mecánica teórica

MECÁNICA TEÓRICA
Departamento de Física
Taller A, primer corte.
Docente: Alexánder Contreras
Físico/Physicist
(No se conformen con la limitación de los presentes ejercicios, recuérdese que la Física es un
Universo de infinitas particularidades; siempre habrá algo nuevo que aprender…)
(El presente taller es únicamente una guía de estudio para los estudiantes)
“No se va a la Universidad por un cartón, se va a la Universidad por un
conocimiento”
Ejercicios de notación científica y prefijos de potencias de diez
[1] Expresar en notación científica y prefijos de potencia las siguientes cantidades:
a) 1 unidad astronómica = 1u. a. ≅ 150000000000𝑚
b) 1 pársec≅ 206265 𝑢. 𝑎.
c) Diámetro de anillos A B y C de Saturno≅ 275000000𝑚
d) Masa de la Tierra≅ 5972000000000000000000000𝑘𝑔
e) Radio del átomo de hidrógeno≅ 0,0000000000529𝑚
f) Carga electrón= 𝑒 ≅ 0,0000000000000000001602 𝐶
g) Tiempo de vida de un Muón a cierta velocidad relativista≅ 0,0000022 𝑠𝑒𝑔
h) Distancia Tierra-Luna≅ 238855𝑚𝑖𝑙𝑙𝑎𝑠
Ejercicios conversión de unidades (incluye notación científica y prefijos)
[2] El cometa Halley se desplaza a una velocidad de 112000𝑘𝑚/ℎ. Expresar ésta cantidad en:
𝑚𝑖𝑙𝑙𝑎/𝑎ñ𝑜, 𝑚/𝑠, 𝑓𝑡/𝑚𝑖𝑛. Debe utilizar notación científica y prefijos de potencias de 10 en los
resultados finales.
[3] La luna tiene un período alrededor de la Tierra 27días 7horas 43,7min y una masa de
73,49𝑌𝑔𝑟. Expresar el período y la masa de la luna en segundos y libras, respectivamente.
(Utilizar notación científica y prefijos de potencia si es conveniente)
[4] La velocidad orbital de la Tierra es de 107000𝑘𝑚/ℎ. Expresar la misma en unidades 𝑚/𝑠,
𝑝𝑢𝑙𝑔/𝑚𝑖𝑛, 𝑚𝑖𝑙𝑙𝑎/𝑑í𝑎 𝑦 𝑐𝑚/𝑠.
[5] Si la masa de Saturno es de 5.64𝑥1026 𝑘𝑔 y su radio es de 6.0𝑥107 𝑚. Calcule la densidad
del planeta en 𝑔𝑟/𝑐𝑚3 .
[6] La velocidad de la luz 𝑐 = 0,299𝐺𝑚/𝑠. Si la distancia de la Tierra a Antares es de 550años
luz. Expresar dicha cantidad en 𝑚 y 𝑓𝑡𝑠.
[7] Una pirámide tiene una altura de 481 ft y su base cubre un área de 13 acres. Si el volumen
1
de una pirámide se define como 𝑉 = 𝐵ℎ, donde 𝐵 es el área de la base y ℎ es la altura de la
3
misma. Halle el volumen de la pirámide en metros cúbicos. (1 acre = 43560𝑓𝑡 2 )
Ejercicios análisis dimensional
[8] Verificar que las siguientes ecuaciones son dimensionalmente correctas o no:
1
a) 𝑥 = 𝑣0 𝑡 + 𝑎𝑡 2,
2
𝑥
b) 15𝑣 2 𝑡 + 30𝑎𝑥𝑡 = 24 𝜋(𝑣𝑓 + 𝑣0 )( ) ,
𝑡
c) 𝑥 = (
𝑣𝑓 −𝑣0
2
)𝑡
donde 𝑥 es longitud, 𝑎 es aceleración, 𝑡 es tiempo, 𝑣0 , 𝑣𝑓 , 𝑦 𝑣 es velocidad.
