La estructura y cinemática de la Vía Láctea

La estructura y cinemática de la Vía Láctea
Estructura de la Vía Láctea
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La imagen que sigue presenta la vista que tenemos de la Vía Láctea en la
banda del óptico.
Esta ha sido nuestra visión de nuestra galaxia hasta fechas recientes. Las
primeras imágenes completas de la Vía Láctea en el infrarrojo se obtuvieron
apenas en los años 1980s, iniciando con el satélite IRAS.
Desde entonces, varios proyectos han entregado mapas completos del cielo
en el infrarrojo, con cada vez más detalle.
Las imágenes en el infrarrojo, particularmente en el infrarrojo cercano, son
esenciales, porque la gran mayoría de las estrellas de la galaxia son débiles
y fríos así que se ven con mejor contraste en el infrarrojo cercano. En el
óptico, una pequeña fracción de estrellas dominan la luz emitida y esta luz es
fuertemente extinguida por el polvo. En el infrarrojo mediano y lejano, así
como en el radio, el medio interestelar domina. Entonces, es solamente en el
infrarrojo cercano donde optimizamos nuestra visión de las estrellas más
comunes en la Vía Láctea.
La imagen que sigue es la imagen compuesta en el infrarrojo cercano de la
luz difusa resultante del satélite COBE.
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En el infrarrojo, se ve mucho más claramente que la Vía Láctea está
compuesta principalmente de un disco con una aglomeración central de
estrellas.
El disco
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Contiene gas y estrellas.
Se infiere (porque no es factible observarlo directamente) que el disco tiene
una distribución de luz que cae exponencialmente con el radio, como
observamos en otras galaxias
I (r ) = I 0 exp(r r0 )
donde r0 es la escala de brillo del disco. Según distintos análisis, la escala
de brillo del disco es del orden de 2.5 a 3.0 kpc.
!
El bulbo
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Los estudios clásicos encontraron que el bulbo tiene una escala exponencial
del orden de 400 pc.
También encontraron que no es esférico, sino aplastado con una
excentricidad de aproximadamente 0.3.
Clásicamente, se considera que el bulbo está compuesto únicamente de
estrellas. Este concepto está influida por la visión clásica de las galaxias
elípticas, a las cuales los bulbos de galaxias espirales se parecen.
En la práctica, el centro de una galaxia espiral es complicado, porque se trata
de al menos la combinación de un esferoide de estrellas y un disco de gas y
estrellas. Nuestra Vía Láctea no es distinta en este sentido. En el caso de la
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Vía Láctea, ahora conocemos que también hay una barra estelar, un cúmulo
nuclear y un disco central.
Desafortunadamente, nuestro punto de vista, desde radios intermedios del
disco, no es nada óptimo para desenmarañar todas estas estructuras y
entender fácilmente las relaciones entre ellas.
El halo
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El halo es una estructura difusa que se conoce desde los estudios de los
cúmulos globulares por Shapley.
Su extensión es de 25-40 kpc, aunque la mayoría de su masa está se
encuentra interior a la órbita del Sol. Su masa representa del orden de 10-4
de la masa total de la Vía Láctea.
Hoy en día, parece claro que el halo no es una extensión del Bulbo, sino una
estructura diferente.
La barra
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Los primeros indicios de que hubiera una barra en el Bulbo vinieron de los
perfiles de brillo de superficie de las imágenes de COBE, que se ven a
continuación.
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La gráfica anterior demuestra que los contornos de brillo son algo asimétricas
con respecto al centro de la galaxia. Si se hace el cociente de brillos,
dividiendo el brillo en (l, b) por el brillo en (-l, -b), se obtiene el patrón que
sigue, que, efectivamente, indica que existe una asimetría clara de un exceso
de luz en longitudes galácticas positivas.
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Podemos entender porque sucede este patrón si estamos viendo una barra
con la geometría que indica la siguiente gráfica.
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Las dos líneas indican longitudes de onda galácticas iguales, pero de signo
distinto. La línea de vista a longitudes galácticas positivas (la de abajo) pasa
más cercano al centro de la barra (aunque a distancia igual del centro de la
galaxia) que la línea de vista a longitudes galácticas negativas.
Sin embargo, esos estudios no fueron enteramente concluyentes dados que
otras interpretaciones eran factibles.
