bajo la influencia de la diferencia de potencial entre placas que es de 107 V. Calcule el tiempo que tarda el electrón en alcanzar la otra placa. Respuesta: t = 3.49 × 10−9 s 2.10.- Encuentre la energía a) de un protón y b)de un electrón para las cuales la aproximación clásica es correcta con un 5% de error. Respuestas: a) 31.27 MeV b) 17.03 keV 2.11.- Muestre que para pc E0 la energía cinética Ek se puede escribir a) p 2 2m − p 2 c 4 8E03 b) p 2 2m − Ek2 2 E0 FS 3411, Física Moderna 1, Problemario III Prof. Estrella Laredo y Alfredo Bello 2.12.- Un mesón K 0 K0 en reposo decae en 2 mesones π0 ( M K = 498 MeV/c2, 0 2 M π = 135 MeV/c ) 0 a) ¿Cuáles son las energías cinéticas de cada π0? b) ¿Cuáles son las velocidades de cada π0? c) ¿Cuáles son los momenta de cada π0? Respuestas: a) 114 MeV b) 0.84c c) 209.1 MeV/c 2.13.- Pruebe que el trabajo que ejerce la fuerza resultante F que actúa sobre una partícula de masa m, al desplazarla de dr, es igual al cambio de energía 2.14.- Dos partículas, m1 y m2, chocan de frente elásticamente. Las velocidades antes del choque son u1 y u2 (u2 = 0). Encuentre la velocidad de la partícula 1 después del choque, u1′ . Respuesta: u1′ = (m 2 1 ) − m22 u1 u12 m + m + 2m1m2 1 − 2 c 2 1 2 2 FS 3411, Física Moderna 1, Problemario III Prof. Estrella Laredo y Alfredo Bello Bibliografía 1) P. Tipler, Física Moderna, Reverté 1985 2) P. Tipler, Foundations of Modern Physics, Worth 1978 3) P. Tipler, R. A. Llewellyn, Modern Physics, Freeman 1999 4) E. Anderson, Modern Physics and Quantum Mechanics, Saunders 5) R. Eisberg and R. Resnick, Quantum Physics of Atoms, Molecules, Solids, Nuclei and Particles, Wiley 1974