[9] Hallar 𝑥 para que la ecuación sea dimensionalmente correcta:
𝑥𝑡1 = 𝑥𝑡2 + 𝑘𝑙(cos{𝑛(𝑘 + 1)})−1/2
donde 𝑡1 y 𝑡2 son tiempos, 𝑙 longitud, 𝑘 y 𝑛 son constantes.
[10] Para mantener a un objeto que se mueve en un circunferencia a velocidad constante se
requiere una fuerza llamada “fuerza centrípeta”. Una hipótesis de ecuación que podría describir
dicho fenómeno es:
𝐹 ∝ 𝑚𝑎 𝑣 𝑏 𝑟 𝑐
A partir de ello, realice un análisis dimensional para obtener los valores que deben tener los
exponentes a,b y c , de tal manera que se logre obtener la ecuación correcta.
[11] Suponga que la aceleración 𝑎 de una partícula que se mueve con velocidad uniforme 𝑣 en
un círculo de radio 𝑟 es proporcional a una constante adimensional 𝑘; una potencia del radio,
es decir, 𝑟 𝑛 ; y a una potencia de velocidad, es decir, 𝑣 𝑚 . Determine los valores de m y n, y
escriba la forma más simple de una expresión por la aceleración que sea dimensionalmente
correcta.
[12] La ley de isocronismo del péndulo simple establece que:
𝜏 = 2𝜋𝑙 𝑥 𝑔 𝑦
donde 𝜏 es el período del péndulo (tiempo), 𝑙 es la longitud y 𝑔 es la aceleración de la
gravedad. Calcular el valor numérico de 𝑥 y 𝑦; también escriba una expresión
dimensionalmente correcta para el período del péndulo.
[13] Un hito importante en la evolución del Universo, justo después del Big Bang es el tiempo
de Planck 𝑡𝑃 , cuyo valor depende de tres constantes fundamentales: 1) La velocidad de la luz
(la constante fundamental de la relatividad), 𝑐 = 3 × 108 𝑚/𝑠; 2) la constante de gravitación de
Newton (la constante fundamental de la gravedad), 𝐺 = 6.67 × 10−11 𝑘𝑔 ∙ 𝑚3 /𝑠 2 ; y 3) la
constante de Planck (constante fundamental de la física cuántica), ℏ = 1.0545 × 10−34 𝑘𝑔 ∙ 𝑚2 /
𝑠. Si el tiempo de Planck es proporcional a dichas constantes, con base a un análisis
dimensional, halle el valor del tiempo de Planck.
Ejercicios de vectores
[14] De acuerdo con el paralelepípedo de la figura, diga cuáles de las siguientes igualdades
son ciertas:
[15] Dado el heptágono irregular de la figura. Dibuje los siguientes vectores:
[16] Dados los vectores libres de la figura, calcule:
[17] Se consideran los siguientes vectores 𝑢
⃗ = 3𝑖̂ + 4𝑗̂, 𝑣 = −𝑖̂ + 7𝑗̂ y 𝑤
⃗⃗ = 8𝑖̂ + 5𝑗̂. Demuestre
las igualdades:
[18] Dibujar los siguientes vectores en el plano cartesiano 2D y 3D, según corresponda.
a)
b)
c)
d)
e)
𝑎 = 2𝑖̂ + 6𝑗̂;
𝑏⃗ = −5𝑖̂ − 𝑗̂;
𝑐 = 7𝑖̂ − 3𝑗̂;
𝑑 = 2𝑖̂ + 4𝑗̂ + 7𝑘̂ ;
𝑒 = 0𝑖̂ − 6𝑗̂ − 4𝑘̂ ;
[19] Hallar para los siguientes gráficos el vector resultante en términos de los vectores unitarios
𝑖̂ 𝑦 𝑗̂. (Cada cuadrícula tiene lados de 1cm y las flechas de color negro representan los ejes X y
Y del plano cartesiano).
[20] Tres vectores de desplazamiento de un juego de croquet ball se muestran en la figura,
donde sus magnitudes son A=20 unidades, B=40 unidades, y C=30 unidades.
[21] Un aeroplano viaja 209km en línea recta formando un ángulo de 22.5º al noreste.
