Junio

Física. Licenciatura en CC. Químicas
Examen final. 2 de Junio de 2003
Primer parcial:
Teoría 1. (2.5 puntos) Hallar la energía potencial gravitatoria de la interacción entre una masa m y
La Tierra, de masa MT, tomando como origen la masa m en el infinito (1.5 puntos). Deducir
posteriormente el valor de la velocidad de escape para un proyectil lanzado desde la superficie de La
Tierra (1 punto).
Teoría 2. (2..5 puntos) Enunciar y justificar brevemente las leyes de Newton (1ª 0.5 puntos, 2ª
1punto y 3ª 1 punto).
Problema. (5 puntos) Un plano inclinado un ángulo θ puede girar todo él en torno a un vértice
como se indica en al figura. Sobre él situamos un cuerpo de masa m.
(a) Con el plano en reposo, determinar el valor mínimo que debería tener el coeficiente de
rozamiento estático para que el cuerpo no deslice por el plano. Realizar un esquema detallado de todas las
fuerzas presentes en el sistema.
FR
N
x
m
L
Según la gráfica adjunta, en el apartado (a)
únicamente actúan sobre el cuerpo las fuerzas del
peso, la normal del plano y el rozamiento estático.
Dado que el cuerpo se debe encontrar en reposo,
se debe cumplir que:
r r r r
∑ F = P + N + FR = 0 o bien
i
r
r
Eje x : mgsenθ = FR = μ N
r
Eje y : mg cosθ = N
θ
y
P
En este segundo apartado no existe
rozamiento pero ahora, el plano inclinado gira en
torno al eje vertical que pasa por su vértice inferior.
Por esta razón, aparecerá una fuerza centrífuga (en el
sistema de referencia no inercial del cuerpo) o
centrípeta (en el sistema de referencia inercial
externo). La dirección y sentido de esta nueva fuerza
están indicadas en la siguiente figura. De nuevo, debe
cumplirse la condición de equilibrio del apartado
anterior si no queremos que el objeto se deslice por el
plano inclinado.
r r r r
∑ F = P + N + FC = 0 o bien
Combinando ambas ecuaciones llegamos al
resultado de μ=tgθ.
(1 punto)
b) Suponiendo ahora que no hay
rozamiento con el plano, y que todo el sistema se
pone a girar con velocidad ω, determinar en
función de L el valor de esta velocidad para que el
cuerpo no deslice por la superficie del plano.
x
N
m
r
FC
θ
y
i
r
Eje x : mgsenθ = FC cosθ = mω 2 r cosθ
r
r
Eje y : mg cosθ + FC senθ = N
P
donde r es la distancia del cuerpo al eje de giro, r=Lcosθ. A partir de la primera ecuación se llega
(2 puntos)
fácilmente al resultado ω 2 = gsenθ / L cos 2 θ
c) Si existe una fuerza de rozamiento entre el cuerpo y el plano de coeficiente estático μ ¿Cuánto
se puede incrementar la velocidad angular de giro antes de que el cuerpo deslice hacia arriba? (Es decir
cuál es la velocidad máxima de giro para que el cuerpo no ascienda por el plano)
x
En este tercer apartado, sobre el cuerpo actúan
simultáneamente todas las fuerzas estudiadas en los dos
apartados anteriores: el peso, la normal, la fuerza centrífuga y
la fuerza de rozamiento. La dirección y sentido de todas ellas
se indican en esta última figura. Para que el cuerpo en
estudio no ascienda por el plano inclinado, debe cumplirse la
condición de equilibrio entre todas las fuerzas implicadas.
r r r r
r
∑ F = P + N + FC + FR = 0 o bien
N
m
r
FC
FR
θ
i
y
r
r
Eje x : mgsenθ + FR = FC cosθ = mω 2 r cosθ
r
r
Eje y : mg cos θ + FC senθ = N
P
Combinando
resultado pedido:
ω2 =
ambas
g ⎛ tgθ + μ ⎞
⎜
⎟
L cos θ ⎝ 1 − μ tgθ ⎠
ecuaciones
llegaríamos
al
(2 puntos)
Segundo parcial
Teoría 1. (2.5 puntos ) Deducir la ecuación del movimiento armónico amortiguado y discutir los
tres posibles regímenes de movimiento.
