medida del campo magnético creado por conductores

Práctica 20
Medida del campo magnético creado por conductores
20: MEDIDA DEL CAMPO MAGNÉTICO CREADO POR CONDUCTORES
OBJETIVO
Observar la relación existente entre corrientes eléctricas y campos magnéticos.
Medir y analizar el campo magnético creado en el exterior de distintos conductores por los que circula
una corriente eléctrica.
MATERIAL
(1) Fuente de alimentación de 0 a 15 V de corriente alterna.
(2) Transformador (núcleo de hierro con un bobinado primario y otro secundario).
(3) Conjunto de conductores:
- Conductor rectilíneo.
- Dos conductores paralelos por los que circula corriente en el mismo sentido.
- Dos conductores paralelos por los que circula corriente en sentido contrario.
- Espira circular.
(4) Transformador de corriente de alta intensidad (1:100 Amperios).
(5) Amperímetro.
(6) Guía graduada, soporte y pinza para sonda magnética.
(7) Sonda magnética.
(8) Teslámetro.
1
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Medida del campo magnético creado por conductores
FUNDAMENTO TEÓRICO
En 1820, observando cómo el paso de una corriente eléctrica hace desviarse a una aguja imantada,
Öersted dio a conocer su descubrimiento de que la corriente eléctrica produce efectos magnéticos. Hasta
entonces se creía que la electricidad y el magnetismo eran fuerzas distintas sin ninguna relación entre sí.
Posteriormente en 1831, Faraday demostró que, recíprocamente, un campo magnético fluctuante puede
inducir una corriente eléctrica en un conductor.
r
r
Una carga puntual q que se mueve con velocidad v , produce un campo magnético B P en un punto P
situado a una distancia r de la carga, según la expresión (1) :
r r
r
µ0 q v × r
BP =
4π r 3
[20-1]
r
r
En el producto vectorial, r es un vector dirigido desde la carga hasta el punto P; por tanto B P es un
r
r
vector perpendicular al plano que contiene a v y a r y su magnitud es proporcional al seno del ángulo
r
r
formado por los vectores v y r .
La constante de proporcionalidad µ0 se denomina permeabilidad magnética del vacío, y su valor es:
µ0 = 4π . 10-7 V. s / A. m = 4π . 10-7 T . m / A
[20-2]
r
En un caso más general, el campo magnético B P 1 debido a la corriente eléctrica total I que circula por
un circuito puede conocerse, en un punto a una distancia r del conductor, por la ley de Biot y Savart
r
r
(también deducida por Ampère) reemplazando q v por I d l en la ecuación [20-1] e integrando a lo
largo del conductor las contribuciones de cada uno de los elementos de corriente que circulan por él:
r
µ
BP = 0
4π
∫
r r
Id l ×r
r3
[20-3]
r
Las fuentes del campo magnético, según [20-1] y [20-3], son las cargas puntuales en movimiento ( q v ),
r
o análogamente, los elementos de corriente ( I d l ). La expresión dada en [20-3] permite calcular
teóricamente el campo magnético creado por diferentes tipos de conductores en cualquier punto. Este
r
campo magnético B P depende de la forma del conductor, siendo directamente proporcional a la
intensidad de corriente I que circula por él y decrece con la distancia entre éste y la posición del punto
r
en el que se mide BP .
r
A diferencia del campo eléctrico, B P es perpendicular tanto a la dirección radial al punto P (dirección de
r
r
r ) como a la del elemento de corriente ( I d l ).
En esta práctica se analizará el campo magnético creado en el entorno de algunos conductores (tramos en
r
negrita de la figura) para los que la expresión del correspondiente campo B P (expresión [20-3]) es
sencilla gracias a su geometría:
Conductor
Rectilíneo (A)
1
Conductores
paralelos (B)
Conductores
antiparalelos (C)
Espira circular (D)
P.A. Tipler. Física para la ciencia y la tecnología. Vol. 2. Capítulo 29.
