2 Lenguajes independientes del contexto y autómatas de pila

CFG Autómatas de pila Algunos teoremas útiles
CFG Autómatas de pila Algunos teoremas útiles
Definición Ejemplos Lenguajes de Dyck Formas normales T. del bombeo
Gramáticas independientes del contexto
TEORÍA DE LA COMPUTACIÓN
LENGUAJES INDEPENDIENTES DEL
CONTEXTO Y AUTÓMATAS DE PILA
Una gramática G = hΣ, Γ, S, →i es independiente del contexto sii
todas las reglas de producción tienen una de las dos siguientes formas
A→α
A → ,
donde A ∈ Γ.
Francisco Hernández Quiroz
CFG
El lenguaje generado por G se denotará con L(G).
Departamento de Matemáticas
Facultad de Ciencias, UNAM
E-mail: fhq@ciencias.unam.mx
Página Web: www.matematicas.unam.mx/fhq
Un lenguaje L es independiente del contexto sii existe una gramática
G ∈ CFG tal que
L = L(G).
Facultad de Ciencias
Francisco Hernández Quiroz
Teoría de la Computación
designará el conjunto de gramáticas independientes del contexto.
CFL
Leng. independientes del contexto
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es el conjunto de lenguajes independientes del contexto.
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Teoría de la Computación
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Definición Ejemplos Lenguajes de Dyck Formas normales T. del bombeo
Definición Ejemplos Lenguajes de Dyck Formas normales T. del bombeo
Ejemplos
Leng. independientes del contexto
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Leng. independientes del contexto
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Otras definiciones I
Considérese una derivación
1
α0 ⇒ α1 ⇒ · · · ⇒ αn .
Lenguaje de palindromas. Sea GP = h{a, b}, {S}, S, →P i, donde
Esta derivación presupone reglas de producción
S →P aSa | bSb | .
2
A1 → β1 . . . An → βn
Lenguaje de paréntesis. Sea Sea GD = h{(, )}, {S}, S, →D i, con las
siguientes reglas
S →D (S) | SS | .
tales que
αi = γi Ai ηi
αi+1 = γi βi ηi .
Esta derivación será por la izquierda sii para todo i ≤ n
γi ≤ γi+1
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Teoría de la Computación
Leng. independientes del contexto
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γi ∈ Σ∗
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Definición Ejemplos Lenguajes de Dyck Formas normales T. del bombeo
Definición Ejemplos Lenguajes de Dyck Formas normales T. del bombeo
Otras definiciones II
Otras definiciones III
y será por la derecha sii
ηi ≤ ηi+1
η i ∈ Σ∗ .
Una producción es terminal sii no contiene símbolos no terminales del lado
derecho.
Una producción es una regla- sii su lado derecho es .
Una producción es unitaria sii es de la forma de la forma A → B, con
A, B ∈ Γ.
Una gramática es propia sii no contiene regla- ni reglas unitarias.
Una gramática es no ambigua sii ∀α ∈ L(G), α tiene exactamente una
derivación por la izquierda (o por la derecha).
Un lenguaje es no ambiguo sii existe una gramática no ambigua que lo
genere. De lo contrario, será inherentemente ambiguo.
Una gramática es pulcra sii
(a) ∀A ∈ Γ . L(A) 6= ∅;
(b) ∀A ∈ Γ . ∃α, β ∈ Σ∗ . S → αAβ o S = A.
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Leng. independientes del contexto
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Definición Ejemplos Lenguajes de Dyck Formas normales T. del bombeo
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Paréntesis balanceados
Leng. independientes del contexto
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Lenguajes de Dyck
El lenguaje de paréntesis se puede generalizar a los lenguajes de Dyck. Sea
A un alfabeto de símbolos terminales y sea Ā una copia de A, es decir:
La gramática GD genera el lenguaje de paréntesis balanceados, es decir,
α ∈ L(GD ) sii
1
A(α) = C(α);
2
C(β) ≤ A(β)
(i) A ∩ Ā = ∅
(ii) existe una biyección de A a Ā.
Por ejemplo, si A = {(}, entonces Ā = {)}.
