Geometría y Relatividad: ¿cómo pensaba Einstein?

Geometrı́a y Relatividad:
¿cómo pensaba Einstein?
José Antonio Pastor González
Profesor Titular de Geometrı́a
Departamento de Matemáticas
Universidad de Murcia
Cuarta Sesión del Seminario de Matemáticas
Departamento de Estadı́stica e Investigación Operativa
Universidad de Alicante
Martes, 2 de Marzo de 2010
El espacio-tiempo de Albert Einstein
La curvatura del espacio-tiempo
El increı́ble legado de Einstein
La fı́sica a finales del siglo XIX
El experimento de Michelson-Morley
La propuesta de Einstein
El formalismo de Minkowski
El éxito de la fı́sica Newtoniana
Desde el siglo XVII, casi todos
los fenómenos dispares de la
naturaleza admitı́an una
explicación coherente y bella a
partir del sentido común y
unas pocas leyes...
José Antonio Pastor González
Geometrı́a y Relatividad: ¿cómo pensaba Einstein?
El espacio-tiempo de Albert Einstein
La curvatura del espacio-tiempo
El increı́ble legado de Einstein
La fı́sica a finales del siglo XIX
El experimento de Michelson-Morley
La propuesta de Einstein
El formalismo de Minkowski
El éxito de la fı́sica Newtoniana
Desde el siglo XVII, casi todos
los fenómenos dispares de la
naturaleza admitı́an una
explicación coherente y bella a
partir del sentido común y
unas pocas leyes...
Hecho: las medidas del
espacio y el tiempo son
absolutas, i.e, todos estamos
de acuerdo en nuestras
medidas
José Antonio Pastor González
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El espacio-tiempo de Albert Einstein
La curvatura del espacio-tiempo
El increı́ble legado de Einstein
La fı́sica a finales del siglo XIX
El experimento de Michelson-Morley
La propuesta de Einstein
El formalismo de Minkowski
El éxito de la fı́sica Newtoniana
Ley de la inercia
los objetos libres – no sujetos
a ninguna fuerza – se mueven
en lı́nea recta sin aceleración
(siguen su inercia)
José Antonio Pastor González
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El espacio-tiempo de Albert Einstein
La curvatura del espacio-tiempo
El increı́ble legado de Einstein
La fı́sica a finales del siglo XIX
El experimento de Michelson-Morley
La propuesta de Einstein
El formalismo de Minkowski
El éxito de la fı́sica Newtoniana
Ley de la gravitación universal
F =G×
m × m0
r2
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El espacio-tiempo de Albert Einstein
La curvatura del espacio-tiempo
El increı́ble legado de Einstein
La fı́sica a finales del siglo XIX
El experimento de Michelson-Morley
La propuesta de Einstein
El formalismo de Minkowski
El éxito de la fı́sica Newtoniana
Éxitos... MUCHOS (a lo largo de 200 años)
La fı́sica de Newton y sus desarrollos posteriores explican, predicen y
permiten la invención de...
José Antonio Pastor González
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El espacio-tiempo de Albert Einstein
La curvatura del espacio-tiempo
El increı́ble legado de Einstein
La fı́sica a finales del siglo XIX
El experimento de Michelson-Morley
La propuesta de Einstein
El formalismo de Minkowski
El éxito de la fı́sica Newtoniana
Éxitos... MUCHOS (a lo largo de 200 años)
La fı́sica de Newton y sus desarrollos posteriores explican, predicen y
permiten la invención de...
las órbitas de los planetas, satélites y cometas
José Antonio Pastor González
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La curvatura del espacio-tiempo
El increı́ble legado de Einstein
La fı́sica a finales del siglo XIX
El experimento de Michelson-Morley
La propuesta de Einstein
El formalismo de Minkowski
El éxito de la fı́sica Newtoniana
Éxitos... MUCHOS (a lo largo de 200 años)
La fı́sica de Newton y sus desarrollos posteriores explican, predicen y
permiten la invención de...
las órbitas de los planetas, satélites y cometas
el flujo y reflujo de las mareas oceánicas
José Antonio Pastor González
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El increı́ble legado de Einstein
La fı́sica a finales del siglo XIX
El experimento de Michelson-Morley
La propuesta de Einstein
El formalismo de Minkowski
El éxito de la fı́sica Newtoniana
Éxitos... MUCHOS (a lo largo de 200 años)
La fı́sica de Newton y sus desarrollos posteriores explican, predicen y
permiten la invención de...
las órbitas de los planetas, satélites y cometas
el flujo y reflujo de las mareas oceánicas
la trayectoria de un proyectil
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El formalismo de Minkowski
El éxito de la fı́sica Newtoniana
Éxitos... MUCHOS (a lo largo de 200 años)
La fı́sica de Newton y sus desarrollos posteriores explican, predicen y
permiten la invención de...
las órbitas de los planetas, satélites y cometas
el flujo y reflujo de las mareas oceánicas
la trayectoria de un proyectil
el motor de vapor
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El increı́ble legado de Einstein
La fı́sica a finales del siglo XIX
El experimento de Michelson-Morley
La propuesta de Einstein
El formalismo de Minkowski
El electromagnetismo de Maxwell
A mitad del siglo XIX...
