optica geométrica - MATEMATICAS Y FISICA

OPTICA GEOMÉTRICA
1. INTRODUCCIÓN A LA ÓPTICA.- La parte de la Física que estudia la luz recibe el nombre de
óptica. La luz es el agente que impresiona el sentido de la vista, de aquí que, siendo este sentido el
que principalmente nos pone en comunicación con el exterior, la óptica tenga una gran importancia
y sean numerosas sus aplicaciones.
La luz estaba considerada, hasta la mitad del siglo XVII como una corriente de corpúsculos.
Cristhian Huygens fue el primero en afirmar que la luz era una onda: suponía que era un
movimiento ondulatorio de tipo mecánico (como el sonido) que se propaga en un supuesto medio
elástico que llena todo y que se conocía con el nombre de éter.
El hecho real es que la luz parecía presentar características corpusculares al tiempo que
ondulatorias. James C. Maxwell, en 1873, contribuyó decisivamente a la teoría ondulatoria
demostrando que la luz no era otra cosa que una onda electromagnética. Modernamente se ha
visto que la dualidad onda-corpúsculo (Louis De Broglie) no se presenta sólo en la luz, sino que es
una ley general de la naturaleza de la que la materia también participa; este nuevo punto de vista
constituye la llamada Mecánica Cuántica, disciplina que agrupa, con una visión revolucionaria, no
sólo la mecánica, sino también a la electricidad y la óptica.
Ahora bien, la luz se forma cuando un electrón salta de un nivel energético mayor a uno menor, la
energía radiante que le sobra al electrón es lo que se denomina luz o sea fotones, los cuales se
manifiestan en forma de ondas electromagnéticas.
Aunque la luz, es sólo una pequeña porción del rango total de las ondas electromagnéticas, el
estudio de la luz se aplica a la totalidad de la radiación electromagnética.
ROJO (7X 10 -7m)
VIOLETA (4X 10 -7m)
LUZ
ONDAS DE RADIO
INFRAROJO
Y TV
MICROONDAS
ULTRAVIO
LETA
RAYOS X
RAD
4
10
f(hz)
f(hz)
8
10
14
10
16
10
18
10
22
10
Los cuerpos que emiten luz se denominan luminiscentes o luminosos, los que la reflejan se llaman
iluminados. El sol, una vela encendida son luminiscentes, la luna, una hoja son cuerpos iluminados.
La luz viaja en línea recta como lo demuestran las sombras y los eclipses, con una velocidad de
300.000 km/s en el aire o en el vacío.
De acuerdo, pues, con lo indicado, el estudio de la óptica se puede dividir en tres partes:
1. Óptica geométrica. Utiliza el método de los rayos luminosos.
2. Óptica física. Trata la luz considerada como un movimiento ondulatorio.
3. Óptica cuántica. Se refiere a las interacciones entre la luz y las partículas atómicas.
2. RAYOS LUMINOSOS.-El concepto básico con que opera la óptica geométrica es el de rayo
luminoso, que, como veremos, da sólo una descripción aproximada del camino que la luz sigue en
el espacio, pero para muchos fines prácticos esa aproximación es suficiente.
El sol constituye una buena fuente de rayos paralelos de luz; también es posible obtener en el
laboratorio una fuente de rayos paralelos, empleando diafragmas con cortes muy delgados.
Desde el punto de vista geométrico, podemos considerar como fuente de rayos paralelos a
cualquier fuente luminosa situada en el infinito. En efecto, considerando que el ángulo que forman
los rayos paralelos es de cero grados y observando que, a medida que una fuente luminosa se
aleja de nosotros, los rayos extremos que de ella nos llegan vienen con un ángulo cada vez menor,
debemos concluir que si una fuente está en el infinito los rayos luminosos que provienen de ella
llegarán paralelos.
El infinito, en este caso, no tiene un sentido estricto; si así fuese, las afirmaciones que hemos
hecho carecerían de sentido básico. Aquí el infinito significa a una distancia suficientemente
grande. Como ejemplo, pensemos que para una fuente tan extensa como el Sol, basta su distancia
a la Tierra para que los rayos luminosos que de él provienen sean prácticamente paralelos.
Otra característica importante de los rayos luminosos es que son independientes de su trayectoria.
Con esto se quiere decir que no importa cuántas cosas hayan pasado con ellos hasta que llegan a
nosotros, cuando lo hacen se comportan de la misma forma que si tratara de unos rayos nuevos.
Finalmente, los rayos posen reversibilidad de los caminos ópticos, lo que significa que recorren el
mismo camino dentro de un sistema óptico independientemente del sentido en que lo hagan.
3. LAS LEYES DE LA REFLEXIÓN.- Se llama reflexión al rechazo (desviación) que experimenta la
luz cuando incide sobre una determinada superficie. Toda superficie que tenga la propiedad de
rechazar la luz que incide en ella se llama superficie reflectora; lo contrario de una superficie
reflectora es una superficie absorbente estas superficies capturan la luz que incide sobre ellas
transformándolas en otras formas de energía, generalmente energía calórica. Un cuerpo negro
absorbe toda la luz que llega a él; desde este punto de vista el color negro no es un color
propiamente dicho, pues vemos como negro la ausencia de luz.
REFLEXIÓN ESPECULAR O REGULAR: Sucede cuando rayos que inciden paralelos, se reflejan
paralelos. Sucede en superficies pulimentadas como los espejos
REFLEXIÓN DIFUSA O DIFUSIÓN: Cuando rayos que inciden paralelos, se reflejan en todas
direcciones. Sucede en superficies poco pulimentadas como las paredes.
a)Reflexión regular o especular
b) Reflexión difusa - difusión
Las partículas de polvo o de humo difunden la luz, volviendo visible el haz luminoso
En realidad, toda superficie de un cuerpo refleja algo de luz aun cuando esté pintada de negro; la
diferencia está en que algunas superficies reflejan mayor cantidad de luz que otras. Para que una
superficie sea llamada espejo no basta con que refleje la luz, debe reflejarla de manera que forme
imágenes; esto ocurre cuando un rayo luminoso que incide en la superficie no se dispersa, es
decir, sigue siendo rayo luminoso. Ejemplos de superficies especulares lo constituyen las aguas
tranquilas de un lago o un trozo de vidrio con su parte de atrás pintada con plata.
La reflexión se produce de acuerdo con ciertas leyes que llamamos leyes de la reflexión. Para
enunciarlas, haremos uso de los conceptos de rayo incidente, normal, rayo reflejado, ángulo de
incidencia y ángulo de reflexión.
Recordemos las leyes de la reflexión:
1ª El ángulo que forma el rayo incidente con la normal (ángulo de incidencia) es igual al ángulo que
forma el rayo reflejado con la normal (ángulo de reflexión). Recuerde la gráfica de reflexión en la
página 8. .
2ª El rayo incidente, la normal y el rayo reflejado están en el mismo plano.
4. IMÁGENES: Desde un punto de vista físico, una imagen es algo bastante compleja. Un rayo
luminoso es portador de cierta cantidad de información producto de la modificación que
experimenta el rayo luminoso al incidir sobre un objeto (esta información modula al rayo luminoso).
El ojo tiene por objeto demodular la información que nos llega por el rayo y convertirla en un
impulso nervioso que llegue hasta el cerebro. La imagen de un objeto es una representación de él.
IMAGEN VIRTUAL: La que se forma detrás del espejo, donde se cortan las prolongaciones de los
rayos reflejados. Se presenta en espejos planos y convexos
IMAGEN REAL: La que se forma antes del espejo, o sea del mismo lado del observador, se recoge
en espejos planos (pantallas) y se forma en espejos cóncavos. También se puede observar la
imagen si el observador se sitúa como se muestra en la figura, los rayos reflejados después de
pasar por I, divergen hasta llegar a sus ojos.