El lenguaje de Dyck sobre A es el lenguaje generado por las reglas de
producción:
S → a1 S ā1 | · · · | an S ān | SS | ,
∀β . ∃γ . α = βγ;
donde A(α) y C(α) son el número de paréntesis que abren y cierran que
aparecen en α, respectivamente.
Demostración. Por inducción en la derivación de S ⇒ α.
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Leng. independientes del contexto
donde A = {a1 , . . . , an } y āi ∈ Ā es la copia de ai . Este lenguaje se
denotará con DA∗ .
Si |A| = n, una notación alternativa es Dn∗ .
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Definición Ejemplos Lenguajes de Dyck Formas normales T. del bombeo
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Formas normales de Chomsky y de Greibach
Ejemplos
Los conjuntos de producciones siguientes tienen forma normal de Chomsky
y de Greibach (respectivamente)
Sea G = hΣ, Γ, S, →i un gramática. G tiene forma normal de Chomsky
(CNF) sii todas las producciones tiene la forma
A → BC
S → AB | AC | SS
A → a,
C → SB
S → (B | (SB | (BS | (SBS
donde A, B, C ∈ Γ y a ∈ Σ.
A→(
B →)
B →)
y generan el lenguaje de paréntesis balanceados.
En cambio, G tiene forma normal de Greibach (GNF) sii todas las
producciones tienen la forma
Las producciones siguientes generan el lenguaje de palindromas
S → AA | BB | AC | BD
A → bB1 · · · Bk
C → SA
S → aA | aSA | bB | bSB
A→a
D → SB
A→a
B→b
B→b
con 0 ≤ k, b ∈ Σ y B1 , . . . , Bk ∈ Γ.
Con excepción en ambos casos de .
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Definición Ejemplos Lenguajes de Dyck Formas normales T. del bombeo
Definición Ejemplos Lenguajes de Dyck Formas normales T. del bombeo
Todas las CFG tienen equivalente en CNF o GNF
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Lema de gramáticas propias I
Sea G ∈ CFG. Entonces, existe una gramática propia G0 tal que
Teorema. Sea G ∈ CFG. Entonces existen GC , GG ∈ CFG tales que tienen
forma normal de Chomsky y de Greibach, respectivamente, y
L(G0 ) = L(G) − {}.
Demostración. Sea →0 la relación mínima que
L(GC ) = L(GG ) = L(G) − {}.
(i) contiene a →;
(ii) si A →0 αBβ y B → , entonces A →0 αβ
(iii) si A →0 B y B →0 γ, entonces A →0 γ.
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Definición Ejemplos Lenguajes de Dyck Formas normales T. del bombeo
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Lema de gramáticas propias II
Y sea
G0
Transformación a forma normal de Chomsky
∈ CFG como G, pero con las reglas de producción
→0 .
Una vez que contamos con una gramática propia G00 , podemos construir la
FNC :
Entonces
L(G) = L(G0 )
Obviamente, L(G) ⊆ L(G0 ). Para L(G0 ) ⊆ L(G), baste observar que toda
derivación en G se puede realizar en G0 , salvo tal vez en dos pasos.
Sea ahora G00 como G0 pero con la relación →00 que prescinde de las
producciones unitarias y - que existan en →0 . Entonces
1
Para cada a ∈ Σ, introducimos nuevos no terminales Aa y reglas de
producción Aa → a.
2
Sustituimos los terminales por los no terminales del punto anterior en
todas las reglas de G00 que no tengan FNC todavía.
3
Dada una regla A → B1 . . . Bk (K > 2), introducimos un nuevo
terminal C1 y las reglas
L(G00 ) = L(G0 ) − {} = L(G) − {}.
A → B1 C1
Esta última afirmación se demuestra considerando que las derivaciones de
longitud mínima en G0 prescinden de producciones- y unitarias.
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Leng. independientes del contexto
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C1 → B2 . . . Bk .
4
Repetimos este procedimiento hasta tener sólo reglas con dos no
terminales del lado derecho.
5
Eliminamos las reglas del punto anterior que no tengan FNC.
