Curso 2003-2004

Departamento de Física Aplicada III
Escuela Superior de Ingenieros
Ingeniería de Telecomunicación
Campos Electromagnéticos
Campos Electromagnéticos. Boletı́n 1. Septiembre de 2003
Problemas básicos
1.1. Exprésense los siguientes campos vectoriales en coordenadas cartesianas, cilı́ndricas y esféricas:
x
y
ux + 2
uy
A=r
B=− 2
x + y2
x + y2
2
2
C = 2ρzuρ − (ρ − z )uz
D = r tg θ uθ
1.2. Descrı́banse las superficies equipotenciales de los siguientes campos escalares
a) φ = A · r
b) φ = r 2
c) φ = A · r + r 2
d) φ = r 2 /A · r
donde A es un vector constante y r es el vector de posición.
1.3. Si φ = φ(u), con u = u(x, y, z), demuéstrese que
dφ
∇u
du
∇φ =
Encuéntrese ∇φ si a) φ = ln |r|, b) φ = r n , c) φ = 1/|r − r0 |.
1.4. Demuéstrese que el volumen limitado por una superficie cerrada ∂τ viene dado por
1
τ=
3
r · dS
∂τ
con r el vector de posición respecto a un origen arbitrario.
1.5. Hállese el valor de la integral
AdS
con A = cotg θur − uθ
y la superficie de integración una esfera de radio R centrada en el origen.
1.6. Demuéstrese que si φ es una función que depende de x, y y z a través de una cierta función u,
entonces
d2φ
dφ 2
∇ u
∇2 φ = 2 (∇u)2 +
du
du
A partir de aquı́, calcúlese el laplaciano de una función φ(r), que depende sólo de la distancia al
origen. Pruébese que éste puede también escribirse de las siguientes formas
∇2 φ(r) =
∇2 φ(r) =
1 d2(rφ)
r dr 2
1 d
r 2 dr
r2
dφ
dr
1.7. Demuéstrese que si r es el vector de posición y B un campo vectorial arbitrario
(B · ∇)r = B
(B ∧ ∇) · r = 0
(B ∧ ∇) ∧ r = −2B
Igualmente, para el caso particular en que B represente un vector constante, demuéstrese que
∇(B · r) = B
∇ · (B ∧ r) = 0
∇ ∧ (B ∧ r) = 2B
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Campos Electromagnéticos
1.2
1.8. Sean φ y A un campo escalar y uno vectorial, respectivamente, que dependen de la posición a
través de la combinación r − r , esto es
φ = φ(r − r )
A = A(r − r )
Demuéstrese que se cumplen las identidades siguientes
∇φ = −∇ φ
∇2 φ = ∇2 φ
∇ · A = −∇ · A
∇ ∧ A = −∇ ∧ A
donde el operador ∇ representa la derivación respecto a las componentes de r .
1.9. Se define la función delta de Dirac en tres dimensiones como aquella distribución que verifica
δ(r) = 0
(r = 0)
δ(r) dτ = 1
con la última integral extendida a todo el espacio. Prúebese que:
(a)
∇·
r
r3
= 4πδ(r)
(b)
∇
2
1
|r − r0 |
= −4πδ(r − r0 )
1.10. Hállese el laplaciano del campo vectorial
A = rn r
1.11. Calcúlese el gradiente y el laplaciano de la función
φ = 2z 2 − x2 − y 2
en coordenadas cartesianas, cilı́ndricas y esféricas. Compruébese que los resultados son independientes del sistema de coordenadas elegido.
Problemas de nivel medio
1.12. Hállese el flujo del campo A = r a través de la superficie del triángulo limitado por los vértices
(1, 0, 0), (0, 1, 0, (0, 0, 1). (Sugerencia: aplı́quese el resultado del problema 1.4).
1.13. El campo de velocidades de un sólido puede escribirse como
v(r) = v0 + ω ∧ r
con v0 y ω constantes. Determı́nense las fuentes escalares y vectoriales de este campo.
1.14. Determı́nese la divergencia y el rotacional del campo vectorial
A = ρ2 cos ϕ uρ + ρ2 sen ϕ uϕ
empleando coordenadas cartesianas, cilı́ndricas y esféricas.
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Campos Electromagnéticos
1.3
1.15. De las siguientes expresiones
a) ∇(∇ · φ)
e) ∇ · (∇ ∧ A)
i) ∇ · (∇φ)
m) (φ∇) · A
b) ∇ ∧ (∇φ)
f) ∇ ∧ (∇ · A)
j) ∇(∇ · A)
n) (A · ∇) ∧ A
c) ∇ · (∇ · φ)
g) ∇ ∧ (∇ ∧ A)
k) (∇ · ∇)A
o) (A · ∇)A
d) ∇ ∧ (∇ ∧ φ)
h) ∇ · (∇ · A)
l) (A · ∇)φ
p) (A ∧ ∇) ∧ A
(donde φ es un cierto campo escalar y A uno vectorial) indı́quense cuáles no tienen sentido. De las
que tienen sentido, señálense las que son idénticamente nulas. De las que no son nulas, calcúlese
su valor para los campos
φ = xyz
A = x2 ux + xzuy − xyuz
1.16. Hállese el ángulo sólido subtendido desde el origen de coordenadas por un disco horizontal de
radio R situado a una altura h sobre el origen:
(a) Utilizando coordenadas cilı́ndricas
(b) Usando coordenadas esféricas (Sugerencia: En lugar del disco empléese otra superficie que
subtienda el mismo ángulo sólido).
1.17. De los siguientes campos, indı́quese cuales son solenoidales, cuáles son irrotacionales y cuáles
armónicos
(a) A = yzux + xzuy + xyuz
(b) B = ρuϕ
(c) C = rur − ρuρ
(d) D = 2r 2 − 3ρ2
(e) E = z/ cos θ
(f) F = r sen θuϕ + yux − ρ cos ϕuy
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Ingeniería de Telecomunicación
Campos Electromagnéticos
Campos Electromagnéticos. Boletı́n 2. Octubre de 2003
Problemas básicos
2.1. Un electroscopio mide la carga por la desviación angular de dos esferas idénticas conductoras,
suspendidas por cuerdas aislantes de masas despreciables y longitud l. Cada esfera tiene una masa
m y está sometida a la gravedad g. Las cargas pueden considerarse como puntuales e iguales entre
sı́. Hállese la ecuación que liga el semiángulo θ con el valor de la carga total Q depositada en las
esferas.
Supóngase que la masa de cada esfera es m = 10−4 kg y la longitud del cable del que penden
es 20 cm. Admı́tase asimismo que los ángulos de desviación puede medirse como mucho con
una precisión de 1◦ . ¿Cuál es la carga mı́nima que puede medirse con este aparato? ¿Y la carga
máxima?
2.2. El tubo de rayos catódicos de un osciloscopio consiste en un haz de electrones que son emitidos por
un cátodo con velocidad horizontal v0 = v0 ux . Estos electrones pasan entre dos placas paralelas,
separadas una distancia b, entre las cuales existe la tensión que se pretende medir, de forma que
el campo eléctrico entre ellas tiene el valor −V /buz . Estas placas tienen una longitud w. A una
distancia L del fin de las placas se encuentra una pantalla, sobre la cual inciden los electrones.