¿A qué distancia al norte y a qué distancia al este viajo el aeroplano desde el punto de partida?
[22] Un automóvil viaja hacia el oeste en una carretera a nivel durante 32km. Después da
vuelta hacia el sur en una intercepción y viaja 47km antes de deternese. Hallar el
desplazamiento resultante del automóvil.
[23] Una partícula lleva a cabo dos desplazamientos, el primero tiene una magnitud de 150cm
y forma un ángulo de 120º con el eje 𝑥 positivo. El desplazamiento resultante tiene una
magnitud de 140cm y se dirige en un ángulo de 35º con respecto al eje x positivo. Encuentre, el
vector, la magnitud y dirección del segundo desplazamiento.
[24] Tres vectores coplanares están expresados con respecto a un cierto sistema de
coordenadas rectangulares como se observa en la figura y algebraicamente:
𝑎 = 4.3𝑖̂ − 1.7𝑗̂
;
𝑏⃗ = −2.9𝑖̂ + 2.2𝑗̂
; 𝑐 = −3.6𝑗̂
Donde las componentes están dadas en unidades arbitrarias. Halle el vector 𝑠 el cual es la
suma de dichos tres vectores.
[25] Una persona sale a caminar la trayectoria que se ilustra en la figura. El total del viaje
consiste de cuatro vectores. Al final de la caminata, ¿cuál es el desplazamiento resultante de la
persona medido desde el punto de partida? (Sugerencia: Considere todos los vectores en el
origen de coordenadas)
[26] Un triángulo escaleno tiene lados de 3,5 y 7cm. Hallar los ángulos del mismo.
[27] Una estación de radar detecta a un cohete que se aproxima desde el este. En el primer
contacto, la distancia al cohete es de 12000ft a 40º sobre el horizonte. El cohete es rastreado
durante otros 123º en el plano este-oeste, siendo la distancia del contacto final de 25800ft
(véase la figura). Hallar el desplazamiento horizontal del cohete que obtuvo en línea recta
mientras el radar lo localizó.
[28] Telescopio espacial Hubble se desplaza a velocidad de 7,5Km/s. Ahora, el sistema solar
se desplaza a una velocidad de 220Km/s. Con respecto a la Vía Láctea, se detecta el
movimiento del telescopio definido, en cierto instante de tiempo, por la figura:
Hallar la velocidad con respecto a la galaxia. Sucesivamente, hallar el vector velocidad en
términos de las direcciones unitarias.
[29] Un bote a motor se dirige en la dirección N 30 E a 25 millas por hora en un lugar donde la
corriente es tal que el movimiento resultante es de 30º millas por hora en la dirección N 50º E.
Encontrar la velocidad de la corriente a través de vectores y escalarmente.
[30] Un controlador de tráfico aéreo observa dos naves en su pantalla de radar. La primera
está a una altitud de 800m, a una distancia horizontal de 19.2 km y a 25 grados al sur del
oeste. La segunda nave está a una altitud de 1100m, una distancia horizontal de 17,6 km y a
20 grados al sur del este. ¿Cuál es la distancia entre los dos aviones? (Sugerencia: utilice
métodos vectoriales)
[31] Un submarino ubicado en la posición 𝑆 = (0𝑖̂ + 0𝑗̂ − 0,5𝑘̂)[𝑘𝑚] detecta a través de campos
electromagnéticos un barco sobre la superficie a una distancia horizontal 𝑋𝑌(𝜌 = 0.4𝑘𝑚, 𝜙 = 300°).
También detecta un avión a una altura de 0.7𝑘𝑚 con respecto al nivel del mar y a una distancia horizontal
𝑋𝑌(𝜌 = 0.6𝑘𝑚, 𝜙 = 120°). Hallar:
⃗ = 0𝑖̂ + 0𝑗̂ + 0𝑘̂)
⃗ ) con respecto al origen de coordenadas (0
a) El vector posición del barco (𝐵
b) El vector posición del avión (𝐴) con respecto al origen de coordenadas.
c) La distancia entre el avión y el barco.
d) La dirección del avión con respecto al barco y escrita vectorialmente.
