− VARIABLE COMPLEJA IV DESARROLLO EN SERIE DE LAURENT DE UNA FUNCIÓN HOLOMORFA EN UNA CORONA. Definición: Sea f una función definida en una corona : r < z − a < R . Se dice que f es desarrollable +∞ ∑ c bz − ag , en s. de L. en esa corona si existe una s. de L. bg n que converge a f z para todo punto en n n =−∞ la corona. En ese caso, además la función f es holomorfa en la corona y la convergencia de la serie es absoluta y uniforme en cualquier compacto contenido en la corona. Además si existe una s. de L., ésta es única, y se tiene la siguiente fórmula para los coeficientes de las serie: cn = 1 f (ω ) ∫ d ω siendo γ : z − a = ρ y r < ρ < R . n +1 2π i γ (ω − a ) bg EJEMPLO (Problema 16): El d. de Laurent de la función f z = z ⋅ e +∞ +∞ +∞ 1/ z 2 alrededor de z = 0 es: 2 2 1 n 1 1 1 1 z ⇒ e1 z = ∑ ⋅ 2 n ⇒ z ⋅ e1 z = ∑ ⋅ 2 n −1 , convergente para z > 0 . n=0 n! n =0 n! z n=0 n! z Además Res f ,0 = 1 , luego la integral pedida en el apartado c) vale 2πi . Definición: Sea f una función holomorfa en: z > r . Se dice que f tiene un polo en el punto del infinito si la función obtenida al hacer el cambio de variable z = 1 z ′ en la expresión 1 1 1 1 f z dz = − 2 ⋅ f dz ′ , es decir g z ′ = − 2 ⋅ f tiene un polo en el origen. Además se z′ z′ z′ z′ dice que el residuo de f en el punto del infinito es el residuo de g en el punto z ′ = 0 . Así si ez = ∑ b g FG IJ H K bg +∞ ∑ c bz − ag n n FG IJ H K bg es el d. en s. de L. en un entorno del infinito ( para b g z − a > r ) Res f ,+∞ = c−1 . n =−∞ OBSERVACIÓN: Con esta definición, en el teorema de los residuos el punto del infinito puede pertenecer al conjunto A, si el conjunto Ω es no-acotado. bg 1 tiene un polo en el origen y otro en el punto del infinito con z 1 ω + dω = 2πi , ya sea considerando el origen o el residuos 1 y -1 respectivamente. De ahí que EJEMPLO: La función f z = z + z ω z =1 punto del infinito como el polo interior a la curva fórmula integral de Cauchy, haciendo: z ω+ z =1 1 ω dω = z = 1. También se puede hallar la integral por la z ω2 +1 dω = 2πi ⋅ 02 + 1 = 2πi ω z =1 c Cálculo de residuos: (1) Si z0 ∈ C , polo simple de f entonces: b g b h g bg Res f , z0 = lim z − z0 ⋅ f z . z→ z0 b g QPbbzzgg , con P y Q holomorfas en un entorno de z , z cero simple de Q Pb z g y Pb z g ≠ 0 entonces: Resb f , z g = . Para comprobar esta propiedad, basta aplicar la fórmula Q ′b z g (2) z0 polo simple de f z = 0 0 0 0 0 de (1) a la función f y hallar el límite mediante la regla de L'Hopital. 1 0 eiz e −1 −i tiene polos simples en z = ± i . Res f , i = = . 2i 2e z2 + 1 k (3) z0 polo múltiple de f , entonces la función g z = z − z0 ⋅ f z es holomorfa alrededor de z0 y bg b g EJEMPLO: La función f z = b como el coeficiente de z − z0 g bg b −1 g bg de g , se tiene: b g bg EJEMPLO: f z = b g Res f , i = c h z z2 + 1 2 z→ z0 g k −1 en el desarrollo g b g b g ⋅ bk −1 1g! b k −1 Res f , z0 = lim z − z0 ⋅ f z eiz b en el desarrollo de Laurent de f es el de z − z0 k tiene un polo simple en z = 0 y dos dobles en z = ±i . −3 . 4e an z n +…+ a0 Teorema del interior y del exterior: Sean F z = con m ≥ n + 2 y γ un camino bm z m +…+b0 bg cerrado simple, S el conjunto de los polos interiores a γ y S* el conjunto de los polos exteriores, entonces: R| 2πi ⋅ ∑ Resb F , sg z Fbzgdz = S|T−2πi ⋅ ∑ ResbF , s *g S γ S* OBSERVACIÓN: En las hipótesis del teorema, el punto del infinito NO es un polo de F. EJEMPLO: Si n es un entero no negativo, hallar el valor de la integral para b > 1: z z+a dz z (z + b) z =1 n b g 2 b g b g z + a 2πi ⋅ a − b = . n z→− b z n −1 b n Si f es la función subintegral, se tiene I = −2πi ⋅ Res f ,−b = −2πi ⋅ lim