Calcúlese la altura del punto de impacto en función de la tensión aplicada y los restantes parámetros
del sistema.
¿Cómo se consigue que el haz de electrones barra la pantalla y no se mueva sólo verticalmente?
2.3. Sean dos cargas puntuales q1 y q2 , situadas la primera en el origen de coordenadas y la segunda
en auz . Demuéstrese que existe un punto en que el campo eléctrico se anula. Hállese la posición
de tal punto, teniendo en cuenta las diferentes posibilidades en cuanto a signos y magnitudes de las
dos cargas. ¿Existe algún caso en que no haya punto de campo nulo?
2.4. Se disponen siete cargas iguales en los vértices de un octógono regular situado en el plano xy, con
centro el origen, quedando vacı́o el octavo vértice, situado en r = aux . ¿Cuánto vale el campo
eléctrico en el centro del octógono? ¿Y en los demás puntos del eje z?
2.5. Dos lı́neas infinitas con densidad de carga λ y −λ se colocan paralelamente a una distancia 2a una
de la otra. Hállese:
(a) El campo eléctrico en todos los puntos del espacio.
(b) Hállese el potencial eléctrico tomando el origen de coordenadas como referencia. Demuéstrese
que las superficies equipotenciales son cilindros rectos y hállese el centro y el radio en función
del potencial V .
-l
V
z
l
y
a
v0
w
L
Problema 2.2
Problemas 2.5
x
Departamento de Fı́sica Aplicada III
Campos Electromagnéticos
2.2
(c) Considérese el lı́mite en que a → 0, λ → ∞ con λa → b = cte. ¿A qué tiende el campo
eléctrico en este lı́mite? ¿Y el potencial?
2.6. Se consideran dos planos paralelos, separados una distancia a. Uno de ellos, situado en x = −a/2
posee una distribución de carga uniforme σ0 , mientras que la del otro es −σ0 . Hállese el campo
eléctrico en todos los puntos del espacio.
Asimismo, determı́nese el campo para el caso de tres planos paralelos entre sı́ y equiespaciados una
distancia a. El central posee una densidad de carga superficial 2σ0 , mientras que los otros dos la
tienen de −σ0 cada uno.
2.7. Hállese el campo eléctrico en todos los puntos del eje de un anillo de radio R sobre el cual hay una
densidad de carga uniforme λ.
A partir de este resultado, calcúlese el campo creado por una corona circular de radios R1 y R2
(R1 < R2 ), sobre la cual hay una densidad de carga uniforme σ0 , en los puntos de su eje.
¿A que se reduce si R1 → 0? ¿Y si R2 → ∞? Considérese en particular el comportamiento en las
proximidades de z = 0.
2.8. Se tienen dos esferas del mismo radio, cargadas uniformemente, una de ellas con densidad de
carga +ρ y la otra con densidad de carga −ρ. Dichas esferas se colocan de forma que sus centros
distan una cantidad a, menor que el radio de las esferas, por lo cual intersecan como se ve en la
figura.
(a) Calcúlese el campo eléctrico en la zona de intersección.
(b) Hállese la expresión del campo eléctrico en puntos exteriores a las dos esferas y alejados de
las mismas.
(c) En el lı́mite ρ → ∞, a → 0, con ρa → b = cte calcúlese la densidad de carga superficial que
aparece en la esfera resultante.
2.9. Se tienen dos cargas puntuales de valor q situadas en los puntos ±(a/2)uy . Hállese el flujo del
campo eléctrico a través de un triángulo con vértices en los puntos aux , auy y auz .
2.10. Hállese el potencial creado por dos cargas q1 , −q2 situadas a una distancia a una de la otra. Demuéstrese que la superficie equipotencial V = 0 es una esfera.
2.11. Se tiene una esfera con una densidad de carga uniforme ρ0 , de radio R y centro el origen, en la
que se ha horadado una cavidad, también esférica, de radio R/2 y centro un punto situado a una
distancia R/2 del centro de la esfera de radio R. Hállese el trabajo necesario para traer una carga
desde el infinito hasta el origen de coordenadas (centro de la esfera de carga).
2.12. Hállese los momentos monopolar (carga) y dipolar de las siguientes distribuciones de cargas. Descrı́base el campo y el potencial eléctrico a gran distancia de las mismas:
(a) Dos cargas de valor +q en los puntos ±auz
(b) Tres cargas positivas +q en los puntos aux , auy , auz y tres negativas −q en −aux , −auy ,
−auz .
z
-r
R2
a
R1
Problema 2.7
q
·
+r
q
·
x
Problema 2.8
Problema 2.9
y
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Campos Electromagnéticos
(c)
(d)
(e)
(f)
(g)
2.3
Una varilla vertical de longitud L, centrada en el origen, con densidad de carga uniforme λ.
La misma varilla con una distribución de carga λ = kz.
Una superficie esférica sobre la cual hay una distribución de carga σs = σ0 cos θ.
La misma superficie con distribuciones σs = σ0 cos2 θ, σs = σ0 sen θ y σs = σ0 sen θ cos φ
Una esfera con densidad de carga ρ = ρ0 cos θ.
2.13. Cuatro cargas puntuales se sitúan en los vértices de un cuadrado de lado a. Dos de ellas, situadas
en vértices adyacentes, son de valor +q, mientras que las otras dos valen −q.
Calcúlese el trabajo para reunir esta distribución de cargas.
Supóngase que una de las cargas positivas se intercambia con la negativa situada en el vértice
opuesto, ¿qué trabajo hay que realizar para esta operación?
Si la carga positiva se permuta con la negativa situada en el vértice vecino, ¿cuál será en este caso,
el trabajo realizado?
2.14. Calcúlese la energı́a libre electrostática de:
(a) Una carga Q distribuida uniformemente sobre la superficie de una esfera de radio R.
(b) Una carga Q distribuida uniformemente en el volumen de una esfera de radio R
(c) ¿Cuál de las dos configuraciones posee una menor energı́a almacenada? ¿Cómo se interpreta
este resultado si se usa la integral de la densidad de energı́a ε0 E 2 /2?
(d) El llamado radio clásico del electrón se obtiene describiendo esta partı́cula como una pequeña
esfera de radio a, cargada uniformemente en su superficie. Suponiendo que la energı́a electrostática almacenada en el sistema equivale a la masa del electrón de acuerdo con la ley
E = mc2 , hállese el valor numérico del radio que debe tener el electrón.
Repı́tase ahora el cálculo para el caso de un protón. ¿Es lógico el resultado que se obtiene?
Problemas de nivel medio
2.15. En el modelo atómico de Bohr, el estado fundamental del átomo de hidrógeno consiste en un
protón en el centro del átomo, y un electrón describiendo órbitas circulares de radio a0 en torno al
núcleo.
(a)
(b)
(c)
(d)
Hállese la fuerza que el protón ejerce sobre el electrón y la aceleración de éste.
Calcúlese la velocidad orbital del electrón. Compárese esta velocidad con la de la luz.
Determı́nese el periodo orbital del electrón y la velocidad angular.
Compárese la fuerza eléctrica con la fuerza gravitatoria protón-electrón.