El mapeo del cielo norte por 2MASS produjo un catálogo fotométrico para
cientos de miles de estrellas hacia el Bulbo. Para ciertas de estas estrellas,
es factible asignar una luminosidad absoluta sin conocer su distancia. En
este caso, dada una magnitud aparente, se deduce la distancia.
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Las estrellas del “red clump” representan uno de estos casos. La gráfica
anterior compara los diagramas HR de la vecindad solar y de un cúmulo
globular (Figs. 3.5 y 6.2 en Galactic Astronomy, Binney & Merrifield). El red
clump es lo que queda de la rama horizontal a alta metalicidad. Por lo tanto,
estas estrellas tienen una magnitud absoluta bien definida, variaciones en la
cual se traducen directamente a variaciones en distancia.
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La gráfica anterior presenta histogramas de la luminosidad de las estrellas
del red clump en tres campos hacia el Bulbo: MM5 (l = -4.96º), BW (l ~ +1º) y
MM7 (l ~ +5.5º) de Stanek et al. (1994, ApJL, 429, 73).
Se ve un cambio claro de la magnitud con la longitud galáctica, lo cual indica
que las estrellas están a distancias diferentes. Dado que son las estrellas en
el campo a l = -4.96º que son las más débiles, son las más distantes. Notar
que la magnitud utilizada es construida para no tener sensibilidad al
enrojecimiento.
También se ha trazado la barra utilizando estrellas de carbono (Cole &
Weinberg 2002, ApJL, 574, 43).
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La gráfica anterior presenta la región del diagrama HR del Bulbo donde se
encuentran las estrellas de carbono. Estas estrellas siguen una relación bien
definida en color y magnitud que tiene la virtud de estar paralelo al vector de
enrojecimiento. Por lo tanto, se puede calcular la distancia de la magnitud
aparente.
La siguiente gráfica presenta los isocontornos de densidad de estrellas de
carbono así catalogadas por 2MASS donde se ve claramente la estructura de
la barra (Cole & Weinberg 2002).
El bulbo: edad, composición química, cinemática y estructura
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Las gráficas que siguen vienen de la reseña sobre el Bulbo de nuestra Vía
Láctea por Minniti, D. & Zoccali, M. 2007, en Galactic Bulges, Proceedings of
IAU Symp. 245, eds. M. Bureau, L. Athanassoula & B. Barbuy, en prensa,
pero disponible en astro-ph: 0710.3104.
La composición química
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Este es un campo donde las cosas todavía no se han definiendo claramente,
pero hay una explosión de resultados, así que la situación debería aclararse
dentro de pocos años.
Las estrellas del Bulbo tienen una metalicidad alta. En la gráfica que sigue,
la mayoría son más enriquecidas que el Sol, por algo como 0.2 dex (+50%).
Otras muestras más pequeñas (ver M. Rich y colaboradores) habían
encontrado enriquecimientos menores, típicamente [Fe/H] ~ -0.2 dex. Dado
que todos estos resultados son muy recientes, no es todavía claro si la
diferencia es real (y resultado de las muestras distintas) o debido a
diferencias en el análisis de los datos.
Donde sí hay consenso entre los distintos grupos es con respecto a las
abundancias detalladas, como [O/Fe] o [Mg/Fe].
En el Bulbo, los cocientes [O/Fe] y [Mg/Fe] son mayores al cociente solar,
indicando que la producción de elementos fue dominado por supernovas tipo
II (estrellas masivas)
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Una consecuencia de esto es que el Bulbo tuvo que formarse rápidamente:
Hierro es producto de todas las supernovas, principalmente tipos II y Ia
(binarias, probablemente). El oxígeno y el magnesio son productos
exclusivamente de supernovas tipo II. Dado que estrellas masivas viven
poco tiempo y, en particular, menos tiempo que los progenitores de
supernovas tipo Ia, cocientes como O/Fe inician altos y bajan a medida que
supernovas tipo Ia contribuyen hierro. Entonces, si uno observa un cociente
alto de O/Fe, la producción de elementos fue dominado por supernovas tipo
II.
La gráfica que sigue (Zoccali et al. 2006, A&A, 457, L1) presenta datos de
dos grupos (VLT: Zoccali, Lecureur, Hill, etc.; Keck: Rich, Origlia, Fulbright,
etc.). Que coinciden los datos probablemente indica que el grupo trabajando
en el Keck sencillamente han elegido una muestra más restringida en sus
propiedades que el grupo trabajando en el VLT. No obstante, el efecto de los
análisis distintos no debe despreciarse.