[32] A un faro se le instala un novedoso sistema que detecta a través de campos
electromagnéticos naves (barcos, aeronaves, etc). En cierto instante, éste observa un
helicóptero una altitud de 1000m y a una distancia horizontal 𝑋𝑌(𝜌 = 7.4𝑘𝑚, 𝜙 = 150°).
Inmediatamente, detecta un barco a punto de hundirse y a una distancia horizontal 𝑋𝑌(𝜌 =
2𝑘𝑚, 𝜙 = 270°). Despreciando la altura de faro, hallar:
⃗ ) con respecto al faro:
a) El vector posición del helicóptero (𝐻
⃗ ) con respecto al faro:
b) El vector posición del barco (𝐵
c) El helicóptero va inmediatamente al rescate de la tripulación, qué distancia en línea recta debe
recorrer?
d) Cuál es la dirección, escrita vectorialmente, que debe seguir el helicóptero hacia el barco?
[33] Un barco transbordador transporta turistas en tres islas. Navega de la primera isla a la
segunda, a 4.76km de distancia, en la dirección E 37º N. Luego navega de la segunda isla a la
tercera en la dirección N 69º O. Finalmente, regresa a la primera isla al navegar en la dirección
S 28º E. Calcule la distancia entre: (a) la segunda y tercera islas; (b) la primera y la tercera
islas. (Sugerencia: utilice métodos geométricos)
[34] El rectángulo que se muestra en la figura tiene lados paralelos a los ejes 𝑥 y 𝑦. Los
⃗ = (𝜌, 𝜙)) de las dos esquinas mostradas son:
vectores de posición en coordenadas polares (𝑉
⃗ = (12, 30). Encuentre:
𝐴 = (10, 50); 𝐵
a) El perímetro del rectángulo;
b) La magnitud y dirección del vector desde el origen a la esquina superior derecha del
rectángulo.
[35] Dados los siguientes vectores:
Determinar:



a   2 iˆ  3 ˆj  kˆ ; b  4 iˆ  3 ˆj  3 kˆ y c   ˆj  4 kˆ .
 
a b



b) a  3 b  2 c



c) ( a  2 b )  3c
 

d)  ( 4 b  3c ) 2 b
a)



f) El ángulo entre los vectores: 3b y  2c .
e) El ángulo que forma el vector a con cada uno de los ejes coordenados.
[36] Considere los vectores: 𝐴 = 4𝑖̂ − 3𝑗̂,
⃗ = 2𝑖̂ + 10𝑘̂,
𝐵
𝐶 = −7𝑖̂ − 𝑘̂ .
⃗ × 𝐶) = 𝐵
⃗ (𝐴 ∙ 𝐶 ) − 𝐶 (𝐴 ∙ 𝐵
⃗ ).
Demostrar que: 𝐴 × (𝐵
[37] Demuestre que los vectores 𝑢
⃗ y 𝑣 son perpendiculares, sí y sólo sí, |𝑢
⃗ + 𝑣 | = |𝑢
⃗ − 𝑣|.
[38] Demostrar que un vector unitario en tres dimensiones puede expresarse como:
𝑢̂ = cos 𝛼 𝑢
̂𝑥 + 𝑐𝑜𝑠𝛽 𝑢
̂𝑦 + 𝑐𝑜𝑠𝜃 𝑢
̂𝑧
Ejercicios cinemática:
[39] Una partícula se está moviendo con una velocidad 𝑣 (𝑡) cuyas componentes rectangulares
son:
𝑣𝑥 = 10𝑡 − 5;
𝑣𝑦 = 4𝑡 − 1;
𝑣𝑧 = 3
̂
(0)
Si su vector posición para 𝑡 = 0 es 𝑟
= 2𝑖̂ − 𝑗̂ + 3𝑘, calcular:
a) La aceleración a los 3seg.
b) El desplazamiento entre los 2 y 3seg.