Datos: Carga del protón y del electrón: ±e = ±1.60 × 10−19 C; masa del protón: mp = 1.67 ×
10−27 kg; masa del electrón: me = 9.11 × 10−31 kg; radio de Bohr: a0 = 5.29 × 10−11 m; ke =
1/(4πε0 ) = 8.98 × 109 N m2 /C2 ; velocidad de la luz c = 3.00 × 108 m/s; constante de gravitación
universal: G = 6.67 × 10−11 N m2 /kg2 .
q
·
l
R
Problema 2.16
z
b
q·
g
a ·Q
j' R
x
Problema 2.17
Problema 2.18
y
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Campos Electromagnéticos
2.4
2.16. Se dispone de tres cargas, una de valor Q y las otras dos de valor q. Estas cargas se ensartan en un
anillo circular de radio R sobre el cual pueden deslizar libremente. Determı́nese la ecuación para
los ángulos del triángulo que forman las tres cargas. ¿Cuál es la solución para los casos Q q,
Q = q y Q q?
2.17. Hállese el campo creado por un segmento rectilı́neo de longitud L dotado de una densidad de
carga λ.
A partir del resultado anterior, calcúlese el campo eléctrico en cualquier punto del eje que pasa por
el centro de un polı́gono regular de N lados de apotema R y densidad de carga λ.
¿A qué tiende el resultado cuando N → ∞?
2.18. En el plano xy se encuentra una distribución de carga lineal, formando medio anillo circular, de
radio R y con una distribución de carga no uniforme dada por
λ = λ0 cos ϕ
ϕ ∈ (0, π)
(a) Hállese el potencial y el campo eléctrico en los puntos del eje z.
(b) Si en el punto r0 = auz se coloca un dipolo puntual de valor p0 = p0 uz , ¿que fuerza ejerce el
anillo sobre este dipolo?
(c) Suponiendo de nuevo sólo el anillo, demuéstrese que, para puntos alejados, el campo del
anillo se comporta como el de un dipolo, ¿cuál serı́a el valor y la orientación de dicho dipolo?
2.19. Dos planos se encuentran cargados uniformemente con densidades de carga +σ0 y −σ0 y se cortan
formando un ángulo recto. Encuéntrese el campo eléctrico y las lı́neas de campo en todos los puntos
del espacio.
2.20. Se tiene una distribución de carga uniforme ρ0 , que ocupa un volumen cilı́ndrico de radio R y
longitud infinita. En este cilindro se ha horadado un hueco esférico, también de radio R. Se toma
como eje z el del cilindro y origen de coordenadas el centro del hueco.
(a) Hállese el campo eléctrico en el interior del hueco.
(b) Calcúlese el potencial eléctrico en el hueco, tomando como origen de potencial el centro del
hueco.
(c) Calcúlese el trabajo para mover una carga q desde el punto Ruz al punto Rux , a lo largo de
un arco de circunferencia sobre la superficie del hueco.
2.21. Se tienen cuatro posibles campos eléctricos. En la región r < R, vienen dados por las expresiones
E1 = E0
r
r
8−6
cos θur + E0 9 − 8 sen θuθ
R
R
E3 = 2E0 cos θur − 2E0 sen θuθ
E4 = E0
E2 = −E0 cos θur + E0 sen θuθ
r
r
6 − 4 cos θur + E0 4 − 3
sen θuθ
R
R
mientras que en la región r > R todos vienen dados por la misma expresión
E=2
E0 R3
E0 R3
cos
θu
+
sen θuθ
r
r3
r3
(a) Indı́quese cuales pueden ser campos electrostáticos.
(b) Para los casos posibles, calcúlense las densidades de carga que producen los campos.
2.22. Se tienen dos discos plásticos de radio 1 cm y espesor despreciable, sobre los cuales se distribuyen
de manera uniforme cargas de +1 nC y −1 nC respectivamente. Estos discos se disponen paralelamente en z = ±a/2. Determı́nese
(a) El valor aproximado de la diferencia de potencial entre los centros cuando la distancia a =
1 mm
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Campos Electromagnéticos
2.5
(b) El valor aproximado del voltaje si a = 1 m. (Para ello deben tenerse en cuenta tanto el
potencial que un disco crea en su propio centro como el que un disco crea en el otro).
(c) Determı́nese exactamente la diferencia de potencial entre los centros para cualquier valor de
a. Compárese el resultado con los dos anteriores. ¿Cuánto es, aproximadamente, el error
cometido en el primer apartado? ¿Y en el segundo?
2.23. Se tiene un dipolo puntual p1 = puz sobre el cual situamos el origen de coordenadas. Se coloca
un segundo dipolo de la misma magnitud, pero diferente orientación, en el punto auz .
(a) Hállese la fuerza y el par que el primer dipolo ejerce sobre el segundo si este está orientado
como p2 = puz .
(b) Calcúlese el valor numérico de esta fuerza si los dos dipolos son moléculas de agua (p =
6.14 × 10−30 C · m) situadas a una distancia de 1 nm.
(c) Repı́tase el cálculo si p2 = pux .
2.24. Supóngase que se sitúa una carga puntual q en la posición aux y una carga q2 en auy . ¿Qué valor
debe tener q2 para que, al traer una carga q3 desde el infinito al punto −aux no se realice trabajo?
Suponiendo que se da el caso anterior, ¿cuál debe ser el valor de q3 para que al traer una carga
q4 = q desde el infinito al punto −auy tampoco se realice trabajo?
Supuesto que se ha construido la configuración anterior, ¿qué trabajo se debe realizar para intercambiar las posiciones de las cargas q3 y q4 ?
2.25. Un modelo de átomo es el constituido por una carga puntual positiva q, situada en el centro de una
nube esférica de radio a y con densidad de carga uniforme ρ0 .
(a) Hállese el campo y el potencial eléctrico en todos los puntos del espacio (supóngase el origen
de coordenadas en el centro del átomo). Téngase en cuenta que el átomo es globalmente
neutro.
(b) Supóngase que se coloca una carga puntual q1 en el interior de la nube, en el punto r1 =
(a/2)uz . ¿Cuál es el trabajo para mover esta carga desde este punto al r2 = −(a/2)uz a lo
largo de una semicircunferencia?
¿Cuál serı́a el trabajo si en lugar de una carga puntual tenemos un dipolo que movemos a
lo largo de la misma curva, siendo su orientación en todo momento p = puz ? ¿Y si su
orientación es en todo momento p = pux ?
z
q·
r0
y
x
Problema 2.25
Departamento de Fı́sica Aplicada III
Campos Electromagnéticos
2.6
Problemas de ampliación
2.26. Descrı́base el movimiento de una carga puntual q, de masa m, situada en cada uno de los campos
eléctricos siguientes:
(a) Un campo uniforme E0
(b) Un campo oscilante de baja frecuencia E = E0 cos(ωt).
(c) El campo de otra carga puntual, Q situada en el origen. Distı́nganse los casos según el signo
de Q.
(d) El campo producido por una nube de carga esférica, de radio R y densidad ρ, suponiendo
que la carga q permanece en todo momento en el interior de la nube.
