Cinemática - Biblioteca de la UNS

MODULO DE APRENDIZAJE
MOVIMIENTO PLANO DE CUERPO RIGIDO- FUERZA Y ACELERACIÓN
OBJETIVOS:
-
Desarrollar las ecuaciones de movimiento de cinética plana de un cuerpo rígido
simétrico.
Elaborar diagramas de cuerpo libre y diagramas cinéticos para movimientos de
traslación, rotación alrededor de un eje fijo y movimiento plano general
Aplicar las ecuaciones de movimiento para movimientos de traslación, rotación
alrededor de un eje fijo y movimiento plano general
1- Ecuaciones cinéticas de movimiento plano
En el estudio de cinética plana a cuerpos rígidos que, junto con sus cargas, son
considerados simétricos con respecto a un plano de referencia fijo.
Consideremos un cuerpo rígido arbitrario que se muestra en la figura 1-(a). Aquí el marco
de referencia inercial x, y, tiene su origen coincidiendo con el punto arbitrario P en el
cuerpo.
Por definición, estos ejes no giran, y están fijos o se trasladan con velocidad constante.
Fig 1- (a)
Ecuaciones de movimiento de traslación: La ecuación de la resultante de este sistema de
fuerzas :
F = maG
Esta ecuación se llama ecuación de movimiento de traslación para el centro de masa de un
cuerpo rígido. Establece que la suma de todas las fuerzas externas que actúan sobre el
cuerpo es igual a la masa del cuerpo multiplicada por la aceleración de su centro de masa
G.
Ecuaciones de movimiento de rotación: Determinaremos ahora los efectos causados por
los movimientos del sistema de fuerzas externas calculados con respecto a un eje
perpendicular al plano del movimiento (el eje z) que pasa por el punto P.
Diagrama de Cuerpo libre.
Diagrama Cinético
Como se muestra en el diagrama de cuerpo libre de la partícula i-ésima. Fi, representa la
fuerza resultante externa que actúa sobre la partícula y fi es la resultante de las fuerzas
internas causadas por interacciones con partículas adyacentes.
Si la partícula tiene masa mi y en el instante considerado su aceleración es ai, entonces el
diagrama cinético es construido como se muestra en la figura. Si los momentos de las
fuerzas que actúan sobre la partícula con respecto al punto P, se tiene:
r xFi + r xfi = rxmiai
(MP)i = rxmiai
Los momentos con respecto a P pueden ser expresados en términos de aceleración del
punto P. Si el cuerpo tiene aceleración angular  y velocidad angular , entonces tenemos:
MP)i = mi r x
(aP + xr - 2r)
(MP)i= mi[r xaP + rx(xr) - 2(r x r)]
El último término es cero, ya que r x r = 0. Expresando los vectores con componentes
cartesianas y efectuando las operaciones de producto cruz obtenemos:
(MP)ik = mi {(xi + yj) x [(aP)xi +(aP)yj]+ (xi + yj) x [(k)x (xi + yj)]}
(MP)ik = mi [-y(aP)x + x(aP)y + x2 + y2]k
(MP)i= mi[-y(aP)x + x(aP)y +  r2 ]
Haciendo mi→dm e integrando con respecto a toda a masa m del cuerpo, obtenemos la
ecuación resultante de momento.
 MP = - (ʃmydm)(aP)x + (ʃm x dm)(aP)y + (ʃm r2dm) 
Las integrales en los términos primero y segundo del lado derecho se usan para localizar el
centro de masa G del cuerpo con respecto a P, ya que y m = ʃydm y x m=ʃxdm. .
La última integral representa el momento de inercia del cuerpo calculado con respecto al eje
z, esto es:
IP =ʃ r2 dm. Así
 MP= - y m(aP)x+ x m(aP)y + IP
Es posible reducir esta ecuación a una forma más simple si el punto P coincide con el centro
de masa G para le cuerpo. Si este es el caso, entonces X = Y = 0, y por tanto.