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Finalmente, la siguiente gráfica (Cunha et al. 2007, ApJ, 669, 1011) presenta
abundancias derivadas de espectroscopia infrarroja (bandas H y K; todo lo
anterior era basado en espectros ópticos).
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Considerando todo, hay cierto desacuerdo entre la abundancia promedia
obtenida por los diferentes grupos, pero los cocientes de abundancias
coinciden.
Lo anterior no es tan sorprendente dado que cada grupo analiza sus datos de
manera distinta. Demuestra una lección útil: abundancias como [Fe/H] son
frecuentemente más inciertas que cocientes como [O/Fe]. En este caso,
grupos distintos no concuerden en [Fe/H], pero sí en [O/Fe].
No se ha encontrado gradientes de abundancias en el Bulbo.
Finalmente, es importante señalar que todos los grupos encuentren estrellas
con baja metallicidad. Existe una población importante de estrellas RR Lyrae
en la dirección del Bulbo, que son estrellas típicas de poblaciones viejas de
baja metalicidad. No es claro si esta población de estrellas pertenece al
Bulbo o es la parte interna del halo.
La edad de las estrellas del Bulbo
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La gráfica siguiente presenta un diagrama HR profundo del Bulbo donde es
posible ajustar una isocrona a la secuencia principal (Sahu et al. 2006,
Nature, 443, 534).
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Del análisis de este diagrama HR, la gran mayoría de las estrellas son
enriquecidas y viejas. Esta edad concuerda con la presencia de estrellas RR
Lyr.
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Antes de establecer la composición química de la mayoría de las estrellas del
Bulbo (y con diagramas HR menos profundos), existía la duda de si la
población estelar del Bulbo no pudiera ser joven y menos enriquecida.
Cinemática
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El Bulbo rota. No rota tan rápidamente como el gas del disco (donde
coinciden el gas del disco y las estrellas del Bulbo), pero no es factible medir
las velocidades estelares en exactamente las mismas posiciones que se ve
el gas (extinción lo impide). A diez grados del centro del Bulbo, la velocidad
promedia de rotación es de ~70 km/s.
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La dispersión de velocidades crece hacia el centro y llega a valores de 120
km/s.
La estructura
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Los estudios clásicos (Harmon & Gilmore 1988, MNRAS, 235, 1025; Kent,
Dame, & Fazio 1991, ApJ, 378, 131) encontraron una forma oblata (un elipse
con dos ejes largos y uno corto).
En estos estudios, el eje menor (perpendicular al disco) tiene una escala
exponencial de ~400 pc.
Hoy en día, sabemos que estos estudios fueron afectados por la barra, que
entonces se desconocía.
Hoy en día, estudios de la estructura del Bulbo están basado en muestras
enormes de estrellas individuales (p.ej., Picaud & Robin 2004, A&A, 428,
891; López-Corredoira et al. 2005, A&A, 439, 107). Usualmente, consideran
solamente la parte más externa del Bulbo, donde influye menos la barra, y
encuentran estructuras triaxiales cuyo eje menor (perpendicular al disco) es
de aproximadamente el tamaño reportado por los estudios clásicos.
La barra
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Dada la dificultad de desenmarañar la barra del Bulbo, seguramente una
buena parte de lo anterior (aparte de la estructura) incluye estrellas de la
barra.
Por lo pronto, no es evidente que si la barra es compuesta de estrellas con
composiciones o edades distintas a las del Bulbo.
En la resolución de la duda anterior, ayudaría conocer como comparan las
composiciones y edades de las estrellas del disco interior y del Bulbo.
González-Fernandez et al. (2008, A&A, 479, 131) argumentan que el disco
interior y el Bulbo tienen composiciones distintas.
La cinemática de estrellas cercanas al Sol
El estándar local de reposo (LSR: Local Standard of Rest)
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Cuando discutimos distancias, comentamos que el movimiento del Sol podía
usarse para derivar paralajes seculares y estadísticos. Podemos usar datos
similares para derivar el movimiento del Sol con respecto a estrellas
cercanas.
Para eso, elegimos una muestra de estrellas parecidas y determinamos el
movimiento del Sol con respecto a ellas. Cada muestra de estrellas entonces
define un marco de referencia.