...Maxwell confirma la naturaleza ondulatoria de la luz asumiendo las
siguientes caracterı́sticas:
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La propuesta de Einstein
El formalismo de Minkowski
El electromagnetismo de Maxwell
A mitad del siglo XIX...
...Maxwell confirma la naturaleza ondulatoria de la luz asumiendo las
siguientes caracterı́sticas:
1
la existencia del éter como medio de propagación (y como patrón de
quietud)
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La propuesta de Einstein
El formalismo de Minkowski
El electromagnetismo de Maxwell
A mitad del siglo XIX...
...Maxwell confirma la naturaleza ondulatoria de la luz asumiendo las
siguientes caracterı́sticas:
1
la existencia del éter como medio de propagación (y como patrón de
quietud)
2
la velocidad de la luz en relación al éter es siempre la misma y está
dada por c = 300.000km/s
*
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El formalismo de Minkowski
El experimento de Michelson-Morley
Analogı́a:
Si un camión circula a 100
km/h en la autovı́a...
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Analogı́a:
Si un camión circula a 100
km/h en la autovı́a...
... entonces...
... el coche que va en el
mismo carril medirá 30 km/h,
mientras que el otro coche
medirá 220 km/h
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La propuesta de Einstein
El formalismo de Minkowski
Pero... ¡las mediciones siempre eran idénticas!
Sorpresa general de los fı́sicos...
... pues era de esperar que dos observadores (dos coches) al medir la
velocidad de la luz (del camión), en su movimiento a través del éter (de la
autovı́a) a una velocidad constante de c (100 km/h), obtuvieran distintas
mediciones según sus estados de movimiento (sus propias velocidades)
José Antonio Pastor González
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La propuesta de Einstein
El formalismo de Minkowski
Consecuencias
Si las cosas son ası́ (si la luz no se comporta como el camión), entonces
unas cuentas sencillas nos llevan a que...
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El formalismo de Minkowski
Consecuencias
Si las cosas son ası́ (si la luz no se comporta como el camión), entonces
unas cuentas sencillas nos llevan a que...
las longitudes de un objeto en movimiento se contraen
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La propuesta de Einstein
El formalismo de Minkowski
Consecuencias
Si las cosas son ası́ (si la luz no se comporta como el camión), entonces
unas cuentas sencillas nos llevan a que...
las longitudes de un objeto en movimiento se contraen
el discurrir del tiempo en un reloj en movimiento es más lento que el
un reloj idéntico en reposo
José Antonio Pastor González
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La propuesta de Einstein
El formalismo de Minkowski
Consecuencias
Si las cosas son ası́ (si la luz no se comporta como el camión), entonces
unas cuentas sencillas nos llevan a que...
las longitudes de un objeto en movimiento se contraen
el discurrir del tiempo en un reloj en movimiento es más lento que el
un reloj idéntico en reposo
Sin embargo...
La comunidad cientı́fica no acepta estos resultados... por ejemplo, todos
sabemos que el TIEMPO ES EL MISMO PARA TODOS... ¿CÓMO VA
A DEPENDER EL TIEMPO DE LA PERSONA QUE LO MIDE?
José Antonio Pastor González
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El experimento de Michelson-Morley
La propuesta de Einstein
El formalismo de Minkowski
Una propuesta radical
El razonamiento de Einstein
si la velocidad de la luz es SIEMPRE LA MISMA sea quien sea el
que la esté midiendo
si para que sea ası́ el espacio y el tiempo deben depender de quien
hace las medidas
si las leyes del electromagnetismo encajan mejor con estas ideas que
con las leyes de clásicas de Newton
entonces...
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La propuesta de Einstein
El formalismo de Minkowski
Una propuesta radical
El razonamiento de Einstein
si la velocidad de la luz es SIEMPRE LA MISMA sea quien sea el
que la esté midiendo
si para que sea ası́ el espacio y el tiempo deben depender de quien
hace las medidas
si las leyes del electromagnetismo encajan mejor con estas ideas que
con las leyes de clásicas de Newton
entonces...
cambiemos nuestras ideas de espacio y tiempo de modo que
no existe espacio absoluto ni tiempo absoluto
el tiempo y el espacio son relativos, dependen del estado de
movimiento de quien efectúa las mediciones
José Antonio Pastor González
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La propuesta de Einstein
El formalismo de Minkowski
Los principios de la relatividad especial
1
cualquiera que sea su naturaleza, el espacio y el tiempo deben estar
constituidos de tal forma que la velocidad de la luz sea siempre
constante
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La propuesta de Einstein
El formalismo de Minkowski
Los principios de la relatividad especial
1
cualquiera que sea su naturaleza, el espacio y el tiempo deben estar
constituidos de tal forma que la velocidad de la luz sea siempre
constante
2
las leyes de la fı́sica deben ser idénticas en todos los sistemas de
referencia inerciales (no hay sistemas privilegiados; sistema de
referencia inercial ≡ aquel en el que los objetos libres se mueven
siguiendo lı́neas rectas)
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La propuesta de Einstein
El formalismo de Minkowski
Diagramas espacio-temporales
Un sencillo diagrama espacio-temporal...