En la gráfica se
observa la formación
de una imagen real (I)
de un objeto (O) por
un espejo cóncavo.
Parece que en I
hubiese un objeto que
enviara luz a los ojos
del observador
1. ESPEJOS PLANOS.- Se
denomina espejo plano a una
superficie reflectora que forma
imágenes y está contenida en
un plano. Las imágenes se forman donde se cortan las prolongaciones de los rayos reflejados.
En el gráfico siguiente se muestra la formación de una imagen de un objeto en un espejo plano
Para encontrar la imagen de un objeto en un espejo plano se encuentra la imagen de cada uno de
los puntos del objeto considerándolos como fuentes puntuales. Si consideramos un objeto como
una flecha y determinaremos la posición del mismo calculando la posición de sus puntos extremos
P y Q. El esquema de la figura nos muestra la marcha de dos rayos luminosos provenientes de los
puntos P y Q, respectivamente. En rigor, deberíamos dibujar por lo menos dos rayos luminosos
provenientes de cada punto; localizamos el punto simétrico de P, que es P', el simétrico de Q, que
es Q', y estamos en condiciones de trazar la imagen.
Evidentemente, la imagen del objeto P Q está a la misma distancia del espejo, pero detrás de él.
Es una imagen virtual y, se puede demostrar fácilmente, del mismo tamaño que el objeto. Ahora
podemos resumir las características de la imagen de un espejo plano, esto es:
1ª Virtual: los rayos provenientes del espejo divergen, no se pueden recoger en una pantalla.
2ª Derecha: está en la misma posición que el objeto.
3ª De igual tamaño que el objeto.
4ª La distancia-imagen es igual a la distancia-objeto.(equidistante)
5ª Posee simetría lateral
6. ESPEJOS ANGULARES: El número de imágenes formadas está expresada por la ecuación: n =
(360 / x) -1.
la gráfica muestra la
formación
de
diferentes imágenes
en
un
espejo
angular.
Donde: n = número de imágenes
x = el ángulo del espejo.
Por ejemplo, para un espejo de ángulo 30°, n vale 11, si el ángulo x es 90°, n vale 3
Por lo tanto, para espejos paralelos, las imágenes son infinitas.
7. ESPEJOS CURVOS.: Cuando una superficie especular no puede estar contenida en un plano
se denomina espejo esférico, el cual puede ser cóncavo o convexo, según cual sea la cara
reflectante.
En la figura está representado un espejo cóncavo en a y en b un espejo convexo. Conviene
imaginar un espejo esférico como un casquete de esfera metálica muy pulida o de vidrio, plateada
en su interior.
(a)
(b)
Rayos
luminosos que se reflejan en un espejo cóncavo (a), y en uno convexo (b).
ELEMENTOS DEL ESPEJO
CENTRO DE CURVATURA: Es el punto C, es el centro de la esfera de la cual se ha obtenido el
espejo.
RADIO DE CURVATURA: Es el radio de la esfera.
FOCO: Es el punto F y es la mitad del radio de curvatura. En el convergen todos los rayos
reflejados provenientes de rayos que inciden paralelos al je principal.
VÉRTICE: Es el punto O. Punto medio o centro óptico del espejo
EJE PRINCIPAL: Eje que une el vértice y el centro de curvatura.
DISTANCIA FOCAL: Es la mitad del radio de curvatura. f = R/2
ESPEJOS CONVEXOS: El objeto se representa por una flecha P Q. Se ha trazado la trayectoria de
dos rayos luminosos provenientes del objeto que inciden sobre la superficie especular: El primero,
un rayo paralelo al eje principal que se refleja, cumpliendo las leyes de reflexión (i = r) (se
recordará que la normal a una superficie esférica en cada punto es el radio de la esfera que pasa
por dicho punto); el segundo rayo luminoso incide de tal manera que su prolongación pasa por el
centro geométrico del espejo, es decir, forma un ángulo de 0° con la normal. Por lo tanto,
cumpliendo con las leyes de reflexión, se reflejará sobre sí mismo. Los rayos reflejados no se
cortan pero si lo hacen sus prolongaciones, y vemos que, una vez más, la imagen se forma detrás
del espejo. Sus características son: Virtual, de menor tamaño que el objeto y derecha.
RAYOS NOTABLES: Son empleados para obtener las imágenes en los espejos esféricos.
1. Incide paralelo al eje principal y se refleja por el foco.
2. Incide y se refleja por el centro de curvatura.
3. Incide por el foco y se refleja paralelo al eje principal.
IMÁGENES EN ESPEJOS CÓNCAVOS: Se presentan cinco casos dependiendo de la posición del
objeto:
1.
2.
3.
4.
5.
Objeto entre el infinito y el centro de curvatura
Objeto sobre el centro de curvatura
Objeto entre el centro de curvatura y el foco
Objeto sobre el foco
Objeto entre el foco y el vértice
Las cinco situaciones se presentan en gráficas siguientes
Si llamamos S o do y S' o di las distancias desde el punto O al objeto e imagen, respectivamente,
se puede demostrar que las posiciones de la imagen y el objeto satisfacen la siguiente relación:
1
F
1
do
1
di
Sí el espejo es convexo se antepone el signo menos a la ecuación y que los tamaños de la imagen
y el objeto cumplen con la siguiente relación:
A
Ti
To
di
do
Donde: F = distancia focal = R/2
Y o To es el tamaño del objeto
Y' o Ti el tamaño de la imagen
A una razón llamada aumento.
A veces, cuando el objeto es muy grande, su imagen no es perfectamente recta; este es un defecto
que pueden presentar los espejos convexos o cóncavos y se denomina aberración de curvatura de
campo.
Una aplicación de espejos es el sistema de luces de los automóviles. En efecto, el faro de un
automóvil es un espejo cóncavo con dos filamentos muy pequeños que pueden considerarse como
fuentes puntuales; uno de ellos está en el foco y el otro en un punto del plano focal, pero
ligeramente más arriba que el foco. Cuando se enciende el filamento que está en el foco, sale un
haz de rayos paralelos horizontalmente (luces altas); cuando cambiamos a luces bajas, apagamos
el filamento central y encendemos el que está en el plano focal, pero más arriba; se obtiene así un
haz de rayos paralelos y dirigidos hacia abajo (luces bajas). Los espejos de los retrovisores son
espejos convexos, en los aparatos de medida detrás de la escala, se coloca un espejo plano, en
donde se forma una imagen de la aguja indicadora, como condensadores de luz en los aparatos de
proyección, en los telescopios, en medicina para observar cavidades del organismo, tales como
oídos, garganta, entre otras.
Ejemplo: Frente a un espejo cóncavo de 30 cm de radio de curvatura, se coloca un objeto de 10 cm
a una distancia de 20 cm. Determinar: a) la distancia imagen, b) el aumento, c) el tamaño de la
imagen.
1/f = 1/do +1/di, entonces, 1/di = 1/f - 1/do., pero: f = R/2 = 30 cm / 2 = 15 cm
Por lo tanto: 1/di = 1/15 cm - 1/20 cm = (4 - 3) / 60 cm = 1/60 cm. Entonces: di = 60 cm
Ahora: A = di / do = 60 cm / 20 cm = 3,
Entonces, A = Ti / To , por lo tanto, Ti = AxTo = 3 x 10 cm = 30 cm
La imagen se forma entre el centro de curvatura y el infinito, es real e invertida.
Ejercicios: La distancia focal de un espejo cóncavo es de 0,3 m. ¿A qué distancia de este espejo
debe colocarse un objeto, para que su imagen se forme a 120 cm. del espejo?
¿A qué distancia de un espejo cóncavo de 1,8 m de radio de curvatura, se debe colocar un objeto
para que su imagen real tenga la mitad del tamaño objeto?.