Consideramos una estrella, k, de una de estas muestras. Su velocidad radial
heliocéntricar será
vlos,k = xˆ k " vk # v! cos $ k
r
donde xˆ k es la dirección a la estrella, vk su velocidad en el marco de
referencia y ψk es el ángulo entre xˆ k y el vector de movimiento del Sol, como
está definido en la siguiente gráfica (parte derecha).
!
!
!
!
!
•
Si promediamos muchas velocidades/estrellas en una dirección dada,
obtenemos
vlos " #v! cos $ .
•
Consideramos el problema como lo plantea la siguiente gráfica. El eje x
apunta hacia el centro galáctico, el eje y en la dirección de rotación del disco
y el eje z hacia el polo norte galáctico.
•
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Como resultado de la tradición, los componentes de velocidades en los ejes
x, y y z se indican como U, V y W.
Si ahora, determinamos los componentes del movimiento del Sol con
respecto a muestras de estrellas elegidas para tener un color dado,
obtenemos
Vemos que el movimiento del Sol en las direcciones x (hacia el centro) y z
(perp. al plano) son independientes de la muestra de estrellas elegida (notar
el error en el libro de texto),
U ! = v!x = 10.0 ± 0.4 km/s
W! = v!z = 7.2 ± 0.4 km/s
•
!
!
pero que el movimiento deducido en el eje y depende de la muestra.
Es notable que el movimiento solar en y es constante para colores más rojos
de 0.61 mag. Si uno grafique V en función de
S2 = U 2 +V 2 +W 2
para cada muestra de estrellas, se obtiene los resultados presentados en la
siguiente gráfica.
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•
Dado que S refleja la dispersión de los movimientos de cada muestra de
estrellas, extrapolando la relación en la gráfica anterior a S = 0, obtenemos el
movimiento solar en el eje y con respecto a una población estelar (ficticia)
rotando exactamente con el disco de la galaxia (una órbita circular con el
radio actual del Sol).
Esa población estelar ficticia se llama el “estándar local de reposo” (LSR:
local standard of rest).
Adoptando al marco de referencia definido por el LSR, obtenemos
U ! = v!x = 10.0 ± 0.4 km/s
V! = v!y = 5.2 ± 0.6 km/s
W! = v!z = 7.2 ± 0.4 km/s
•
!
Entonces, el Sol está acercándose al centro galáctico, adelantándose a las
estrellas cercanas y saliendo del disco. Dado que el Sol está forzosamente
orbitando el centro galáctico, podemos deducir que su órbita es realmente
elíptica y que se dirige hacia su pericentro (mayor cercanía al centro
galáctico).
La deriva asimétrica (asymmetric drift)
•
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La relación de la Fig. 10.11 se conoce como la “deriva asimétrica”
(asymmetric drift), que es la tendencia de la velocidad promedia de una
población estelar de atrasarse con respecto al LSR a medida que aumente el
movimiento aleatorio de esa población.
El asymmetric drift para cualquier población estelar es la diferencia entre la
coordenada y de la Fig. 10.11 y la intersección de la relación lineal pintada.
Se presenta el asymmetric drift en función del color en la siguiente gráfica
(cuadro inferior).
•
Si se calculan las dispersiones en cada eje,
"i =
(v #
i
vi
)
2
,
encontramos que la dispersión aumenta para estrellas más rojas, hasta (B V) ~ 0.6 mag y que
"x > "y > "z
!
•
!
independiente del color. O sea, la mayor dispersión es en la dirección radial.
Tanto las dispersiones en velocidades como V se saturan para estrellas
más rojas que (B - V) ~ 0.6 mag. Es posiblemente coincidencia, pero
estrellas con estos colores son mayormente estrellas de la secuencia
principal cuyas vidas son mayores a 1010 años (¿mayor a la existencia del
disco?). Estrellas de la secuencia principal más azules que este color son
más jóvenes que el disco.
El elipsoide de velocidades y la desviación del vértice
•
Se puede también calcular correlaciones entre los componentes de
velocidades, como son
vx (vy " vy
).
Para los casos involucrando el componente z, el resultado es menor que las
incertidumbres en las velocidades, así que es compatible con que no haya
correlación.
!
