TEMA VI: ESPACIOS DE HILBERT 1. Espacios con producto escalar Definición: Sea L un espacio vectorial sobre el cuerpo K (R ó C). Por un producto escalar (o interno) sobre L entedemos una aplicación < .|. >: L × L → K denotada por (u, v) → < u|v > que cumple: ∀ u1 , u2 , u, w ∈ L, ∀λ ∈ K 1. < u|u > ≥ 0, y (< u|u >= 0 ⇔ u = 0) 2. < u|u1 + u2 >=< u|u1 > + < u|u2 > 3. < u|λw >= λ < u|w > 4. < u|w >= < w|u > De estas propiedades se deducen inmediatamente las siguientes: • < λ1 u1 + λ2 u2 |w >= λ1 < u1 |w > +λ2 < u2 |w > • < u|w >= 0, ∀w ∈ L ⇒ u = 0 • < u1 |w >=< u2 |w >, ∀w ∈ L ⇒ u1 = u2 Nota: Las conjugaciones tienen sentido cuando K = C, en caso de que K = R sobran. Definición: Al par (L, < .|. >) se le llama espacio con producto escalar o pre-Hilbert. Observación: Todo subespacio vectorial M de un espacio pre-Hilbert (L, < .|. >) es a su vez un espacio pre-Hilbert. Desde un punto de vista geométrico, la gran ventaja de la estructura de producto escalar radica en la posibilidad que ofrece de introducir generalizaciones naturales del concepto de ortogonalidad o perpendicularidad de la geometrı́a euclı́dea clásica. Definición: Dos vectores v, w ∈ (L, < .|. >) se dicen ortogonales si < v|w >= 0. Y escribimos simbólicamente v ⊥ w. Asimismo, un conjunto de vectores S = {vα }α∈A ⊂ (L, < .|. >) se dice 1 ortogonal si < vα |vβ >= 0, ∀ α 6= β. Si además < vα |vα >= 1, ∀α, se dice que el conjunto S es ortonormal. Finalmente, dados dos conjuntos S1 y S2 de vectores en (L, < .|. >), diremos que S1 ⊥ S2 si < v1 |v2 >= 0, ∀v1 ∈ S1 , ∀v2 ∈ S2 . Proposición: Todo conjunto ortogonal de vectores no nulos es linealmente independiente. Demostración: Sea S = {vα }α∈A conjunto ortogonal de vectores. X λα vα = 0 α∈A al mutiplicar por algún vβ ∈ S obtenemos λβ < vβ |vβ >= 0 lo que implica que λβ = 0. 2. Propiedades geométricas elementales 1 A lo largo de esta sección denotaremos ||v|| =< v|v > 2 a la norma de un vector v ∈ (L, < .|. >). Teorema (de pitagoras generalizado): Si {vj }n1 es ortonormal en (L, < .|. >), se tiene ∀v ∈ L: ||v||2 = n X | < vj |v > |2 + ||v − 1 n X < vj |v > vj ||2 1 Demostración: Se basa en el hecho de comprobar que el conjunto {v1 , v2 , ..., vn , d}, con d=v− n X < vj |v > vj , es ortogonal. Para luego calcular < v|v > escribiendo v = d + (v − d). 1 Corolario: 1. v1 ⊥ v2 ⇒ ||v1 + v2 ||2 = ||v1 ||2 + ||v2 ||2 2. Si {vj }n1 es ortonormal en (L, < .|. >), se tiene ∀v ∈ L: ||v||2 ≥ n X | < vj |v > |2 (desigualdad f inita de Bessel) 1 3. ∀v, w ∈ L: | < v|w > | ≤ ||v||.||w|| (desigualdad de Schawarz − Cauchy − Buniakowskii) Además | < v|w > | = ||v||.||w|| ⇔ {v, w}no linealmente independiente. Demostración: 1. ||v1 + v2 ||2 =< v1 + v2 |v1 + v2 >=< v1 |v1 > + < v2 |v2 >= ||v1 ||2 + ||v2 ||2 2 2. Dado que ||v||2 = n X | < vj |v > |2 + ||v − n X 1 < vj |v > vj ||2 y que ||v − 1 desigualdad es obvia. n X < vj |v > vj ||2 ≥ 0, la 1 1 X v v } es ortonormal, luego ||w||2 ≥ |< |w > |2 por lo tanto ||v|| ||v|| 1 | < v|w > |2 ≤ ||w||2 .||v||2 . Para la igualdad se necesita que si v 6= 0, se verifique 3. Obvio para v = 0, si v 6= 0, { ||w− < v v |w > || = 0 ⇒ w = λ.v, ||v|| ||v|| siendo λ = < v|w > ||v||2 Definición: Dado (L, < .|. >) pre-Hilbert, podemos definir una distancia entre sus elementos : ∀u, v ∈ L 1 d(u, v) = ||u − v|| =< u − v|u − v > 2 Propiedades: 1. Las siguientes funciones definidas sobre un pre-Hilbert son continuas L −→ K v ; ||v|| ; L −→ K v ; < w|v > , w ∈ L f ijo K × L −→ L (λ, v) ; λv ; L × L −→ L (u, v) ; u + v siendo K = R ó C, el cuerpo soporte. 2. La función L × L −→ K definida por (u, v) ; < u|v > es secuencialmente continua. Es decir, dadas las sucesiones {vn } → v y {un } → u, entonces la sucesión {< un |vn >} converge a < u|v >. Ejemplo: El conjunto de C([a, b]) de las funciones continuas sobre el intervalo cerrado y acotado [a, b] ⊂ R, con el producto escalar < f |g >≡ 3. Z b a f (x)g(x)dx es un espacio pre-Hilbert. Espacios de Hilbert Definición: Un espacio vectorial H con producto escalar se dice de Hilbert si es completo, es decir, que toda sucesión de Cauchy es convergente. ∀{vn }n∈N ⊂ H tal que ||vn − vm || → 0 =⇒ ∃v ∈ H tal que ||vn − v|| → 0 3 Ejemplos: Rn , Cn , L2 [a, b]. | Z b a El conjunto L2 [a, b] está constituido por las funciones sobre el intervalo [a, b] tales que 2 1 2 |f (x)| dx| < +∞. Se le dota del producto escalar definido por < f |g >= Z b a f (x)g(x)dx. Definición (Complementos ortogonales): Sea M ⊂ H, H espacio de Hilbert y M no vacio. Denotaremos M ⊥ ≡ {v ∈ H / v ⊥ M } y dieremos que M ⊥ es el complemento ortogonal de M en H. Propiedades: 1. ∀M ⊂ H, con M no vacio, M ⊥ es un subespacio vectorial cerrado de H ( y por lo tanto es también Hilbert). 