SOLUCION EJERCICIOS EP-5 1.- |- (p → q) ^ (q → r) → (p → r) ┌1. (p → q) ^ (q → r) H.A. │2. p → q E^(1) │3. q → r E^(1) │┌4. p H.A. ││5. q E→(2,4) │└6. r E→(3,5) └7. p → r I→(2-6) 8. (p → q) ^ (q → r) → (p → r) I→(1-7) Q.E.D. 2.- ¬(p ^ h) |- p → (h → q) 1. ¬(p ^ h) 2. ¬p v ¬h ┌3. p │4. ¬h │5. ¬h v q └6. h → q 7. p → (h → q) F.I. DM1(1) H.A SD(2,3) Iv1(4) DI1(5) I→(3-6) Q.E.D. 3.- |- p v (q ^ r) → (p v q) ^ (p v r) ┌1. p v (q ^ r) H.A. │┌2. p H.A. ││3. p v q Iv1(2) ││4. p v r Iv1(2) │└5. (p v q) ^ (p v r) I^(3,4) │┌6. q ^ r H.A. ││7. q E^(6) ││8. r E^(6) ││9. p v q Iv2(7) ││10. p v r Iv2(8) │└11. (p v q) ^ (p v r) I^(9,10) └12. (p v q) ^ (p v r) Ev(1, 2-5, 6-11) 13. p v (q ^ r) → (p v q) ^ (p v r) I→(1-12) Q.E.D. 4.- |- p → (q → p) ┌1. p │2. ¬q v p └3. q → p 4. p → (q → p) 1 H.A. Iv2(1) DI1(2) I→(1-3) Q.E.D. 5.- {p , p → q v r, q → s , r v t → h}|- s v (r ^ h) 1. p F.I. . 2. p → q v r F.I. . 3. q → s F.I. . 4. r v t → h F.I. ┌ 5.¬(s v (r ^ h)) H.A │6. ¬s ^ ¬(r ^ h) DM2(5) │ 7. ¬s E^(6) │ 8. ¬(r ^ h) E^(6) │ 9. ¬ r v ¬h DM1(8) │ 10. ¬q MT (3,7) │ 11. q v r I →(1,2) │ 12. r SD (10,11) │ 13. ¬h SD (9,12) │ 14. ¬(r v t) MT (4,13) │ 15. ¬r ^ ¬t DM2(14) │ 16. ¬r E^(15) │ 17. ¬t E^(15) └ 18. r ^ ¬r I ^(12,16) 19 ¬¬(s v (r ^ h)) I¬(5,18) 20. s v (r ^ h) E¬ (19) Q.E.D. 6.- ¬(p v q) |- ¬p ^ ¬q 1. ¬(p v q) ┌2. p │3. p v q └4. (p v q) ^ ¬(p v q) 5. ¬p ┌6. q │7. p v q └8. (p v q) ^ ¬(p v q) 6. ¬q 7. ¬p ^ ¬q F.I. H.A. Iv1(2) I^(1,3) I¬(2,4) H.A. Iv2(2) I^(1,7) I¬(6,8) I^(5,6) Q.E.D. 7.- |- (p → (q v r → s)) → (q → (¬s → ¬p)) ┌1. (p → (q v r → s)) H.A. │┌2. ¬(q → (¬s → ¬p)) H.A. ││3. q ^ ¬(¬s → ¬p) DI2(2) ││4. q E^(3) ││5. ¬(¬s → ¬p) E^(3) ││6. ¬s ^ ¬¬p DI2(5) ││7. ¬s E^(6) ││8. ¬¬p E^(6) ││9. p E¬(8) ││10. q v r → s E→(1,9)MP ││11. ¬(q v r) MT(10,7) ││12. ¬q ^ ¬r DM1(11) ││13. ¬q E^(12) 2 ││14. ¬r │└15 q ^ ¬q └16 (q → (¬s → ¬p)) E^(12) I^(4,13) E¬(2,15) Q.E.D. 8.- {p → (q → r) , r → (t → s) , ¬s}|- p → (q → ¬t) 1. p → (q → r) F.I. 2. r → (t → s) F.I 3. ¬s F.I. ┌4. p H.A. │5. q → r E→(1,4) │6. ¬q v r DI1(5) │┌7. ¬q H.A. │└8. ¬q v ¬t Iv1(7) │┌9. r H.A. ││10. (t → s) E→(2,9) ││11. ¬t v s DI1(10) ││12. ¬t SD(11,3) │└13. ¬q v ¬t Iv(12) │14. ¬q v ¬t Ev(6, 7-8, 9-13) └15. q → ¬t DI1(14) 16. p → (q → ¬t) I→(4,15) Q.E.D. (sin MT) 9.- {p , (q v s) → ¬p} |- p ^ ¬(¬q → s) (pistas: MT , DI) 1. p F.I F.I 2. (q v s) → ¬p 3. ¬¬p IDN(1) 4. ¬(q v s) MT(2,3) 5. ¬q ^ ¬s DM2(4) 6.¬(¬q → s) DI2(5) 7. p ^ ¬(¬q → s) I^(1,7) Q.E.D. 10.- {p v ¬q → r , q → (¬p → r)} |- r (pista: PTE) 1. p v ¬q → r F.I. 2. q → (¬p → r) F.I. 3. p v ¬p PTE ┌4. p H.A. │5. p v ¬q Iv1(4) └6. r E→(1,6) ┌7. ¬p H.A. │8. ¬q v (¬p → r) DI1(2) │┌9. ¬q H.A. ││10. p v ¬q Iv2(9) │└11. r E→(1,10) │┌12. ¬p → r H.A. │└13. r E→(7,12) └14. r Ev(8, 9-11, 12-13) 15. r Ev(3, 4-6, 7-14) Q.E.D. 3 11.- {p → (q ^ r → t) , q ^ t → ¬r }|- p → (q → ¬r) (pistas: MT, DM, SD) 1 .p → (q ^ r → t) F.I. 2. q ^ t → ¬r F.I. ┌3. p H.A. │4. q ^ r → t E→(1,3) MP │5. ¬(q ^ r) v t DI1(4) │┌6. ¬(q ^ r) H.A. ││7. ¬q v ¬r DM1(6) │└8. q → ¬r DI1(7) │┌9. t H.A. ││10. ¬(q ^ t) v ¬r DI1(2) ││┌11. ¬(q ^ t) H.A. │││12. ¬q v ¬t DM1(11) │││13. ¬q SD(9,12) │││14. ¬q v ¬r Iv1(13) ││└15. q → ¬r DI1(14) ││┌16. ¬r H.A. │││17. ¬q v ¬r Iv2(16) ││└18. q → ¬r DI1(17) │└19. q → ¬r Ev(10, 11-15,16-18) └20. q → ¬r Ev(5, 6-8, 9-19) I→(3,20) Q.E.D. 21. p → (q → ¬r) 12.- {(r ^ t) v q , p → (r → ¬q) , ¬r → ¬p }|- p → r ^ t (reglas derivadas) 1. (r ^ t) v q F.I. 2. p → (r → ¬q) F.I. F.I. 3. ¬r → ¬p ┌4. p H.A. │5. r → ¬q E→(2,4) │6. ¬¬r MT(3,4) │7. r E¬(6) │8. ¬q E→(5,7) └9. r ^ t SD(1,8) 10. p → r ^ t I→(4,9) Q.E.D. 4