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Medida del campo magnético creado por conductores
(A) Conductor rectilíneo:
r
El campo magnético B P creado por un conductor rectilíneo infinito en un punto P situado a una distancia
R , está contenido en el plano perpendicular al conductor, ya que la componente fuera de ese plano que
crean los elementos del conductor situados a un lado del punto de medida se cancelan con la que crean los
r
elementos del conductor situados simétricamente opuestos a ellos. El módulo de B P es directamente
proporcional a la intensidad de corriente I que circula por el conductor e inversamente proporcional a la
distancia R que hay entre el conductor y el punto:
BP =
µ0 2I
4π R
[20-4]
La dirección del campo magnético se dibuja perpendicular al plano determinado por la corriente rectilínea
y el vector posición del punto respecto al conductor; y el sentido se determina por la regla “del
sacacorchos” o “de la mano derecha” (los dedos de esta mano, que rodean al pulgar que apunta en el
sentido de la corriente del conductor, indican el sentido del campo magnético en el entorno del
conductor).
Si el conductor rectilíneo es finito pero el punto de medida está suficientemente próximo a él, la ecuación
anterior es aplicable en puntos alejados de sus extremos.
(B) Conductores rectilíneos paralelos en los que la corriente eléctrica circula en el mismo sentido:
En la región comprendida entre dos conductores rectilíneos separados una distancia d y por los que
r
circula una corriente eléctrica I en el mismo sentido, la intensidad (módulo) del campo B P viene dado
por la diferencia de los valores de los campos creados por cada uno (ya que éstos tienen sentidos
contrarios, como puede comprobarse con la regla de la mano derecha, por ejemplo). Por tanto, el módulo
r
del campo magnético B P en un punto P situado a una distancia r desde uno de los conductores viene
dado por la expresión:
BP =
µ 0 I (d − 2 r ) 1
2π (d − r ) r
[20-5]
(el campo se anula en el punto que equidista de ambos conductores, r=d/2).
(C) Conductores rectilíneos paralelos en los que la corriente eléctrica circula en sentidos opuestos:
En la región comprendida entre dos conductores rectilíneos separados una distancia d y por los que
r
circula una corriente eléctrica I en sentido opuesto, la intensidad (módulo) del campo B P en un punto P
situado a una distancia r de uno de los conductores viene dado por la suma de los valores de los
correspondiente campos magnéticos creados por cada conductor (ya que tales campos magnéticos tienen
el mismo sentido, como puede comprobarse con la regla de la mano derecha, por ejemplo). Por tanto:
BP =
µ0 I d
1
2π ( d − r ) r
[20-6]
(el campo para r=d/2 pasa por un mínimo, pero distinto de cero).
(D) Espira conductora circular:
r
Vamos a considerar sólo el campo magnético B P que se origina en los puntos a lo largo del
perpendicular al plano de la espira y que pasa por su centro. Por simetría, se cancelan todan
r
componentes del campo B P salvo aquéllas paralelas al eje, que juntas contribuyen a un campo
resultante, en la dirección del eje, cuyo módulo es:
eje
las
r
BP
3
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BP =
µ0 I a 2
2
(x
2
+ a2
)
3
[20-7]
donde a es el radio de la espira, y x la distancia en el eje del punto P al centro de la espira. Puede
comprobarse que el campo es máximo en el centro, donde x=0:
B =
µ0 I
2a
[20-8]
MÉTODO
La disposición del experimento es la siguiente (véase la descripción numerada de la primera página):
- Una fuente de alimentación regulable (1) de corriente alterna está conectada a un transformador (2) que
proporciona en la bobina secundaria una corriente de alta intensidad (entre 20 y 120 A), la cual se hace
circular por el conductor (3).
- El transformador de corriente (4) se coloca rodeando un tramo del conductor utilizando el espacio libre
de éste. Este transformador reduce en un factor de 100 la medida de intensidad para que pueda ser leída
por el amperímetro (5) al que está conectado (se debe tener en cuenta la escala en la que éste opera, 1
A~).
r
- Para medir el módulo del campo magnético B P que produce el conductor en un punto P, se dispone de
una sonda (7), unidireccional, cuyo extremo mide sólo aquélla componente del campo que tiene la misma
dirección que su eje. Por ello es importante situar la sonda perpendicular al plano del conductor lo más
exactamente posible.
- La sonda está sujeta mediante una pinza regulable en altura y en orientación a un soporte cuyo pie se
coloca (6) sobre una guía graduada en mm, permitiendo la medida precisa de distancias.
- La sonda está conectada a un teslámetro (8), en la escala de 10-3 Teslas.
