momento de inercia a) c)

1
1.
EXPERIMENTO No. 7:
MOVIMIENTO DE CUERPOS RÍGIDOS
2.
OBJETIVO
3.
Hallar experimentalmente el momento de inercia de un disco respecto a su eje de
simetría, utilizando las formulas obtenidas por : a) su definición. b) dinámica de
rotación, c) conservación de la energía mecánica.
TEORÍA
Definición del momento de inercia.El Momento de Inercia I de un cuerpo respecto a un eje de rotación se define por:
I =  r2 dm ………………… (1)
Donde r es la distancia de un diferencial
de masa “dm” del cuerpo, al eje de rotación.
Unidades
En el sistema internacional (S.I) las unidades para el momento de inercia son:
I = kg. m2
La energía cinética de traslación de un cuerpo rígido de masa M está dada por:
1
M vc2 ……………………………….(2)
2
Donde vc es la velocidad lineal del centro de masa.
EC, T =
Por otra parte la energía cinética de rotación de los cuerpos rígidos se expresa por:
1
I 2 ……………………………..... (3)
2
Donde I y  representan, respectivamente, el momento de inercia del cuerpo rígido y su
velocidad angular con respecto a su eje de rotación.
EC, R =
a) Fórmula de I obtenida de la definición de momento de inercia.
De la relación (1) se pueden obtener formulas para cuerpos de diferente forma en
términos de su masa y de su geometría
Para nuestro caso el momento de inercia del disco con su eje, obtenida de (1) , con
respecto al eje del disco es:
I
1
1
M d (R 2  r 2 )  m r 2
2
2
(4)
Donde : Md , R y m , r ; representan la masa y el radio, del disco y del eje
respectivamente .
2
b) Fórmula de I obtenida por dinámica de rotación
El diagrama del cuerpo libre de un disco con su eje , que se traslada y rota hacia abajo
plano inclinado (dos rieles), sin resbalar, es mostrado en la figura 1 .
de un
Figura 1. Disco con eje de acero, de radio r, que rueda sobre un riel inclinado por

acción de las fuerzas Mg, N y la fricción estática f .
Aplicando las ecuaciones dinámicas (leyes de Newton) para la traslación y la rotación
tenemos:
Mg sen - f = Ma ……………………….. (5)
c = rf = I…………………………… (6)
Con (5), (6) y  = a/r se demuestra que
r2
I  M(g senθ  a)
……………………. (7)
a
Donde:

c : Es el torque producido por la fuerza de fricción estática f , lo cual origina una
rotación del disco con respecto a su eje que pasa por su centro de masa “c”.
I : Es el momento de inercia del disco con respecto a un eje que pasa por su centro de
masa.
M: Masa del disco con eje de acero. ( Md + m )
a : Es la aceleración del centro de masa
r : Es el radio del eje del disco.
 : Ángulo de inclinación del plano inclinado o rieles.
La ecuación (7) la usamos para determinar el momento de inercia I del disco con
respecto a su eje . Las magnitudes M , r , θ y a se obtienen experimentalmente
3
c) Fórmula de I obtenida por conservación de la energía mecánica
El disco de la figura parte del reposo en Go y rueda sin resbalar , alrededor de su eje , a
lo largo de los rieles inclinados de la figura 2
Fig. 2. Disco con eje de acero que rueda sobre dos rieles, partiendo del reposo en G0
y pasando por G1.
Si el cuerpo pasa de la posición Go a la posición G1 y aplicamos el teorema del trabajo y
la energía tenemos:
Wext = (Ep + Ec)1 - (Ep + Ec)0 ………………….(8)
Donde Wext se refiere al trabajo realizado por fuerzas externas; en nuestro caso debido a
la fuerza de fricción estática f . Como el disco no resbala, el trabajo de la fricción es cero,
luego Wext = 0. Por lo tanto se conserva la energía mecánica.
(Ep + Ec)1 = (Ep + Ec)0 ………………………..(9)
Para simplificar la notación ,consideramos : Go≡ 0 y G1≡ 1
De la ecuación (9) y la figura 2 se tiene :
1
1
2
2
Mgh 1  M v1  I ω1  Mgh 0 ……………..(10)
2
2
La ausencia de deslizamiento permite escribir
v1 = 1 r …………………………(11)
Donde v1 es la velocidad lineal del cuerpo en la posición G1 , mientras que 1 representa
la velocidad angular del cuerpo en la misma posición G1 y r es el radio del eje de giro.
Luego, teniendo en cuenta las ecuaciones. (10) y (11) se obtiene :
2
1
1 v
2
M g h1  Mv1  I 12  M g h 0 …………... (12)
2
2 r
De (12):
M[2 g (h0  h1 )  v1 ]
…………………..(12a)
I
2
ω1
La ecuación (12a), nos permite calcular el momento de inercia I del disco, con
respecto a su eje de simetría . M , ho , h1 y v1 se obtienen experimentalmente y ω1
de la relación (11).
2
4
Relaciones para determinar v1 y a
En este caso el movimiento del centro de masa del cuerpo es uniformemente acelerado
(revisar experimento de MRUV). Si el cuerpo parte del reposo, las siguientes
ecuaciones permiten determinar la aceleración a y la velocidad v1 del centro de masa :
Desplazamiento:
Velocidad instantánea:
x = ½ at2 …………………………. (13a)
v = at …………………………..(13b)
Si x es la distancia recorrida de G0 hasta G1 en un tiempo t , de las ecuaciones 13a y 13b
tenemos:
a = 2x / t2 …………………………. (14a)
v1 = 2x / t …………………………..(14b)
Midiendo x y t se puede determinar v1 .
4.
EQUIPO
 02 varillas paralelas con soporte (rieles)
 01 disco de aluminio con eje de acero
 01 cronómetro digital
 01 pie de rey
 01 regla graduada de 1m
 01 Nivel
 01 base de madera con tornillos de nivelación
 01 pivote de acero de 10cm
5.
PROCEDIMIENTO
a)
b)
c)
d)
e)
f)
6.
Determine con una balanza la masa M del disco con su eje. Anote este valor en
la Tabla I
Medir con el pie de rey el diámetro (2r) del eje del disco , la longitud L del eje y
el diámetro 2R del disco. Anote estos valores en la Tabla I
Nivele horizontalmente la base de madera para que el disco no se desvíe durante
su recorrido por lo rieles.
Marcar en uno de los rieles los puntos Go y G1 y medir la distancia x = G0G1.
Anote este valor en la Tabla II.
Fijar la inclinación del riel de tal modo que el disco se desplace por rodadura
pura, es decir sin resbalar. También mida las alturas h0 y h1, con respecto a la
mesa, de los puntos Go y G1. Anotar estos valores en la tabla II. (fig 2).
Coloque el disco siempre en reposo en el punto Go, luego suéltelo y
simultáneamente comience a medir el tiempo que tarda en llegar al punto G1.
Repita tres veces más las mediciones del tiempo y anótelos en la Tabla II.
TABULACIÓN DE DATOS.-
5
Tabla I
Masa M
(g)
Diámetro (2R)
(cm)
Tabla II:
TRAMO x(m)
Diámetro eje(2r)
(cm)
Longitud eje L
(cm)
h0 =__________m
t1 (s)
t2(s)
Espesor
del
disco (cm)
h1 =___________m
t3(s)
t4(s)
t p(s)
v1(m/s)
a(m/s2)
GoG1
7.
CÁLCULOS Y RESULTADOS
a) Momento de inercia del disco usando la ecuación (4) donde
Md = M – m = ____________kg;
m = acero L  r2 = __________ kg
Densidad del acero = 7,80 g/cm3
Ia =
b) Momento de Inercia del disco por dinámica de rotación:
Complete la Tabla II calculando el tiempo promedio tp, la velocidad v1 y la
aceleración a usando las ecuaciones (14a) y (14b).
Calcule sen  = (h0 – h1)/x y anótelo en la Tabla III
Halle el momento de inercia del disco Ib usando la ecuación (7). Anote este valor en
la Tabla III
Tabla III
M(kg)
a(m/s2)
sen 
r(m)
Ib (kg.m2)
c) Momento de inercia del disco por conservación de la energía mecánica.
Con los datos de la Tabla I, la Tabla II, la Tabla III y la ecuación (14b) complete la
Tabla IV.
6
Use la ecuación (12a) para calcular el momento de inercia Ic. Anote este valor
en la Tabla IV.
Tabla IV
M(kg)
(h0 – h1) (m)
v1(m/s)
1 (rad/s)
Ic (kg.m2)
Considerando que el mejor valor obtenido del momento de inercia del disco es
Ia (ecuacion4), determine el porcentaje de error de los momentos de inercia Ib
(ecuacion7) e Ic (ecuacion12a) calculados con respecto a Ia .
I (Valor
Experimental)
Ib
Ic
8.
CUESTIONARIO (05 PUNTOS)
9.
CONCLUSIONES Y OBSERVACIONES
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