•
Para muchos tipos de estrellas, el promedio de los productos involucrando
solamente las velocidades en los ejes x y y,
vx (vy " vy
•
)
>0,
lo cual implica que existe correlación entre estas velocidades.
Dado esto, puede resultar conveniente definir ejes, combinaciones lineales
de los ejes x y y, que son estadísticamente independientes,
v1 " vx coslv # (vy # vy ) sin lv
!
v2 " vx sin lv # (vy # vy ) coslv
•
Multiplicando estas velocidades, encontramos
v1v2 =
1 2
" x # " y2 ) sin 2lv + vx (vy # vy
(
2
)
cos 2lv
lo cual será cero (ninguna correlación) si
!
$ 2 v (v " v
x
y
y
1
lv = arctan&
& # x2 " # y2
2
%
!
•
!
•
•
) ')
)
(
exigiendo que
"1 > " 2
para definir el ángulo.
Lo anterior es obviamente una rotación del sistema de coordenadas por el
ángulo lv con respecto al eje x. La Fig.!
10.13 presenta este rotación
gráficamente.
El elipse en la Fig. 10.13 es el elipsoide de velocidades. La longitud de los
ejes es σ1 y σ2 y el ángulo lv se conoce como la desviación del vértice del
elipsoide.
Las siguientes dos tablas presentan la desviación del vértice para distintos
tipos de estrellas.
•
•
Vemos que la desviación del vértice del elipsoide de velocidades no es
significativo para estrellas tardías de la secuencia principal, pero que sí lo es
para estrellas tempranas de la secuencia principal y para estados evolutivos
avanzados.
No existe una explicación completamente clara del origen de la desviación
del vértice.
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•
•
Suponiendo que las estrellas fueran distribuidas aleatoriamente en sus
órbitas, esperaríamos no encontrar una desviación del vértice (el eje mayor
del elipsoide de velocidades coincidiría con la dirección radial).
Que esta situación existe para estrellas rojas (mayormente viejas)
probablemente indica que estas estrellas han existido suficiente tiempo para
que interacciones hayan podido distribuirlas de manera aleatoria.
Para estrellas más jóvenes, es posible que movimientos sistemáticos sean el
origen de la desviación del vértice. Se conoce que existen “flujos estelares”,
como demuestra la Fig. 10.15 que sigue.
La reproducción anterior no es maravillosa en comparación con la versión
original, pero la morfología basta para comunicar que los movimientos no son
aleatorios, salvo posiblemente en el último caso, para (B - V) > 0.6 mag.
Es posible también que la desviación del vértice se debe a brazos espirales.
Dado que su pasaje perturbarán velocidades, perturbarán más a las
velocidades para las estrellas con las velocidades más bajas, las cuales son
también las estrellas azules que muestran una desviación del vértice.
Los constantes de Oort
•
El disco de la Vía Láctea, como el de todos los espirales, rota de manera
diferencial. Es decir, su parte interior rota como un cuerpo rígido, pero la
parte exterior tiene una velocidad de rotación más o menos constante.
Entonces, en la parte externa (la mayoría, R > 2 kpc), la velocidad angular no
es constante (cuerpo rígido) como demuestra la siguiente figura.
(Las figuras con números 8.x son de la segunda edición, Galactic Astronomy,
por Mihalas & Binney. A mi manera de ver, esta versión de la explicación es
más intuitiva.)
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•
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•
Por lo pronto, suponemos que todas las estrellas siguen órbitas circulares.
Por lo tanto, en direcciones l = 0 y l = 180, las velocidades radiales serán
cero. También, observaríamos velocidades radiales de cero para estrellas
cercanas en las direcciones l = 90 y l = 270 porque estarían en la misma
órbita que el Sol.
Por otra parte, en las direcciones hacia el centro de la galaxia, 0 < l < 90 y
270 < l < 360, las estrellas tendrán velocidades angulares mayores a la del
Sol y se verán alejándose y acercándose, respectivamente. Lo opuesto
sucede en los cuadrantes 90 < l < 180 y 180 < l < 270 donde las velocidades
angulares son menores y tendrán entonces velocidades radiales
heliocéntricas negativas y positivas, respectivamente.
Dado lo anterior, esperaríamos ver una relación entre la velocidad y la
longitud galáctica como indica la siguiente gráfica.
