Ord FAp Mayo 2014

Física Aplicada (Forestales)
Final Ordinario mayo 2014
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TEORÍA (Conteste usando esta misma hoja)
PREGUNTA 1 (2 p).
1 A.- Definición de intensidad de una onda sonora. ¿Qué es el nivel de intensidad y qué es
una escala de decibelios? (1.5 p)
1 B.- El nivel de intensidad del sonido de un martillo neumático que trabaja a cierta distancia
de un observador es 80 dB. ¿Cuál será el nivel de intensidad de dos martillos neumáticos
colocados a la misma distancia del observador? (0.5 p)
PREGUNTA 2 (1 p).
Ley de Faraday. Enunciado y explicación breve.
PREGUNTA 1 (2 p).
1 A.- La intensidad se define como la energía
que atraviesa la unidad de superficie
perpendicular a la dirección de propagación
de la onda en la unidad de tiempo. Sus
unidades en el SI son unidades de energía (J)
divididas por unidades de superficie (m2) y
tiempo (s). La energía por unidad de tiempo
es igual a la potencia: por lo tanto la
intensidad representa la potencia a través de
la unidad de superficie perpendicular a la
dirección de propagación, y puede expresarse
también en W/m2 (ya que 1 W = 1 J / 1 s).
El nivel de intensidad L es una relación
logarítmica entre una intensidad que se toma
como referencia (llamémosla Iref) y la
intensidad I de la onda en la que estamos
interesados: 𝐿 = 10𝑙𝑜𝑔10 (𝐼
𝐼
𝑟𝑒𝑓
)
L es adimensional, pues I/Iref lo es.
No obstante, existe un nombre para esta magnitud adimensional: L se expresa en decibelios
(dB). La razón para introducir este concepto es que las intensidades de las ondas sonoras
varían en órdenes de magnitud, y al tomar logaritmos linealizamos la escala. Por ejemplo, una
onda sonora 100 veces más intensa que otra tiene un nivel de intensidad 20 dB superior a la
primera; si una onda sonora es 1000 veces más intensa que otra su nivel es 30 dB superior, y
así sucesivamente.
1 B.- Cuando hay dos martillos trabajando, cada uno de intensidad I, la intensidad que alcanza
al observador es 2I. El nivel de intensidad será pues
2𝐼
𝐼
𝐿 = 10𝑙𝑜𝑔10 (
) = 10𝑙𝑜𝑔10 (
) + 10𝑙𝑜𝑔10 2 = 80 + 3 = 83 dB
𝐼𝑟𝑒𝑓
𝐼𝑟𝑒𝑓
ya que según el enunciado 10𝑙𝑜𝑔10 (𝐼
𝐼
𝑟𝑒𝑓
) = 80 dB .
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PREGUNTA 2 (1 p).
La ley de Faraday establece que la variación temporal del
flujo magnético  a través de cualquier superficie S es
proporcional y de signo opuesto a la fuerza
electromotriz inducida en un contorno L que delimita
dicha superficie S.
Esto implica que la variación de flujo magnético en la
superficie genera un campo eléctrico inducido a lo largo
del contorno que la delimita, el cual es capaz de mover
cargas a lo largo del contorno si éste es conductor. La
circulación de ese campo eléctrico inducido es la fuerza
electromotriz.
⃗ · 𝑑𝑆
Flujo magnético: Φ = ∫𝑆 𝐵
Fuerza electromotriz (circulación): 𝜀 = ∮𝐿 𝐸⃗ · 𝑑𝑙
𝑑Φ
Ley de Faraday: 𝜀 = − 𝑑𝑡
𝑑
⃗ · 𝑑𝑆
𝜀 = ∮𝐿 𝐸⃗ · 𝑑𝑙 = − 𝑑𝑡 ∫𝑆 𝐵
Dos importantes anotaciones adicionales:
1. Para que haya fuerza electromotriz inducida no basta con que exista flujo magnético a
través de la superficie S: es necesario que haya variación de flujo con el tiempo.
2. La fuerza electromotriz inducida se opone a la variación de flujo a causa del signo negativo
que aparece en la ley de Faraday. Esto debe ser tenido en cuenta a la hora de determinar el
sentido del campo eléctrico inducido.
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PROBLEMAS
Problema 1 (2 p)
Una onda propagándose en una cuerda sometida a una tensión de 10 N está dada por
𝒚 = 𝟎. 𝟎𝟓 𝐬𝐢𝐧(𝟒𝝅𝒙 − 𝟐𝟎𝟎𝝅𝒕 + 𝝅/𝟐)
donde todos los parámetros están expresados en el S.I. Se pide:
a) Longitud de onda, frecuencia, velocidad de propagación y la densidad lineal de masa de
la cuerda.
b) ¿Cuál es la diferencia de fase para dos posiciones de la misma partícula en intervalos de
tiempo de 5·10-3 s?
c) ¿Qué distancia hay entre dos partículas desfasadas 2/3 rad en cualquier instante?
d) ¿Cuál es la potencia transmitida por esta onda?