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El formalismo de Minkowski
Diagramas espacio-temporales
Un sencillo diagrama espacio-temporal...
... nos lleva a la relatividad de la simultaneidad
Para vosotros, los sucesos A y B ocurren al mismo tiempo
Para mı́, el suceso B ocurre antes que el suceso A
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El experimento de Michelson-Morley
La propuesta de Einstein
El formalismo de Minkowski
Consecuencias (experimentalmente probadas) son...
La contracción de longitudes y la dilatación del tiempo...
r
v2
T0
L = L0 1 − 2 y T = q
2
c
1− v
c2
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El formalismo de Minkowski
Consecuencias (experimentalmente probadas) son...
La contracción de longitudes y la dilatación del tiempo...
r
v2
T0
L = L0 1 − 2 y T = q
2
c
1− v
c2
La equivalencia entre masa y energı́a...
E = mc 2
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El formalismo de Minkowski
Consecuencias (experimentalmente probadas) son...
La contracción de longitudes y la dilatación del tiempo...
r
v2
T0
L = L0 1 − 2 y T = q
2
c
1− v
c2
La equivalencia entre masa y energı́a...
E = mc 2
Pero... ¿cómo no lo habı́amos notado?
2
Es por el factor β 2 = vc 2 que es muy pequeño a velocidades normales...
por ejemplo, si v ∼
= 110km/h, entonces β 2 = 10−8 = 0.00000001.
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La propuesta de Einstein
El formalismo de Minkowski
¿Todo es relativo?
Comencemos con una historia sencilla...
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El formalismo de Minkowski
¿Todo es relativo?
Comencemos con una historia sencilla...
La moraleja es...
Aunque los dos midamos
cosas distintas, puede
existir una combinación
determinada de nuestras
medidas que sea absoluta,
i.e, que no depende de
quién efectúa las medidas.
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La propuesta de Einstein
El formalismo de Minkowski
El espacio-tiempo absoluto
Una famosa cita de Minkowski...
... las ideas del espacio y el tiempo que deseo exponer han brotado de las
raı́ces de la fı́sica experimental y en ello reside su fuerza. Son, pues,
radicales. En lo sucesivo, el espacio por sı́ mismo y el tiempo por sı́
mismo están condenados a desvanecerse en meras sombras, y sólo una
unión especial de ambos conservará una realidad independiente.
José Antonio Pastor González
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El formalismo de Minkowski
El espacio-tiempo absoluto
Una famosa cita de Minkowski...
... las ideas del espacio y el tiempo que deseo exponer han brotado de las
raı́ces de la fı́sica experimental y en ello reside su fuerza. Son, pues,
radicales. En lo sucesivo, el espacio por sı́ mismo y el tiempo por sı́
mismo están condenados a desvanecerse en meras sombras, y sólo una
unión especial de ambos conservará una realidad independiente.
... que nos lleva a la aparición del intervalo
Aunque los dos medimos espacios y tiempos distintos, una combinación
de vuestro espacio y vuestro tiempo coincide con la misma combinación
de mi espacio y mi tiempo. Esa combinación es el intervalo
espacio-temporal.
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El espacio-tiempo absoluto
El intervalo espacio-temporal
El intervalo espacio-temporal
(intervalo)2 ≡ (espacio)2 − (tiempo)2
(modelo de cuatro dimensiones aunque aquı́ sólo ponemos dos)
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El principio de equivalencia
La gravedad de marea
¿Qué es la curvatura?
La materia-energı́a curva el espacio-tiempo
La teorı́a de la gravitación newtoniana
éxito del intelecto
válido desde el
siglo XVII y
modelo para otras
disciplinas
(programa de
Newton)
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La gravedad de marea
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La materia-energı́a curva el espacio-tiempo
La teorı́a de la gravitación newtoniana
éxito del intelecto
válido desde el
siglo XVII y
modelo para otras
disciplinas
(programa de
Newton)
explicó todas las
observaciones
durante más de
dos siglos
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La gravedad de marea
¿Qué es la curvatura?
La materia-energı́a curva el espacio-tiempo
La teorı́a de la gravitación newtoniana
Pero también empezó a presentar lagunas...
... conforme los instrumentos ópticos mejoraban... Ası́ tenemos la
precesión del perihelio de Mercurio:
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La curvatura del espacio-tiempo
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El principio de equivalencia
La gravedad de marea
¿Qué es la curvatura?
La materia-energı́a curva el espacio-tiempo
El inconformismo de Einstein
Objetivo: extender su teorı́a al ámbito de la gravitación
José Antonio Pastor González
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La gravedad de marea
¿Qué es la curvatura?
La materia-energı́a curva el espacio-tiempo
El inconformismo de Einstein
Objetivo: extender su teorı́a al ámbito de la gravitación
Einstein quiere pasar del mundo inercial – en el que los objetos libres
se mueven siguiendo lı́neas rectas – al mundo gravitacional en el que
los objetos están acelerados por la presencia de la masa y sus
trayectorias están curvadas (nuestro mundo).
José Antonio Pastor González
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La gravedad de marea
¿Qué es la curvatura?
