parcial 1 - Jos Luis Quintero D vila

PREGUNTA 1.
(5 puntos)
Para estudiar la cantidad de errores ortográficos cometidos por un conjunto de 60 estudiantes al tomar
un dictado, se organizaron los datos en una tabla de distribución de frecuencias de seis clases de igual
amplitud. De dicha distribución solo se conoce la siguiente información:
a. en la cuarta clase se tiene el doble de datos que en la sexta clase
b. las clases uno y cinco tienen igual número de datos
c. la clase tres tiene la mayor cantidad de datos igual a 25
d. la mediana de los datos es igual a 10.24
e. el extremo inferior de la clase 6 es 20
f. por encima de la clase tres hay 19 datos
g. el número de datos de la clase dos triplica al número de datos de la clase uno
Construya la distribución de frecuencias para esos datos.
Solución.
Información suministrada: f4 = 2f6 , f1 = f5 , f3 = 25 , f4 + f5 + f6 = 19 , f2 = 3f1 , LI6 = 20
Se sabe que
f1 + f2 + f3 + f4 + f5 + f6 = 60 ⇒ f1 + 3f1 + 25 + 19 = 60 ⇒ 4f1 = 16 ⇒ f1 = 4
Por lo tanto: f2 = 12 , f5 = 4 . Por otro lado f4 + f5 + f6 = 19 ⇒ 3f6 + 4 = 19 ⇒ f6 = 5 ⇒ f4 = 10
Hasta ahora se tiene la siguiente información:
Clase
Inicio
fi
Fi
hi
Hi
4
4
4/60
4/60
2
a
a+d
Fin
a+d
1
a + 2d
12
16
12/60
16/60
3
a + 2d
a + 3d
25
41
25/60
41/60
4
a + 3d
a + 4d
10
51
10/60
51/60
5
a + 4d
4
55
4/60
55/60
6
20
20
a + 6d
5
60
5/60
1
Información suministrada: mediana = 10.24
Clase medianal: 3. Entonces
mediana = LI3 +
⇒ a+
N
2
− F2
f3
(LS3 − LI3 ) = a + 2d +
30 − 16
d = 10.24
25
64
d = 10.24 ⇒ 25a + 64d = 256
25
Por otro lado se tiene que a + 5d = 20
Construyendo y resolviendo el sistema se obtiene
25a + 64d = 256
⇒ a = 0, d = 4

 a + 5d = 20
Finalmente la tabla de distribución de frecuencias de los datos se muestra a continuación:
Clase
Inicio
Fin
fi
Fi
hi
Hi
1
0
4
4
4
4/60
4/60
2
4
8
12
16
12/60
16/60
3
8
12
25
41
25/60
41/60
4
12
16
10
51
10/60
51/60
5
16
20
4
55
4/60
55/60
6
20
24
5
60
5/60
1
PREGUNTA 2.
(5 puntos)
En una determinada población, el 60% de las personas son mujeres, el 25% de la gente es rubia y el
35% de la gente tiene ojos claros. Por otro lado, el 10% de la población son mujeres rubias, el 20% de
la población son mujeres de ojos claros, el 15% de la población son personas rubias y de ojos claros y
el 5% de la población son mujeres rubias de ojos claros. Calcule la probabilidad de que al elegir una
persona al azar, esta sea
a. mujer no rubia y de ojos oscuros
Solución.
(2 puntos)
Definición de eventos de interés:
M: la persona elegida es mujer
R: la persona elegida es rubia
C: la persona elegida tiene los ojos claros
P(M ∩ R ∩ C) = P(M) − P(M ∩ R) − P(M ∩ C) + P(M ∩ C ∩ R)
=
60
10
20
5
35
−
−
+
=
= 0.35
100 100 100 100 100
b. hombre no rubio y de ojos oscuros
Solución.
(2 puntos)
P(M ∪ R ∪ C) = P(M) + P(R) + P(C) − P(M ∩ R) − P(M ∩ C) − P(C ∩ R) + P(M ∩ C ∩ R)
=
60
25
35
10
20
15
5
80
+
+
−
−
−
+
=
= 0.8
100 100 100 100 100 100 100 100
P(M ∩ R ∩ C) = 1 − P(M ∪ R ∪ C) = 1 − 0.8 = 0.2
c.
persona rubia o de ojos claros
Solución.
(1 punto)
25
35
15
45
P(R ∪ C) = P(R) + P(C) − P(R ∩ C) =
+
−
=
= 0.45
100 100 100 100
PREGUNTA 3.
