SOU PROFESSOR DE MATEMÁTICA: QUE PRECISO SABER

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SOU PROFESSOR DE MATEMÁTICA: QUE PRECISO SABER QUANDO
OS MEUS ALUNOS ESCREVEM QUE
É EQUIVALENTE A
?
1,2
1
Leticia Sosa, 2Elvira Borjón, 2Mónica Torres, 1,3C. Miguel Ribeiro, 4Sandra Correia
Centro de Investigação sobre o Espaço e as Organizações (CIEO), Universidade do
Algarve (Portugal), 2Universidade do Zacatecas (México); 3UNESP (Rio Claro, Brasil);
4
Escola de Quarteira (Portugal)
lsosa@mate.reduaz.mx; eborjon@mate.reduaz.mx; mtorres@mate.reduaz.mx;
cmribeiro@ualg.pt; sandra-gc@sapo.pt
Resumo
Como professores vivenciamos alguns receios de que algo corra menos bem durante a
prática. No entanto, o erro faz parte do processo de aprendizagem, e sermos conscientes
desse facto possibilitará encarar o erro como forma de aprendizagem pois só não erra quem
nada faz. Assim, o erro e o fracasso devem assumir um papel importante no processo de
ensino (não como fim, obviamente), pois o erro pode não ser apenas efeito da ignorância,
podendo ser, também, o resultado de um conhecimento prévio que poderá ter funcionado
em algum momento (provavelmente em casos particulares), mas agora é inadequado. Nesse
sentido, os erros podem ser explorados de forma a contribuir para o processo de ensino e
aprendizagem. Por um lado, o professor poderá trabalhar recorrendo ao erro como forma de
diagnóstico e correção e, por outro, para os alunos pode ser encarado como uma fonte de
significado para as suas produções. Nesse sentido, um foco nos erros (ou nas resoluções
alternativas) configura-se como um foco importante na e para a formação de professores.
Assim, consideramos essencial que o professor discuta, se torne consciente e intervenha, no
tratamento e exploração do erro com os alunos. É claro que este não é um processo simples,
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requerendo para uma sua exploração profícua uma diversidade de aspetos do conhecimento
do professor.
Nesta comunicação iremos apresentar e discutir alguns aspetos do conhecimento do
professor e argumentos apresentados por vários professores de secundária ao serem
confrontados com a questão que aparece no título. Discutiremos também algumas
potencialidades deste tipo de abordagem para a formação de professores e, portanto, para o
desenvolvimento do seu conhecimento matemático especializado.
Introducción
En este trabajo asusmimos que el error es un elemento promotor de reflexión y
potencializador del conocimiento profesional del profesor de matemáticas, pues “los
errores son datos objetivos que encontramos permanentemente en los procesos de
enseñanza y aprendizaje de las matemáticas; constituyen un elemento estable de dichos
procesos” (Rico, 1998, p. 76).
Así pues, el error puede estar presente de manera constante en la construcción y
consolidación del conocimiento (Saucedo, 200) y de acuerdo con Aguayo (2004), el error
constituye una parte primordial de la construcción de conocimiento y de la reflexión que el
individuo aprendiz hace sobre los errores que comete, mismos que le permiten validar sus
conocimientos. De esta manera, coincidimos con Astolfi (2004) en que
El problema del error en el aprendizaje es seguramente tan antiguo como la
enseñanza misma. Sin embargo, nos encontramos continuamente con el error
en la vida diaria, y el sentido común no deja de repetirnos que sólo dejan de
equivocarse los que no hacen nada (Astolfi, 2004, p. 7).
Más aún Bachelard (1938) propone el término de obstáculo epistemológico, el cual es
retomado por Brousseau (1997) quien lo explica como un conocimiento con dominio
propio de validez que fuera de dicho dominio es ineficaz y puede ser causante de errores y
dificultades mencionado que:
[…] el error y el fracaso no tienen el papel simplificado que a veces se les
quiere asignar. El error no es sólo el efecto de la ignorancia, de la
incertidumbre, del azar como se cree en las teorías empíricas o conductistas
del aprendizaje, sino el efecto de un conocimiento anterior, que tenía su
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interés, sus logros, pero que, ahora se revela como falso o simplemente
inadecuado. Los errores de este tipo no son erráticos o imprevisibles, sino
que constituyen obstáculos” (Brousseau, 1997, p. 84).