2.27. Sean dos cargas, ±q situadas en posiciones ∓auz , sobre el eje z. Para una lı́nea de campo arbitraria, hállese la relación entre el ángulo que forma con el eje, en su punto de partida y la distancia a
este mismo eje cuando pasa por el plano z = 0. (Sugerencia: Empléese la ley de Gauss, aplicada
a un tubo de campo.)
2.28. Se tiene una superficie esférica hueca, de radio R, sobre la cual hay una distribución de carga σs ,
no uniforme. No hay más carga en el sistema.
(a) Pruébese que el potencial en el centro de la esfera es
V =
1 Q
4πε0 R
siendo Q la carga total de la distribución.
(b) Pruébese que el campo eléctrico en el centro de la esfera es
E=−
1 p
4πε0 R3
siendo p el momento dipolar de la distribución.
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Campos Electromagnéticos. Boletı́n 3. Noviembre de 2003
Problemas básicos
3.1. Se tiene un cubo hueco de paredes conductoras, cinco de las cuales se encuentran puestas a tierra,
mientras la sexta está a un potencial V . ¿Cuánto vale el potencial en el centro del cubo? ¿Por qué?
¿Cuánto valdrı́a si cada cara estuviera a un potencial distinto? ¿Y si en vez de un cubo se tratara
de un tetraedro? ¿Cómo se extiende el resultado al caso de una esfera con una cierta distribución
de potencial sobre su superficie?
3.2. En un sistema de tres conductores se conocen los coeficientes de capacidad Cij . Si dos de los
conductores se unen mediante un hilo conductor ideal, ¿cuánto vale la matriz del nuevo sistema de
dos conductores en función de los coeficientes de capacidad antiguos?
3.3. En una esfera metálica de radio R se han hecho dos cavidades, también esféricas, de radio R/2.
Concéntricas con cada una de estos huecos se hallan sendas esferas metálicas de radio R/4. No hay
más conductores en el sistema. Supóngase que la esfera exterior se encuentra aislada y descargada,
mientras que las interiores se encuentran a tensión V0 y 0, respectivamente. ¿Cuál es la carga en
cada conductor? ¿Y el potencial?
Hállese la energı́a almacenada en el sistema.
3.4. Hállese la capacidad por unidad de longitud de un cable coaxial formado por dos conductores
cilı́ndricos concéntricos de radios a y b (b > a).
Supóngase que se construye un condensador coaxial formado por un núcleo interior cilı́ndrico de
radio a, rodeado de una corteza cilı́ndrica concéntrica de radio b (que se puede colocar a una
tensión V ), envuelta a su vez por un blindaje exterior, también cilı́ndrico y concéntrico de radio c,
también puesto a tierra. ¿Cuál es la capacidad por unidad de longitud de este sistema?
3.5. Sea un sistema de tres esferas alineadas y equiespaciadas. En este sistema, ¿qué coeficientes de
potencial son iguales entre sı́? ¿Cuáles diferentes?
Admı́tase que p11 = p22 , y que inicialmente en la esfera central hay una carga Q, estando las otras
dos descargadas. Suponiendo que la esfera central se conecta alternativamente a la esfera 1 y a la
3. ¿Cómo quedan las cargas después de la primera conexión 1-2? ¿y después de la conexión 2-3?
¿cómo quedará después de infinitas conexiones?
V0
1=1'
3
2'
2
Problema 3.1
Problema 3.2
Problemas 3.3 y 3.18
Departamento de Fı́sica Aplicada III
Campos Electromagnéticos
3.2
3.6. Cuando se aplica un campo eléctrico uniforme E0 = E0 uz a una esfera conductora de radio a,
se produce una separación entre cargas positivas y negativas. De esta forma, el campo total en el
exterior (incluyendo el debido a la propia esfera) equivale a la suma del campo aplicado más el
campo de un dipolo puntual, situado en el centro de la esfera.
(a) Hállese el valor del momento dipolar equivalente a las cargas de la esfera.
(b) Calcúlese la densidad de carga sobre la superficie esférica.
(c) Determı́nese el valor de la presión electrostática sobre el conductor. Si la esfera fuera de un
material fluido (agua, por ejemplo), ¿cómo tenderı́a a deformarse?
3.7. Se tiene un sistema formado por cuatro conductores esféricos de radio a, cuyos centros están
situados en los vértices de un tetraedro regular de arista b.
Supóngase que, en este sistema C11 = 4C, C12 = −C.
1. ¿Cuánto valen los demás coeficientes de capacidad e inducción en este sistema?
2. Supóngase que inicialmente uno de los conductores almacena una carga Q, mientras que los
otros tres están descargados. ¿Cuánto vale el potencial de cada conductor? ¿Y la energı́a almacenada?
3. Si en el sistema anterior los cuatro conductores se conectan todos entre sı́, ¿cuanto valen la
carga, el potencial y la energı́a electrostática?
Problemas de nivel medio
3.8. Considérese el sistema de conductores de la figura. Está formado por cuatro conductores, de los
cuales el 1 y el 2 son simétricos con el 4 y el 3, respectivamente.
En este sistema, ¿qué coeficientes de capacidad e inducción son nulos? ¿Cuáles positivos? ¿Cuáles
negativos? ¿Cuáles iguales entre sı́?
Supóngase que mediante finos hilos conductores se conecta el conductor 1 con el 3, y el 2 con el
4. ¿Cómo queda la nueva matriz de capacidades a partir de la matriz del sistema original?
3.9. Pruébese que, dado un sistema de conductores, siempre se verifica
Cii > 0
pij > 0
Cij ≤ 0 (i = j)
∀ i, j
pii ≥ pij
∀j
¿En qué caso se cumple pii = pij con j = i?
3.10. Considérese la disposición de la figura, constituida por cuatro placas cuadradas formando ángulos
rectos. El lado de las placas es b y la distancia al centro es a. Despreciando efectos de borde (esto,
es, admitiendo que las lı́neas de campo son arcos de circunferencia), determı́nense la matriz de
capacidades del sistema. ¿Es posible hallar los coeficientes de potencial?
b
a
c
1
2
3
1
4
2
Problema 3.4
Problema 3.5
3
Problema 3.8
Departamento de Fı́sica Aplicada III
Campos Electromagnéticos
3.3
3.11. Se tiene un sistema formado por tres conductores cúbicos de arista b, tal como indica la figura.
La distancia entre dos cubos consecutivos es a b, la misma que los separa de un conductor
exterior que rodea completamente a los tres conductores. Este conductor exterior se encuentra
permanentemente a tierra.
(a) Hállese la carga y el potencial de cada conductor cuando los cubos laterales se encuentran a
una tensión V0 , y el cubo central almacena una carga Q0 .
(b) Supóngase que, partiendo de la situación anterior, se desconectan los cubos laterales, sin
descargarlos, y se conecta el central a uno de los laterales, ¿cuánto valen entonces las cargas
y los potenciales en cada conductor?
Despréciense los efectos de borde.
3.12. Un condensador real puede estar formado por dos finas tiras metálicas de ancho w = 0.5 cm y
longitud l = 2 m. Entre las dos tiras se intercala tiras de papel dieléctrico (cuya permitividad es 2
veces la del vacı́o) de espesor a = 0.1 mm. El conjunto se enrolla formando una espiral, si bien, a
la hora de hallar la capacidad, puede despreciarse el efecto de la curvatura y considerar el sistema
como compuesto de planos paralelos.