La materia-energı́a curva el espacio-tiempo
El inconformismo de Einstein
Objetivo: extender su teorı́a al ámbito de la gravitación
Einstein quiere pasar del mundo inercial – en el que los objetos libres
se mueven siguiendo lı́neas rectas – al mundo gravitacional en el que
los objetos están acelerados por la presencia de la masa y sus
trayectorias están curvadas (nuestro mundo).
Einstein piensa que será capaz de explicar el fenómeno de la
precesión del perihelio de Mercurio
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El principio de equivalencia
La gravedad de marea
¿Qué es la curvatura?
La materia-energı́a curva el espacio-tiempo
El inconformismo de Einstein
Objetivo: extender su teorı́a al ámbito de la gravitación
Einstein quiere pasar del mundo inercial – en el que los objetos libres
se mueven siguiendo lı́neas rectas – al mundo gravitacional en el que
los objetos están acelerados por la presencia de la masa y sus
trayectorias están curvadas (nuestro mundo).
Einstein piensa que será capaz de explicar el fenómeno de la
precesión del perihelio de Mercurio
Una idea genial
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El principio de equivalencia
La gravedad de marea
¿Qué es la curvatura?
La materia-energı́a curva el espacio-tiempo
El inconformismo de Einstein
Objetivo: extender su teorı́a al ámbito de la gravitación
Einstein quiere pasar del mundo inercial – en el que los objetos libres
se mueven siguiendo lı́neas rectas – al mundo gravitacional en el que
los objetos están acelerados por la presencia de la masa y sus
trayectorias están curvadas (nuestro mundo).
Einstein piensa que será capaz de explicar el fenómeno de la
precesión del perihelio de Mercurio
Una idea genial
Pregunta: ¿Cuál es la situación más parecida o equivalente a la
inercial dentro del ámbito gravitatorio?
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La gravedad de marea
¿Qué es la curvatura?
La materia-energı́a curva el espacio-tiempo
El inconformismo de Einstein
Objetivo: extender su teorı́a al ámbito de la gravitación
Einstein quiere pasar del mundo inercial – en el que los objetos libres
se mueven siguiendo lı́neas rectas – al mundo gravitacional en el que
los objetos están acelerados por la presencia de la masa y sus
trayectorias están curvadas (nuestro mundo).
Einstein piensa que será capaz de explicar el fenómeno de la
precesión del perihelio de Mercurio
Una idea genial
Pregunta: ¿Cuál es la situación más parecida o equivalente a la
inercial dentro del ámbito gravitatorio?
Respuesta: la situación de caı́da libre.
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El principio de equivalencia
La gravedad de marea
¿Qué es la curvatura?
La materia-energı́a curva el espacio-tiempo
¿Por qué?
En un ascensor en caı́da libre:
Si jugamos con una pelota de
tenis, desde nuestra perspectiva
ésta se moverá siempre
siguiendo una lı́nea recta, como
si estuviéramos en el espacio
exterior (en un sistema inercial)
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La gravedad de marea
¿Qué es la curvatura?
La materia-energı́a curva el espacio-tiempo
¿Por qué?
Lo vemos aquı́:
En un ascensor en caı́da libre:
Si jugamos con una pelota de
tenis, desde nuestra perspectiva
ésta se moverá siempre
siguiendo una lı́nea recta, como
si estuviéramos en el espacio
exterior (en un sistema inercial)
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La gravedad de marea
¿Qué es la curvatura?
La materia-energı́a curva el espacio-tiempo
En caı́da libre...
...lo que antes era curvo ahora se vuelve recto
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La gravedad de marea
¿Qué es la curvatura?
La materia-energı́a curva el espacio-tiempo
En caı́da libre...
...lo que antes era curvo ahora se vuelve recto
?
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La gravedad de marea
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En caı́da libre...
...lo que antes era curvo ahora se vuelve recto
?
)
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En caı́da libre...
...lo que antes era curvo ahora se vuelve recto
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En caı́da libre...
...lo que antes era curvo ahora se vuelve recto
?
6
)
¾
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La gravedad de marea
¿Qué es la curvatura?
La materia-energı́a curva el espacio-tiempo
El Principio de Equivalencia
Enunciado del Principio de Equivalencia
No hay diferencia entre los experimentos realizados – o entre la fı́sica –
en el ámbito de un pequeño sistema en caı́da libre y en el ámbito de un
sistema inercial.
José Antonio Pastor González
Geometrı́a y Relatividad: ¿cómo pensaba Einstein?
El espacio-tiempo de Albert Einstein
La curvatura del espacio-tiempo
El increı́ble legado de Einstein
El principio de equivalencia
La gravedad de marea
¿Qué es la curvatura?
La materia-energı́a curva el espacio-tiempo
El Principio de Equivalencia
Enunciado del Principio de Equivalencia
No hay diferencia entre los experimentos realizados – o entre la fı́sica –
en el ámbito de un pequeño sistema en caı́da libre y en el ámbito de un
sistema inercial.
Consecuencias (fáciles de deducir, difı́ciles de probar experimentalmente)
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El Principio de Equivalencia
Enunciado del Principio de Equivalencia
No hay diferencia entre los experimentos realizados – o entre la fı́sica –
en el ámbito de un pequeño sistema en caı́da libre y en el ámbito de un
sistema inercial.