2. M ∩ M ⊥ ⊂ {0} 3. M ⊂ (M ⊥ )⊥ = M ⊥⊥ Teorema: Si M es un subespacio lineal cerrado de un espacio de Hilbert H, entonces ∀v ∈ H : v = v1 + v2 , v1 ∈ M y v2 ∈ M ⊥ de forma única. A v1 y v2 se les dice proyecciones ortogonales de v sobre M y M ⊥ respectivamente. Teorema (Gram-Schmidt): Dado un espacio de Hilbert H, entonces todo subconjunto {vj }j∈J ⊂ H, linealmente independiente con J finito o infinito numerable, genera un sistema ortonormal {uj }j∈J ⊂ H Demostración: w1 = v1 , u1 = w1 ||w1 || w2 = v2 − < u1 |v2 > u1 , u2 = w2 ||w2 || . . . wm = vm − . . . . . m−1 X < uk |vm > uk , k=1 um = wm ||wm || . . Definición (Base ortonormal): Un conjunto ortonormal S = {vα }α∈A de vectores en un espacio de Hilbert H, se dice que constituye una base ortonormal de H si es maximal, es decir, si no es subconjunto propio de ningún otro conjunto ortonormal de H. 4 Proposición: Todo espacio de Hilbert 6= {0} posee alguna base ortonormal. Teorema: Sea S = {vα }α∈A un conjunto ortonormal en un espacio de Hilbert H 6= {0}. Las siguientes proposiciones son equivalentes entre si: 1. S es base ortonormal de H. 2. lin(S) = H (completo lineal). 3. S ⊥ = {0}. 4. ∀v ∈ H : v = X < vα |v > vα , (Desarrollo en serie de Fourier). α 5. ∀v, w ∈ H : < v|w >= X < v|vα >< vα |w >, (Identidad de Parseval). α X 6. ∀v ∈ H : ||v||2 = | < vα |v > |2 , (Identidad de Parseval). α Un espacio de Hilbert H 6= 0 es separable si y sólo si admite una base ortonormal numerable (finita o infinita numerable). Proposición: Todas las bases ortonormalrs de un espacio de Hilbert H tienen el mismo cardinal. Definición: A este cardinal común a todas las bases se le llama dimensión hilbertiana de H. Criterio de convergencia Sea {un }n∈N un conjunto ortonormal de vectores de H, espacio de Hilbert. ∞ X λj uj converge en H ⇐⇒ 1 4. ∞ X |λj |2 converge en R 1 Algunas bases ortonormales importantes de funciones Base de Legendre H = L2 [a, b]. Consideremos la sucesión {xn }∞ 0 ⊂ H. Es un conjunto linealmente independiente, pero no es ortonormal. El proceso de ortonormalización de Gram-Schmidt aplicado a este caso proporciona un conjunto ortonormal de polinomios de grados n = 0, 1, 2, .... En el caso particular de [a, b] = [−1, 1], los polinomios ası́ obtenidos son, salvo factores constantes, los llamados polinomios de Legendre: Pn (x) = 1 dn 2 (x − 1)n n!2n dxn 5 integrando por partes se comprueba sin dificultad que el producto escalar < Pm |Pn >= 0, para n 6= m, r 2 1 2 y que ||Pn || = . Todo esto nos lleva a afirmar que { n + Pn } es base ortonormal de 2n + 1 2 n=0,1,2,.. L2 [a, b]. Base de Hermite H = L2 (R). Ahora xn no pertenece a H, pero sin embargo puede considerarse un nuevo conjunto de funciones {xn e− x2 2 }n=0,1,2,... ⊂ H, que es linealmente independiente. La sucesión ortonormal a que conduce el proceso de Gram-Schmidt, salvo un factor de módulo 1, φn (x) = 2 1 − x2 e Hn (x) √ 1 (n!2n π) 2 siendo {Hn (x)}∞ 0 los llamados polinomios de Hermite 2 Hn (x) = (−1)n ex dn −x2 e dxn las φn (x) suelen llamarse funciones de Hermite y constituyen una base ortonormal de L2 (R). Base trigonométrica de Fourier 1 constituye una base ortonormal. H = L2 [0, 2π]. El conjunto de funciones { √ e±inx } 2π n=0,1,2,... Base de Laguerre H = L2 (R+ ), R+ = [0, +∞). La sucesión {e− x2 2 xn }n=0,1,2,... ⊂ H es linealmente independiente y por Gram-Schimdt conduce a la familia ortonormal {ψn (x)}n=0,1,2,... , donde salvo constante de módulo 1: ψn (x) = e− x2 2 Ln (x) siendo Ln los polinomios de Laguerre Ln (x) = 1 x dn −x n e (e x ) n! dxn 6