[40]. Dos corredores A y B parten del mismo lugar. A partió 30 segundos antes que B con una
velocidad constante de 5 m/s. B sigue la misma trayectoria con una velocidad constante de 6
m/s. ¿A qué distancia del punto de partida el corredor B alcanzará a A?
[41] Una roca cae libremente recorriendo la segunda mitad de la distancia de caída en 3seg.
Encuentre la altura desde la cual se soltó y el tiempo total de caída.
[42]. Un pasajero que va a tomar el autobús observa que justo cuando le faltan 30 m para
llegar a la parada, el vehículo emprende la marcha con una aceleración de 0,3 m/s 2. Justo en
ese momento, el peatón va corriendo hacia el autobús con velocidad constante de 6 m/s.
¿Conseguirá el peatón alcanzar el autobús?, si es así, calcule en qué instante y en qué lugar
tomando con referencia el origen de coordenadas del peatón cuando inició el movimiento.
[43]. Un cuerpo se lanza verticalmente hacia arriba con la velocidad inicial
v o  196m s ;
despreciando la resistencia del aire, determine:
g) La velocidad del cuerpo al cabo de 10s
h) La velocidad del cuerpo al cabo de 30s
i) La posición del cuerpo a los 15s del lanzamiento
j) La altura máxima que puede alcanzar
k) El tiempo de subida.
[44] Una estrategia en la guerra de bolas de nieve es lazarlas a un gran ángulo sobre el nivel
del suelo. Mientras su oponente está viendo ésta primera bola de nieve, no muy tarde se debe
lanzar una segunda bola a un ángulo pequeño, lanzada en el momento indicado para que
llegue a su oponente ya sea antes o en el mismo tiempo a la primera. Suponga que ambas
bolas de nieve se lanzan con una velocidad de 25m/s, la primera se lanza con un ángulo de 70º
con respecto a la horizontal.
a) A qué ángulo debe lanzarse la segunda bola de nieve para llegar al mismo
punto horizontal que la primera?
b) Cuántos segundos debe lanzarse la segunda bola después de la primera para que
llegue al mismo blanco en el mismo tiempo?
[45]. Se deja caer libremente una piedra desde la boca de un pozo de cierta altura Yo.
Después de un tiempo t = 5s se escucha el sonido de la piedra al tocar el fondo del pozo. Si la
velocidad del sonido vs = 340m/s, hallar la altura del pozo.
[46] A partir de un esquema de movimiento parabólico. Demostrar expresiones físicas para el
“alcance horizontal” y la “altura máxima” en términos de los parámetros 𝑣0 , 𝑔, 𝜃.
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[47] En un bar local, un cliente hace deslizar un vaso vacío de cerveza sobre la barra para que vuelvan a
llenarlo. El cantinero está momentáneamente distraído y no ve el vaso, el cual cae a través de un extremo
de la barra y golpea el piso a 1.4m de la base de la misma. Si la altura de la barra es de 0.860m. a) ¿Con
qué velocidad abandonó el vaso la barra?, b) ¿cuál fue la dirección de la velocidad del vaso justo antes de
chocar contra el piso?
[48] Un bombero a una distancia 𝑑 en metros de un edificio en llamas dirige un chorro de agua
de una manguera a un ángulo 𝜃 sobre la horizontal, así como se muestra en la figura. Si la
velocidad inicial de la corriente es 𝑣0 , demuestre que la altura a la cual incide el agua en el
edificio es:
ℎ=
𝑣02 d sin(2𝜃)−𝑔𝑑 2
2𝑣02 cos2 𝜃
[49] Un proyectil se dispara de tal forma que su alcance horizontal es igual a tres veces su
altura máxima. Algebraicamente, hallar dicho ángulo de tiro.
[50] James Rodríguez patea una roca horizontalmente desde el borde de una montaña de 50
metros de altura en dirección de una fosa de agua. Si después de patear la roca, el jugador
escucha el sonido del choque contra el agua a los 4 seg. Cuál fue la velocidad inicial de la
piedra?. Recuérdese que la velocidad del sonido a temperatura ambiente es 340m/s.