 MG = IG
Esta ecuación de movimiento de rotación establece que la suma de los momentos de todas
las fuerzas externas calculadas respecto al centro de masa G es igual al producto del
momento de inercia del cuerpo con respecto a un eje que pase por G y la aceleración
angular del cuerpo.
2.- ECUACIONES DE MOVIMIENTO: TRASLACION
Cuando un cuerpo rígido experimenta una traslación, todas sus partículas tienen la misma
aceleración, de modo que aG = a. Además  = 0, en cuyo caso la ecuación de movimiento
de rotación aplicado al punto G se reduce a una forma simplificada, esto es,  MG = 0.
Traslación rectilínea. Cuando un cuerpo esta sometido a traslación rectilínea. Todas sus
partículas viajan a lo largo de trayectorias paralelas de línea recta. Los diagramas de cuerpo
libre y cinético se muestran en la figura:
Diagrama de cuerpo libre
Diagrama cinético
Como IG = 0, solo maG se muestra en el diagrama cinético. Por consiguiente, las
ecuaciones de movimiento son:
Fx = m (aG)x
Fy = m (aG)y
 MG = 0
También se suman momentos con respecto a otros puntos sobre y fuera del cuerpo, en
cuyo caso el momento de maG debe tomarse en cuenta. Por ejemplo, si se elige el punto A,
que se encuentra a una distancia d de la línea de acción de maG es aplicable la siguiente
ecuación de momento:
MA=  (ℳK)A
MA = (maG) d
Traslación curvilínea. Cuando un cuerpo rígido esta sometido a traslación curvilínea,
todas sus partículas viajan por trayectorias paralelas curvas. Para el análisis, es
conveniente usar un sistema coordenado normal y tangencial a la trayectoria del
movimiento
Diagrama de cuerpo libre
Diagrama cinético
Las tres ecuaciones escalares de movimiento:
Fn = m (aG)n
 Ft = m (aG)t
 MG = 0
Aquí (aG)t y(aG)n representan, respectivamente, las magnitudes de las componentes de
aceleración tangencial y normal del punto G.
Si la ecuación de momento  MG = 0 es reemplazada por una suma de momentos con
respecto al punto arbitrario B, es necesario tomar en cuenta los momentos,  (ℳK)B, de las
dos componentes m(aG)n y m(aG)t con respecto a este punto. A partir del diagrama cinético,
h y e representan las distancias perpendiculares desde B hasta las líneas de acción de las
componentes. Por lo tanto, la ecuación de momento se convierte en
MB=  (ℳK)B
MB= e [m (aG) t ] – h [m (aG) n]
METODOLOGÍA DE ANALISIS
Los problemas de cinética que implican traslación de un cuerpo rígido pueden ser resueltos
usando el siguiente procedimiento.
Diagramas de cuerpo libre.
 Establezca el sistema coordenado inercial x, y o n, t y dibuje el diagrama de cuerpo
libre para tomar en cuenta todas las fuerzas externas y los momentos de par que
actúan sobre el cuerpo.
 La dirección y el sentido de la aceleración del centro de masa del cuerpo aG deben
ser establecidos.
 Identifique las incógnitas presentes en el problema.
 Si en la solución se decide usar la ecuación de movimiento de rotación
 M P= (ℳK)P, entonces considere dibujar el diagrama cinético, ya que toma en cuenta
gráficamente las componentes m(aG)x , m(aG)y o m(aG)n, m(aG)..
Ecuaciones de movimiento
 Aplique las tres ecuaciones de movimiento de acuerdo con la convención de signos
establecida.
 Para simplificar el análisis, la ecuación de momento  MG = 0 puede ser
reemplazada por la ecuación más general  M P= (ℳK)P, donde usualmente el
punto P está ubicado en la intersección de las líneas de acción de tantas fuerzas
desconocidas cómo es posible.
 Si el cuerpo está en contacto con una superficie rugosa y ocurre deslizamiento, use
la ecuación de fricción F = μkN. Recuerde que la fuerza de fricción siempre actúa
sobre el cuerpo oponiéndose al movimiento del cuerpo con relación a la superficie
de contacto.
