Ampliación de Matemáticas Grupo 16 de 1o de Ciencias Ambientales, 12 de marzo de 2007, primer examen orientativo. Ejercicio 1.Parte 1: Escribir cómo se leen las ecuaciones: (a) x0 (t) = t2 sen2 x(t) (b) dy = x3 + y −2 dx (c) x00 (t) = 2x0 (t) + 5x(t) − cos t (d) y 00 (x) = y(x) + ln y(x) Rx (e) y 0 (x) = 2y(x) + 0 y(t) dt (f) dy d2 y = + y − ex dx2 dx Indicación.- (e) se lee “y prima de x igual a 2 por y de x más la integral desde 0 hasta x de y de t diferencial de t” Parte 2: Completar las ecuaciones y fórmulas siguientes al cambiar las variables mudas como se sugiere: (A) x0 (t) = t2 sen2 x(t), −→ z 0 (t) = (B) x0 (t) = t2 sen2 x(t), −→ y 0 (x) = x2 (C) x00 (t) = 2x0 (t) + 5x(t) − cos t, (D) p0 (v) = 2v 3 p(v), y 0 (x) = 2x3 −→ −→ (E) f (x) = sen x, x00 (s) = 2x0 (s)+ −→ f ( ) = sen t (F) n X ai , −→ i=1 n X a j=1 (G) Z 7 (x2 + x − 2) dx, Z −→ 1 ( + − ) ds 1 (H) F (x) = e 7 −x2 Z x cos t dt, 1 −→ F (y) = e − Z cos 1 ds (I) Sn = n 3 n X ai , −→ Sm = m3 i=0 X a j=0 (J) f (n) = (n2 − n − 1) n X ak , −→ f (n) = (n2 − n − 1) X aj−2 j=3 k=1 Parte 3: Traducir a sı́mbolos matemáticos las ecuaciones y fórmulas siguientes: (a) “x prima de t igual a x de t por seno de t” (x0 (t) = x(t) sen t) (b) “derivada de y respecto de x igual a x al cuadrado más y” (c) “derivada segunda de x igual a derivada primera de x más dos por e elevado a menos t” (d) “g de n igual a n al cubo por la suma de b sub j desde j igual a 1 hasta n” (e) “c sub 1 más c sub 2 más puntos suspensivos más c sub m” (f) “G de u igual a la integral desde 0 hasta u de x al cuadrado más x menos seno de x diferencial de x” Ejercicio 2.- Hallar la función g(x) para que la función x(t) = e2t sea una solución de la ecuación diferencial dx = 2x − t + g(x). dt Ejercicio 3.- Sea u(x) la solución del problema de condición inicial ( y 0 (x) = x2 + y(x)2 y(0) = 0. Hallar u0 (0), u00 (0), u000 (0). ¿Tiene u(x) un punto de inflexión en x = 0? Probar que u00 (x) < 0 para todo x < 0; por tanto u(x) es cóncava en el intervalo (∞, 0). Sea v(x) la solución del problema de condición inicial ( y 0 (x) = x2 + y(x)2 y(0) = 1. Hallar v 0 (0), v 00 (0), v 000 (0). Observando la Figura 1 adivinamos que existe un punto x1 < 0 donde v 00 (x) se anula; demostrar la existencia de este x1 , lo que podrı́a interpretarse diciendo que v(x) tiene un punto de inflexión inclinada en x1 . 2 Figura 1: Curvas de soluciones de y 0 = x2 + y 2 . 3 Ejercicio 4.-Sea b(t) una función cuya gráfica sobre el intervalo 0 ≤ t ≤ 6 aparece en la Figura 2. También se dan dos funciones x1 (t) y x2 (t) en la misma figura. Se pide decir cuál de estas dos funciones es la solución del problema de condición inicial ( x0 (t) = x(t) + b(t), x(0) = 2. Razónese. x 4 x1 (t) x2 (t) 2 t 0 1 2 4 3 −2 b(t) −4 Figura 2: Datos visuales del Ejercicio 4. 4 5 6