Problema 2 (3 p)
En el circuito de la figura se pide:
a) Si el interruptor S permanece abierto, calcular la corriente en cada una de las resistencias
16 k, 8 k, 4 k y 2 k y la caída de tensión entre sus extremos (1.5 p).
b) Si se cierra el interruptor
S, calcular la potencia
disipada en la resistencia
de 3 k (1.5 p).
Problema 3 (2 p)
⃗ =
Una partícula de 0.01 gramos que porta una carga positiva q = +2 C entra con velocidad 𝒗
𝟐
⃗ ) · 𝟏𝟎 𝐦/𝐬 en un campo magnético 𝑩
⃗ 𝐓.
⃗⃗ = 𝟎. 𝟒 𝒌
(𝟑𝒊 + 𝟒𝒌
a) Explicar qué trayectoria seguirá dentro del campo magnético y calcular la aceleración de
la partícula.
b) Calcular el periodo de la partícula y determinar cuál será su posición por encima del plano
de entrada al cabo de 0.1 s.
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Problema 1 (2 p)
Una onda propagándose en una cuerda sometida a una tensión de 10 N está dada por
𝒚 = 𝟎. 𝟎𝟓 𝐬𝐢𝐧(𝟒𝝅𝒙 − 𝟐𝟎𝟎𝝅𝒕 + 𝝅/𝟐)
donde todos los parámetros están expresados en el S.I. Se pide:
a) Longitud de onda, frecuencia, velocidad de propagación y la densidad lineal de masa de la
cuerda.
b) ¿Cuál es la diferencia de fase para dos posiciones de la misma partícula en intervalos de
tiempo de 5·10-3 s?
c) ¿Qué distancia hay entre dos partículas desfasadas 2/3 rad en cualquier instante?
d) ¿Cuál es la potencia transmitida por esta onda?
a) De la ecuación de la onda se deduce directamente que 𝑘 =
2𝜋
𝜆
= 4𝜋
rad
m
→ 𝜆 = 0.5 m
rad
→ 𝑓 = 100 Hz
s
𝜔
200𝜋
m
La velocidad de propagación es 𝑣 = 𝑘 = 4𝜋 = 50 s
𝜔 = 2𝜋𝑓 = 200𝜋
𝑇
𝑇
10
kg
Calculamos la densidad lineal de masa 𝑣 = √𝜇 → 𝜇 = 𝑣 2 = 502 = 0.004 m
b) Para la misma partícula en instantes diferentes separados por un intervalo de tiempo t, la
diferencia de fase es δ𝑏 = 𝜔Δ𝑡 = 200𝜋 · 5 · 10−3 = 𝜋 rad, es decir, cuando han
transcurrido 5·10-3 s la fase es opuesta. Hay que notar que f = 100 Hz, así que el periodo es
T =1/f= 0.01 s, y por lo tanto t = 5·10-3 s representa medio periodo (figura 1.b).
c) La relación entre diferencia de fase y distancia que separa dos partículas de la cuerda
desfasadas 𝛿𝑐 =
2𝜋
3
rad en el mismo instante es (véase figura 1.c)
𝛿𝑐 = 𝑘Δ𝑥 = 4𝜋Δ𝑥 =
2𝜋
3
1
rad → Δ𝑥 = 6 m = 0.167 m (1/3 de la longitud de onda).
1
1
d) Potencia transmitida: 𝐸̇ = 2 𝜇𝐴2 𝜔2 𝑣 = 2 · 0.004 · 0.052 · (200𝜋)2 · 50 = 197.4 W
Figura 1.b, evolución de x = 0 (0 < t < 0.02 s).
Figura 1.c, instantánea para t = 0.
Nota: véase que 𝑦 = 0.05 sin(4𝜋𝑥 − 200𝜋𝑡 + 𝜋/2) es igual a 𝑦 = 0.05 cos(4𝜋𝑥 − 200𝜋𝑡)
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Problema 2 (3 p)
En el circuito de la figura se pide:
a) Si el interruptor S permanece abierto, calcular la corriente en cada una de las resistencias
16 k, 8 k, 4 k y 2 k y la caída de tensión entre sus extremos.
b) Si se cierra el interruptor S, calcular la
potencia disipada en
la resistencia de 3 k.
a) Mientras que el interruptor S esté abierto no circula corriente a través de la resistencia de 3
k. Por su parte, las resistencias 16, 8, 4 y 2 k en paralelo con la fuente de 3 mA forman
un divisor de corriente: sus intensidades se calculan por la fórmula del divisor de corriente.