De un objeto situado a 10 cm de un espejo cóncavo, se obtiene una imagen situada a 25 cm del
espejo. ¿Cuál es el radio de curvatura del espejo y cuál el aumento?.
Una mujer de 1.60 m de altura permanece frente a un espejo vertical plano. ¿Cuál es la altura
mínima del espejo y a qué altura debe estar su borde inferior sobre el piso, si ella puede ver
completamente su cuerpo en el espejo? (Suponga que los ojos de la mujer están a 10 cm abajo de
la parte superior de la cabeza.
SOLUCIÓN El diagrama de la situación se
presenta en la figura. Considérense primero
los rayos que parten de la punta del pie, AB,
los cuales por la reflexión se convierten en
BE y entran al ojo en E. Como la luz entra al
ojo proveniente del punto A (la punta de los
pies) después de reflejarse en B, es
necesario que el espejo no se extienda más
abajo de B. Puesto que el ángulo de reflexión
es igual al ángulo de incidencia, la altura BD
es la mitad de la altura AE. Como AE = 1.6 m
- 0.10 m = 1.50 m, BD = 0.75 m.
Análogamente, si la mujer observara la parte
superior de su cabeza, el borde superior del
espejo sólo necesita llegar al punto F, que se
encuentra 5 cm abajo de la parte superior de su cabeza (la mitad de GE = 10 cm). Así que, DF =
1.55 m y el espejo requiere una altura de sólo 1.55 m — 0.75 m = 0.80 m; y su borde inferior
necesita estar 0.75 m encima del piso. En general, sólo es necesario que un espejo mida la mitad
de la altura de una persona para que ésta se mire completamente, ¿Este resultado depende de la
distancia de la persona al espejo?
ACTIVIDAD
1. Aunque la luz y el sonido son movimientos ondulatorios, los percibimos de diferente
manera. Nombre las características que son comunes a ambos fenómenos y aquellas por
las que se diferencian.
2. Percibimos el sonido entre las frecuencias 20 hz y 20kh. ¿Cuál es el rango de las
longitudes de onda, desde la más corta hasta la más larga que el ojo humano puede
detectar? .¿Y a qué colores corresponden?
3. Nombre algunos cuerpos luminosos e iluminados
4. Nombre algunos cuerpos a) transparentes, b) traslucidos, c) opacos.
5. ¿Por qué puede ver esta hoja?, ¿y los objetos en el salón?
6. ¿Por qué no puede ver su imagen en la pared?
7. ¿Qué sucede a la longitud de onda de la luz cuando se incrementa la frecuencia?
8. La figura de este ejercicio muestra un objeto AB, colocado frente a una pequeña lámpara
encendida. Detrás del objeto hay una pantalla opaca, situada paralelamente a AB.
a) Trace en la figura la sombra A' B' del objeto,
proyectada sobre la pantalla.
A
b) Indique también en la figura la región del espacio que
queda a oscuras, es decir, que no recibe luz de la
fuente.
c) Si el objeto se acercara a la fuente de luz, ¿el tamaño
B
de su sombra aumentara, disminuirá, o permanecerá
inalterado? (Trace un diagrama para justificar su
respuesta.)
9. En el ejercicio anterior suponga que la fuente de luz se desplaza hacia la izquierda hasta
una posición muy alejada del objeto. Entonces:
a) ¿Cómo sería el haz de rayos luminosos proveniente de la fuente y que llega hasta
el objeto?
b) Dibuje la sombra del cuerpo sobre la pantalla. ¿Es mayor, menor o igual que el
objeto?
c) Y qué sucede con el tamaño de la sombra si la fuente se acerca al objeto?, ¿por
qué?
10. Para las figuras mostradas, trace la normal, el rayo reflejado y los ángulos de incidencia y
de reflexión. ¿Cuál es el valor del ángulo de reflexión?
P
A
N
T
A
L
A
A
a
40°
b
11. Haga las gráficas que muestren la formación de imágenes en espejos cóncavos y
convexos para cada uno de los cinco casos
12. la siguiente información empléela considerando primero un espejo cóncavo y luego uno
convexo. Se tiene un espejo esférico de radio de curvatura 6 cm. Realice la gráfica
situando el vértice, el eje principal, el centro de curvatura y el foco.
13. Es deseable que al rasurarse la persona perciba su rostro con el mayor detalle, de
acuerdo con esto, ¿qué espejo le regalaría usted a su novio?. Explique.
14. Las afirmaciones siguientes se refieren a un espejo cóncavo, cuyo radio de curvatura es
de 30 cm. Señale la que está equivocada.
a. Un objeto pequeño, situado a 20 m del espejo, tendrá su imagen situada
prácticamente en el foco
b. Los rayos luminosos que inciden en el espejo y pasan por el centro de curvatura,
se reflejan paralelamente a su eje.
c. La imagen de un objeto situado a 10 cm del espejo, será virtual.
d. Un rayo incidente y el respectivo rayo reflejado, forman ángulos iguales con la
recta que une el punto de incidencia con el centro de curvatura.
e. La imagen de un objeto, situado a 35 cm del espejo, será real.
15. Considere los siguientes datos referentes a un objeto y a su imagen proporcionada por
cierto espejo:
- distancia del objeto al espejo: 6 cm
- aumento: 5
- imagen: invertida
Con base en esta información diga cuáles de las afirmaciones siguientes, son correctas.
a) La imagen del objeto es virtual.
b) La imagen está situada a 30 cm del espejo.
c) La distancia focal del espejo vale 2.5 cm.
d) El espejo es cóncavo.
e) El radio de curvatura del espejo vale 5 cm.
16. Considere los siguientes datos relacionados con un objeto y su imagen proporcionada por
un espejo dado:
valor de la distancia focal del espejo: 20 cm
aumento: 0.10
imagen: Derecha
Con base en esta información señale cuáles de las siguientes afirmaciones son correctas:
a) La imagen del objeto es virtual.
b) El espejo es convexo
c) La imagen está situada a 18 cm del espejo
d) El objeto está situado a 1.8 cm del espejo
e) El radio de curvatura de! espejo vale 10 cm
33. tamaño de 90 cm de altura?
REFRACCIÓN DE LA LUZ
LAS LEYES DE LA REFRACCIÓN.- La velocidad v que lleva la luz al atravesar un medio material
(aire, agua, vidrio,...) es característica de dicho medio y es siempre inferior a la velocidad en el
vacío C. Cuando la luz pasa de un medio de propagación a otro sufre una desviación. A esa
desviación se le llama refracción.
Cuando en un medio la velocidad de propagación de la luz es menor, se dice que es más
refringente; así, la refringencia está ligada a la velocidad de propagación de la luz. En ciertos casos
se habla de densidad óptica del medio; naturalmente, en un medio más refringente la densidad
óptica es mayor.
a
b
Laboratorio
La figura mostrada representa en el caso (a) un rayo luminoso incidiendo de un medio (1) – aire menos refringente a uno (2) – agua - de mayor refringencia. En estos casos siempre una fracción
del rayo incidente es reflejada. Se puede observar cómo el rayo incidente al pasar al medio (2), se
acerca a la normal. Observe que en el caso (b) sucede todo lo contrario.
Recordemos las leyes de la refracción:
1ª El seno del ángulo de incidencia dividido por el seno del ángulo de refracción es una constante
para cada par de medios y se llama índice de refracción (n).
2ª El rayo incidente, la normal y el rayo refractado están en un mismo plano.
Como se dijo, la velocidad de propagación depende de la refringencia del medio. Si definimos el
índice de refracción absoluto de un medio como el cociente entre la velocidad de la luz en el vacío
(c) y la velocidad de la luz en dicho medio, tenemos:
N=C/v
Si llamamos n' al índice de refracción de otro medio, se tendrá que:
n' = C / v'
Cuando la luz pasa del medio n al n' se puede establecer que el cociente entre sus velocidades es:
v / v' = n' / n
Llamándose a este cociente índice de refracción relativo del medio n respecto al n'. Además se
puede establecer que:
sen i / sen r = n' / n o de otra forma: n1 sen i = sen r n2
que es la llamada ley de Snell en honor a Willebrord Snell, a quien se le atribuye la formulación de
esta ley en 1621.