Ahora, consideramos la matemática. Definiciones
• R es el radio galáctico de la estrella bajo observación
• Θ es la velocidad de rotación de la estrella bajo observación
• ω = Θ / R es la velocidad angular de la estrella bajo observación
•
• d es la distancia entre el Sol y la estrella bajo observación
• l es la longitud galáctica de la estrella bajo observación
• α es el ángulo entre el movimiento de la estrella y la dirección al Sol
• vR es la velocidad radial de la estrella bajo observación
• vT es la velocidad tangencial de la estrella bajo observación
• R0 es el radio galáctico del Sol
• Θ0 es la velocidad de rotación del Sol
• ω0 = Θ0 / R0 es la velocidad angular del Sol
La siguiente gráfica presenta la geometría.
•
Entonces, para las velocidades radiales,
vR = " cos # $ " 0 sin l
% "R (
sin l sin (90 + # ) cos #
= ' 0 * sin l $ " 0 sin l utilizando
=
=
& R )
R
R0
R0
= (+ $ + 0 ) R0 sin l
y para las velocidades tangenciales,
vT = " sin # $ " 0 cosl
%"(
= ' *( R0 cosl $ d ) $ " 0 cosl utilizando R sin # = R0 cosl $ d
&R)
!
= (+ $ + 0 ) R0 cosl $ +d
•
!
Podemos sacar unas conclusiones generales si suponemos que ω será una
función que disminuye conforme aumenta el radio.
• Consideramos el intervalo 90 < l < 180. A lo largo de cualquier línea de
vista, el radio, R, aumenta y es mayor al radio solar, R0. Por lo tanto, ω
•
•
Tendencias análogas a las anteriores sucederán en los intervalos
180 < l < 270 y 270 < l < 360
Las relaciones anteriores son completamente generales. Ahora
consideramos el caso para estrellas cercanas al Sol, de tal manera que
d<<R0, lo cual nos permite derivar formas aproximadas de las ecuaciones
anteriores. Esta situación es ilustrada en la Fig. 8.9.
•
•
será siempre menor a ω0 e irá disminuyendo a lo largo de la línea de
vista. Entonces, esperamos que la velocidad radial disminuye
continuamente con la distancia. Además, la velocidad radial siempre será
negativa.
Consideramos ahora el intervalo 0 < l < 90. A lo largo de cualquier línea
de vista, el radio galáctico R inicialmente disminuirá hasta el punto donde
la línea de vista es tangencial a una órbita circular. Desde ese punto, el
radio galáctico crecerá conforme aumenta la distancia. Podemos
entonces definir tres regímenes de velocidad radial. Entre el Sol y el
punto tangencial, la velocidad radial será positiva y aumentará con la
distancia. Entre el punto tangencial y el punto donde la línea de vista
cruza la órbita solar, la velocidad radial será positiva y disminuirá con la
distancia. Afuera de la órbita solar, la velocidad radial será negativa y
seguirá disminuyendo con la distancia.
El siguiente diagrama presenta estos resultados gráficamente. (Notar que
la figura original en Galactic Astronomy, 2nd edition tiene un error. Indica
0 < l < 180 y no 0 < l < 90 para la curva superior.)
•
Consideramos primero la velocidad radial para una dirección l fija. En este
caso, únicamente (ω-ω0) depende de la distancia. Se le puede aproximar con
una expansión en serie de Taylor
% d" (
* ( R # R0 )
dR )R
(" # " ) $ '&
0
0
Dado que
d" d $ # ' 1 d# #
=
*
& )=
dR dR % R ( R dR R 2
!
tenemos
# d" &
1 # d) &
)
% ( = % ( * 20
$ dR 'R R0 $ dR 'R R0
0
!
.
0
Entonces, a primer orden,
*# d" &
"0 vR = ,% ( ) /( R ) R0 ) sin l .
+$ dR 'R R0 .
!
0
De la gráfica anterior, vemos que,
si d << R, R " R0 # d cosl
y
!
!
+ # % d# ( .
vR " - 0 $ ' * 0d cosl sin l
, R0 & dR )R /
= Ad sin 2l utilizando sin l cosl = 0.5 sin 2l y definiendo
1 + # % d# ( .
A = - 0 $' * 0
2 , R0 & dR )R /
0
0
•
•
!
•
La constante A es conocido como la constante A de Oort.
El resultado para la velocidad radial concuerda con las expectativas, de que
las velocidades radiales describen una curva de doble seno en función de la
longitud galáctica.