Sabemos que los errores no ocurren por azar sino que responden a un marco conceptual
construido en conocimientos previos y que los errores no desaparecen de repente sino que
son persistentes. En trabajos anteriores, Sosa et al. (2013a, p. 2) mencionamos que
La consideración de que el error mantiene una presencia que, gestionada de
manera adecuada, influye positivamente en el aprendizaje; hace necesario
poner atención en distinguir los conocimientos que necesita el profesor para
dar un tratamiento productivo a los errores de los alumnos, además de
considerar las formas en las cuales este conocimiento puede desarrollarse.
Y además, agregamos (p. 3) que
Reconocemos que es sumamente complejo describir las tareas que requiere
atender un docente en el proceso de enseñanza y desprender de ahí los
saberes necesarios, algunos autores coinciden en reconocer que, es tal la
complejidad del conocimiento que involucra la enseñanza, que a los propios
profesores se les dificulta explicar lo que conocen y cómo lo conocen
(Shulman, 1987).
Aumentando la complejidad, aún y cuando el profesor pudiera caracterizar de una forma u
otra los errores de los estudiantes, eso no tiene una determinación mecánica sobre las
posturas que asume cuando aparecen durante la clase, por eso el profesor debe ser científico
e ir construyendo el objeto a enseñar (Sosa, 2006), a sabiendas que los errores forman parte
de la producción de los alumnos durante su aprendizaje y pueden contribuir enormemente
en este proceso, siendo para eso esencial una toma de consciencia del profesor de tal hecho.
Así, para el profesor, los errores pueden (y deben) servir como instrumento de diagnóstico
y corrección y para el alumno una fuente de significado a través de la implicación del
alumno en la actividad de explicar sus propios errores, y por tanto, una actividad que podría
ser bastante motivadora para el profesor interesado en aprender a enseñar matemáticas.
Por tanto la tarea que tiene el profesor para dar un tratamiento efectivo para el aprendizaje
de los alumnos no es sencilla, pero a pesar de eso, Pinto y Santos (2006) sostienen que:
Al observar los errores de los alumnos el maestro debería ser capaz de
interpretar el conocimiento implícito en el error y reconocer el momento en
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el que se torna inadecuado, además de poder identificar, de acuerdo a lo
elaborado por el alumno, cuál es la estrategia más cercana a la que realizó (p.
16).
Por ello, es de suma importancia que el profesor se concientice e intervenga en la
enseñanza aprovechando los errores para mejorar el aprendizaje de sus alumnos. Así, en ese
sentido, y tratando de contribuir a un entendimiento más amplio sobre el conocimiento del
profesor sobre los errores de los alumnos en una situación de Álgebra, discutiremos algunas
respuestas de profesores, asimismo reflexionaremos sobre algunas potencialidades para la
formación de profesores de una discusión y reflexión centrada en los errores de los
alumnos.
Desarrollo
En un grupo de 10 profesores que están llevando un curso de desarrollo profesional en una
maestría profesionalizante se lanzó la pregunta:
¿QUÉ NECESITO SABER CUANDO MIS ALUMNOS ESCRIBEN QUE
ES EQUIVALENTE A
?
Y se les pidió a los profesores que contestaran por escrito a esa pregunta. En este
documento presentamos las respuestas de dos profesores – Ram y Dalí. Ram es un profesor
de nivel bachillerato (estudiantes de 13-15 años de edad) y Dalí una profesora de nivel
secundaria (estudiantes de 11-13 años de edad) en México. A continuación mostramos
algunos elementos que consideramos relevantes en las respuestas de estos dos profesores,
en términos del error y su tratamiento didáctico.
El profesor Ram expresa que necesita saber de la matemática (propiedades y uso de las
propiedades del campo de los números reales), del estudiante y de cómo contrarrestar esa
situación:
Del estudiante
Es importante como profesores tratar de comprender qué es lo que el alumno está
pensando al plantear la respuesta descrita, aquí entra en juego los conocimientos
que hasta el momento posee, las concepciones que tiene respecto a la solución de
ecuaciones lineales, y la forma en que se le han planteado con anterioridad
situaciones similares.