EJEMPLO: Un rayo de luz pasa del agua al vidrio incidiendo en el vidrio con ángulo de 30°.
Calcular el ángulo con que se refracta al pasar al vidrio. (n del agua 1,33 y del vidrio 1,5)
De acuerdo a la ley de Snell se puede escribir: sen i x n = sen r x n'
Donde n = 1,33 y n' = 1,5
entonces:
sen 30° x 1,33 = sen r x 1,5, por lo tanto: sen r = (0,5 x 1,33) / 1,5 = 0,44
r = 26,1°
Algunas situaciones que se explican por la refracción son: La curvatura que sufre un objeto al ser
introducido dentro de un vaso con líquido. El sol no se encuentra donde lo vemos, sino en un sitio
más alto, cuando una persona permanece de pie en el agua, sus piernas se observan más cortas.
Cuando el sol está en el cenit, no se presenta refracción.
REFLEXIÓN TOTAL INTERNA. FIBRAS ÓPTICAS. Como se ha dicho, la luz, al pasar de un medio
de menor refringencia a otro más refringente, sufre una desviación acercándose a la normal.
Usando el principio de reversibilidad de los caminos ópticos, es fácil darse cuenta de que si la luz
pasa de un medio más refringente a otro menos refringente se desvía alejándose de la normal. En
la figura en (A) se han dibujado tres rayos luminosos provenientes de una fuente puntual y que
pasan de un medio más refringente a uno menos refringente. Existe un ángulo de incidencia para
el cual el ángulo de refracción es de 90º; a ese ángulo se le llama ángulo límite. Cualquier ángulo
que incide con un ángulo superior al ángulo límite se reflejará en lugar de refractarse. A este
fenómeno se le llama reflexión total.
Un dispositivo óptico muy usado es el prisma de reflexión total. El índice de refracción del vidrio es
de 1,4 aproximadamente; mediante la ley de Snell se puede demostrar que el ángulo límite para el
vidrio es de 42°. Esto explica el comportamiento del prisma, que es un cuerpo transparente de
vidrio, cuya sección transversal es un triángulo rectángulo isósceles. En la figura en (B) se
representa la trayectoria de un rayo que incide normalmente a la cara (1) del prisma. En este caso,
el rayo no sufre desviación y pasa al interior del prisma incidiendo en la cara (2) con un ángulo de
45°, que es superior al ángulo límite; esto hace que el rayo se refleje totalmente e incida en la cara
(3) normalmente, saliendo del prisma.
Es necesario anotar que el fenómeno de reflexión total sólo sucede cuando la luz incide sobre una
frontera en la que el medio más allá de ella es ópticamente menos denso (menos refringente o un
índice de refracción más bajo).
ÁNGULO CRÍTICO O LÍMITE : Es el ángulo de incidencia para el cual no hay refracción, sino
desviación, es decir se presenta la reflexión total. Su valor se expresa de la siguiente manera:
seni(lim)
n2
o de otra manera:
n1
seni(lim)
1
n
Ejemplo. ¿Cómo vería una persona el mundo exterior desde debajo de una superficie
perfectamente lisa de un lago?
Para una superficie de separación aire – agua, el ángulo crítico o límite se determina así:
seni(lim)
1
1,33 = 0,750 cuyo ángulo corresponde a 49°.
En consecuencia, la persona vería el mundo exterior comprimido dentro de un círculo cuyo borde
forma un ángulo de 49° con la vertical. Más allá de este ángulo la persona verá reflexiones desde
los lados y la parte inferior del lago.
Varios instrumentos ópticos como los binoculares aprovechan la
reflexión total interna dentro de un prisma para reflejar la luz. La
ventaja es que casi el 100% de la luz se refleja, en tanto que los
mejores espejos reflejan un poco menos del 100%. En
consecuencia, la imagen es más brillante.
La reflexión total interna es el principio que sustenta la operación
de las fibras ópticas. Hoy en día es posible elaborar vidrio muy
delgado y fibras de plástico muy delgados de diámetros de unos
cuantos micrómetros.
En los binoculares, la luz se
refleja en prismas.
La luz se refleja totalmente en la
superficie interior de una fibra de
vidrio o de plástico transparente.
Imagen óptica de una fibra
VALOR ÁNGULO LÍMITE PARA ALGUNOS MEDIOS
Agua
48,5°
Vidrio
42°
Cristal
36°
Diamante 24°
REFRACCIÓN EN UNA LÁMINA DE CARAS PARALELAS: Cuando un rayo de luz atraviesa una
lámina de caras paralelas, el rayo luminoso experimenta una desviación de carácter paralelo.
d = e .sen (i - r) / cos r
Donde: d = desviación
e = espesor de la lámina
i, r = ángulos de incidencia y refracción respectivamente
En vidrios delgados la desviación es pequeña y por eso el fenómeno no se observa.
i
r
r'
d
Desviación en una
lamina de caras
paralelas. Para que el
fenómeno sea
observable el espesor
de la lamina debe
PRISMAS: En los prismas la refracción produce imágenes virtuales, por encima del objeto. Debido
superar
grosor
de los
a la refracción
es el
que
se produce
la dispersión de la luz, o sea la descomposición de la luz blanca
en colores como los del arco iris.
vidrios normales.
El color que menos se refracta es el rojo y el que más lo hace es el violeta.
La
gráfica
muestra
el
comportamiento
de los rayos en
un
prisma.
Observe
la
desviación que
sufre el rayo
incidente
al
pasar del aire al
vidrio y al salir
de éste al aire
nuevamente. La
desviación
es
de
carácter
angular
Para encontrar la imagen de un punto, dada por un
prisma, basta con tomar en consideración dos rayos
que salgan del punto luminoso y atraviesan el prisma;
como los rayos al emerger resaltan divergentes quiere
decir que solo se cortan sus prolongaciones, por tanto
la imagen es de carácter virtual. Para hallar la imagen
de un objeto basta con hallar las imágenes de
numerosos puntos de él; la observación directa de las
imágenes y la construcción de ellas permiten concluir:
Las imágenes dadas por los prismas son virtuales y
se hallan situadas más altas que el objeto.
La intersección de dos caras de un prisma, se llama arista refringente, y el ángulo que ellas
forman, ángulo de refringencia, o ángulo del prisma( A). Ahora, las ecuaciones que nos permiten
estudiar el comportamiento de la luz en el prisma son:
Sen i/ sen r = sen e / sen i' = n21 (ley de Snell)
(1) Donde n índice de refracción del
vidrio respecto al aire
Por otra parte, si llamamos α al ángulo de la desviación del rayo luminoso, se tiene, por una
propiedad de los ángulos exteriores de un triángulo;
α = (i - r) + (e - i' (2).
Además, por tener el ángulo nn' y A sus lados perpendiculares y ser uno de ellos agudo y el otro
obtuso,
nn' + A = 180° (3)
Del triángulo que tiene por ángulos nn', r e i', resulta:
nn' + r + í' = 180° (4). De 3 v 4 resulta:
A = r + i'
Si se reemplaza por A en la fórmula (2), la desviación es:
α = i + e - A (5)
Esta ecuación indica que la desviación que sufre un rayo de luz al atravesar un prisma depende del
ángulo de incidencia y del ángulo del prisma.