Hállese aproximadamente el valor de la capacidad del condensador indicado (recuérdese que las
láminas metálicas tienen dos caras). La capacidad de un condensador relleno de dieléctrico es
análoga a la del vacı́o, sustituyendo ε0 por la permitividad del material.
La lámina de dieléctrico sólo puede soportar campos eléctricos inferiores a un cierto umbral. Por
encima de este campo máximo salta una chispa y se perfora el condensador, destruyéndose. Si el
campo de ruptura para el papel es de 6 MV/m, hállese el voltaje máximo que puede soportar el
condensador, ası́ como la carga máxima que puede almacenar.
3.13. La ruptura dieléctrica se produce cuando el campo eléctrico entre dos conductores supera un valor
crı́tico, saltando una chispa en el vacı́o, o quemando el dieléctrico que pueda haber en medio.
Una situación en la que puede producirse la ruptura es la siguiente. Supónganse dos placas
metálicas planas de sección S0 situadas paralelamente a una distancia a una de la otra. La placa
inferior se encuentra a tierra y la superior a un potencial V0 .
(a) Sobre la placa inferior se encuentra depositada una chapa (que podemos suponer plana y de
espesor despreciable) de sección S. Hállese la carga que se deposita en la chapa.
(b) Supóngase que esta chapa se separa de la placa inferior, quedándose aislada, y se acerca a la
superior (manteniéndose siempre paralela a ambas). Cuando se halla a una distancia x de la
placa inferior, ¿cuál es su tensión? ¿Cuánto vale el campo eléctrico entre la chapa y la placa
superior?
b
a
b
a
Problema 3.10
a
Problema 3.11
Departamento de Fı́sica Aplicada III
Campos Electromagnéticos
3.4
(c) Si el campo para que se produzca la chispa es E0 , ¿cuál es la posición x en la cual se produce
la chispa?
(d) Cuando se produce la chispa, la tensión de la chapa pasa a ser V0 , ¿cuánto varı́a en ese
proceso la carga almacenada en la chapa? ¿Y la carga almacenada en la placa superior?
Despréciense los efectos de borde.
3.14. Se tienen tres superficies cilı́ndricas metálicas concéntricas. de radios R, 2R y 6R. La longitud de
las tres superficies, h, es mucho mayor que su radio, por lo que pueden despreciarse los efectos de
borde.
Inicialmente, el cilindro exterior se encuentra puesto a tierra. El intermedio está aislado, pero
almacena una carga Q2 . El interior, también aislado, almacena una carga total Q1 . Hállese el
potencial eléctrico en todos los puntos con r < 6R, z < h.
Supóngase que, sin tocar los otros dos cilindros, el cilindro interior se conecta a un generador que
fija su tensión en V0 , ¿qué carga se acumula en este cilindro? ¿A qué potencial se pone el cilindro
intermedio?
3.15. Supóngase el sistema de la figura, formado por una esfera metálica de radio R, inicialmente descargada; una corteza de radio 2R (concéntrica con la anterior) sobre la cual hay depositada una
carga Q, distribuida uniformemente; y una corteza metálica, también concéntrica, de radio 4R, que
inicialmente se halla sin carga. De la esfera interior sale un cable que puede dejarse desconectado,
conectarse a la cáscara exterior o conectarse a tierra (potencial cero).
(a) Determı́nese el potencial al que se encuentra cada una de las esferas en el momento inicial.
(b) Admı́tase que el interruptor se pasa a la posición A, conectando los dos conductores. Hállese
la nueva distribución de cargas y potenciales.
(c) Si ahora el interruptor se pasa de la posición A a la B, de forma abrupta, ¿cuánto valen los
nuevas cargas y potenciales?
(d) Repı́tanse los apartados (b) y (c), suponiendo que el interruptor se hubiera pasado en primer
lugar a la posición B y de ahı́ a la A.
El posible campo eléctrico creado por los hilos puede considerarse despreciable.
3.16. Se tiene el sistema de la figura, formada por una corteza esférica (conductor “1”) de radio interior
b y exterior c. En su interior hay dos conductores prácticamente semiesféricos (“2” y “3”), de radio
a y separados una pequeña distancia w. Despreciando los efectos de borde,
(a) Hállense los coeficientes de capacidad e inducción del sistema.
Q
V0
S0
a
x
S
Problema 3.13
A
B
Problema 3.15
Departamento de Fı́sica Aplicada III
Campos Electromagnéticos
3.5
(b) Determı́nense los potenciales a que se ponen estos conductores cuando almacenan cargas Q1 ,
Q2 y Q3 , respectivamente. ¿En qué caso es nulo el potencial de la corteza exterior?
3.17. Supóngase una superficie esférica conductora elástica. Inicialmente, esta superficie posee radio R0
y almacena una cierta cantidad de aire, a una presión igual a la exterior (que es la atmosférica). Si
se deposita una cierta cantidad de carga sobre la superficie, la repulsión entre cargas provoca una
presión que dilata la esfera, disminuyendo la presión interior (de acuerdo con la ley de los gases
ideales).
(a) Hállese la ecuación que liga el radio de la esfera con la carga almacenada.
(b) Supóngase que la carga es pequeña, de forma que R = R0 + ∆R (∆R R0 ). Hállese, en
primera aproximación, el valor de ∆R.
(c) Calcúlese el valor de ∆R para el caso de Q = 1 µC y R0 = 1 cm
Dato: p0 = 1 atm = 101325 Pa.
3.18. En la configuración del problema 3.3, imagı́nese que no se conocen los coeficientes de capacidad
e inducción del sistema. Suponiendo potenciales V1 , V2 y V3 en los diferentes conductores, hállese
el campo eléctrico en todo el espacio y, a partir de éste, la energı́a almacenada en el sistema.
Conocida ésta, determı́nense los coeficientes Cij .
Supóngase ahora que, mediante un hilo ideal, se conectan las dos esferas interiores, ¿cuál es la
nueva expresión para la energı́a? ¿Y para los coeficientes de capacidad?
Problema de ampliación
3.19. Como generalización del problema 3.2, supóngase que se tiene un conjunto de N conductores
aislados, con cargas Qi . En un momento dado se conectan dos de ellos por un hilo ideal, produciéndose una redistribución de cargas. Los conductores se vuelven a desconectar. Las nuevas
cargas en cada conductor son proporcionales a las antiguas en la forma
Q = M · Q
Hállese la relación entre la matriz M y la de coeficientes de capacidad, C, que relaciona las cargas
con los potenciales
1
c
3
2
a
b
w
Problema 3.16
Departamento de Física Aplicada III
Escuela Superior de Ingenieros
Ingeniería de Telecomunicación
Campos Electromagnéticos
Campos Electromagnéticos. Boletı́n 4. Diciembre de 2003
Problemas básicos
4.1. Se tiene una carga puntual de valor q situada a una distancia a de un plano conductor puesto a
tierra. Por detrás del plano no hay nada.
(a) Calcúlese la fuerza que el plano ejerce sobre la carga puntual.
(b) Hállese la energı́a necesaria para traer la carga desde el infinito hasta el punto que ocupa.