Cinemática
 Use cinemática cuando la velocidad y la posición del cuerpo deban ser
determinados.



Para traslación rectilínea con aceleración variable, use aG = dvG/ dt, aGdsG = vGdvG,
vG = dsG/ dt.
Para traslación rectilínea con aceleración constante, use
vG= (vG)0 + aGt
v2G = (vG)20 + 2aG [sG- (sG)0]
sG= (sG)0 + (vG)0t + 1/2aGt2.

Para traslación curvilínea, use
(aG) n = v2G / ρ
(aG) t = dvG/ dt,
(aG) t dsG= vGdvG,
1.-Una placa rectangular uniforme de masa m = 200 kg y lados 3 y 4 m , tal como se muestra
en la figura adjunta, está suspendida por dos pasadores A y B que pueden deslizar a lo largo de
una barra inclinada que forma un ángulo = 60º con la horizontal. El coeficiente de rozamiento
cinético entre los pasadores y la barra es = 0,2 y la placa inicia su movimiento descendente
partiendo del reposo.
Determina: a) la aceleración de la placa;
b) las reacciones en los pasadores.
Cinemática La placa tiene un movimiento de traslación rectilínea a lo largo de la barra con
aceleración constante.
Ecuaciones del movimiento Las fuerzas exteriores que actúan sobre la placa son : el peso P,
las reacciones normales NA , NB y las fuerzas de rozamiento A y en B . La placa está en
traslación = 0
F = maG
Fx = m(aG )x
fAfBPsenmaG ………(1)
Fy = m(aG )y
NANBPcos0
……….(2)
MG= 0
2NA2NB1,5 (fA+ fB) 0
………(3)
Las fuerzas de rozamiento:
fA= µNA
fB= µNB
resolviendo las ecuaciones (1) ; (2) ; (3), se tiene:
NA = 417 N
NB =564 N
aG= 7,5 m/s2
2.- Una placa rectangular uniforme de 5 kg se
mantiene en la posición indicada mediante las
tres cuerdas representadas. Sabiendo que θ = 300,
hallar, inmediatamente después deser cortadas
CF,
a) la aceleración de la placa,
b) la tensión en las cuerdas AD y BE
Solución:
La placa tiene movimiento de traslación curvilinea.
TA
TB
mg
G
O,24 m
G
O,300 m
3.-Ecuaciones de movimiento: Rotación con respecto a un eje fijo
Considere el cuerpo rígido mostrado esta girando
en el plano vertical con respecto a un eje fijo
perpendicular a la página y que atraviesa el
pasador ubicado en O.
La velocidad y aceleración angular son causadas
por el sistema de fuerza externa y momento de
par que actúa sobre el cuerpo.
Como el centro de masa G del cuerpo se mueve
en una trayectoria circular, la aceleración de este
punto está representada mediante sus componentes
tangencial y normal.
La componente tangencial de aceleración tiene una magnitud de (aG)t= rG y debe actuar
en una dirección que sea consistente con la aceleración angular  del cuerpo. La magnitud
de la componente normal de aceleración es (aG)n = 2 rG. Esta componente está dirigida
siempre desde el punto G hasta el punto O, independientemente de la dirección de .
Diagrama de cuerpo libre
Diagrama de cuerpo libre
Diagrama cinético
El peso del cuerpo W = mg, y la reacción Fo en el pasador están incluidos en el diagrama
de cuerpo libre ya que representan fuerzas externas actuando sobre el cuerpo. El vector IG 
actúa en la misma dirección que  y tiene magnitud de IG , donde IG es el momento de
masa del cuerpo calculado con respecto a un eje perpendicular que pasa por G.