Desviación Mínima. Si se hace girar al prisma alrededor del punto de incidencia de un rayo de luz,
se verá que varía el ángulo de desviación. Se comprobará que haciendo girar el prisma siempre en
el mismo sentido, fa desviación comienza disminuyendo cada vez más, hasta alcanzar un valor
mínimo, a partir del cual, y aunque el prisma sigue girando en el mismo sentido, la desviación
comienza a aumentar. Cuando se produce la desviación mínima, se comprobará que el ángulo de
incidencia es igual al ángulo de emergencia:
Cuando α =: α m, .es i = e
Desviación mínima e Índice de refracción. Cuando la desviación es mínima, como i = e, la fórmula
(5) se transforma en:
αm = 2i - A .De donde:
i
También se cumple, en este
r = i' , De donde:
A = 2r . De donde;
r = A/2 (7)
A
m (6)
2
m = αm
caso, que;
sen
Reemplazando en (1) por (6) y [7). tenemos: n 21 =
A
m
2
A
sen
2
Esta fórmula es muy importante, y justifica el interés por el estudio del prisma. En efecto, cuando
se quiere medir con precisión el índice de refracción de una sustancia determinada, se construye
un prisma con ella y se miden con mucha precisión los ángulos A y αm; la fórmula anterior permite
el cálculo del índice.
Para medir el Índice de refracción de un líquido se llena con este un prisma hueco, y se procede
como antes.
LENTES. Se han estudiado dos maneras de desviar los rayos luminosos. Una de ellas, la reflexión,
nos llevó al estudio de los espejos esféricos. La otra, la refracción, nos conduce a las lentes, que
son medios transparentes, cuya geometría condiciona la trayectoria de los rayos luminosos que las
atraviesan. En la figura en (A) y (B) se representa dos lentes: una convergente (convexa) y otra
divergente (cóncava). Debido a la simetría de éstas, es preciso considerar dos focos. Para trabajar
con ellas, se considera el convenio de signos expuesto anteriormente. El punto C es el centro de la
esfera que caracteriza la superficie de la lente.
La formación de imágenes en las lentes delgadas puede estudiarse, al igual que en los espejos
esféricos, por el método gráfico dibujando la trayectoria de los rayos luminosos. Para un objeto a la
izquierda del foco la lente convergente nos da una imagen real, invertida y de menor tamaño que el
objeto; en cambio, la lente divergente nos entrega una imagen virtual derecha y de menor tamaño
que el objeto. Para una lente convergente, si el objeto se encuentra entre el foco y la lente, la
imagen resultante también es virtual.
Es posible establecer relaciones del mismo tipo que para los espejos curvos entre las distanciaobjeto, distancia-imagen y distancia focal de la lente, todo ello usando las leyes de la refracción.
Daremos aquí tres relaciones de importancia. La primera nos permite calcular la distancia focal de
una lente conociendo sus radios de curvatura y el índice de refracción con respecto al medio en el
cual la lente opera. Es la llamada fórmula de constructor de lentes:
1/f = (n - 1) (1/ R1 - 1/ R2)
A la inversa de la distancia focal (1/f) se le da el nombre de convergencia o poder de convergencia
y se mide en dioptrías. (F en metros).
La segunda es la fórmula que relaciona la distancia-objeto, la distancia-imagen y el foco de una
lente. Esta ecuación toma una forma muy sencilla para las lentes delgadas y es llamada la
ecuación de Gauss, en honor a Karl F. Gauss:
1
F
1
do
1
di
La tercera es la fórmula que relaciona el aumento A con las distancia-imagen y distancia-objeto:
A
Ti
To
di
do
Para la construcción de las imágenes, se tienen en cuenta los mismos rayos notables que para los
espejos, teniendo en cuenta que el centro óptico es un punto situado sobre el eje principal y por el
cual los rayos que pasan no son desviados.
El foco principal en las lentes convergentes es el punto donde concurren los rayos una vez hayan
atravesado la lente
lente convexa
convergente
lente cóncava
divergente
Partes principales de una lente Convergente (Biconvexa}. Las partes principales de una lente
positiva, biconvexa son: (figura anterior de las lentes).
1. Centros de curvatura C y C' centro de las superficies esféricas.
2. Focos principales F y F', focos de las superficies esféricas (se denominan foco principal objeto y
foco principal imagen).
3. Centro óptico O que es el lugar de una lente por el cual un rayo de luz no sufre desviación.
4. Eje principal CC' (que es igual al diámetro, si la lente es biconvexa).
RAYOS NOTABLES: Como ya se dijo, son similares a los empleados en los espejos esféricos.
1. El rayo paralelo al eje principal atraviesa la lente (se refracta) y luego pasa por el foco principal
imagen
2. Un rayo que pase por el centro óptico atraviesa la lente (se refracta) sin desviarse
3. Un rayo que pasa por el foco principal objeto atraviesa la lente (se refracta) y emerge de ella
paralelamente al eje principal
Para la obtención de las imágenes se sugiere emplear solamente los dos primeros rayos.
IMÁGENES EN LENTES CONVEXAS (POSITIVAS) Imágenes formadas por una lente positiva
(Biconvexa). La lente ilustrada tiene una distancia focal de 8cm(2F = r =- 16cm)
a) El objeto
está más allá
de
2F.(centro de
curvatura C)
La imagen es
real, invertida
y menor que
el objeto y estará situada entre el foco principal imagen y 2F = C. Una cámara fotográfica usa
así la lente para formar una pequeña imagen sobre la película.
b) El objeto está
situado en 2F (centro de
curvatura). La imagen es
real, invertida y del mismo
tamaño que el objeto y
estará situada en el otro
centro de curvatura 2F.
Una cámara fotográfica
para sacar retratos, puede usar una lente de este modo, pero, en general, un negativo tan grande
es indeseable .
(c) E! objeto está
situado entre F y
2F. La imagen es
real, invertida y
aumentada
y
estará situada a
una
distancia
mayor de 2F. De
este modo usan las lentes los proyectores cinematográficos o de diapositivas. E! operador debe
colocar la película invertida en el proyector para verla correctamente. Cuánto más próxima esté la
película a F, más grande y más lejos estará la imagen. Una ampliadora fotográfica también emplea
una lente de esta manera .
(d) El objeto está en
F. No hay imagen
puesto que los rayos
que emite el cuerpo
luminoso. después de
refractarse
son
paralelos.
Si
una
fuente
luminosa
estuviera colocada en el foco emergería de la lente un haz de rayos paralelos al eje.
(e) El objeto está situado entre
la lente y el foco F. La imagen
es virtual, derecha y
aumentada. Una lente
biconvexa se usa de este modo
como una lente de aumento o
lupa {Microscopio Simple)
IMÁGENES EN LENTES
CÓNCAVAS. Se llama
foco principal de una
lente divergente (Bicóncava), ai punto de corte de las prolongaciones de los rayos después de
refractados y que han sido enviados paralelamente eje principal
(Foco virtual)
RAYOS NOTABLES EN LENTES CÓNCAVAS
IMÁGENES EN LENTES CÓNCAVAS
Las lentes divergentes sólo producen un tipo de imagen: Virtual, derecha y de menor tamaño que
e! objeto. Para la construcción de una imagen cualquiera se emplean también, como en las lentes
convergentes, tos tres rayos notables o principales:
1. Un rayo que incida sobre la lente paralelamente al eje principal, y emerge de ella en
forma tal que su prolongación pasa por el foco principal imagen.
2. Un rayo que incida sobre la lente y pase por el centro óptico sin sufrir desviación.
3. Un rayo que incida sobre la lente de modo que su prolongación pase por el foco objeto, emerge
de ella paralelamente al eje principal
ABERRACIONES DE LAS LENTES. En ciertos casos, las imágenes que dan las lentes no están
perfectamente definidas, ya sea porque los rayos no paraxiales provenientes de un punto no se
interceptan exactamente en otro punto, ya sea porque la desviación que sufre un rayo luminoso es
ligeramente distinta para un color que para otro, ya que el índice de refracción varía con la longitud
de onda de la radiación electromagnética luminosa. En el primer caso, se habla de aberraciones
geométricas; en el segundo, de aberraciones cromáticas. Haremos una breve clasificación de las
aberraciones:
1. Aberración de esfericidad. Supongamos que estudiamos la imagen de un punto situado en el eje
de la lente. Los rayos no paraxiales provenientes de este punto se cortan un poco antes que los
paraxiales, con lo cual no es posible obtener una imagen nítida del punto.