Consecuencias (fáciles de deducir, difı́ciles de probar experimentalmente)
la masa influye en la trayectoria de la luz y la curva
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El Principio de Equivalencia
Enunciado del Principio de Equivalencia
No hay diferencia entre los experimentos realizados – o entre la fı́sica –
en el ámbito de un pequeño sistema en caı́da libre y en el ámbito de un
sistema inercial.
Consecuencias (fáciles de deducir, difı́ciles de probar experimentalmente)
la masa influye en la trayectoria de la luz y la curva
dilatación gravitatoria del tiempo: el tiempo fluye más lentamente
conforme uno está más próximo a un cuerpo con masa (aprox. 300
partes de un trillón en un sistema habitación-tierra).
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La gravedad de marea
¿Qué es la curvatura?
La materia-energı́a curva el espacio-tiempo
¿Cómo se curva la luz?
Otra lectura del principio de
equivalencia
No hay diferencia entre un
pequeño sistema de
referencia sujeto a la gravedad
y un sistema de referencia
acelerado en la misma
magnitud.
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Otra lectura del principio de
equivalencia
No hay diferencia entre un
pequeño sistema de
referencia sujeto a la gravedad
y un sistema de referencia
acelerado en la misma
magnitud.
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¿Qué es la curvatura?
La materia-energı́a curva el espacio-tiempo
¿Cómo se curva la luz?
La luz es atraı́da por la gravedad...
Con este experimento se demuestra que la luz debe ser atraı́da por la
gravedad de la tierra, si aceptamos el principio de equivalencia.
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¿Qué es la curvatura?
La materia-energı́a curva el espacio-tiempo
¿Cómo se curva la luz?
La luz es atraı́da por la gravedad...
Con este experimento se demuestra que la luz debe ser atraı́da por la
gravedad de la tierra, si aceptamos el principio de equivalencia.
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La gravedad de marea
¿Qué es la curvatura?
La materia-energı́a curva el espacio-tiempo
¿Por qué sistemas pequeños?
Respuesta:
Porque cuando son grandes los dos sistemas
no son EQUIVALENTES como se ve aquı́...
ya que aparecen LAS FUERZAS DE
MAREA (observad que las bolas en la
misma vertical se separan mientras que las
que están a la misma altura se aproximan)
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La materia-energı́a curva el espacio-tiempo
¿Por qué sistemas pequeños?
Respuesta:
Porque cuando son grandes los dos sistemas
no son EQUIVALENTES como se ve aquı́...
ya que aparecen LAS FUERZAS DE
MAREA (observad que las bolas en la
misma vertical se separan mientras que las
que están a la misma altura se aproximan)
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¿Qué es la curvatura?
La materia-energı́a curva el espacio-tiempo
¿Qué son las fuerzas de marea?
Si estamos cayendo hacia la tierra... ¿qué sentimos?
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¿Qué es la curvatura?
La materia-energı́a curva el espacio-tiempo
¿Qué son las fuerzas de marea?
Son las fuerzas que provocan las mareas...
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¿Qué es la curvatura?
La materia-energı́a curva el espacio-tiempo
Curvatura en una dimensión
C
Curvatura en una dimensión:
curvatura de una curva.
Es una medida de lo cerrada
que es la curva en cada punto.
Se manifiesta por la fuerza
centrı́fuga (desde nuestra
perspectiva) y su valor
numérico es 1/r .
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r
P
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¿Qué es la curvatura?
La materia-energı́a curva el espacio-tiempo
Curvatura en dos dimensiones
Curvatura en dos dimensiones: curvatura de una superficie
¿Qué es una superficie? Es un objeto bidimensional.
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La gravedad de marea
¿Qué es la curvatura?
La materia-energı́a curva el espacio-tiempo
¿Cómo se mide la curvatura de una superficie?
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¿Qué es la curvatura?
La materia-energı́a curva el espacio-tiempo
¿Cómo se mide la curvatura de una superficie?
Curvatura en dos dimensiones: curvatura de una superficie
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¿Qué es la curvatura?
La materia-energı́a curva el espacio-tiempo
¿Cómo se mide la curvatura de una superficie?
Curvatura en dos dimensiones: curvatura de una superficie
¿Y existe curvatura en 3,4,5 y más dimensiones?
Existe... PERO ES COMPLICADO DE EXPLICAR...
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¿Qué es la curvatura?
La materia-energı́a curva el espacio-tiempo
CURVATURA determina GEOMETRÍA
Ejemplo
La longitud de una circunferencia
es L = 2πr pero esto es cierto
solamente en un plano (donde
K ≡ 0). Si K 6= 0 entonces
L 6= 2πr .
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¿Qué es la curvatura?
La materia-energı́a curva el espacio-tiempo
CURVATURA determina GEOMETRÍA
Una lámina deformada
Ejemplo
La longitud de una circunferencia
es L = 2πr pero esto es cierto
solamente en un plano (donde
K ≡ 0). Si K 6= 0 entonces
L 6= 2πr .
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¿Qué es la curvatura?