(c) ¿cómo cambian los resultados si al otro lado del plano hay una carga q1 situada a una distancia
b del mismo? Supóngase que las dos cargas no están en la misma perpendicular al plano.
4.2. Se coloca una carga puntual de valor q a una distancia r0 del centro de una esfera metálica conductora de radio R. La esfera está conectada a un generador que fija su potencial en V . Determı́nese
la distribución de potenciales y campos en el sistema.
¿Cómo se comporta el sistema a grandes distancias del mismo?
Hállese la fuerza que la esfera ejerce sobre la carga puntual en función de la distancia entre ésta y
el centro de la esfera.
¿Cuál es la energı́a necesaria para traer la carga q desde el infinito hasta una distancia r0 del centro
de la esfera?
Repı́tase el problema para el caso en que la esfera, en lugar de estar a potencial constante, se
encuentre aislada y almacene una carga Q. Considérese, en particular, el caso Q = 4πε0 RV .
4.3. Si en lugar de una esfera, disponemos de un hueco metálico esférico, puesto a potencial V , en el
interior del cual se ubica una carga q a una distancia r0 del centro, ¿cuál es el campo eléctrico en el
interior del hueco? ¿Cuánto vale la fuerza sobre la carga q?
Problemas de nivel medio
4.4. Supóngase que tenemos una carga puntual q situada frente a una esquina formada por dos semiplanos conductores puestos a tierra. Hállese
(a) El potencial en todos los puntos del espacio.
(b) La fuerza sobre la carga q.
R
q
q
q
b
V
r0
a
a
Problemas 4.1 y 4.11
Problema 4.2
Problema 4.4
Departamento de Fı́sica Aplicada III
Campos Electromagnéticos
4.2
(c) la energı́a necesaria para traer la carga desde el infinito hasta su posición final.
(d) Si los semiplanos, en lugar de cortarse ortogonalmente, forman un ángulo α. ¿Para qué
valores de α existe solución sencilla por el método de las imágenes?
4.5. Hállese el potencial en todos los puntos del espacio cuando frente a un plano conductor puesto a
tierra se halla un dipolo puntual de valor p. Calcúlese el trabajo necesario para traer este dipolo
desde el infinito hasta su posición final.
4.6. El campo eléctrico creado por una banda de espesor b cargada uniformemente por una densidad
ρ0 , es
⎧
b
ρ0 b
⎪
⎪
⎪
uz
z>
⎪
⎪
2ε0
2
⎪
⎪
⎪
⎨ρ z
b
b
0
E=
uz
− <z<
⎪
ε
2
2
⎪
0
⎪
⎪
⎪
⎪
b
ρ0 b
⎪
⎪
uz z < −
⎩−
2ε0
2
suponiendo el plano z = 0 como el central de la banda.
Admı́tase que el comportamiento eléctrico de una nube atmosférica puede describirse como una
capa como la anterior, cuyo extremo interior se encuentra a una altura h del plano de tierra.
(a) Hállese el campo eléctrico en todos los puntos del espacio.
(b) Calcúlese la diferencia de potencial entre el suelo y el extremo superior de la nube.
(c) Una partı́cula de granizo puede modelarse como una pequeña esfera de radio a, que atraviesa
la nube y cae al suelo. Al pasar por la nube, se lleva toda la carga que encuentra por el camino.
Si suponemos que la partı́cula parte del punto más alto de la nube, hállese la fuerza eléctrica
sobre ella cuando se encuentra a una altura c (c < h)
4.7. Se tienen dos lı́neas infinitas paralelas, situadas paralelamente al eje z y sobre los puntos x = ±a,
y = 0. Ambas lı́neas poseen una densidad de carga uniforme +λ
(a) Hállese la fuerza que se ejerce sobre un segmento de longitud L de una de las lı́neas.
(b) Supóngase que en x = 0 se coloca un plano infinito conductor puesto a tierra. ¿Cuál es
entonces el valor de la fuerza?
(c) ¿Cómo queda el apartado anterior si el plano se coloca sobre la recta x = y?
4.8. Supóngase una superficie esférica metálica, de radio R, aislada y descargada. En el exterior de la
esfera se tiene una carga q2 a una distancia r2 del centro. En el hueco interior hay una carga q1 a
una distancia r1 (r1 < R < r2 ) y sobre la recta que une el centro con q2 .
(a) Hállese el potencial en todos los puntos del espacio.
c
r0
b
h
c
Problema 4.6
a
r1
q1
q2
q
b
r2
Problema 4.8
Problema 4.9
Departamento de Fı́sica Aplicada III
Campos Electromagnéticos
4.3
(b) ¿Cuánto vale la fuerza sobre cada una de las cargas? ¿Y sobre la superficie esférica?
(c) Hállese la expresión aproximada, hasta el segundo orden de aproximación, para el potencial
eléctrico en un punto r muy alejado de la esfera.
4.9. Se dispone de una esfera metálica, de radio a, conectada a tierra. Rodeando a esta esfera, se
encuentra una delgada corteza esférica, también metálica, de radio b. Esta corteza está aislada y
descargada. En el exterior existe una carga puntual q, situada a una distancia c del centro de las
esferas.
Determı́nese el potencial eléctrico en todos los puntos del espacio y la fuerza que actúa sobre la
carga puntual.
4.10. Dos cargas puntuales de la misma magnitud q y signo opuesto se encuentran situadas a una distancia 4R.
(a) ¿Cuál es la fuerza sobre cada una de ellas? ¿Y la energı́a necesaria para reunirlas?
(b) Entre las cargas se introduce una esfera metálica, aislada y descargada, de radio R, con su
centro en el punto medio entre las cargas. La fuerza sobre cada carga, ¿aumenta o disminuye?
¿cuál es su nuevo valor? ¿cuánto vale la fuerza sobre la esfera?
(c) En el proceso anterior, ¿cambia la energı́a del sistema? ¿Cuánto?
(d) ¿Como cambian los resultados si en vez de dos cargas opuestas tenemos inicialmente dos
cargas iguales y del mismo signo?
Problemas de ampliación
4.11. El método de las imágenes para una carga frente a un plano conductor suele presentarse apelando
al teorema de unicidad. Sin embargo, puede demostrarse constructivamente. Para ello, sı́gase el
siguiente esquema
(a) Enúnciense las ecuaciones y condiciones de contorno para este problema. Supóngase el plano
conductor en z = 0 y la carga puntual en auz
(b) ¿Cuanto vale el campo en el semiespacio z < 0?
(c) Este campo es la suma del de la carga puntual más el de la carga superficial aparecida en el
plano. Según esto, ¿cuánto vale el campo de esta carga superficial en z < 0?
(d) ¿Cuánto vale el campo debido a la carga superficial en z > 0? ¿A qué equivale este campo?
(e) Hállese la densidad de carga superficial a partir de la discontinuidad en la componente normal
del campo eléctrico. ¿Cuánto vale la carga total inducida sobre el plano?
4.12. Se tienen dos cilindros metálicos infinitamente largos, del mismo radio a, situados paralelamente,
estando sus ejes a una distancia 2b (b > a). Los cilindros están a potencial ±V0 , respectivamente.
(a) Hállese el campo y el potencial en el espacio exterior a los cilindros
(b) Calcúlese la fuerza por unidad de longitud que cada cilindro ejerce sobre el otro.