(5 puntos)
El código de área de un número telefónico se compone de tres dígitos. Se están considerando los dígitos
del 1 al 5 para formar dichos códigos de área, seleccionando un dígito a la vez de forma aleatoria y sin
repetición. Calcule las probabilidades de los siguientes eventos:
a. El código está compuesto por dígitos sucesivos no necesariamente ordenados
Solución.
(2 puntos)
Definición de eventos de interés:
A: el código está compuesto por dígitos sucesivos no necesariamente ordenados
S: todos los códigos de tres dígitos formados con los números del 1 al 5
Por dígitos sucesivos se entienden tres posibles casos: que en el código aparezcan los dígitos 1,2,3
o los dígitos 2,3,4 o los dígitos 3,4,5 en cualquier orden. Luego el número de casos a favor sería:
NA : 3 × 2 × 1 + 3 × 2 × 1 + 3 × 2 × 1 = 18
Por otro lado se tiene que el número total de formas como se escogen 3 dígitos de 5 disponibles
viene dado por 5 × 4 × 3 = 60 , de modo que NS = 60 . Por lo tanto
P(A) =
NA 18
3
=
=
NS
60 10
b. El código es un número par
Solución.
Definición de eventos de interés:
B: el código es un número par
S: todos los códigos de tres dígitos formados con los números del 1 al 5
(2 puntos)
Para que el código sea un número par debe terminar en 2 o en 4. Luego el número de casos a favor
sería: NB : 4 × 3 × 1 + 4 × 3 × 1 = 24 . Por lo tanto
NB
24 2
=
=
NS 60 5
P(B) =
c.
El código no debe tener ni 1 ni 4
Solución.
Definición de eventos de interés:
(1 punto)
C: el código no debe tener ni 1 ni 4
S: todos los códigos de tres dígitos formados con los números del 1 al 5
Si el código no debe tener ni 1 ni 4 implica que tenga entonces 5, 2 y 3 en cualquier orden. Luego el
número de casos a favor sería: NC = 3! = 6 . Por lo tanto
P(C) =
NC
6
1
=
=
NS 60 10
PREGUNTA 4.
(5 puntos)
Sea una caja denominada “caja X” con 8 artículos de los cuales n son defectuosos y el resto son
artículos buenos y otra caja llamada “caja Y” con 5 artículos buenos y 2 defectuosos. El lunes en la
noche se extrae al azar un artículo de la caja X y se coloca en la caja Y. El martes en la mañana se elige
un artículo de cada caja. Se sabe que la probabilidad de que el lunes se haya pasado un artículo
defectuoso de la caja X a la caja Y dado que los dos artículos obtenidos el martes son defectuosos es
igual a 3/8. Determine la cantidad de artículos defectuosos que originalmente tenía la caja X.
Solución.
Definición de eventos de interés:
DX − Y : El lunes en la noche se pasó un artículo defectuoso de la caja X a la caja Y
D1 : El primer artículo extraído el martes es defectuoso
D2 : El segundo artículo extraído el martes es defectuoso
P(DX − Y / (D1 ∩ D2 )) =
P(DX − Y ∩ D1 ∩ D2 )
P(D1 ∩ D2 )
n n −1 3
.
.
8 7 8
∩ D1 ) + P(DX − Y ).P(D1 / DX − Y ).P(D2 / (DX − Y ∩ D1 )
P(DX − Y ∩ D1 ∩ D2 ) = P(DX − Y ).P(D1 / DX − Y ).P(D2 / (DX − Y ∩ D1 ) =
P(D1 ∩ D2 ) = P(BX − Y ).P(D1 / BX − Y ).P(D2 / (BX − Y
=
P(DX − Y
8 −n n 2 n n −1 3
. . + .
.
8 7 8 8 7 8
n n −1 3
.
.
P(DX − Y ∩ D1 ∩ D2 )
8 7 8
/ (D1 ∩ D2 )) =
=
8 −n n 2 n n −1 3
P(D1 ∩ D2 )
. . + .
.
8 7 8 8 7 8
3n(n − 1)
3(n − 1)
3
=
=
=
2n(8 − n) + 3n(n − 1) 2(8 − n) + 3(n − 1) 8
⇒ 24(n − 1) = 6(8 − n) + 9(n − 1) ⇒ 24n − 24 = 48 − 6n + 9n − 9 ⇒ 21n = 63 ⇒ n = 3