Las ecuaciones de movimiento:
Fn = m (aG)n = m2rG
 Ft = m (aG)t= mrG
 MG = IG
En muchos problemas es conveniente sumar momentos con respecto al pasador O para
eliminar la fuerza desconocida Fo. A partir del diagrama cinético:
MO=  (ℳK)O;
MO= rG¨m(aG) t + IG
Sustituyendo (aG)t = rG, podemos rescribir la ecuación anterior como MO = (IG +
mr2G)..A partir del teorema de los eje paralelos, IO = IG + md2, y por tanto él termino entre
paréntesis representa el momento de inercia del cuerpo con respecto al eje fijo de rotación
que pasa por O. En consecuencia podemos escribir las tres ecuaciones de movimiento para
el cuerpo como
Fn = m (aG)n = m2rG
 Ft = m (aG)t= mrG
 MO = IO
METODOLOGÍA DE ANALISIS
Diagrama de cuerpo libre.
 Establezca el sistema coordenado inercial x, y o n, t y especifique la dirección y el sentido
de las aceleraciones (aG)n y(aG)t, y la aceleración angular  del cuerpo. Recuerde que
(aG)t debe actuar en una dirección del movimiento, mientras que (aG)n siempre actúa
hacia el eje de rotación, o punto O.
 Dibuje el diagrama de cuerpo libre para tomar en cuenta todas las fuerzas y momentos de
par externos que actúan sobre el cuerpo.
 Calcule el momento de inercia IG o IO
 Identifique las incógnitas en el problema.
 Si se decide a usar la ecuación rotatoria del movimiento,  MP= (ℳK)P, esto es, P,
entonces considere dibujar el diagrama cinético las componentes m(aG)n y m(aG)t e IG 
Ecuaciones de movimiento
 Aplique las tres ecuaciones de movimiento de acuerdo con la convención de signos
establecida.

Si los momentos se suman con respecto al centro de masa G del cuerpo, entonces
 MG = IG , ya que y m(aG)t y m(aG)n no generan momento con respecto a G.

Si los momentos se suman con respecto al soporte de pasador O sobre el eje de
rotación, entonces m(aG)n no genera momento con respecto a G, y aplique  MO = IO 
4.- Ecuaciones de movimiento: Movimiento plano general
El cuerpo rígido mostrado en la figura está sometido a un movimiento plano general
causado por la fuerza y el momento de par aplicados externamente.
Diagrama de cuerpo libre
Diagrama cinético
Los diagramas de cuerpo libre y cinético para el cuerpo se muestra en la figura. Se utiliza
un sistema coordenado x, y; las ecuaciones de movimiento:
Fx = m (aG) x
Fy = m (aG) y
 MG = IG
En algunos problemas puede ser conveniente sumar momentos con respecto a algún punto P
diferente de G. Esto se hace usualmente para eliminar fuerzas desconocidas a partir de la
suma de momentos.
Fx = m (aG) x
Fy = m (aG) y
 MP =  (ℳK)P
Aquí  (ℳK)P representa la suma de momentos de IG  y maG (o sus componentes) con
respecto a P son determinados por los datos que aparecen en el diagrama cinético.
No deslizamiento. Si la fuerza de fricción F es lo suficientemente grande como para
permitir que el disco ruede sin deslizamiento, entonces aG puede ser relacionado con 
mediante la ecuación cinemática,
aG= r
Recuerde que no ocurre deslizamiento si F ≤μsN, donde μses el coeficiente de fricción
estática. Si la igualdad es satisfecha, el problema está resuelto. Sin embargo, cuando F≥μsN,
el problema debe volverse a plantear, ya que el disco desliza al rodar.
Deslizamiento. En el caso de que se tenga deslizamiento,  y aG son independientes una de
otra, la magnitud de la fuerza de fricción es relacionada con la magnitud de la fuerza
normal usando el coeficiente de fricción cinética μk, esto es,
F =μkN
METODOLOGIA DE ANALISIS
Los problemas de cinética que implican movimiento plano general de un cuerpo rígido
pueden ser resueltos usando el siguiente procedimiento.
 Establezca el sistema coordenado inercial x, y; y dibuje el diagrama de cuerpo libre para
el cuerpo.