Teoría 2. (2.5 puntos ) Explica el experimento de Millikan sobre la cuantización de la carga
eléctrica.
Problema (5 puntos )Un mol de Helio gaseoso, inicialmente en el estado A, realiza el siguiente
ciclo termodinámico (véase la figura): calentamiento isócoro desde el estado A al estado B donde la
presión es 2P0, posteriormente se expande adiabáticamente desde el estado B al estado C y, finalmente,
retorna a su estado inicial por medio de una compresión isóbara. Para realizar dicho ciclo, el gas
intercambia los calores necesarios con un foco caliente y un foco frío a temperaturas TC=4T0 y TF=T0/2,
respectivamente. Calcular (1 punto cada apartado):
a)
B
P
Variaciones de la energía interna del gas en
cada etapa del ciclo
b) Trabajos realizados por el gas en cada etapa del
ciclo
c)
Calores intercambiados por el gas con los focos
en cada etapa del ciclo
A
d) Rendimiento del ciclo
e)
C
V
Variación total de la entropía del gas, los focos
y el Universo en todo el ciclo.
Nota: Los valores de la presión, volumen y temperatura iniciales del gas (estado A) son P0, V0 y
T0, respectivamente.
En primer lugar calcularemos los valores de las variables de estado del gas en los puntos A, B y C.
Los valores iniciales, punto A, son: PA=P0, VA=V0 y TA=T0. Dado que el proceso termodinámico desde A
hasta B es un calentamiento isócoro, VB=VA=V0, PB=2P0y TB=PBVB/nR=2P0V0/nR=2T0. Las variables de
estado en el punto C se pueden calcular del siguiente modo: PC=P0 y dado que la expansión BC es
B
B
B
B
B
adiabática, PC(VC)γ= PB(VB)γ luego VC=23/5V0 (para un gas ideal monoatómico, γ=5/3) Por último,
TC=PCVC/nR=P023/5V0/nR=23/5T0
B
B
En el proceso AB, V=cte ,luego ΔW=0 y ΔQ=ΔU=CvΔT= Cv(TB-TA)=3nRT0/2
B
En el proceso BC, ΔQ=0, luego ΔW=-ΔU=-Cv(TC-TB)=3RT0(1-2-2/5)
B
En el proceso CA, ΔP=0, luego ΔU=CvΔT= Cv(TA-TC)=3nRT0(1-23/5)/2; ΔW=PΔV=P(VAVB)=P0V0(1-23/5) y finalmente, ΔQ=CPΔT=5RT0(1-23/5)/2
B
Dado que la suma de los trabajos resulta positiva (comprobar), el gas realiza trabajo sobre los
exteriores y se comporta, por tanto, como una máquina térmica. El rendimiento de este ciclo es el
cociente del trabajo (realizado en los procesos BC y CA) y el calor absorbido (proceso AB).
η=
Wrealizado WBC + WCA
=
= 0.14
Qabsorbido
QAB
La variación de entropía del gas es nula puesto que actúa cíclicamente y su estado final es idéntico
al inicial. La variación de entropía de cada foco es:
ΔScal =
ΔQcedido por el foco caliente
ΔS frio =
T foco caliente
ΔQabsorbido por el foco frio
T foco frio
=
=
−ΔQabsorbido por el g as en AB
4T0
−ΔQcedido por el g as en CA
T / 20
=−
3RT0 / 2
3
=− R
4T0
8
= +5 R (23 / 5 − 1)
ΔS gas = 0 ΔSUniverso = ΔS frio + ΔScal + ΔS gas = 2.195 R > 0
Tercer Parcial (GRUPO I (Miguel Ángel Arranz Monge))
Teoría 1. (5/3 puntos) Explicar el origen de la resistencia eléctrica, R, en un material conductor (1/3
punto) y sus factores de dependencia (2/3 punto). Obtener la ley de Ohm generalizada para la densidad de
corriente eléctrica (2/3 punto).