Las medidas del módulo del campo magnético, BP , producido por los distintos conductores en un punto P
se realizarán tal se indica a continuación en cada caso:
(A) Conductor rectilíneo: Colocando la sonda equidistante de los extremos del conductor y para una
intensidad fija I, se realizarán 10 medidas de BP a lo largo de un eje perpendicular al conductor y
alejándose de él progresivamente moviendo la sonda horizontalmente en una distancia de unos 10 cm
(comprueba, antes de comenzar las medidas, que todas superan el valor del campo magnético ambiental,
y que la sonda se está desplazando hacia el exterior, donde no afectan los otros conductores rectilíneos).
(B) Conductores rectilíneos paralelos con corrientes en el mismo sentido : Habiendo colocado la
sonda equidistante de los extremos de los conductores, se realizarán 10 medidas de BP , para una
intensidad fija I, moviendo la sonda entre los dos conductores (en el plano que ambos forman),
procurando que uno de los puntos de medida sea equidistante a ambos conductores.
(C) Conductores rectilíneos paralelos con corrientes en sentido contrario : Se procede como en el
apartado anterior.
(D) Espira circular :
(D1) Se mide BP, para una intensidad fija I de corriente: una medida en el centro de la espira y, desde
allí, 9 más a lo largo del eje perpendicular al plano de la espira, a distancias progresivamente mayores.
(D2) Con la sonda situada en el centro de la espira, se efectúan 9 medidas más de B , variando en cada
una de ellas la intensidad I de la corriente que circula.
(Para saber si realmente estamos en el centro de la espira, trasladar ligeramente la sonda paralelamente a
sí misma, hasta alcanzar el valor máximo del módulo del campo magnético).
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Apellidos :
Grupo :
Letra de prácticas :
Se representará gráficamente en papel milimetrado la variación de BP en función de la distancia a los
conductores (A, B, C, D1). Se comparará cuantitativa y cualitativamente esta variación con la predicha
por la teoría según las ecuaciones [20-4] y [20-7].
Además (D2), variando la intensidad de corriente I y midiendo B en el centro de la espira circular (así
como su radio a ) se hará una estimación experimental de la permeabilidad magnética del vacío µ0 , por
regresión lineal, utilizando la ecuación [20-8].
DATOS EXPERIMENTALES
Indica en la tabla la precisión de las medidas directas realizadas:
APARATO DE MEDIDA
Guía graduada para la sonda
Amperímetro (con transformador 1:100)
Teslámetro
PRECISIÓN (unidades)
Rellena las tablas siguientes con tus medidas directas (en concordancia decimal con la precisión de los
aparatos de medida), indicando en el interior de los paréntesis de la primera columna las unidades
correspondientes a tus valores experimentales:
( I es la intensidad de corriente; B el módulo del campo magnético en el punto de medición; y R, r ó x
es la distancia de este punto a los distintos conductores).
(A) Conductor rectilíneo
R(
)
B(
)
Intensidad:
( I ± ∆I) (unidades) =
(B) Conductores paralelos
r(
)
B(
)
Intensidad:
(I ± ∆I) (unidades )=
(C) Conductores antiparalelos
r(
)
B(
)
Intensidad:
(I ± ∆I) (unidades) =
(D1) Espira circular
x(
)
0
B(
)
Intensidad:
(I ± ∆I) (unidades) =
(D2) Centro de la espira circular (x=0)
Radio*: ( a ± ∆a) (unidades) =
I(
)
B(
)
* Expresa el radio a de la espira en concordancia con la precisión de tu guía graduada, e incluye
en la tabla el par de valores (I, B ) del apartado (D1).
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RESUMEN DE RESULTADOS
(1) Adjunta en papel milimetrado las cinco representaciones gráficas siguientes, indicando en todas ellas
las unidades de las variables representadas en cada eje, empleando en cada caso la escala conveniente:
(1.a) variación del módulo del campo magnético BP frente a la distancia del punto P a los distintos
conductores (A, B, C, D1)
(1.b) variación de B , en función de I , en el centro de la espira circular (D2).
(2) Valora críticamente: ¿Son tus resultados experimentales de (1.a) cualitativamente similares a estas
gráficas teóricas?.
(A)
(B)
(C)
(D1)
(3) ¿Puedes explicar cualitativamente las gráficas de los conductores rectilíneos paralelos (B) y
antiparaelos (C) a partir de la de un solo conductor rectilíneo (A)?