La materia-energı́a curva el espacio-tiempo
CURVATURA determina GEOMETRÍA
Curvatura y teorema de Thales
En el plano (K ≡ 0) la suma de los ángulos interiores es 180 grados:
α + β + γ = π.
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¿Qué es la curvatura?
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CURVATURA determina GEOMETRÍA
Curvatura y teorema de Thales
En el plano (K ≡ 0) la suma de los ángulos interiores es 180 grados:
α + β + γ = π.
Pero si K 6= 0 el teorema es...
α + β + γ = π ± áreaT
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¿Qué es la curvatura?
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CURVATURA determina GEOMETRÍA
Curvatura y teorema de Thales
En el plano (K ≡ 0) la suma de los ángulos interiores es 180 grados:
α + β + γ = π.
Pero si K 6= 0 el teorema es...
α + β + γ = π ± áreaT
¿Por qué?
Porque su demostración descansa en uno de los axiomas de la geometrı́a
de Euclides conocido como el V Postulado y éste no se cumple cuando
K 6= 0
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¿Qué es la curvatura?
La materia-energı́a curva el espacio-tiempo
CURVATURA determina GEOMETRÍA
Según la curvatura existen (o no) recta(s) paralela(s)...
1
en una superficie con K = 0 (plano) dada una recta y un punto
exterior a ella, existe una única recta paralela pasando por dicho
punto (geometrı́a euclı́dea)
2
en una superficie con K < 0 (pseudoesfera) existen infinitas
(geometrı́a hiperbólica)
3
en una superficie con K > 0 (esfera) no existen (geometrı́a esférica)
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CURVATURA determina GEOMETRÍA
Según la curvatura existen (o no) recta(s) paralela(s)...
1
en una superficie con K = 0 (plano) dada una recta y un punto
exterior a ella, existe una única recta paralela pasando por dicho
punto (geometrı́a euclı́dea)
2
en una superficie con K < 0 (pseudoesfera) existen infinitas
(geometrı́a hiperbólica)
3
en una superficie con K > 0 (esfera) no existen (geometrı́a esférica)
Veámoslo con un dibujo...
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CURVATURA determina GEOMETRÍA
En la pseudoesfera hay infinitas paralelas
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¿Qué es la curvatura?
La materia-energı́a curva el espacio-tiempo
Aunque... ¿qué entendemos por recta?
Geodésica ≡ lı́nea recta en una
superficie curvada
Las lı́neas rectas en una superficie
con curvatura se llaman
geodésicas y son los caminos más
cortos para unir dos puntos
dados.
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¿Qué es la curvatura?
La materia-energı́a curva el espacio-tiempo
Aunque... ¿qué entendemos por recta?
Ejemplo: los aviones siguen geodésicas
Geodésica ≡ lı́nea recta en una
superficie curvada
Las lı́neas rectas en una superficie
con curvatura se llaman
geodésicas y son los caminos más
cortos para unir dos puntos
dados.
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¿Qué es la curvatura?
La materia-energı́a curva el espacio-tiempo
El genio de Einstein
Analogı́as
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El genio de Einstein
Analogı́as
1
superficies con curvatura 2D ≡ espacio-tiempo con curvatura 4D
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Analogı́as
1
superficies con curvatura 2D ≡ espacio-tiempo con curvatura 4D
2
geodésicas en superficies ≡ geodésicas en el espacio-tiempo
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Analogı́as
1
superficies con curvatura 2D ≡ espacio-tiempo con curvatura 4D
2
geodésicas en superficies ≡ geodésicas en el espacio-tiempo
MATERIA ⇒
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Analogı́as
1
superficies con curvatura 2D ≡ espacio-tiempo con curvatura 4D
2
geodésicas en superficies ≡ geodésicas en el espacio-tiempo
MATERIA ⇒
CURVATURA
del E-T ⇒
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Analogı́as
1
superficies con curvatura 2D ≡ espacio-tiempo con curvatura 4D
2
geodésicas en superficies ≡ geodésicas en el espacio-tiempo
MATERIA ⇒
CURVATURA
del E-T ⇒
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GEOMETRÍA
del E-T ⇒
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1
superficies con curvatura 2D ≡ espacio-tiempo con curvatura 4D
2
geodésicas en superficies ≡ geodésicas en el espacio-tiempo
MATERIA ⇒
CURVATURA
del E-T ⇒
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GEOMETRÍA
del E-T ⇒
GEODÉSICAS
del E-T
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1
superficies con curvatura 2D ≡ espacio-tiempo con curvatura 4D
2
geodésicas en superficies ≡ geodésicas en el espacio-tiempo
MATERIA ⇒
CURVATURA
del E-T ⇒
GEOMETRÍA
del E-T ⇒
GEODÉSICAS
del E-T
Por último, las geodésicas del E-T son las trayectorias de las partı́culas
(incluyendo la luz) que se mueven sujetas únicamente a la gravedad
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Un ejemplo...
Las trayectorias de dos bolas...son dos geodésicas que se cortan
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¿Qué es la curvatura?
La materia-energı́a curva el espacio-tiempo
Una vista del espacio-tiempo curvo
Para ver 4 dimensiones utilizamos las 2-rebanadas...
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¿Qué es la curvatura?