 Especifique la dirección y el sentido de la aceleración del centro de masa, aG y la
aceleración angular  del cuerpo.
 Calcule el momento de inercia IG.
 Identifique las incógnitas en el problema.
 Si se decide que va a usarse la ecuación de movimiento rotacional  MP= (ℳK)P,
entonces dibuje el diagrama cinético los componentes m(aG)x, m(aG)y e IG  al escribir los
términos en la suma de momentos  (ℳK)P.
PROBLEMAS PROPUESTOS
1.- Una placa de masa m = 1000 kg pende de
un carril mediante dos zapatas A y B, según se
indica en la figura. El coeficiente de rozamiento
cinético entre el carril y las zapatas es de 0,25.
Hallar las reacciones verticales del carrilsobre las
zapatas cuando se aplica una fuerza F = 2500N.
2.- La barra BC de 15 lb conecta un disco
centrado en A con la manivela CD. Si el
disco gira a velocidad angular constante
de 15 rad/s. Para la posición mostrada,
determine las componentes verticales de
fuerzas que los pasadores ubicados en B y
C ejercen la barra BC.
3.- Un sistema transportador está equipado con paneles
verticales y una barra AB de 18 cm con masa de 3 kg se
coloca entre dos paneles como se muestra en la figura.
Si la aceleración del sistema es de 2 m/s2 hacia la
Izquierda determine las reacciones en el C y B.
4.- Tres barras de 4 kg cada una, están soldadas juntas y
articuladas por pasadores a dos bielas BE y CF. Hallar la
fuerza en cada biela, inmediatamente después de soltarse
el sistema desde el reposo. Despreciar el peso de las bielas
5.- Si el soporte C se retira de repente, determine
los componentes horizontal y vertical de la reacción
que el pasador A ejerce a la barra ABC, los
segmentos AB y BC pesan 15 lb cada uno.
6.- Se aplica una fuerza horizontal F de 250 N a un
cable enrollado en el tambor interno de la polea
compuesta, la cual se utiliza para levantar el bloque B.
La polea tiene una masa de 20 kg y su radio de giro con
respecto al eje de rotación es de 160 mm. Si el bloque B
tiene una masa de 10 kg, determine la aceleración
angular de la polea y la tensión en el cable.
8.- La varilla delgada AB de 8 lb y otra varilla
delgada BC de 5 lb están conectadas en B por
un pasador y una cuerda AC. El conjunto puede
rotar en el plano vertical bajo la acción de la
gravedad y un par M aplicado a la varilla BC.
Sabiendo que en la posición representada la
velocidad angular del conjunto es cero, hallar:
la aceleración angular del conjunto y
la magnitud del momento de par M
9.- Los extremos de la barra AB de 10 kg están
unidos a sendas correderas de masa despreciable
que deslizan sin rozamiento a lo largo de guías fijas.
Si la barra se suelta en reposo cuando θ = 250, hallar
para el instante siguiente al inicio del movimiento:
a) la aceleración angular de la barra.
b) las reacciones en A y B.
10.- Sobre la rueda actua una fuerza P de 260 N.
El peso de la rueda es de 375 N y su radio de giro
con respecto al eje de rotacion es 231 mm. La
rueda va rodando sin deslizamiento por la
superficie horizantal y en la posicion mostrada
tiene una velocidad angular de 15 rad/s en sentido
horario, determine la aceleracion angular de la
rueda y las componentes vertical y horizontal
que ejerce la superficie.
11.- El disco semicircular de 10 kg gira a con
una velocidad angular de ω = 4 rad/s cuando
Ө = 60°. Determine la fuerza normal y de fricción
que ejerce el suelo en A en este instante. Suponga
que el disco no se desliza cuando rueda.
12.- La barra AB mostrada en la figura gira con
Una velocidad angular constante de 6 rad/s en
sentido antihorario. La barra BCD pesa 10 lb y
el collarín C pesa 2 lb. Ignorando la fricción,
determine las componentes de las fuerzas
ejercidas sobre la barra BCD por los pasadores
en B y C en el instante mostrado