En este caso específico, creemos que el alumno hace una transposición
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incorrecta, o bien, considera que el cero al estar dividiendo, tiene un significado
de no dividir (dividir entre nada).
Con este segmento queremos poner de relieve los conocimientos que pone en acción el
profesor, pues no sólo identifica conocimientos en torno al contenido matemático (aspecto
sumamente importante), sino que también concibe al error como no azaroso y no
propiamente efecto de la ignorancia sino como síntoma de algún concepto previo del
estudiante, además de cuestionarse qué pensamiento matemático del alumno podría haber
producido ese error (siendo eso uno de los aspectos centrales del conocimiento matemático
de un profesor que pretende que sus alumnos entiendan lo que hacen y porque lo hacen, a
cada momento – Ribeiro, Mellone y Jakobsen, 2013).
Más aún, una vez que Ram menciona eso, luego propone que además, un profesor debería
conocer formas para dar tratamiento a ese error:
Como
contrarrestar
esta situación
Como profesores deberíamos conocer estrategias didácticas que se puedan
adaptar al nivel de estudio, al conocimiento previo, al conocimiento a impartir y
a las concepciones que el alumno presenta.
Buscar adaptar diferentes formas de representación, acordes a la situación
planteada.
Plantear situaciones similares que involucren constantes distintas a 0 y 1 en el
denominador.
Buscar la forma de hacer ver al estudiante que está en un error, pero sin
reprenderlo o evidenciarlo ante los demás.
Es de hacer notar la importancia de no conformarse sólo con identificar y comprender el
error de los estudiantes (aspectos de suma relevancia) sino además, darle un tratamiento
didáctico al error aprovechándolos para el aprendizaje efectivo del alumno, en este caso,
pensando en qué estrategias didácticas pudieran servir para tal fin.
También es de nuestro interés presentar la respuesta que dio la Profesora Dalí:
Del estudiante y Como profesores pensamos que los alumnos están tomando como equivalentes
el contenido
estas expresiones al “omitir” el cero; necesitamos saber cómo entienden y
representan el concepto del cero, podemos pensar que no es claro y que para
ellos no tuvo ninguna significación, ya que proceden a la eliminación del mismo.
En este caso responderían que sí es lo mismo porque dividir sobre cero no
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afectará el resultado, pues no tiene valor absoluto. Posteriormente procederían a
resolver a la ecuación transponiendo los términos (
).
Es evidente que este error no será interpretado de la misma manera en secundaria
que en otro nivel educativo, esto también deberíamos de considerarlo. Pues
pensamos que si no es atendido posteriormente conducirá a otras dificultades.
De este segmento podemos observar el conocimiento de Dalí en cuanto a saber cómo
entienden y representan los alumnos el concepto del cero, es decir, nuevamente podemos
remarcar el hecho de que el profesor se plantee qué pensamiento matemático del alumno
pudo producir ese error. El planteamiento de estas cuestiones puede funcionar como eje
rector para generar y enriquecer el conocimiento profesional del profesor (Sosa 2011; Sosa
et al., 2013a, b). Además, Dalí muestra dar importancia a considerar el nivel educativo que
cursa el estudiante, como un factor importante para comprender la interpretación del error,
aspecto que muchas de las veces en las investigaciones ad hoc, se puede dar como elemento
obvio sin hacer explícita una reflexión a ese respecto.
Algunos comentários finales
Indudablemente, cuando el profesor trata de ponerse en el lugar de los alumnos para
comprender qué pensamiento matemático pudo haber producido ese error, ese hecho
representa una gran oportunidad para el profesor, no sólo para identificar y comprender el
error sino para plantearse el pensar en posibles estrategias didácticas para dar un
tratamiento didáctico y aprovechar esos errores de los estudiantes para un aprendizaje
efectivo. Ese momento es clave para poder enriquecer el propio conocimiento profesional
del profesor de matemáticas (Sosa et al, 2013b). Lo que mostramos aquí es solo una
pequeña “probada” de elementos que pudieran ser apenas un germen en el conocimiento
del profesor para, en y de la práctica (Cochran-Smith y Lytle, 1999), falta dar continuidad a
esta provocación para el profesor, de tal manera que se intente consolidar cada vez más el
conocimiento profesional del profesor de matemáticas (por ejemplo, a través de tareas
diseñadas, secuenciadas y permanentes que permitan lograr tan grande reto).