(c) ¿Cómo cambia el problema si en lugar de dos cilindros tenemos un cable cilı́ndrico situado
paralelamente frente a un plano de tierra?
Departamento de Física Aplicada III
Escuela Superior de Ingenieros
Ingeniería de Telecomunicación
Campos Electromagnéticos
Campos Electromagnéticos. Boletı́n 5. Febrero de 2004
Problemas básicos
5.1. Un modelo muy simplificado de átomo es aquél que considera al núcleo como una carga puntual +q y a los electrones como una distribución esférica uniforme de radio a en torno al mismo.
Supóngase que un átomo de este tipo se coloca en presencia de un campo externo uniforme E0 .
¿Cuál es el momento dipolar inducido en el átomo por la separación de los centros de carga?
Supóngase que la separación entre centros de carga es pequeña. ¿Cuál es la separación entre los
centros de carga? Compárese esta cantidad con el radio del propio átomo.
Supóngase que tenemos un gas monoatómico (un gas noble) con una densidad de N átomos por
unidad de volumen. ¿Cuáles serán la susceptibilidad y la permitividad de este gas?
Estı́mense sus valores para el helio, que posee carga q ∼ 3 × 10−19 C, y radio a ∼ 10−10 m, con una
densidad de N ∼ 3 × 1025 m−3 . El valor de la permitividad del vacı́o es ε0 ∼ 10−9 /36π F/m.
5.2. Se tiene una esfera dieléctrica de radio R polarizada uniformemente con P = P0 =cte. Hállese,
por integración directa el potencial en todos los puntos del espacio. ¿Cuáles son los valores de E,
D y P dentro y fuera de la esfera?
Sugerencia: Explótese la similitud con el problema del campo debido a una esfera cargada uniformemente en volumen.
5.3. Se tiene una esfera de radio R, centrada en el origen, compuesta de un material con una polarización dada por la expresión, en coordenadas cilı́ndricas,
P = A (ρuρ − zuz )
Hállese la distribución de cargas equivalente y el potencial eléctrico en el centro de la esfera.
5.4. Entre dos placas metálicas conductoras planas y paralelas a una distancia d = a + b se colocan dos
dieléctricos de permitividades ε1 y ε2 y espesores a y b respectivamente, tal como muestra la figura.
Hállese la capacidad de este condensador y constrúyase el circuito equivalente.
5.5. Repı́tase el problema anterior suponiendo que la interfaz que separa los dieléctricos es perpendicular a las placas.
¿Se podrı́a resolver un problema similar pero con cuatro dieléctricos, tal como muestra la figura?
¿Cuál serı́a el circuito equivalente?
V0
V0
e2
b
e1
a
Problema 5.4
e1
V0
e2
a
Problema 5.5
e2
e4
b
e1
e3
a
Departamento de Fı́sica Aplicada III
Campos Electromagnéticos
5.2
5.6. El campo eléctrico en el exterior de un dieléctrico tiene por módulo 100 V/m y forma un ángulo
π/6 con la normal a la superficie. El campo en el interior del medio forma un ángulo π/3 con la
normal. Hállese:
(a)
(b)
(c)
(d)
La permitividad relativa del medio.
El módulo del campo en el interior del material.
La densidad de carga de polarización en la frontera.
El salto en la componente tangencial de D.
Problemas de nivel medio
5.7. Un electrón (carga e = −1.6 × 10−19 C, masa me = 9.1 × 10−31 kg) se coloca a 3 nm de un átomo
de polarizabilidad α = 10−40 F · m2 . Hállese el momento dipolar inducido en el átomo y la fuerza
resultante sobre el electrón. ¿Qué aceleración adquiere el electrón? ¿En que dirección?
5.8. Una corteza esférica de radio interior a y exterior b está hecha de dieléctrico polarizado según la ley
P=
k
ur
r
No hay más cargas en el sistema
(a) Calcúlense las densidades de carga de polarización en el sistema. ¿Cuánto vale la carga total
de polarización?
(b) Hállense los campos D y E en todo el espacio.
(c) Determı́nese el valor del potencial eléctrico en todo el espacio.
5.9. Muchos materiales dieléctricos presentan lo que se conoce como saturación, lo que quiere decir
que la polarización alcanza un máximo. En un material de este tipo el comportamiento se puede
aproximar mediante la gráfica de la figura. La polarización crece linealmente con el campo eléctrico
hasta un valor máximo P0 = ε0 χE0 .
Supongamos que en el centro de una esfera de radio a de material ası́ se coloca una carga puntual
q. ¿Cuál es la distribución de los campos E, D y P en todo el espacio? ¿Cuánto vale la densidad
de carga de polarización? ¿Y la carga total de polarización? ¿Cuál serı́a el valor de la carga de
polarización si el dieléctrico no se saturase, esto es, si P = ε0 χE siempre?
5.10. Supóngase que el espacio entre dos placas metálicas planas y paralelas de sección S y separadas
una distancia a se llena de un material cuya polarización presenta saturación, como la del problema
anterior. Determı́nese la relación Q–V para este dispositivo. ¿Es esto un condensador?
P
E=100 V/m
p/3
e0 c
p/6
P0
E
e0
e
E0
Problema 5.6
Problemas 5.9 y 5.10
E
Departamento de Fı́sica Aplicada III
Campos Electromagnéticos
5.3
5.11. Se tienen dos placas metálicas de superficie S situadas paralelamente y separadas una distancia d.
Entre ellas se coloca un dieléctrico con una permitividad variable que va como
z
ε(z) = ε1 + (ε2 − ε1 )
d
donde z es la coordenada perpendicular a las placas. Hállense los campos D, E y P en todos los
puntos entre las placas cuando entre éstas hay establecido un voltaje V0 . ¿Cuál es la densidad de
carga de polarización (tanto superficial como de volumen)?
Despréciense los efectos de borde.
5.12. Sobre una placa metálica plana, de sección S (que supondremos en z = 0), se coloca una capa
de dieléctrico de permitividad ε1 con espesor a. Sobre esta capa se sitúa una lámina metálica, de
sección S0 < S, el resto de la superficie se deja libre y descargado. Se superpone una segunda
capa de dieléctrico de permitividad ε2 y espesor b. Por último, el sistema se cierra con una segunda
lámina metálica de sección S.
(a) Si las placas inferior, intermedia y superior se colocan, respectivamente, a potenciales V1 , V2
y V3 , ¿Cuánto vale la carga (libre) almacenada en cada conductor? Despréciense totalmente
los efectos de borde (suponiendo E = Euz ) y los posibles campos exteriores al sistema.
(b) Supóngase que la placa inferior se sitúa a tierra, mientras que la superior se deja aislada y
descargada. Si la placa intermedia se encuentra a una tensión V , ¿qué carga aparece en la
placa inferior? ¿Y en la intermedia?
(c) Si, en la situación anterior se desconectan los generadores y se conecta la placa inferior a la
superior, ¿como se redistribuyen las cargas?
(d) ¿Cómo varı́a la energı́a almacenada en el sistema en el proceso anterior?