2. Aberración de coma. Es similar a la esférica, sólo que en este caso afecta a los rayos
provenientes de puntos que no están en el eje de la lente. En este caso, un punto tiene como
imagen una coma; de ahí el nombre de esta aberración.
3. Astigmatismo y curvatura del campo. El astigmatismo se produce porque los rayos provenientes
de un punto del objeto se cortan primero en una recta horizontal y luego en una vertical, dando
origen a dos imágenes llamadas primaria y secundaria, respectivamente. Esto tiene como
consecuencia, además, que los puntos imágenes de un plano del objeto no están en un plano, sino
sobre una superficie curva, denominándose esta aberración curvatura de campo.
4. Distorsión. Las aberraciones anteriores se refieren a la imposibilidad de una lente de formar una
imagen puntual de un punto-objeto. La distorsión es una aberración que se produce por una
variación del aumento con la distancia al eje. Si el aumento crece con la distancia al eje, las partes
exteriores del objeto son aumentadas desproporcionadamente; entonces, la imagen de una
cuadrícula toma el aspecto de las barras longitudinales de un corsé; debido a esto, a la aberración
se le llama distorsión en corsé. Si ocurre lo contrario (disminución del aumento con la distancia) se
tiene la distorsión en barrilete.
5. Aberraciones cromáticas. La distancia focal de una lente, que depende del índice de refracción
de la sustancia que la forma, varía, como hemos dicho, con la longitud de onda. Así, una lente
formará en un plano próximo a ella una imagen con los rayos violeta, por ejemplo, y un poco más
atrás otra imagen con la componente roja de los rayos luminosos. Además, como el aumento varía
con la distancia focal, estas imágenes tienen tamaños diferentes. El resultado es una serie de
figuras con los bordes coloreados.
No es posible eliminar de una sola vez las siete aberraciones de una lente, pero es posible
corregirlas mediante sistemas de lentes que compensan unas a otras.
INSTRUMENTOS ÓPTICOS
DEFECTOS DE LA VISION. Hay un cierto número de defectos de la visión que dependen
simplemente de una relación incorrecta entre las diversas partes del ojo, considerado como
sistema óptico. Un ojo normal forma sobre la retina una imagen de un objeto situado en el infinito
cuando el ojo está en descanso y se denomina emétrope. Si el punto remoto de un ojo no está en
el infinito, el ojo es amétrope. Las dos formas más sencillas de ametropía son la miopía y la
hipermetropía.
En el ojo miope el globo es demasiado largo comparado con el radio de curvatura de la córnea y
los rayos que proceden de un objeto situado en el infinito forman la imagen delante de la retina. El
objeto más distinto para el cual puede formarse una imagen sobre la retina está a una distancia
finita, o sea, el punto remoto no esta en el infinito. Por otra parte, el punto próximo de un ojo miope,
si la acomodación es normal, está más cerca del ojo que lo que corresponde a una persona
normal.
En el ojo hipermétrope, el globo del ojo es demasiado corto y la imagen de un objeto infinitamente
lejano se formara detrás de la retina. Mediante acomodación, estos rayos paralelos pueden
hacerse converger sobre la retina, pero, evidentemente, si el intervalo de la acomodación es
normal, el punto próximo estará más distante que en el caso de un ojo emétrope. El ojo miope
produce una convergencia demasiado grande de un haz de rayos paralelos, para que la imagen se
forme sobre la retina. El ojo hipermétrope no la produce en grado suficiente.
El astigmatismo se refiere a un defecto en el cual la superficie de la córnea no es esférica, sino que
tiene una curvatura mayor en un plano que en otro (no confundir con la aberración de las lentes del
mismo nombre).
Todos los defectos de la visión que acabamos de mencionar es posible corregirlos mediante el uso
de gafas adecuadas. Damos una idea general de las características de las lentes correctoras de
los defectos mencionados.
1.° Presbicia e hipermetropía. El punto próximo de un ojo présbita o hipermétrope está más lejos
del ojo que lo normal. Para ver claramente un objeto a la distancia de lectura normal (unos 25 cm)
hemos de colocar delante del ojo una lente de distancia focal tal que forme una imagen del objeto
en el punto próximo o más allá de él. Así, la misión de la lente no es hacer que el objeto parezca
más grande, sino alejar el objeto del ojo hasta una distancia en la cual puede formarse una imagen
nítida sobre la retina. . La hipermetropía se corrige con lentes convergentes (convexas)
2.° Miopía. El punto remoto del ojo está a una distancia finita. Para ver con claridad los objetos que
están más allá del punto remoto, ha de utilizarse una lente que forme una imagen de tales objetos
a una distancia del ojo no superior al punto remoto. La miopía se corrige con lentes divergentes
(cóncavas)
3.° El astigmatismo se puede corregir haciendo uso de una lente cilíndrica que afecta los rayos
exclusivamente en la dirección en la que la curvatura del ojo no es la adecuada, de manera que los
rayos que inciden vertical y horizontalmente forman sus imágenes en la retina.
MICROSCOPIO SIMPLE O LUPA.. El tamaño aparente de un objeto se determina por el tamaño
de su imagen retiniana, la que, a su vez, si se mira a simple vista, depende del ángulo subtendido
por el objeto desde el ojo. Cuando se desea examinar con detalle un objeto pequeño se le acerca
al ojo, para que el ángulo subtendido y la imagen retiniana sean lo más grandes posible. El poder
de acomodación del ojo nos pone un límite, ya que la menor distancia a la que vemos con claridad
es de aproximadamente unos 25 cm; a esa distancia tendremos el mayor ángulo subtendido por un
objeto. Colocando una lente convergente delante del objeto podemos aumentar el poder de
acomodación, puesto que el objeto puede acercarse al ojo a una distancia inferior a la del Punto
próximo y, en consecuencia, subtenderá un ángulo mayor. Una lente usada con este fin se
denomina lente de aumento, microscopio simple o lupa.
La lupa forma una imagen virtual del objeto, y el ojo mira esta imagen virtual. Puesto que un ojo
(normal) puede ver con claridad cualquier objeto situado entre el punto próximo y el infinito, la
imagen puede verse igualmente clara si se forma en cualquier punto dentro de ese intervalo.
Supongamos que la imagen se forma en el infinito. Para ello es necesario poner el objeto que se
desee mirar en el plano focal de la lente y es evidente que, acortando la distancia focal de la lente,
podremos conseguir un mayor aumento. Sin embargo, las aberraciones imponen un límite a una
lente convergente con la que se puede aumentar unas 2 ó 3 veces el tamaño del objeto. Si se
corrigen estas aberraciones, se puede llegar a un aumento de unas veinte veces el tamaño del
objeto (20 x).
OCULARES. Son sistemas amplificadores que se usan para observar imágenes producidas por
una lente o un sistema de lentes. Está formado por dos lentes plano convexas de igual distancia
focal y separadas por un espacio que es aproximadamente 2/3 de dicha distancia.
MICROSCOPIO COMPUESTO. Si deseamos alcanzar un aumento más elevado que el que se
obtiene con una lupa, debemos hacer uso del microscopio compuesto o simplemente microscopio.
El microscopio compuesto consta de un objetivo que es, en realidad, un sistema de lentes bastante
corregido, pero se puede pensar que es una sola lente la que representa el sistema. El objeto se
coloca frente al objetivo a una distancia ligeramente superior a la distancia focal, con lo que se
obtiene una imagen real y aumentada. Esta imagen se encuentra muy cerca del foco del ocular y a
una distancia menor que la focal, con lo cual se obtiene otra imagen que es virtual y todavía más
aumentada.