Ahora, consideramos la velocidad tangencial, utilizando una de las
aproximaciones del resultado anterior.
vT = (" # " 0 ) R0 cosl # d
,& d% )
%/
$ .( + # 0 1( R # R0 ) cosl # " 0 d
-' dR *R R0 0
, % & d% ) /
&% )
$ . 0 # ( + 1d cos 2 l # ( 0 +d
' R0 *
- R0 ' dR *R 0
0
0
Si utilizamos la identidad
cos 2 l =
tenemos
!
1
(1+ cos 2l )
2
1 + # 0 % d# (
vT " - $ ' *
2 , R0 & dR )R
.
1 + # 0 % d# ( .
0d cos 2l $ - + ' * 0d
2 , R0 & dR )R /
/
1 + # 0 % d# ( .
= d ( A cos 2l + B) si definimos B = - + ' * 0
2 , R0 & dR )R /
!
0
0
0
•
•
vT = 4.76µ l d
!
donde la velocidad es en km/s, la distancia en pc y el movimiento propio en
"/año. Por lo tanto, tenemos
µl =
!
•
!
La constante B se conoce como la constante B de Oort.
La velocidad tangencial es relacionada con el movimiento propio y la
distancia por
A cos 2l + B
4.74
lo cual nos da otra pista para la determinación de los constantes A y B.
De las definiciones de A y B, obtenemos
"0 =
% d# (
#0
= A $ B y ' * = $( A + B) .
& dR )R
R0
0
•
!
Finalmente, consideramos distancias, d, donde la línea de vista es tangencial
a una órbita circular, lo cual sucede para -90 < l < 90. En este caso, la
velocidad radial tiene un valor máximo,
vR ,max = " Rmax # " 0 sin l donde Rmax = R0 sin l .
(
•
)
Si ahora nos restringimos a ángulos l ~ 90 o l ~ 270, donde Rmax-R0 << R0 ,
podemos expandir Θ(Rmax) en potencias de (Rmax-R0 )
Rmax " R0 = "R0 (1" sin l )
de lo cual aprendemos
!
vR ,max
$ d" '
2
1 $ d 2" ' 2
= " 0 # & ) R0 (1# sin l ) + & 2 ) R0 (1# sin l ) +K
% dR (R
2 % dR (R
0
!
0
2
1 $ d "'
= 2AR0 (1# sin l ) + & 2 ) R02 (1# sin l ) +K
2 % dR (R
2
0
!
Si ignoramos los términos aparte del primero, porque serán muy pequeños
para l ~ 90 o l ~ 270, tenemos una relación que nos permite restringir el
producto AR0 a partir de observaciones de vR,max .
Determinación de los constantes de Oort
•
Hay tres maneras de determinar la constante A:
• a través vR " Ad sin 2l
A cos 2l + B
4.74
1 *"
•! o con su definición A = , 0
2 + R0
•
•
•
•
a través
µl =
$ d" ' #& ) /
% dR (R .
0
Normalmente,
no se usa el último método, dado que depende de la curva de
!
rotación, la cual es un problema difícil de resolver. Más bien, se intenta
restringir al curva de rotación a partir de la constante A.
Los dos otros métodos tienen sus deficiencias. El primero depende de una
!
escala de distancias
autoconsistente mientras que el segundo es susceptible
a errores sistemáticos en movimientos propios.
Fundamentalmente, la constante B depende de movimientos propios,
µl =
A cos 2l + B
4.74
,
dado que no medimos velocidades tangenciales y que descartamos la opción
de utilizar su definición por lo difícil que es (como en el caso de A).
!
•
•
Los valores más recientes, basado en observaciones de Hipparcos (en turno
ligado al sistema ICRS), son
A = 14.8 ± 0.8 km/s y B = "12.4 ± 0.6 km/s
Dadas las pocas maneras de determinar estos constantes, la formula
vR ,max = 2AR0 (1" sin l )
!
!
•
•
representa una restricción muy útil sobre A, aunque depende del
conocimiento de!
otra constante, que es el radio solar.
En cuanto al radio solar, mediciones recientes dan valores entre 7.5-8.5 kpc.
La velocidad circular de rotación a este radio es entonces
$R '
" 0 = R0 ( A # B) = 219.2 & 0 ) km/s
%8(
con los valores de A y B ya mencionados.
!