Ejercicios 7

AMARUN
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Comisión de Pedagogı́a - Diego Chamorro
Ejercicios de Teorı́a de la medida (Nivel 2).
Ejercicios Lección n◦ 7: Modos de convergencia
Ejercicio 1
EPN, verano 2009
—
Verdadero o falso
Diga si las siguientes proposiciones son verdaderas o falsas y justifı́quelo (hay que tratar todos los casos
posibles).
1. La convergencia en µ-c.t.p. implica la convergencia en µ-medida.
2. La convergencia en Lp implica la convergencia µ-casi uniforme.
3. La convergencia uniforme implica la convergencia µ-c.t.p.
4. La convergencia simple implica la convergencia en Lp .
5. La convergencia uniforme implica la convergencia en Lp .
6. La convergencia en µ-medida implica la convergencia en µ-casi uniforme.
Ejercicio 2
—
Convergencia en µ medida local
Sea (X, A , µ) un espacio medido σ-finito y sea (fn )n∈N una sucesión de funciones A -medibles definidas sobre
X a valores en K. Diremos que (fn )n∈N tiende hacia f en el sentido de la convergencia en µ-medida local si para
todo conjunto A -medible A de medida finita se tiene
(∀ε > 0) lı́m µ({x ∈ A : |fn (x) − f (x)| > ε}) = 0.
n→+∞
Notamos entonces Lloc (X, A , µ, K) el espacio de clases de funciones dotado de la convergencia en µ-medida local.
1. Mostrar que la convergencia en µ-medida implica la convergencia en µ-medida local pero que no se tiene
la recı́proca.
2. ¿En qué situación estas dos nociones de convergencia son equivalentes?
3. Nos proponemos demostrar que la topologı́a de la convergencia en µ-medida local es metrizable. Para ello
suponemos de ahora en adelante que µ(X) = +∞.
a) Dado que el espacio medido (X, A , µ) es σ-finito, existe una partición disjunta (An )n∈N de X tal que
1 ≤ µ(An ) < +∞ para todo n ∈ N. Definimos entonces la función ϕ : X −→ K como
ϕ(x) =
+∞
X
j=0
1
1A (x).
2j+1 µ(Aj ) j
(1)
R
Mostrar que se tiene 0 < ϕ(x) < 1 en µ-casi todas partes y X ϕdµ = 1.
b) Para f, g ∈ Lloc (X, A , µ, K) mostrar que la fórmula siguiente está bien definida y determina una
distancia.
Z
|f (x) − g(x)|
d(f, g) =
ϕ(x)dµ(x)
(2)
X 1 + |f (x) − g(x)|
4. Mostremos que la convergencia en µ-medida local implica la convergencia en el sentido de la distancia (2).
a) Sea (fn )n∈N una sucesión de funciones tales que fn −→ f en µ-medida local con f, fn ∈ Lloc (X, A , µ, K)
n→+∞
y sea ε > 0 un real. ¿Bajo qué argumento existe un conjunto medible Y de medida finita tal que
Z
|f (x) − fn (x)|
ε
ϕ(x)dµ(x) < ?
(3)
3
Y c 1 + |f (x) − fn (x)|
b) Una vez que hemos fijado este conjunto considerar la función x 7−→
α ∈ [0, +∞[ tal que para todo 0 ≤ x ≤ α se tiene
x
ε
≤
.
1+x
3µ(Y )
x
1+x
y verificar que existe un real
(4)
c) Si fn −→ f en µ-medida local, mostrar que existe un entero N ∈ N tal que para todo n ≥ N se tiene
n→+∞
ε
µ({x ∈ Y : |f (x) − fn (x)| > α}) ≤ .
3
1
(5)
d) Con estas tres estimaciones (3), (4) y (5) mostrar que
Z
Z
|f (x) − fn (x)|
|f (x) − fn (x)|
ϕ(x)dµ(x) =
ϕ(x)dµ(x)
X 1 + |f (x) − fn (x)|
Y c 1 + |f (x) − fn (x)|
Z
|f (x) − fn (x)|
+
ϕ(x)dµ(x)
Y ∩{|f −fn |≤α} 1 + |f (x) − fn (x)|
Z
|f (x) − fn (x)|
+
ϕ(x)dµ(x)
1
+
|f (x) − fn (x)|
Y ∩{|f −fn |>α}
≤ ε.
Deducir que si fn −→ f en µ-medida local entonces se tiene que d(f, fn ) −→ 0.
n→+∞
n→+∞
5. Mostrar que si d(f, fn ) −→ 0 entonces fn −→ f en µ-medida local. Para ello seguir los pasos siguientes:
n→+∞
n→+∞
S
A
a) Definimos los conjuntos Km = m
j=0 j . Utilizando la definición de la función ϕ en (1), mostrar que
para todo x ∈ Km se tiene la minoración
ϕ(x) ≥ αm
en donde hemos notado
αm = mı́n {1/(2j+1 µ(Aj )) > 0}.
(6)
0≤j<m
c )≤
b) Sea A ∈ A tal que µ(A) < +∞. Mostrar que existe M ∈ N tal que µ(A ∩ KM
todo n ∈ N, para todo α > 0 se tiene
ε
2
y deducir que para
ε
c
µ({x ∈ A ∩ KM
: |fn (x) − f (x)| > α}) ≤ .
2
c) Mostrar que para todo α > 0 existe β > 0 tal que |fn (x) − f (x)| > α ⇐⇒
utilizando el punto 5 − a) que
µ({x ∈ A ∩ KM : |fn (x) − f (x)| > α}) ≤ µ({x ∈ A ∩ KM :
|fn (x)−f (x)|
1+|fn (x)−f (x)|
> β y deducir,
|fn (x) − f (x)|
> β/αM })
1 + |fn (x) − f (x)|
d) Utilizar la desigualdad de Tchebychev en la expresión anterior y mostrar que si d(f, fn )
−→
n→+∞
0
entonces fn −→ f en µ-medida local.
n→+∞
Ejercicio 3
—
Propiedad de Lusin
Sea (X, A , µ) un espacio medido con la medida µ una medida regular y sea f una aplicación definida sobre X
a valores sobre K.
1. Mostrar que si f es medible entonces, para todo compacto K ⊂ X y para todo δ > 0, existe un compacto
Kδ ⊂ K tal que µ(K \ Kδ ) ≤ δ.
2. Mostrar que la restricción de f a Kδ es una aplicación continua de Kδ en K.
3. Verificar que este resultado, conocido como la propiedad de Lusin, se mantiene si en vez de K se tiene un
espacio métrico separable.
4. ¿Qué moraleja se puede obtener de este importante resultado?
(Indicación: para 1 & 2 empezar por funciones simples y pasar al caso general)
2