Teoría 2. (5/3 puntos) Indicar detalladamente las analogías y diferencias existentes entre (1/3 punto cada
apartado):
a)
Fuerza eléctrica-Fuerza magnética
b) Dipolo eléctrico-Dipolo magnético
c)
Flujo del campo eléctrico- Flujo del campo magnético
d) Circulación del campo eléctrico- Circulación del campo magnético
e)
Diferencia de potencial de una fuente de alimentación-Diferencia de potencial inducido.
Teoría 3. (5/3 puntos) Origen (1/3 punto) y sentido físico (1/3
punto) de la capacidad eléctrica de un material conductor, C.
Capacidad eléctrica en una asociación de dos conductores
(condensador) (1/3 punto): obtener C para el caso de un
condensador plano-paralelo (2/3 punto).
Problema 1. (2.5 puntos) Una barra conductora horizontal es libre
de moverse verticalmente manteniendo el contacto eléctrico con
dos raíles verticales de un circuito cerrado de resistencia R. La
barra tiene masa m y longitud L como se indica en la figura. Un
campo magnético B uniforme se mantiene perpendicular a la
superficie del circuito.
F
L
dl
m
I
B
(a) Cuando la barra lleva velocidad v, determinar la
diferencia de potencial y la intensidad de la corriente que se
R
v
z
inducen en el circuito. Determinar el signo de esta corriente (1 punto)
La barra metálica, junto con los otros tres lados, encierran cierta área S a través de la cual existe un
flujo magnético dado por la expresión: Φ=BS=BLz (asumiendo que B es constante en todos los puntos
del espacio). En esta expresión, z es la altura a la que se encuentra la varilla. Como la varilla está cayendo
continuamente, el área encerrada y, por tanto, el flujo magnético varían con el tiempo (disminuyen). La
ley de Faraday-Henry predice la aparición de un voltaje o diferencia de potencial inducido, V=-dΦ/dt=BL(dz/dt)=-BLv, donde v es la velocidad de caída de la varilla (ritmo de variación de z). Dado que
tenemos un circuito cerrado, esta diferencia de potencial inducido provoca la aparición de una corriente
eléctrica, I=V/R= BLv/R. El sentido de la misma es tal que debe oponerse al efecto que la haya generado
(Ley de Lenz). En este caso, la disminución de flujo (caída de la varilla) fue la que provocó la inducción
de corriente eléctrica. De acuerdo con la Ley de Lenz, dicha corriente deberá contrarrestar esa
disminución de flujo generando nuevas líneas de campo en la misma dirección y sentido que B. Si el
campo magnético inducido tiene el mismo sentido que el campo B (saliente), entonces la corriente
inducida girará en sentido antihorario (regla del sacacorchos).
(b) Calcular, en función de la velocidad del conductor, la fuerza magnética que aparece sobre la
barra en movimiento y explicar su origen (1 punto).
En presencia de un campo magnético, B, la fuerza magnética que sufre una porción infinitesimal
uur r
r
de un conductor por el que circula una corriente eléctrica viene dada por: dF = I dl × B . El módulo de la
fuerza resultante sobre la varilla será:
r
F=
∫
varilla
uur r
I dl × B = I
∫
varilla
r
r
(− jdl ) × ( Bi ) = I
∫
r
r
r
Bdl (− j ) × (i ) =IBk
varilla
r ⎛ B 2 L2 v ⎞ r
dl
=
(
IBL
)
k
=⎜
⎟k
∫
⎝ R ⎠
varilla
El resultado es una fuerza opuesta al movimiento de caída de la varilla y cuyo módulo es B2L2v/R.