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Agradecimientos
Esta investigación es apoyada por el Consejo Nacional de Ciencia y Tecnología
(CONACYT, México) y ha sido parcialmente financiado por la Fundación para la Ciencia y
la Tecnología.
Referencias
Aguayo, L. (2004). Los errores en matemáticas y sus tratamientos didácticos. En Ávila et al. La
reforma realizada. La resolución de problemas como vía del aprendizaje en nuestras
escuelas. Secretaría de Educación Pública, México.
Astolfi, J. (2004): El “error”, un medio para enseñar. Díada, Sevilla. Disponible en
http://blogfcbc.files.wordpress.com/2012/03/7-astolfi-elerror.pdf
Bachelard, G. (1938): La formación del espíritu científico. Siglo XXI, México.
Brousseau, G. (1997). “Epistemological obstacles problems and didactical engeneering” En
Balachef, N., Cooper, M., Sutherland, R. y Warfield V. (Eds.) Mathematics Education
Library, Kluwer Academic Publishers.
Brousseau, G. (2009) “L´erreur en mathématiques du point du vue didactique”. En Tangente
Educación No. 7, 4-7
Cochran-Smith, M. & Lytle, S. (1999). Relationships of knowledge and practice: Teacher learning
in communities. In A. Iran-Nejad & P.D. Pearson (Eds.), Review of research in education.
Vol. 24 (pp. 249-305). Washington, DC: American Educational Research Association.
Pinto, J. & Santos, L. (2006). Modelos de avaliação das aprendizagens. Lisboa: Universidade
Aberta.
Ribeiro, C. M., Mellone, M. & Jakobsen, A. (2013). Prospective teachers’ knowledge in/for giving
sense to students’ productions. In A. M. Lindmeier & A. Heinze (Eds.), Proceedings of the
37th Conference of the International Group for the Psychology of Mathematics Education mathematics learning across the life span (Vol. 4, pp. 89-96). Kiel, Germany: PME.
Rico, L. (1998). Errores y dificultades. En J. Kilpatrick et al (Edit.). Educación Matemática: Errores
y dificultades de los estudiantes, Resolución de problemas, Evaluación e Historia (pp. 69108). Bogotá: Una Empresa Docente.
Saucedo, G. (2000). Categorización de errores algebraicos en alumnos ingresantes a la
Universidad. Tesis de maestría Facultad de Humanidades y Ciencias de la UNL publicada
en
http://bibliotecavirtual.unl.edu.ar:8180/publicaciones/bitstream/1/2319/1/INDI_2_2007_pag
_22_43.pdf
Shulman, L.S. (1987). Knowledge and Teaching: Foundations of the New Reform. Harvard
Educational Review, 57(1), pp.1-22.
Sosa L. (2006). Tipos de concepciones sobre la naturaleza de las matemáticas, de su enseñanza y
de su aprendizaje. Un estudio con profesores en servicio. Tesis de maestría no publicada.
Cinvestav, México.
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Sosa L. (2011). Conocimiento Matemático para la enseñanza en bachillerato. Un estudio de dos
casos. Huelva: España. Tesis doctoral publicada en http://hdl.handle.net/10272/4509
Sosa, L., Huitrado, J.L., Hernández, J.A., Borjón, E. y Ribeiro, M. (2013a). Uma oportunidade para
o profesor aprender analizando os erros dos alunos –Un exemplo de Álgebra. In atas XIX
Encontro Nacional de Professores de Matemática (ProfMat 2013), (pp. por aparecer),
Lisboa: APM.
Sosa, L., Torres, M. & Borjón, E. (2013b). A key element in the training of teachers: Mathematicas
knowledge for teaching. In Preciado Babb, A. P., Solares Rojas, Al, Sandoval Cáceres, I.T.,
& Butto Zarzar, C. (Eds), Proceedings of the First Meeting between the National Pedagogic
University (Mexico) and the Faculty of Education of the University of Calgary (8590).Calgary, Canada: Faculty of Education of the University of Calgary.