ANTEOJOS. Los sistemas ópticos de un anteojo y de un microscopio son básicamente los mismos.
En ambos instrumentos, la imagen es formada por un objetivo y observada a través de un ocular.
La diferencia está en que mientras el anteojo se usa para observar grandes objetos a grandes
distancias, el microscopio es usado para observar pequeños objetos muy próximos.
En un anteojo astronómico el objetivo forma una imagen real e invertida; de ésta, el ocular da una
imagen virtual y derecha que está invertida respecto al objeto.
El aumento angular de un anteojo se define como la razón del ángulo subtendido desde el ojo por
la imagen final, al ángulo subtendido desde el ojo (sin anteojo) por el objeto. Se puede demostrar
que el aumento angular esta dado por
A = F1 / F2
es decir, el aumento angular es igual a la razón de la distancia focal del objetivo a la del ocular. El
signo menos indica que la imagen está invertida, cosa que no tiene mucha importancia para los
anteojos astronómicos. Para observaciones terrestres es, sin embargo, deseable que las imágenes
sean derechas. Esto se consigue con un sistema de lentes intercaladas entre el ocular y el objetivo,
lo que constituye un sistema llamado de catalejo que tiene el inconveniente de su excesiva longitud
(ya que a las sumas de las distancias focales del objetivo y del ocular hay que agregar cuatro veces
la distancia focal de la lente enderezadora).
Se evita la longitud excesiva de un anteojo terrestre en los llamados prismáticos que son sistemas
ópticos construidos con el mismo criterio que un catalejo, sólo que el sistema inversor de las
imágenes está constituido por cuatro prismas (dos para cada ojo) de reflexión total.
Galileo construyó en 1609 uno de los primeros anteojos astronómicos. El usó como objetivo una
lente divergente, con lo cual consiguió imágenes derechas. De esta manera resultó un anteojo
astronómico más corto que los de dos lentes convergentes. El problema que representa el anteojo
de Galileo es que no puede cubrir un campo visual muy amplio sin utilizar objetivos de excesivo
diámetro.
TELESCOPIO. Se denominan también anteojos reflectores, y se diferencian del anteojo
astronómico en que utilizan como objetivo un gran espejo esférico cóncavo. Los rayos son
recogidos por un ocular. La ventaja del espejo es que, aparte de evitar las aberraciones que
presentaría una lente de su tamaño, recoge gran cantidad de luz que concentra sobre el foco.
Los espejos de los grandes telescopios, como el de Monte Palomar, en California, alcanzan
diámetros del orden de los cinco metros, o el HUBBLE que se encuentra orbitando la tierra.
CÁMARA FOTOGRÁFICA. Los elementos esenciales de una cámara fotográfica son: una lente,
una caja opaca a la luz y una placa o película sensibilizada para recibir la imagen. En contraste con
un objetivo de anteojo, para el cual el campo visual tiene un límite de unos 6º, se exige que el
objetivo fotográfico cubra un campo de 50° o más. Además, la cobertura relativa de la lente ha de
ser grande, con objeto de que pueda recoger suficiente cantidad de luz para permitir exposiciones
cortas. La combinación de un campo extenso y una gran abertura hace difícil el problema de
corregir un objetivo fotográfico. Sin embargo, los objetivos más sencillos están corregidos de
aberración cromática y de curvatura de campo.
PROYECTOR. El proyector de diapositivas o el cinematográfico producen imágenes reales y
mayores en una pantalla a partir de diapositivas o películas. En esencia, consiste en un sistema de
lentes convergentes que proporciona una imagen invertida del objeto (por esto, las diapositivas se
colocan invertidas para obtener la imagen derecha). Para que el objeto está suficientemente
iluminado se concentran sobre el, mediante otro sistema convergente, los rayos procedentes de un
foco luminoso.
Cuando se trata de proyectar objetos opacos se utiliza la luz reflejada por éstos. En tal caso, el
dispositivo de proyección recibe el nombre de epidiascopio.
EJERCICIOS RESUELTOS
Con el objeto de aplicar la temática tratada, vamos a resolver una serie de ejercicios que nos servirán como
modelo para aplicar en la solución de los propuestos en la actividad.
REFRACCIÓN EN DIFERENTES MEDIOS
Para algunos de los cálculos emplee los índices
de refracción mostrados en la tabla.
1. Un rayo luminoso que viene del aire incide en
una lamina de vidrio. Si el ángulo de incidencia es
48° y el de refracción 28°. ¿ Cuál es el índice de
refracción absoluto del vidrio?¿Con qué velocidad
se propaga la luz en este medio?
SOLUCIÓN
<i = 48°
<r = 28°
n=?
V=?
ÍNDICES DE REFRACCIÓN ABSOLUTOS DE
ALGUNAS SUSTANCIAS
Medio
Aire ..........
Hielo .........
Agua .........
Cuarzo ........
Diamante ......
Vidrio ordinario
Alcohol etílico
Vidrio Crown ....
Vidrio Flint .....
Glicerina ,.,....
Cristal ........
Hidrógeno ......
Bencina .......
0,469
= 1,58
Sulfuro de carbono
sen i / sen r = n, entonces: sen 48° / sen 28° = n,
por lo tanto, el índice de refracción n es: n = 0,743 /
Ahora, la velocidad de la luz en este medio es: N = C / V, entonces V = C / N
V = 300.000 km/s / 1,58 = 189873 km / s
índice
1,00029
1,31
1,33
1,46
2,42
1,50
1,36
1,48 a 1,62
1,54 a 1,80
1,49
1,60
1,00013
1,50
1,63
2. ¿Cuál es la velocidad de propagación de la luz a) en el diamante, b) en la glicerina, c) en el agua?
a) para el diamante
N = C / V , entonces V = C / N = 300000 km/s / 2,42 = 123966,94 km / s
3. Un rayo de luz incide sobre la superficie de separación del aire con un líquido cuyo índice de
refracción relativo es 1,25. ¿Cuál será el valor del ángulo de refracción, sabiendo que el ángulo de
incidencia es de 60°?
n = 1,25
<i = 60°
<r = ?
n = sen I / sen r , entonces: sen r = sen I / n = sen 60° / 1,25 = 0,866 / 1,25 = 45°
4. calcular el valor del ángulo límite o crítico que corresponde a una sustancia cuyo índice de
refracción es de 1,45.
<r = 90°
n = 1,45
<i = ?
sen i (lím) = 1 / n = 1 / 1,45 = 0,689.
Entonces <I = 43,6°
5. En un prisma de vidrio, el ángulo refringente es igual a 60° y se ha hallado una mínima
desviación de 40°. ¿Cuál es el valor del índice de refracción de la sustancia de la cual está hecho el
prisma?.
Ángulo del prisma A = 60°
Ángulo de mínima desviación αm = 40°
n=?
sen
n21 =
A
2
A
sen
2
m
sen
= n 21 =
60
40
2
60
sen
2
= sen 50° / sen 30° = 0,77 / 0,5 = 1,54
Por lo tanto, el índice de refracción del que está hecho el prisma n es 1,54
6. Una lente biconvexa tiene una distancia focal de 20 cm. Un objeto se encuentra a una distancia
de 30 cm de la misma lente, ¿a qué distancia se encuentra la imagen de la lente?
Solución:
Magnitudes conocidas:
Distancia focal de la lente ;= 20 cm
Distancia del objeto a la lente = 30 cm
Magnitudes incógnitas:
Distancia de la imagen a la lente: di = ?
1/f = 1/ do + 1/di
por lo tanto: 1/di = 1/f – 1/do
1/di = 1/20 cm – 1/30 cm = (3 – 2) / 60 cm, de donde di = 60 cm.