[51] Un jugador de Baloncesto tiene el esférico en sus manos a una altura de 1.5m desde el
suelo. Él lanza el balón a una velocidad de 20m/s con un ángulo de 60º con respecto al eje X
positivo, a un aro que se encuentra a una distancia 𝑥 de él y a una altura de 3m con respecto al
suelo. Hallar:
a) El vector posición del balón en cualquier instante de tiempo t;
b) El vector posición para el aro;
c) Las ecuaciones escalares cuando el balón pasa por el aro;
d) El tiempo que tarda el balón en llegar al aro;
e) El valor de la distancia horizontal 𝑥 que hay entre el jugador y el pie del poste donde
está el aro.
[52] Una niña A tiene un platillo volador PV en sus manos a 0.5m de sus pies. Ella se sitúa en la cima de
un edificio de 17.5m de altura y lanza el platillo a una rapidez 𝑣0 con un ángulo de +30° con respecto a la
horizontal positiva. Un niño B ubicado en el suelo e inicialmente a una distancia de 20m desde los pies
del edificio, observa cuando la niña lanza el platillo y va a la caza de él a una aceleración de 2𝑚/𝑠 y lo
logra atrapar a 1m antes de golpear el suelo. Hallar:
a) El vector posición para el platillo volador PV en cualquier instante de tiempo.
b) El vector posición en función del tiempo para el niño B.
c) ¿Qué valor debe tener la velocidad 𝑣0 para que el niño B realmente logre atrapar el platillo volador bajo
las respectivas circunstancias?
d) La altura máxima que alcanzó (a partir del suelo) el platillo volador en su trayectoria.
[53]. El sensual James patea la bola de modo que adquiere una velocidad de 25 m/s en un
ángulo de 45° sobre la horizontal. Si Falcao, se dirige directamente hacia James a una
velocidad de 5m/s en el mismo plano de la trayectoria de la bola.
a) Calcule el vector posición dependiente del tiempo para la bola.
b) Determine el vector posición dependiente del tiempo para Falcao.
c) A qué distancia debe estar Falcao de James para que golpee el balón con la
cabeza, si la altura del Falcao es 1.78m.
[54] En una plataforma de Siberia, juegan dos niños. Uno de ellos se encuentra en reposo (niño B) y se
da cuenta que el otro (niño A), a una distancia de 30m, le tiene en la mira y que posee una bola de nieve
en sus manos; de inmediato ingenuamente comienza a alejarse de él sobre la misma dirección de
lanzamiento con una aceleración de 3𝑚/𝑠 2 . El niño A tiene la bola de nieve a 1m desde el suelo, decide
lanzarla inmediatamente a una velocidad 𝑣0 y a un ángulo de 30º cuando observa al niño B moverse.
Calcular:
a) La figura que describa el fenómeno. Sugerencia: ubique los pies del niño A en el origen de
coordenadas.
b) El vector posición para la bola de nieve en cualquier instante de tiempo.
c) El vector velocidad para la bola de nieve en función del tiempo.
d) El vector posición en función del tiempo para el niño B.
e) ¿Qué valor debe tener la velocidad 𝑣0 para que logre impactar el espaldar del niño B ubicado a 0.5m
del suelo?
f) La altura máxima que alcanzó la bola en su trayectoria.
[55]. Desde una altura de 25m se deja caer una piedra. Otra es lanzada verticalmente hacia
abajo un segundo después que se soltó la primera. Las dos llegan al suelo al mismo tiempo.
Calcular, escalar y vectorialmente, la velocidad inicial de la segunda piedra.
[56] De acuerdo a las condiciones iniciales:
a)
b)
c)
d)
Hallar el vector posición para cualquier instante de tiempo ;
El vector desplazamiento entre los tiempos 𝑡 = 1𝑠 y 𝑡 = 3𝑠;
El vector velocidad promedio entre los tiempos 𝑡 = 1𝑠 y 𝑡 = 3𝑠;
El vector aceleración tangencial para t=1s.