Resistencia del paralelo:
1
𝑅𝑃
=
1
16
1
8
1
4
1
2
+ + + =
1+2+4+8
16
=
15
16
→ 𝑅𝑃 =
16
15
kΩ
𝑅
Divisor de corriente: 𝑖𝑅 = 𝑅𝑃 𝑖0
16/15
𝑖16 =
3 = 0.2 mA
16
16/15
𝑖8 =
3 = 0.4 mA
8
16/15
𝑖4 =
3 = 0.8 mA
4
16/15
𝑖2 =
3 = 1.6 mA
2
La caída de tensión V entre los extremos de las resistencias se calcula usando la ley de Ohm
para cualquiera de ellas 𝑉 = 𝑖𝑅 𝑅; por ejemplo, 𝑉 = 𝑖2 · 2 = 1.6 · 2 = 3.2 V (el cálculo
usando cualquier otra corriente da el mismo resultado).
b) Cuando se cierra el interruptor S comienza a circular corriente por la resistencia de 3 k (a
la cual llamaremos i3). Dicha corriente se debe a las dos fuentes que hay en el circuito, la
fuente 𝑖0 = 3 mA y la fuente de voltaje (9.3 V) recién conectada. El modo más rápido de
calcular i3 consiste en sustituir el montaje de resistencias 16, 8, 4 y 2 k en paralelo con la
fuente de corriente por su equivalente Thèvenin, el cual ya es conocido puesto que hemos
calculado en el apartado anterior la resistencia equivalente al paralelo y la caída de tensión
entre sus extremos (este equivalente Thèvenin es lo que hay a la izquierda de los
terminales A, B de la figura siguiente). Nos queda entonces un circuito simple de una sola
malla en el que la corriente se calcula directamente aplicando la ley de Kirchhoff del voltaje.
Recorriendo la malla en sentido
antihorario tenemos:
𝑉𝑇ℎ − 9.3 + 𝑖3 (3 + 𝑅𝑃 ) = 0
16
3.2 − 9.3 + 𝑖3 (3 + ) = 0
15
61
𝑖 = 6.1 → 𝑖3 = 1.5 mA
15 3
Potencia disipada: 𝑃3 = 𝑖32 · 3 kΩ = (1.5 · 10−3 A)2 · 3000 Ω = 6.75 · 10−3 W = 6.75 mW
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Problema 3 (2 p)
⃗ =
Una partícula de 0.01 gramos que porta una carga positiva q = +2 C entra con velocidad 𝒗
𝟐
⃗ ) · 𝟏𝟎 𝐦/𝐬 en un campo magnético 𝑩
⃗ 𝐓.
⃗⃗ = 𝟎. 𝟒 𝒌
(𝟑𝒊 + 𝟒𝒌
a) Explicar qué trayectoria seguirá dentro del campo magnético y calcular la aceleración de
la partícula.
b) Calcular el periodo de la partícula y determinar cuál será su posición por encima del plano
de entrada al cabo de 0.1 s.
⃗ es
a) La fuerza magnética sobre la partícula cargada en el campo 𝐵
⃗ = 𝑞(𝑣↲ 𝑖 + 𝑣// 𝑘⃗) × 𝐵𝑘⃗ = 𝑞𝑣↲ 𝐵 𝑖 × 𝑘⃗ = 𝑞𝑣↲ 𝐵(−𝑗)
𝐹 = 𝑞𝑣 × 𝐵
donde se ha denominado 𝑣↲ a la componente de la velocidad perpendicular a las líneas del
campo y 𝑣// a la componente de la velocidad paralela a las mismas. Puesto que el producto 𝑖 ×
𝑖 es igual a cero, el campo magnético solamente ejerce fuerza sobre la componente de
velocidad perpendicular, y dicha fuerza es normal a la dirección de la velocidad. En el
momento en que la partícula entra en el campo magnético, la dirección de la fuerza es −𝑗, y su
acción sobre la partícula consiste en modificar la dirección de su velocidad (no su módulo)
haciéndola girar en el sentido de las agujas del reloj alrededor de las líneas de campo.
La aceleración de la partícula se obtiene aplicando la 2ª ley de Newton 𝑎 = 𝐹 /𝑚; en el
instante inicial de entrada en el campo magnético el vector aceleración es
𝑞𝑣↲ 𝐵(−𝑗) 2 · 10−6 · 3 · 102
(−𝑗) = 60(−𝑗) m · s −2
𝑎=
=
𝑚
10−5
Esta aceleración cambia la dirección de la velocidad, pero no su módulo (aceleración
centrípeta). La partícula describirá una trayectoria espiral de paso constante (a causa de la
componente de velocidad paralela a las líneas de campo) cuya proyección sobre un plano es
una circunferencia. El módulo de la aceleración en todos los puntos de la trayectoria es el
mismo, 𝑎 = 60 m · s −2.
b) Para esta partícula en órbita circular la aceleración centrípeta es 𝑎 =
de su órbita será 𝑅 =
2
(3.102 )
60
𝑣↲2
𝑅
, por tanto el radio
= 1.5 · 103 m, y su periodo (tiempo que tarda en recorrer la
longitud de la circunferencia de radio R) es 𝑇 =
2𝜋𝑅
𝑣↲
=
2𝜋·1.5·103
3·102
= 10𝜋 = 31.4 s.
La partícula experimenta un desplazamiento ascendente arrastrada
por su componente de velocidad 𝑣// . Al cabo de t = 0.1 s su posición
se habrá elevado con respecto al punto de entrada en
ℎ1 = 𝑣// · 𝑡 = 400 · 0.1 = 40 m
(es un movimiento uniforme a lo largo del eje Z).