Su origen no es ni más ni menos que la interpretación dinámica de la ley de Lenz (el sistema debe
reaccionar en contra del efecto que genera la inducción de corriente eléctrica): si la varilla cae
disminuyendo el flujo magnético, la corriente eléctrica circula de tal modo que la fuerza magnética
originada sobre el conductor intenta impedir esa caída, F contraria a v.
(c) Teniendo en cuenta todas las fuerzas que actúan sobre la barra, dar una expresión para la
velocidad límite de ésta y explicar su origen físico (0.5 puntos).
Las fuerzas que actúan sobre la varilla son su peso y la fuerza magnética, luego su ecuación de la
r r r
r B 2 L2 r
dinámica es: ma = P − F = mg −
v . Para un tiempo razonablemente largo, la aceleración llega a
R
anularse debido a la fuerza de frenado magnética. A partir de ese momento, v es constante e igual a la
mR r
r
llamada velocidad límite: vL = 2 2 g . El origen de esta velocidad límite se encuentra en la acción de
B L
frenado que provoca la fuerza magnética sobre el movimiento de caída de la varilla. Obsérvese que dicha
fuerza es proporcional a la velocidad y contraria al movimiento de la varilla, características idénticas a las
fuerzas de rozamiento en fluidos o medios viscosos.
I1
Problema 2. (2.5 puntos) Dos fuentes de alimentación se
conectan entre los extremos de dos varillas conductoras
idénticas, tal y como se indica en el circuito de la figura.
Cada una de estas varillas tiene una longitud L=10 m y una
sección S=1 mm2. Responder a los siguientes apartados:
(a) Calcular la resistencia eléctrica de cada varilla, R,
sabiendo que la resistividad eléctrica del material de que
están fabricadas es ρ=10μΩ·cm (0.5 puntos).
10V
I0
R
2Ω
Substituyendo todos los datos en la expresión
R=ρL/S=10·10-6Ω·10-2m·10m/10-6m2, llegamos a R=1Ω
(b) Obtener la intensidad eléctrica que circula por
cada varilla así como la que pasa por la resistencia de 2
Ohmios (1 punto).
5V
R
I2
En la gráfica se indican los sentidos de movimiento de las tres distintas intensidades que circulan
por las correspondientes ramas del circuito (los sentidos han sido elegidos al azar). Asimismo se indica el
sentido de giro propuesto para la aplicación de la segunda ley de Kirchoff en cada malla, obviamente el
mismo en ambas. La aplicación de ambas leyes es la siguiente:
∑I
i
= 0 (en cada nudo)
I1 − I 2 − I 0 = 0
i
∑ R I = ∑ε
i i
i
i
(en cada malla )
i
+ RI1 + 2 I 0 = +10 malla izda.
+ RI 2 − 2 I 0 = −5 malla dcha.
donde R=1Ω. Resolviendo este sistema de ecuaciones, se llega al resultado: I1=4A, I2=1A y I0=3A. Los
signos positivos de las tres intensidades indican que sus sentidos de circulación fueron correctamente
elegidos.
(c) Calcular la fuerza magnética entre ambas varillas (0.5 puntos). Indicar su dirección y sentido
(0.5 puntos). Nota: la separación entre las varillas es de 1 cm.
La fuerza de interacción magnética entre ambas corrientes rectilíneas se calcula mediante la
uuur
uuur r
expresión: dF 12 = I 2 dl2 × B1 , donde B1 es el campo magnético creado por el hilo 1 y dl2 es un elemento
infinitesimalmente pequeño del hilo 2 por donde circula I2. Asumiendo que son dos hilos rectilíneos de
longitud L>>d por donde circulan corrientes eléctricas paralelas, entonces:
r
μ I
B1 = 0 1
2π d
r
F12 =
∫
uuur r
I 2 dl2 × B1 = I 2
hilo 2
∫
hilo 2
dl2
μ 0 I1
μ I
= I2 0 1
2π d
2π d
∫
hilo 2
dl2 =
μ 0 I1 I 2
L = 8·10−4 N
2π d
La dirección de la fuerza es perpendicular a ambos hilos y repulsiva (ver dibujo adjunto)
I1
I2