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(4)
Ajusta a una recta (Y = m X + c ), por el método de ‘mínimos cuadrados’, los valores
experimentales obtenidos para B en función de I en el centro de la espira (D2), sin considerar
previamente que la recta pasa por el origen (si las medidas están bien hechas, c debe ser muy próximo a
0). Previamente a realizar el ajuste, rellena la siguiente tabla indicando las unidades en los respectivos
paréntesis, teniendo en cuenta la ecuación [20-8] :
B = ( µ 0 2a ) I
I
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
Yi (
)
Xi (
)
Xi Yi (
)
Xi 2 (
)
Σ
Con ayuda de la tabla anterior, calcula los valores de la pendiente de ajuste, m, y de la ordenada en el
origen, c , indicando en la tabla los resultados con sus respectivas unidades en los paréntesis :
( Recuerda que la pendiente “m” y la ordenada en el origen “c” de dicha recta vienen dadas por las
m = E / D ; c = Y − mX ; donde
siguientes expresiones:
n
n




1 n
1 n
D =  ∑ X i2  − nX 2 , E =  ∑ X i Yi  − nX Y ; siendo
,
X =
Xi Y =
Yi )
 i =1

 i =1

n
n
∑
i =1
∑
i =1
m (unidades)
c (unidades)
A partir del valor de la pendiente m calculada, indica la expresión del valor de la permeabilidad
magnética del vacío µ0 en función de m y determina su valor en el Sistema Internacional de unidades:
µ0 (2) =
µ0 (2) (unidades)
Representa en papel milimetrado, sobre la misma gráfica experimental dibujada en D2, la recta de ajuste
que se obtiene sustituyendo dos parejas de valores (X,Y) en la ecuación de la recta obtenida:
B=mI+c
B (unidades)
I (unidades)
7
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(5)
Calcula, considerando el valor máximo de la intensidad con el que hayas trabajado en (D2), el
valor de µ0 junto a su incertidumbre indirecta ∆µ0 (en función de las incertidumbres de medida directa
∆B, ∆I, y ∆a). Teniendo en cuenta [20-8] :
µ0 = ( B I ) 2a
Desarrolla aquí el cálculo de µ0
µ0 (3) =
FÓRMULA GENÉRICA DE LA INCERTIDUMBRE INDIRECTA
∂µ 0
∂µ 0
∂µ 0
=
∆B +
∆I +
∆a
∂B
∂I
∂a
∆µ0 (3) =
=
Desarrolla aquí el cálculo numérico de la incertidumbre indirecta ∆µ0 . ¡Indica las unidades!
Refleja, en cada caso, la contribución numérica de cada sumando afectado de incertidumbre.
¿Qué sumando afecta más al cálculo de ∆µ0?
Rellena la siguiente tabla redondeando adecuadamente sólo en la última columna, e indicando las
unidades correspondientes al Sistema Internacional:
MEDIDA
INDIRECTA
VALOR
(unidades)
Incertidumbre
(unidades)
(VALOR ± Incertidumbre)
(unidades S.I.)
µ0 (3)
Valora la precisión de tu resultado experimental (error relativo en tanto por ciento: 100* |∆µ0|/ µ0):
Valora la exactitud de tu resultado comparándolo con el valor dado en [20-2]
(error relativo en tanto por ciento: 100* |µ0 experimental - µ0 teórico | / µ0 teórico).
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CUESTIONES
(1)¿Cuál sería la dirección y sentido, en el punto del papel señalizado con el asterisco (*), del campo
magnético producido por una corriente rectilínea indefinida (flecha del dibujo) que estuviera contenida en
el plano de este papel y descendiera por el margen derecho de esta hoja, según la lees?
*
(2) Calcula dos valores teóricos del módulo del campo magnético, BP , una para el conductor rectilíneo
(A) y otro para el centro de la espira (D2), usando tus propios datos experimentales de intensidad y
distancia o radio de la espira.
(A) I (unidades) =
R (unidades) =
BP (experimental) =
Usando la fórmula [20-4]: BP (teórico) =
(D2) I (unidades) =
a (unidades) =
BP (experimental) =
Usando la fórmula [20-8]: BP (teórico) =
(3) Valora la exactitud de estos dos resultados calculando el error relativo mediante la formula
100* |Bp experimental – Bp teórico |/ Bp teórico en tanto por cien.
(4) Brevemente, ¿qué fuentes de error encuentras en la práctica, aparte de las debidas a las incertidumbres
consideradas en los cálculos?.
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