Es decir, que la imagen se forma a 60 cm de la lente.
7. Un objeto cuyo tamaño es de 10 cm se coloca a una distancia de 30 cm e una lente positiva de
50 cm de radio de curvatura. ¿A qué distancia estará la imagen?, ¿qué tamaño tendrá?, ¿cuál es
su aumento?
Solución:
Magnitudes conocidas:
Tamaño del objeto: To = 10cm
Radio de curvatura: R =: 50 cm
Distancia del objeto a la lente: do = 30 cm
Magnitudes incógnitas:
Distancia de la imagen a la lente: di = ?
Tamaño de la imagen: Ti = ?
El aumento: A = ?
1/f = 1/ do + 1/di
por lo tanto: 1/di = 1/f – 1/do
1/di = 1/25 cm – 1/30 cm = (6 – 5) / 150 cm, de donde di = 150 cm.
Es decir, que la imagen se forma a 150 cm de la lente.
Ahora: To / Ti = do / di , entonces, Ti = (Tox di) / do = (10 cm x 150 cm) / 30 cm = 50 cm, o sea, que
el tamaño de la imagen es de 50 cm.
El aumento es: A = Ti / To = di / do = 50 cm / 10 cm = 5. ó, A = 150 cm / 30 cm = 5 cm. Lo que
significa que la imagen se ve cinco veces mayor que el objeto .
8. Una lente positiva o convergente cuyo índice de refracción relativo es de 1,5, tiene como radio
de curvatura: R1 = + 30 cm; R2 = + 20 cm. Un objeto cuyo tamaño es de 8 cm se coloca a una
distancia de 120 cm de la lente. ¿A qué distancia de la lente se encuentra la imagen? ¿Qué tamaño
tendrá?
Solución:
Magnitudes conocidas:
Radios de curvatura de la lente: R1 y R2 = 30 y 20 cm
índice de refracción relativo de la lente: n = 1,5
Tamaño del objeto: To = 8 cm
Distancia del objeto a la lente: do = 120 cm
Magnitudes incógnitas:
Distancia de la imagen a la lente: di = ?
Tamaño de la imagen: Ti = ?
Se debe emplear la ecuación del constructor de lentes
1/f = (n – 1) (1/ R1 + 1/ R2 ) = (1,5 – 1) ( 1/ 30 cm – 1/20 cm)
f = 24 cm
Ahora: 1/f = 1/ do + 1/di
por lo tanto: 1/di = 1/f – 1/do
1/di = 1/24 cm – 1/120 cm, de donde di = 30 cm.
Ahora: To / Ti = do / di , entonces, Ti = (Tox di) / do = (8 cm x 30 cm) / 120 cm = 2 cm, o sea,
que el tamaño de la imagen es de 2 cm.
Por último, la potencia de la lente en dioptrías es: p = 1 / f = 1 / 24 = 0,04
9. Un objeto está a 32 cm a la izquierda de una lente convexa de distancia focal 8 cm. ¿Dónde se forma la
imagen?
Solución:
Datos: do = 32 cm,
Incógnitas: di = ?
f = 8 cm
1/f = 1/ do + 1/di
por lo tanto: 1/di = 1/f – 1/do
1/di = 1/8 cm – 1/32 cm, de donde di = 10,66 cm.
El signo positivo indica que la imagen se encuentra a la derecha de la lente y que es real
10. Un objeto se encuentra a 4 cm a la izquierda de una lente convexa de distancia focal 6 cm. ¿Dónde se forma
la imagen?
Solución:
Datos: do = 4 cm,
Incógnitas: di = ?
f = 6 cm
1/f = 1/ do + 1/di
por lo tanto: 1/di = 1/f – 1/do
1/di = 1/6 cm – 1/4 cm, de donde di = - 12 cm.
El signo negativo indica que la imagen se encuentra del mismo lado del objeto, es virtual y derecha
ACTIVIDAD
Lea cuidadosamente, analice, aplique los conceptos y responda.
1. La figura de este ejercicio muestra un objeto AB colocado frente a una lente convergente, y las
posiciones de los focos de ésta.
a) Trace el diagrama que permita localizar la imagen de este objeto proporcionada por la lente.
b) La imagen obtenida, ¿es real o virtual? ¿Es derecha o invertida? ¿Y mayor o menor que el
objeto?
A
B
F
F
2. Suponga que el objeto del ejercicio anterior se acercara a la lente y quedara situado a una
distancia Do comprendida entre f y 2f.
a) Trace el diagrama de localización de la imagen del objeto.
b) Entonces, conforme un cuerpo es acercado a una lente convergente (sin sobrepasar al foco),
¿su imagen permanece real?, ¿se acerca o se aleja de la lente?, ¿aumenta o disminuye su
tamaño?.
3. Considere de nuevo la lente del ejercicio 1. Sitúe ahora a AB entre el foco y la lente.
a) Localice mediante un diagrama la imagen del objeto en esta posición.
b) Describa las características de esta imagen.
4. Un objeto AB se encuentra frente a una lente divergente (cóncava), como muestra la figura.
A
B
F
F
a) Trace un diagrama para obtener la imagen de este objeto y describa las características de su
imagen
b) Acerque el objeto y colóquelo entre el foco y la lente. Trace el diagrama, localice la imagen y
describa sus características.
c) Observando los dos diagramas anteriores, ¿a qué conclusión puede llegar acerca de la
naturaleza y el tamaño de la imagen proporcionada por una lente divergente?.
5. En el ejercicio 1 suponga que la distancia focal de la lente es f = 4 cm, y que el objeto AB se
encuentra situado a una distancia de 12 cm.
a) ¿Cuál es la distancia de la imagen a la lente?
b) ¿Cuál es el aumento? , y, ¿qué significa?
c) ¿Sus respuestas en este caso concuerdan con el diagrama trazado en 1?
6. En la figura del ejercicio 4 suponga que la distancia focal es de 4 cm y que el objeto se
encuentra a 12 cm de la lente.
a) ¿Cuál es la distancia imagen?
b) ¿Cuál es el aumento? , y, ¿qué significa?
c) Si el tamaño del objeto es 10 cm, ¿cuál es el tamaño de la imagen?
6. La distancia focal de una lente convexa es de 17 cm. Una vela se coloca a 34 cm enfrente de la
lente. Haga un diagrama de rayos para encontrar la ubicación de la imagen.
7. La lente convexa de una fotocopiadora tiene una distancia focal de 25 cm. Una carta que se
desea copiar se coloca a 40.0 cm de la lente. a) ¿A qué distancia de la lente se ubica el papel?
b). La máquina se arregló para hacer una reproducción ampliada. ¿Qué tamaño tiene la copia?
8. Las lentes de las cámaras fotográficas se describen en términos de sus distancias focales. Una
lente de 50,0 mm tiene una distancia focal de 50.0 mm.
a. Una cámara que enfoca un objeto a 3.0 m tiene una lente de 50.0 mm. Ubique la posición de la
imagen.
b. Una lente de 1.00 x 103 mm enfoca un objeto que se encuentra a 125 m. Localice la posición de
la imagen.
9. Se necesita una lente convexa para producir una imagen 0.75 veces el tamaño de un objeto, localizada a 24 cm detrás de una lente. ¿Qué distancia focal se debe especificar?
10. Una capa de una cebolla se coloca a 12 mm del objetivo, de un microscopio. La distancia focal
de la lente es de 10.0 mm. a) ¿A qué distancia se forma la imagen?
b). ¿Cuál es su magnificación o aumento?
c). La imagen real que se forma se encuentra a 10.0 mm por debajo de la lente de observación. SÍ
la distancia focal de tal lente es de 20.0 mm, ¿dónde aparece la imagen final?
d) ¿Cuál es la magnificación final del sistema compuesto?