[57] Un tanque de guerra cuyo cañón está a un metro del suelo, dispara un proyectil con un
ángulo de 30º y a una velocidad de 20m/s. Con respecto al tanque, a una distancia 𝑥0 , se
encuentra una base militar en una depresión de 10m con respecto al mismo suelo. Calcular la
altura máxima, el alcance 𝑥0 y la velocidad final del proyectil cuando impacte contra la base
militar. a) vectorialmente b) escalarmente.
[58]. Desde un globo, a una altura de 175 m sobre el suelo y ascendiendo con una velocidad
de 8 m/s, se suelta un objeto. Calcular:
a)
b)
c)
d)
e)
f)
El vector posición en función del tiempo del objeto;
El vector velocidad en cualquier instante de tiempo;
La altura máxima alcanzada por el objeto desde el suelo;
La posición y la velocidad del objeto al cabo de 5segundos;
El tiempo que tardará en llegar al suelo;
La velocidad final con la que choca contra el piso.
[60]. Se lanza un cuerpo oblicuamente hacia abajo desde una altura de 20 m sobre el suelo,
con una velocidad inicial de 10 m/s que forma un ángulo α con la horizontal tal que sen α = 0,6
y cos α= 0,8. Calcular el vector velocidad del móvil en el instante de llegar al suelo.
[61]. Un bombero desea apagar el fuego en un edificio. Para ello deberá introducir agua por
una ventana situada a 10 m de altura. Si sujeta la manguera a 1 metro del suelo, apuntándola
bajo un ángulo de 60° hacia la fachada (que dista 15 m), ¿con qué velocidad debe salir el
agua?
Vo
1m
60º
10 m
m
15 m
[62]. Desde lo alto de una torre se dejan caer dos piedras, la segunda 0,1 s después de la
primera. ¿Al cabo de cuánto tiempo la separación de las piedras será 1 metro? ¿Qué espacio
habrán recorrido entonces cada una de las piedras?. (Sugerencia: ubicar el origen del sistema
de coordenadas sobre la cima de la torre).
[63] Demuestre que la aceleración tangencial para un movimiento curvilíneo está dada por:
𝑎𝑇 =
𝑑|𝑣 |
𝑡|𝑎 |2 + 𝑎 ∙ ⃗⃗⃗⃗
𝑣0
=
𝑑𝑡
√|𝑣
⃗⃗⃗⃗0 |2 + 𝑡 2 |𝑎|2 + 2𝑎 ∙ ⃗⃗⃗⃗
𝑣0 𝑡
(Sugerencia: parta del hecho que 𝑣 = 𝑣0 + 𝑎𝑡)
[64] Encontrar: a) la magnitud de la velocidad y b) la aceleración centrípeta de la Tierra en su
movimiento alrededor del Sol. El radio de la órbita terrestre es de 1,49 × 1011 𝑚 y su período de
revolución es de 3,16 × 107 𝑠. (Sugerencia: considere como aproximación una órbita circular).
[65] Un cuerpo, inicialmente en reposo (𝜃 = 0 y 𝜔 = 0 cuando 𝑡 = 0) es acelerado en una
trayectoria circular de 1,3m de radio de acuerdo a la ecuación:
𝛼 = 120𝑡 2 − 48𝑡 + 16
Encontrar la posición angular y la velocidad angular del cuerpo en función del tiempo, y las
componentes tangencial y centrípeta de su aceleración.
[66] La nave espacial Apolo estuvo orbitando la Luna. Supóngase que la órbita era circular y en
un punto de la misma tenía una distancia de 100km desde la superficie de la Luna. El radio de
la Luna es de 1,7 × 106 𝑚. Determine: (a) la velocidad orbital de la nave espacial; (b) el período
de la nave espacial con respecto a la Luna. (gravedad lunar 1,52𝑚/𝑠 2 ).
[67] Un auto que va inicialmente hacia el este, desvía al norte cuando viaja en una trayectoria
circular a rapidez constante. La longitud del arco AC es 235m y el auto le completa en un
tiempo de 36s. (a) la rapidez promedio del automóvil y el radio de curvatura; (b) ¿cuál es la
aceleración cuando el auto está en un punto B ubicado a un ángulo 35º?, Exprese su respuesta
en términos de los vectores unitarios.
