A03 Demostración leyes de Kepler

3. Leyes de Kepler (justificación)
A finales del siglo XVI, un astrónomo danés, Brahe, calculó numerosos datos sobre el
movimiento de los planetas con muchísima precisión. También trató de medir algún paralaje
pero no lo consiguió. Conocía las teorías de Copérnico, pero también el poder de la iglesia y
creó un modelo geocéntrico y heliocéntrico a la vez. Todos los planetas giraban alrededor del
Sol y todo ese conjunto, a su vez, gira alrededor de la Tierra que está inmóvil en el centro del
universo.
Johanes Kepler fue su discípulo, pero era un Copernicano convencido. A la muerte de
Brahe, Kepler decidió interpretar esos datos adaptándolos a las órbitas circulares de Copérnico.
Los cálculos cuadraban hasta Marte. Según los datos de Brahe la órbita de Marte estaba a 8`de
arco (0,13º) fuera del esquema de Copérnico. Al estudiar esta discrepancia Kepler se dio cuenta
de que si las órbitas son elípticas en las que en uno de los focos se situaba el Sol se solucionaba
el problema.
Con esto y el resto de los datos Kepler enunció tres leyes que describían el movimiento
planetario:
1ª ley: Los planetas describen órbitas elípticas en uno de cuyos focos está el Sol.
Puede demostrarse a partir de la definición de momento angular
2º ley: Las áreas barridas por el radio vector que parte del centro del Sol, son directamente
proporcionales a los tiempos empleados en barrerlas.
S1 S 2
=
= ....... = cte
t1
t2
Velocidad areolar: Es el cociente entre el área barrida y el tiempo empleado en barrerla. Va=s/t
m/s. Por esto a esta propiedad también se conoce como Teorema de las áreas.
Esta propiedad es consecuencia del Teorema de conservación del momento angular. Como el
r
r
sistema solar es un sistema aislado ∑ M = 0 y por tanto L = cte. Como las fuerzas de atracción
→
→
r
r
son centrales F y r son paralelos y por tanto M =0. Las órbitas son planas ya que si L =cte lo
r
r
r
es en dirección y sentido, L es perpendicular a r y a v y por tanto deben estar en un mismo
plano.
Por tanto, L = mvr = rm
ds
rdϑ
dϑ
= rm
= r 2m
dt
dt
dt
πr 2 dϑ
dA
r 2 dϑ
dϑ
2 dA
π
2
=
=
y despejando
= 2
; Sustituyendo en la
Como sabemos qué
dt
dt
2 dt
dt
r dt
anterior,
L = r 2m
2 dA
dA
→ 2m
Así que si
2
dt
r dt
L = cte→
dA
= cte
dt
Como consecuencia de esta 2ª ley de Kepler: las áreas barridas en tiempos iguales son
iguales.
t1=t2
→
S1
S
= 2 → S1 = S 2
t1
t2
Nota: Perihelio Posición de un planeta en su órbita más próxima al Sol. Afelio: Posición más
alejada. Si hablamos de órbita alrededor de la Tierra se llama apogeo y perigeo
Esto quiere decir que en los puntos próximos al perihelio la v es mayor que en el afelio
ya que recorre más arco en el mismo t.
3º ley: Los cuadrados de los periodos son directamente proporcionales a los cubos de los
semiejes mayores (distancia media) de las elipses.
T12 T22 T32
= 3 = 3 = ....... = cte
r13
r2
r3
Periodo es el tiempo que tarda un planeta en dar una vuelta completa.
La 3ª ley puede demostrarse a partir de la ley de gravitación universal
Las leyes de Kepler son válidas para el movimiento de los planetas alrededor del Sol y
de los satélites alrededor del planeta…
Ejemplos:
1.- Calcula el periodo de revolución de Marte sabiendo que la distancia media de Marte al Sol es
de 228 millones de km, la distancia media de la Tierra al Sol de 149,6 millones de km y el
periodo de revolución de la tierra de 365,26 días.
3
TM2 TT2
2 rM
=
;
→
T
=
T
; → TM = TT
M
T
rM3
rT3
rT3
 rM

 rT
3
3

 228 
 ; → TM = 365,26 
 = 687,23días
 149,6 

2.- El periodo de traslación de un planeta es 12 veces mayor que el periodo de traslación de la
Tierra alrededor del Sol. Halla la distancia del Sol a ese planeta si la distancia Tierra –Sol es de
149.500.000 km
3
TT2
(
12TT )
TT2
144
1
= 3 ;→
=
;→ 2 =
; → rp = 3 1495·105 ·144; → rp = 7,836·108 km
2
3
3
2
5
rp
rT
rp
149500000
rp
1495·10
Tp2
2
(
)
(
)
3.- Si el radio de la órbita circular de un planeta A es cuatro veces mayor que el de otro B ¿En
qué relación están su periodos y sus velocidades medias?
T A2
TB2
T A2 TB2
rA = 4rB ; 3 = 3 →
= · → T A2 = 64TB2 → T A = 8TB
3
rA
rB
64rB
rB
s 2πr
=
t
T
2πrA
2π 4rB 8πrB
r
→
=
=π B
vA =
TA
8TB
8TB
TB
La velocidad v =
vB =
2 ρrB
TB
rB
vA
TB
1
=
= → v B = 2v A
r
2
vB
2π B
TB
π
4. Nociones actuales sobre el sistema solar.
La idea que tenemos hoy acerca del sistema solar no coincide con mucho de lo visto
hasta ahora. Para empezar, tampoco el Sol es centro de nada. Nuestro sistema planetario no es
más que uno de los muchos que posiblemente acompañan a numerosas estrellas de la galaxia en
que habitamos, la Vía Láctea. A su vez nuestra galaxia no es más que una de los billones o
trillones de galaxias que posiblemente componen el Universo.
Características de nuestro sistema solar:
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
Todos los planetas efectúan dos movimientos distintos: uno de traslación alrededor del Sol y
otro de rotación en torno a su propio eje.
Todos los planetas describen orbitas planas alrededor del Sol.Casi todas las órbitas planetarias están aproximadamente en el mismo plano.
Todos los planetas se trasladan en el mismo sentido alrededor del Sol (en sentido
antihorario). La mayoría de los satélites hacen lo mismo alrededor de los planetas
El eje de rotación de la mayor parte de los planetas (salvo Urano y Plutón) es prácticamente
perpendicular al plano orbital.
La mayoría de los satélites describen órbitas en el plano ecuatorial delos planetas. ( Salvo los
de Urano y Plutón)
Todos los planetas rotan en sentido antihorario excepto Venus, Urano y Plutón.
La fuerza que gobierna el movimiento planetario es de tipo central y actúa en la dirección
que une planeta y Sol.
Las órbitas planetarias son estables. Asumiendo que la masa del planeta apenas varía, su
distancia media al Sol permanece constante.
Las orbitas de los satélites en torno a los planetas son planas y estables
La fuerza que gobierna el movimiento de los satélites en torno a los planetas es de tipo
central, dirigida a lo largo de la línea que une satélite y planeta.