La materia-energı́a curva el espacio-tiempo
Una vista del espacio-tiempo curvo
Para ver 4 dimensiones utilizamos las 2-rebanadas...
¿Qué significan estos dibujos?
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Una vista del espacio-tiempo curvo
Para ver 4 dimensiones utilizamos las 2-rebanadas...
¿Qué significan estos dibujos?
a la izquierda: las bolas que se encuentran en la misma vertical a
distinta altura se van separando conforme pasa el tiempo
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Una vista del espacio-tiempo curvo
Para ver 4 dimensiones utilizamos las 2-rebanadas...
¿Qué significan estos dibujos?
a la izquierda: las bolas que se encuentran en la misma vertical a
distinta altura se van separando conforme pasa el tiempo
a la derecha: las bolas que se encuentran en distinta vertical a la
misma altura se van juntando conforme pasa el tiempo
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La materia-energı́a curva el espacio-tiempo
La ecuación de campo de Einstein
Una ecuación complicada
La ecuación de campo de Einstein describe cómo la materia-energı́a
provoca una curvatura en el espacio-tiempo. Esta ecuación se escribe
1
Ricij − gij S = 8πTij .
2
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La ecuación de campo de Einstein
Una ecuación complicada
La ecuación de campo de Einstein describe cómo la materia-energı́a
provoca una curvatura en el espacio-tiempo. Esta ecuación se escribe
1
Ricij − gij S = 8πTij .
2
que se resume en este dibujo:
≡ distribución de
materia-energı́a
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Los hechos experimentales: el triunfo de la teorı́a
Lo que permite: agujeros negros, viajes en el tiempo...
La estructura a gran escala del Universo
La precesión del perihelio de Mercurio
Recordamos el fenómeno...
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Lo que permite: agujeros negros, viajes en el tiempo...
La estructura a gran escala del Universo
La precesión del perihelio de Mercurio
Recordamos el fenómeno...
Tras unas cuentas más o menos complicadas...
las ecuaciones de Einstein predicen la precesión de la órbita de Mercurio
y el valor predicho coincide con el observado. También se ha efectuado el
mismo experimento para la Tierra, Venus y el satélite Ícaro con idénticos
resultados.
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Lo que permite: agujeros negros, viajes en el tiempo...
La estructura a gran escala del Universo
La luz se curva en presencia de un campo gravitatorio
El experimento de Eddington
Y los resultados también daban la razón a Einstein...
El ángulo observado era aproximadamente 1.75 segundos de arco, que
coincidı́a con lo predicho por la teorı́a de Einstein.
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Una lente gravitatoria
¿Cómo funciona?
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Una lente gravitatoria vista por el telescopio
Lente Gravitatoria. Imagen 1
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Lente Gravitatoria. Imagen 2
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Lente Gravitatoria. Imagen 3
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Lente Gravitatoria. Imagen 4
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Lente Gravitatoria. Imagen 5
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Lente Gravitatoria. Imagen 6
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Lente Gravitatoria. Imagen 7
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La curvatura del espacio-tiempo
El increı́ble legado de Einstein
Los hechos experimentales: el triunfo de la teorı́a
Lo que permite: agujeros negros, viajes en el tiempo...
La estructura a gran escala del Universo
Una lente gravitatoria vista por el telescopio
Lente Gravitatoria. Imagen 10
José Antonio Pastor González
Geometrı́a y Relatividad: ¿cómo pensaba Einstein?
El espacio-tiempo de Albert Einstein
La curvatura del espacio-tiempo
El increı́ble legado de Einstein
Los hechos experimentales: el triunfo de la teorı́a
Lo que permite: agujeros negros, viajes en el tiempo...
La estructura a gran escala del Universo
Una prueba más para Einstein: los Gravity Probe
Primero fue el Gravity Probe A...
satélite proyectado por la NASA en 1976 para verificar cómo la gravedad
afecta al tiempo, utilizando un reloj de hidrógeno que corroboró la teorı́a
de Einstein con una precisión de 70 partes por millón.
José Antonio Pastor González
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Los hechos experimentales: el triunfo de la teorı́a
Lo que permite: agujeros negros, viajes en el tiempo...
La estructura a gran escala del Universo
...y ahora es el Gravity Probe B
José Antonio Pastor González
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El increı́ble legado de Einstein
Los hechos experimentales: el triunfo de la teorı́a
Lo que permite: agujeros negros, viajes en el tiempo...
La estructura a gran escala del Universo
...y ahora es el Gravity Probe B
El récord de la fı́sica experimental...
José Antonio Pastor González
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El increı́ble legado de Einstein
Los hechos experimentales: el triunfo de la teorı́a
Lo que permite: agujeros negros, viajes en el tiempo...
La estructura a gran escala del Universo
¿Qué es un agujero negro?
Es el estado final de una estrella...
José Antonio Pastor González
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El increı́ble legado de Einstein
Los hechos experimentales: el triunfo de la teorı́a
Lo que permite: agujeros negros, viajes en el tiempo...
La estructura a gran escala del Universo
¿Qué es un agujero negro?
Es el estado final de una estrella...
Las estrellas masivas, cuando han agotado su combustible nuclear,
no pueden sostener su propio peso y se hunden sobre sı́ mismas...
