TEORIA DE LA CAPA LIMITE

Fenómenos de Transporte.Licenciatura en Ciencia y Tecnología de Alimentos
Licenciatura en Ciencia y Tecnología Ambiental
Licenciatura en Biotecnología y Biología Molecular
TEORIA DE LA CAPA LIMITE
-El tercer modelo aproximado para resolver problemas fluidodinámicos
bidimensionales (con dos componentes de velocidad) recibe el nombre de
“modelo de la capa limite”. Fue desarrollado por Prandtl.
Suposiciones:
-Lejos de los sólidos se supone que el flujo es inviscido.
-En contacto con el sólido existe una capa muy delgada de fluido (capa
límite) en la cual las fuerzas de inercia y las viscosas son del mismo orden.
-Por lo tanto, el fluido cumple la condición de velocidad cero sobre la
superficie del sólido y se desliza sin roce en la superficie exterior de la
capa límite.
-El espesor de la capa límite (δ) se define como la distancia desde la pared
del sólido hasta el punto donde la velocidad del fluido difiere en un 1%
del valor de la velocidad lejos del sólido (v∞).
-Puesto que la región donde ocurren los fenómenos de fricción se ha
restringido a la capa límite y como esta es de muy pequeño espesor
pueden realizarse aproximaciones que simplifican la resolución del
sistema.
-Objetivo: calcular la fuerza de arrastre que ejerce un fluido sobre una
placa plana infinita utilizando el modelo de la capa límite.
Supongamos que un fluido se acerca a una placa plana con velocidad v∞ y
al llegar a x=0 aparece la condición de velocidad nula. Esto implica el
comienzo de la capa límite.
Como la perturbación impuesta por el sólido va penetrando en el fluido,
el espesor de esta capa aumenta a medida que nos desplazamos en la
dirección x.
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Fluido que se acerca con V∞
V∞
y
X
δ(x)
-Aplicando los balances de continuidad y cantidad de movimiento a esta
capa límite (volumen de control) para un fluido newtoniano, de ρ y μ
constantes, en estado estacionario, se obtiene:
∂v x ∂v y
+
=0
∂x
∂y
Componente x
2
2
∂v x
∂v x
1 ∂P μ ⎡⎢ ∂ v x ∂ v x ⎤⎥
vx
+vy
=−
+
+
∂x
∂y
ρ ∂x ρ ⎢ ∂x 2
∂y 2 ⎥⎦
⎣
Componente y
2 ⎤
⎡ 2
∂v y
∂v y
1 ∂P μ ⎢ ∂ v y ∂ v y ⎥
vx
+vy
=−
+
+
⎥
∂x
∂y
ρ ∂y ρ ⎢ ∂x 2
∂y 2 ⎥⎦
⎢⎣
Donde P = p − ρ ( g x x + g y y + g z z )
-En el modelo de la capa límite se supone que el espesor de la misma es
muy pequeño (esta es una buena aproximación a altas velocidades de
flujo) lo que permite realizar las siguientes suposiciones:
1)El flujo viscoso de cantidad de movimiento “x” en dirección “x” es
despreciable frente al aporte convectivo en dicha dirección o sea que:
∂v
μ ∂ 2v x
⟨⟨ v x x . Como la velocidad de flujo es alta esta es una buena
ρ ∂x 2
∂x
suposición.
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Flujo de Cantidad de
Movimiento de dirección “x”
en la dirección “x”: τxx
V∞
y
X
A igual
altura vx
disminuye
vx=vx(x)
2)El aporte de cantidad de movimiento “y” en la dirección “y” es
despreciable (tanto convectivo como viscoso) entonces todos los términos
de velocidad en la componente “y” son despreciables, por lo tanto
∂P/∂y≈0. La componente de velocidad vy sólo es importante a los efectos
de satisfacer la ecuación de continuidad para un sistema con flujo
bidimensional.
-Puesto que ∂P/∂y≈0, entonces la variación de la presión dentro de la capa
límite debe ser igual a la que existe fuera de la misma. Si ahora se analiza
la variación de P en la dirección “x” para una placa plana, fuera de la
capa límite, utilizando la aproximación de flujo inviscido (que como se ha
visto produce buenos resultados lejos de la superficie de un sólido) se
encuentra que ∂P/∂x=0. Por lo discutido antes, este resultado también es
válido dentro de la capa límite.
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Por
BMCM
dP/dy=0
P1
dP/dx=0 por
flujo invíscido
P1
V∞
y
Por lo tanto dP/dx=0
dentro de la capa límite
X
P1
P1
Flujo de Cantidad de
Movimiento de dirección “x”
en la dirección “x”: τxx
V∞
y
X
A igual
altura vx
disminuye
vx=vx(x)
capa límite, utilizando la aproximación de flujo inviscido (que como se ha
visto produce buenos resultados lejos de la superficie de un sólido) se
encuentra que ∂P/∂x=0. Por lo discutido antes, este resultado también es
válido dentro de la capa límite.
Entonces, utilizando la denominada viscosidad cinemática: ν = μ/ρ, las
ecuaciones quedan:
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∂v x ∂v y
+
=0
∂x
∂y
∂v x
∂v x
∂ 2v x
vx
+vy
=ν
∂x
∂y
∂y 2
Con las siguientes condiciones de contorno:
v x = 0 ⋅ para ⋅ y = 0 ⋅ ∀ ⋅ x > 0
v x = v ∞ ⋅ para ⋅ y = ∞ ⋅ ∀ ⋅ x > 0
v x = v ∞ ⋅ para ⋅ x = 0 ⋅ ∀ ⋅ y > 0
Blasius
series
y
η=
2
resolvió este sistema de ecuaciones utilizando una expansión en
para la región en la que la coordenada adimensional
v∞
→ 0 y una solución asintótica para η→∞.
νx
-Posteriormente Howarth obtuvo una solución mas exacta por resolución
numérica.
-De los resultados de Blasius se obtuvieron las siguientes expresiones:
Espesor de capa límite hidrodinámica:
δ ( x) = 5
νx
v∞
Gradiente de velocidad evaluado sobre la placa:
dv x
v
v x 0.332v ∞
= 0.332v ∞ ∞ = 0.332v ∞ ∞ =
Re x
dy y = 0
νx
νxx
x
Esfuerzo de corte que ejerce el fluido sobre la placa:
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τ
yx
= −μ
dv x
dy
y=0
= − 0 . 332 μ v ∞
0 . 332 μ v ∞
v∞
=−
νx
x
Re
x
-Fuerza de arrastre:
∫
F=+
T
sup erficie
placa
sup erficie
∫
dA= +
sup erficie
placa
(− p I − τ ) sup erficie d A
Como no existe un gradiente de presión entonces esta no contribuirá al
arrastre y este sólo será viscoso:
∫
F=−
τ
sup erficie
placa
Fx =
WL
dA
1
∫ ∫ 0.332μv ∞
00
sup erficie
v∞
v x
dxdz = 0.332Wμv ∞ ∞
νx
ν 1
F x = 0.664Wμv∞
L
2
2
= 0.664Wμv ∞
0
ρv ∞ L
= 0.664Wμv ∞ Re L
μ
-Podemos ver que cuando mayor es la velocidad del fluido y mayores sean
su viscosidad y densidad mayor será la fuerza de arrastre que se ejerce
sobre la placa.
60
v∞
ν
1
L
2