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Definición Ejemplos Lenguajes de Dyck Formas normales T. del bombeo
Definición Ejemplos Lenguajes de Dyck Formas normales T. del bombeo
Transformación a forma normal de Greibach
Lenguaje de paréntesis. Empezamos con forma normal de Chomsky:
S → AB | AC | SS
∗
RX ,x = {β ∈ Γ | X ⇒L xβ}.
A→(
B →).
RS,( = (B + C)S ∗
Este lenguaje es regular. Sea GX ,x una gramática lineal por la derecha
que lo genere. Sea SX,x el símbolo inicial de esta gramática.
Entonces, sustituimos las reglas
RC,( = (B + C)S ∗ B
RA,( = {}
RB,) = {}
por reglas
Estas producciones nos generan los lenguajes anteriores:
A → xSX ,x Y ,
SS,( → BX | CX
SC,( → BY | CY
SA,( → SB,) → y agregamos las producciones y símbolos no terminales de GX,x a
nuestra gramática.
Eliminamos las reglas-.
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C → SB
Tenemos ahora los siguientes lenguajes RX ,x
A → XY
3
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Ejemplos I
Sea GC una gramática en FNC. Para convertirla a FNG:
1
Para cada X ∈ Γ, considérese el lenguaje
2
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X → SX | Y → SY | BZ
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Z →
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Definición Ejemplos Lenguajes de Dyck Formas normales T. del bombeo
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Ejemplos II
Teorema del bombeo I
Sea L ∈ CFL. Entonces, existe k ∈ N tal que para toda α ∈ L, si k ≤ | α |,
entonces
α = βγηθφ
y
γθ 6= Entonces, tenemos las reglas nuevas
S → (SA,( B | (SA,( C | (SS,( S
SS,( →)SB,) X | (SC,( X
SC,( →)SB,) Y | (SC,( Y
SA,( → y para toda i ∈ N
C → (SS,( B
X → (SS,( X | Y → (SS,( Y |)SB,) Z
SB,) → A→(
B →)
Z →
βγ i ηθi φ ∈ L.
Demostración.
Sea G ∈ CFG en FNC y L(G) = L − .
Sea Γ el alfabeto de símbolos no terminales de G, con | Γ |= n y sea
k = 2n+1 .
Entonces, el árbol sintáctico de toda cadena de longitud igual o
superior a k debe tener profundidad de n + 1 al menos.
Entonces en un camino de longitud máxima de la raíz a las hojas debe
aparecer dos veces, al menos, el mismo no terminal.
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Teorema del bombeo II
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Ejemplo
Considérense los siguientes árboles de derivación:
S
A
Este no terminal puede usarse para definir las cadenas γ y θ.
B
V
A
a
e
X
b
g
W
c
h
f
d
Árbol de la cadena βγηθφ = abcdefgh
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Aplicaciones
S
A
V
e
X
V
g
W
A
c
W
Como con los lenguajes regulares, este teorema se puede utilizar para
demostrar que un lenguaje dado no es independiente del contexto. Ejemplos:
B
h
{an bn c n },
por una aplicación directa del teorema, y
f
{αα}
d
pues los CFL y los regulares son cerrados bajo intersección y
A
a
e
X
b
c
f
{an bm an bm } = {αα} ∩ L(a∗ b∗ a∗ b∗ )
d
y, obviamente, {an bm an bm } no es independiente del contexto
Árbol de la cadena βγ 2 ηθ2 φ = abcdefcdefgh
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Definición Equivalencia Determinismo
Definición Equivalencia Determinismo
Autómatas de pila
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Lenguajes aceptados por NPDA
Una configuración de un autómata A ∈ NPDA es una terna (q, α, β) donde
q ∈ Q
Un autómata de pila no determinista A está formado por
un conjunto de estados Q;
α ∈ Σ∗
un alfabeto de entrada Σ;
β ∈ Γ∗
un alfabeto de pila Γ;
La configuración inicial es (s, α, ⊥). Definiremos ahora una relación entre
configuraciones:
una relación de transición δ ⊆ (Q × (Σ ∪ {}) × Γ) × (Q × Γ∗)
un estado inicial s;
un símbolo inicial de la pila ⊥;
si δ((q, a, B), (r, η)) entonces (q, aα, Bβ) ⇒ (r, α, ηβ)
un subconjunto de estados finales F ⊆ Q.
si δ((q, , B), (r, η)) entonces (q, α, Bβ) ⇒ (r, α, ηβ)
Llamaremos NPDA a los autómatas de pila no deterministas.