José Antonio Pastor González
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La curvatura del espacio-tiempo
El increı́ble legado de Einstein
Los hechos experimentales: el triunfo de la teorı́a
Lo que permite: agujeros negros, viajes en el tiempo...
La estructura a gran escala del Universo
¿Qué es un agujero negro?
Es el estado final de una estrella...
Las estrellas masivas, cuando han agotado su combustible nuclear,
no pueden sostener su propio peso y se hunden sobre sı́ mismas...
Cuando r = 2m (el radio de Schwarzschild) la estrella se convierte
en un agujero negro y ni siquiera la luz que emite puede escapar de
la curvatura del espacio-tiempo que genera.
José Antonio Pastor González
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La curvatura del espacio-tiempo
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La estructura a gran escala del Universo
¿Qué es un agujero negro?
Es el estado final de una estrella...
Las estrellas masivas, cuando han agotado su combustible nuclear,
no pueden sostener su propio peso y se hunden sobre sı́ mismas...
Cuando r = 2m (el radio de Schwarzschild) la estrella se convierte
en un agujero negro y ni siquiera la luz que emite puede escapar de
la curvatura del espacio-tiempo que genera.
Un dato: el radio de Schwarzschild para el sol es de 2 kilómetros. El
sol jamás se convertirá en un agujero negro.
José Antonio Pastor González
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Lo que permite: agujeros negros, viajes en el tiempo...
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¿Cómo los vemos si son negros?
Por los efectos que producen en su entorno más próximo...
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Lo que permite: agujeros negros, viajes en el tiempo...
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¿Cómo se distinguen de otras estrellas masivas?
Por ejemplo, de las estrellas de neutrones...
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Lo que permite: agujeros negros, viajes en el tiempo...
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También hay super-agujeros negros...
...y son los sumideros de algunas galaxias...
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Lo que permite: agujeros negros, viajes en el tiempo...
La estructura a gran escala del Universo
¿Y los viajes en el tiempo? ¿Son posibles?
...utilizando algún agujero de gusano quizás...
José Antonio Pastor González
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Lo que permite: agujeros negros, viajes en el tiempo...
La estructura a gran escala del Universo
¿De dónde venimos?
El gran estallido o big bang...
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El eco del pasado...
... puede ser escuchado si miramos cada vez más lejos
José Antonio Pastor González
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La estructura a gran escala del Universo
¿Qué geometrı́a tiene nuestro Universo?
Gravedad vs Expansión
La forma y el destino del universo está determinado por dos tendencias
contrarias:
José Antonio Pastor González
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La estructura a gran escala del Universo
¿Qué geometrı́a tiene nuestro Universo?
Gravedad vs Expansión
La forma y el destino del universo está determinado por dos tendencias
contrarias:
la tendencia a la expansión proveniente del Big Bang (velocidad de
expansión ≡ constante de Hubble)
José Antonio Pastor González
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¿Qué geometrı́a tiene nuestro Universo?
Gravedad vs Expansión
La forma y el destino del universo está determinado por dos tendencias
contrarias:
la tendencia a la expansión proveniente del Big Bang (velocidad de
expansión ≡ constante de Hubble)
la tendencia a la contracción de la gravedad (distribución de la
materia y la energı́a)
José Antonio Pastor González
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¿Qué geometrı́a tiene nuestro Universo?
Gravedad vs Expansión
La forma y el destino del universo está determinado por dos tendencias
contrarias:
la tendencia a la expansión proveniente del Big Bang (velocidad de
expansión ≡ constante de Hubble)
la tendencia a la contracción de la gravedad (distribución de la
materia y la energı́a)
Según el resultado...
José Antonio Pastor González
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La estructura a gran escala del Universo
¿Qué geometrı́a tiene nuestro Universo?
Gravedad vs Expansión
La forma y el destino del universo está determinado por dos tendencias
contrarias:
la tendencia a la expansión proveniente del Big Bang (velocidad de
expansión ≡ constante de Hubble)
la tendencia a la contracción de la gravedad (distribución de la
materia y la energı́a)
Según el resultado...
si la gravedad es más fuerte que la expansión, el universo se cerrará
sobre sı́ mismo y colapsará a un punto (big crunch)
José Antonio Pastor González
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¿Qué geometrı́a tiene nuestro Universo?
Gravedad vs Expansión
La forma y el destino del universo está determinado por dos tendencias
contrarias:
la tendencia a la expansión proveniente del Big Bang (velocidad de
expansión ≡ constante de Hubble)
la tendencia a la contracción de la gravedad (distribución de la
materia y la energı́a)
Según el resultado...
si la gravedad es más fuerte que la expansión, el universo se cerrará
sobre sı́ mismo y colapsará a un punto (big crunch)
si la expansión es más fuerte que la gravedad, entonces el universo
continuará expandiéndose indefinidamente
José Antonio Pastor González
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Lo que permite: agujeros negros, viajes en el tiempo...
La estructura a gran escala del Universo
La tres posibles geometrı́as del Universo...
Según el resultado...
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En cualquier caso, quedan millones de años...
...para seguir disfrutando de este espectáculo
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