[68] La luna gira alrededor de la Tierra realizando una revolución completa en 27,3 días.
Supóngase que la órbita es circular y que tiene un radio de 238000 millas. ¿Cuál es la magnitud
de la aceleración de la Luna hacia la Tierra?
[69] Calcule la velocidad de un satélite de la Nasa que orbita a una altura ℎ = 210𝑘𝑚 con
respecto a la superficie terrestre, donde 𝑔 = 9,2𝑚/𝑠 2 (éste valor decrece por la lejanía del
satélite). El radio R de la Tierra es de 6370km.
[70] Un astronauta está girando en una centrífuga de 5,2m de radio. a) cuál es su velocidad si
la aceleración es de 6.8g?; b) Cuántas revoluciones por minuto se requieren para producir esta
aceleración?
[71] Un satélite de la Tierra se mueve en una órbita circular situada a 640km sobre la superficie
de la Tierra. El tiempo para una revolución es de 98min. a) ¿cuál es la velocidad del satélite?; b)
cuál es la aceleración en caída libre en la órbita?
[72] Una partícula está viajando en una trayectoria circular de 3,64m de radio. En cierto
instante, la partícula se mueve a razón de 17,4m/s y su aceleración resultante forma un ángulo
de 22° con respecto al centro de la circunferencia, véase la figura. a) cuál es la magnitud de la
aceleración?, b) a qué tasa está creciendo la velocidad de la partícula?.
[73] Encontrar la velocidad ángular de la Tierra con respecto a su mismo eje.
[74] La rueda A de la figura, cuyo radio tiene 30cm, parte del reposo y aumenta su velocidad
angular uniformemente a razón de 0.4𝜋 𝑟𝑎𝑑/𝑠. La rueda transmite su movimiento a la rueda
B mediante la correa C. Obtener una relación entre las aceleraciones angulares y los radios de
las dos ruedas. Encontrar el tiempo necesario para que la rueda B alcance una velocidad
angular de 300 rpm.
[75] Una partícula se mueve en un plano de acuerdo a
𝑥 = 𝑅𝑠𝑖𝑛(𝜔𝑡) + 𝜔𝑅𝑡
;
𝑦 = 𝑅𝑐𝑜𝑠(𝜔𝑡) + 𝑅
Donde 𝜔 y 𝑅 son constantes. Ésta curva, llamada cicloide, es la trayectoria trazada por un
punto de una rueda que gira sin deslizarse a lo largo del eje X. a) trace la trayectoria del
movimiento, b) Calcule la velocidad y aceleración instantáneas cuando la partícula está en el
valor del eje Y máximo y mínimo.
[76] Demuestre que la aceleración tangencial y normal que actúa sobre un proyectil lanzado
horizontalmente desde la cima de un edificio es:
𝑎𝑇 =
𝑔2 𝑡
√𝑣02
+ 𝑔2 𝑡 2
;
𝑎𝑁 =
𝑔𝑣0
√𝑣02
+ 𝑔2 𝑡 2
_________________________
Ética, reflexión:
“No te preocupes por ser una persona de éxito, mejor preocúpate por ser una persona de
valor”... (Albert Einstein)
Sin embargo, nunca dejen de estudiar.
Cultura general:
Una Supernova (del latín nova, «nueva») es una explosión estelar que puede manifestarse de
forma muy notable, incluso a simple vista, en lugares de la esfera celeste donde antes no se
había detectado nada en particular. Por esta razón, a eventos de esta naturaleza se los llamó
inicialmente stellae novae («estrellas nuevas») o simplemente novae. Con el tiempo se hizo la
distinción entre fenómenos aparentemente similares pero de luminosidad intrínseca muy
diferente; los menos luminosos continuaron llamándose novae(novas), en tanto que a los más
luminosos se les agregó el prefijo «super-».
Bien se dice: él éxito consta de 10% de habilidad y 90% de transpiración. ¡¡ÉXITOS!!...