El lenguaje aceptado por un A ∈ NPDA es
L(A) = {α ∈ Σ∗ | ∃f ∈ F . (s, α, ⊥) ⇒∗ (f , , β)}
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Leng. independientes del contexto
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Definición Equivalencia Determinismo
Definición Equivalencia Determinismo
Aceptación por pila vacía
Teorema de equivalencia entre CFG y NPDA I
(a) Sea G ∈ CFG. Entonces, existe A ∈ NPDA tal que
L(G) = L(A).
Una definición alternativa del lenguaje aceptado por un A ∈ NPDA es
(b) Sea A ∈ NPDA. Entonces, existe G ∈ CFG tal que
L(A) = {α ∈ Σ∗ | (s, α, ⊥) ⇒∗ (q, , )}
L(G) = L(A).
Ambas definiciones son equivalentes y puede construirse un A0 ∈ NPDA que
acepte por pila vacía el mismo lenguaje que un A ∈ NPDA que acepte por
estado final (y viceversa).
Demostración
(a) Sea G = hΣ, Γ, S →i en FNG. Sea
A = ({q}, Σ, Γ, δ, q, S, q),
donde
δ((q, a, A), (q, B1 · · · Bk ))
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Leng. independientes del contexto
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Definición Equivalencia Determinismo
Definición Equivalencia Determinismo
Teorema de equivalencia entre CFG y NPDA II
sii
A ⇒nG αγ.
α ∈ L(G) sii S ⇒∗G α
sii (q, α, S)
(q, , )
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δ no puede eliminar de la pila a ⊥, es decir
δ(q, a, ⊥) = (r, α⊥).
(b) Se demuestra primero que para todo A ∈ NPDA existe un A0 ∈ NPDA con
un solo estado tal que
L(A) = L(A0 )
La aceptación es por estados finales. La aceptación por pila vacía
define un conjunto de lenguajes diferente.
Un ejemplo de un lenguaje en CFL pero no en DCFL es
y una vez construido A0 , los argumentos del caso (a) se pueden aplicar en
sentido inverso.
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Leng. independientes del contexto
δ : Q × Σ ∪ {, a} → Q × Γ∗ .
sii α ∈ L(A).
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A diferencia de los lenguajes regulares, la clase CFL no determinista es
estrictamente mayor que la determinista (DCFL).
Un autómata determinista de pila D = (Q, Σ, Γ, δ, ⊥, a, s, F ) incluye el
símbolo especial a que sirve para indicar el final de la cadena de
entrada.
Las transiciones están indicadas por la función
Entonces
⇒∗A
A → aB1 · · · Bk .
Determinismo
Si puede demostrar por inducción en la longitud de las derivaciones (por la
izquierda) que
(q, αβ, A) ⇒nA (q, β, γ)
sii
Leng. independientes del contexto
{a, b}∗ − {αα | α ∈ {a, b}∗ }
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Chomsky-Schützenberger Reconocimiento
Chomsky-Schützenberger Reconocimiento
El teorema de Chomsky y Schützenberger I
El teorema de Chomsky y Schützenberger II
Sea L ∈ CFL. Entonces existen n ∈ N, R ∈ REG y un homomorfismo h tal
que
L = h(Dn∗ ∩ R).
y sean
1
Nota: un homomorfismo h : Σ∗ → Γ∗ es una función tal que
h(αβ) = h(α)h(β).
L(G0 ) cumple además con las siguientes restricciones adicionales:
si π = A → BC
1
Para toda π ∈→, el símbolo
si π = A → a
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Chomsky-Schützenberger Reconocimiento
Chomsky-Schützenberger Reconocimiento
El teorema de Chomsky y Schützenberger III
Ningún
3
Si π = A → BC entonces
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está seguido de ρ[ .
1
[
π
1
está seguido de ρ[ , con ρ = B → β.
Si π = A → BC entonces
Análogamente para π .
5
Leng. independientes del contexto
El teorema de Chomsky y Schützenberger IV
2
[
4
2
está seguido de π[ .
n
2
π
1
]
π
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2
]
2
Se puede definir fácilmente un isomorfismo con un lenguaje Dn∗ (con un par
de tipos de paréntesis por cada regla en →). Obviando el isomorfismo, es
claro que
L(G0 ) ⊆ Dn∗ .
π, ρ, σ, . . .
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2
G0 = hΣ0 , Γ, S, →0 i
Demostración. Sea G = hΣ, Γ, S, →i en FNC. Asignaremos letras griegas
minúsculas a las producciones de G:
Definiremos nuevas producciones

1
1 2
2

 A → π[ B π] π[ C π]
π0 =

1 1 2 2

A → π[ π] π[ π]
1
Σ0 = { [ , ] , [ , ] | π ∈→}
π π π π
→0 = {π 0 | π ∈→}
Si π = A → a, entonces
1
1
[
π
está seguido por la cadena
Si A ⇒∗G0 α, entonces α comienza con
1
[
π
1 2 2
] [ ]
πππ
.
para alguna π = A → γ.
1
h( [ ) = a
π
0
RA = {α ∈ Σ ∗ | α satisface 1–5}
Leng. independientes del contexto
2
1
y
2
2
h( ] ) = h( [ ) = h( ] ) = .
π
π
π
El teorema se sigue directamente de esta definición.
Lema. A ⇒∗G0 α sii α ∈ Dn∗ ∩ RA .
Suponiendo que el lema anterior es verdadero, entonces definimos el
homomorfismo
0
h : Σ ∗ → Σ∗ .
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2
Si π = A → a entonces
Considérese el siguiente lenguaje regular:
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1
h( [ ) = h( ] ) = h( [ ) = h( ] ) = .
π
π
π
π
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CFG Autómatas de pila Algunos teoremas útiles
Chomsky-Schützenberger Reconocimiento
Lema A
⇒∗G0
Chomsky-Schützenberger Reconocimiento
α sii α ∈
Dn∗
∩ RA
Algoritmo de Cocke, Kasami y Younger
Es un algoritmo para decidir de manera eficiente si una cadena
pertenece a un CFL.
Sea L un CFL y sea G = hΣΓ, S, →i una CFG en forma normal de
Chomsky tal que
L(G) = L.
Demostración. Por inducción en n para la dirección ⇒.
Para el caso inverso, por inducción en la longitud de las cadenas en
Dn∗ ∩ RA . Basta considerar que
α=
1
[
β
1 2
] [
γ
2
]
π ππ π
Sea α ∈ L con longitud n. Sean 0 ≤ i < j ≤ n y sea
y analizar los dos casos posibles para π, a saber, A → BC o bien A → a.
En el primer caso, por hipótesis inductiva,
B ⇒∗G0 β
y
αi,j
la subcadena de α que va de la posición i + 1 a la j.
Sea Ti,j ⊆ Γ el conjunto de no terminales que generaron αi,j .
El algoritmo calcula el valor de todos los Ti,j de manera inductiva. En
particular, S ∈ T0,n si S ⇒∗G α.
El algoritmo es O(pn3 ), p el número de producciones en G.
C ⇒∗G0 γ
y además β y γ satisfacen las condiciones 1–5. El segundo caso es aún más
simple.
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Chomsky-Schützenberger Reconocimiento
for i := 0 to n − 1 do
Ti,i+1 := ∅;
for A → a ∈ G do
if a = αi,i+1 then
Ti,i+1 := Ti,i+1 ∪ {A}
for m := 2 to n do
for i := 0 to n − m do
Ti,i+m := ∅; for j := i + 1 to i + m − 1 do
for A → BC ∈ G do
if B ∈ Ti,j ∧ C ∈ Tj,i+m then
Ti,i+m := Ti,i+m ∪ {A}
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