5.13. Se construye un recipiente cilı́ndrico, con bases perfectamente conductoras de sección S, separadas
una distancia a, y paredes perfectamente dieléctricas, de espesor despreciable. El interior se llena
hasta la mitad con un lı́quido dieléctrico y permitividad ε. El resto se deja vacı́o.
El recipiente se coloca en un principio con las bases dispuestas horizontalmente. En esta posición,
se carga hasta que la diferencia de potencial entre las placas es V0 . Acto seguido se abre el circuito
y, sin descargar las placas, el recipiente es girado 90◦ alrededor de un eje horizontal. ¿Cuál es la
nueva diferencia de potencial entre las placas? ¿Cómo varı́a la energı́a almacenada?
Despréciense los efectos de borde y la influencia de las paredes.
5.14. Se tienen dos superficies cilı́ndricas conductoras concéntricas entre las cuales se colocan dieléctricos
tal como muestran las figuras. ¿Cuáles son las capacidades y cuáles los circuitos equivalentes?
Repı́tase el problema para el caso de que la figura represente esferas concéntricas.
b
c
a
a
e2
e1
c
e2
e1
Problema 5.14
Departamento de Fı́sica Aplicada III
Campos Electromagnéticos
5.4
5.15. Se tiene un condensador esférico, formado por dos superficies metálicas de radios a y b. Para
mantenerla en su posición, la esfera central está sujeta por dos cuñas dieléctricas sólidas, de permitividad ε1 . Las cuñas tienen forma de sectores esféricos, valiendo el semiángulo θ0 = π/3 para las
dos cuñas. El resto del espacio entre las esferas queda vacı́o.
(a) Hállese la capacidad de este condensador.
(b) El hueco entre las cuñas y las esferas se llena hasta la mitad con un aceite dieléctrico de
permitividad ε2 . La capacidad del sistema, ¿aumenta o disminuye? ¿Cuánto?
(c) Supóngase que el sistema, antes de llenarse de aceite, se cargó poniendo la esfera exterior a
tierra y la interior a tensión V0 . Acto seguido se desconectó la esfera interior. Después se llenó
de aceite, ¿cuánto vale el nuevo potencial de la esfera interior?
(d) Al introducir el aceite, ¿cuánto varı́a la energı́a almacenada?
5.16. Supóngase que se tiene una esfera de radio R un material dieléctrico (de permitividad ε) alrededor
de la cual hay vacı́o. En puntos alejados de la esfera hay impuesto un campo eléctrico uniforme
E0 . Hállese el potencial eléctrico y los campos eléctricos en el interior y el exterior de la esfera.
Sugerencia: El campo eléctrico dentro de la esfera es uniforme. Sabiendo esto, aplı́quese el
resultado del problema 5.2.
Problemas de ampliación
5.17. El método de las imágenes puede extenderse a algunos problemas de dieléctricos. Considérese que
el semiespacio z < 0 se encuentra lleno de un material de permitividad ε, mientras que en z > 0
tenemos el vacı́o. Supóngase que a una altura z = a se encuentra una carga puntual q. Se trata de
hallar el potencial en todos los puntos del espacio. Para ello, sı́gase el procedimiento siguiente.
(a) Divı́dase el espacio en dos regiones, z > 0 y z < 0
(b) Para cada uno de los semiespacios, supóngase que el potencial puede escribirse como el de la
carga q, más el de una carga ficticia. Esta carga estará en el otro semiespacio, a una distancia
a de la interfaz.
(c) A partir de las condiciones de salto en la interfaz, hállense los valores de estas cargas ficticias.
(d) ¿Cuánto vale la carga de polarización en la interfaz?
(e) ¿Cuál es el valor de la fuerza sobre la carga real? ¿Es atraı́da o repelida por el dieléctrico?
q0=p/3
·q
e0
a
e0
e1
e
b
a
Problema 5.15
Problema 5.17
Departamento de Física Aplicada III
Escuela Superior de Ingenieros
Camino de los Descubrimientos s/n
41092 Sevilla
Campos Electromagnéticos. Boletı́n 6. Marzo de 2004
Problemas básicos
6.1. Se tiene un cable de cobre de 1 mm2 de sección, por el cual circula una corriente de 1 A. Determı́nese la velocidad media de los electrones en esta corriente, ası́ como el número de electrones
que atraviesan una sección del cable en la unidad de tiempo.
Datos: Densidad de masa del cobre ρm = 8.96 g/cm 3 . Peso atómico P = 63.546 g/mol. Número
de Avogadro NA = 6.023 × 1023 átomos/mol.
6.2. Una nube esférica de carga (compuesta de una distribución de cargas puntuales flotando en el
vacı́o) se encuentra en expansión, creciendo el radio de la esfera como R(t) = R0 + vt. La carga
total de la nube, Q0 , se encuentra distribuida en todo momento de forma uniforme en el volumen
de la esfera.
A partir de la ley de conservación de la carga, calcúlese la densidad de corriente de conducción en
la nube. Puede suponerse que J = J(r)ur y que esta densidad no es infinita en el centro de la
esfera.
Calcúlese el campo eléctrico en todos los puntos del espacio.
6.3. Hállese la resistencia entre los extremos de un bloque de conductor óhmico en forma de arco
semicircular de sección cuadrada, El radio medio es b y el lado de la sección es a. ¿A qué se reduce
el resultado si b a?
6.4. Supóngase se sumergen dos conductores perfectos en un material de permitividad ε y conductividad σ. Si se aplica entre ellos una diferencia de potencial constante V0 la corriente que llega a uno
de ellos vale I0 . ¿Cuál será la corriente si el voltaje varı́a como V0 cos ωt?
6.5. Entre dos placas planas y paralelas, perfectamente conductoras, de sección S, y separadas una
distancia a se encuentra un medio resistivo, de permitividad ε y conductividad σ. Entre las placas
hay establecida una tensión V0 .
(a) Hállese la corriente que circula entre las placas y la carga almacenada en cada una, ası́ como
la energı́a almacenada en el sistema.
(b) En t = 0 se desconecta el generador. Determı́nese la evolución de la carga en las placas a
partir de ese momento.
(c) Hállese la energı́a disipada en el medio durante el proceso de descarga del condensador.
(d) Descrı́base el comportamiento del sistema mediante un circuito equivalente.
a
b
Problema 6.3
e,s
V0
Problema 6.5
Departamento de Fı́sica Aplicada III
Campos Electromagnéticos
6.2
6.6. Una esfera de radio a se despolariza según la ley
P(r, t) = ke−λt rur
Determı́nense las densidades de carga de polarización, ası́ como la densidad de corriente de polarización. ¿Se verifica la ley de conservación de la carga para ρp y σp ?
Problemas de nivel medio
6.7. La conductividad del cobre varı́a con la temperatura como
σ=
σ0
1 + α(T − T0 )
donde σ0 = 5.9 × 107 S/m, α = 0.0039(◦ C)−1 , T es la temperatura ambiente y T0 una temperatura
de referencia (normalmente T0 = 20◦ C) a la cual se ha medido σ0 .
Se hace pasar un cable de cobre de radio a = 0.5 mm a través de la pared de una habitación, de
espesor b = 30 cm. El cable va y vuelve del interior de la habitación a la calle. Las longitudes
del pequeño arco exterior y del cierre interior son despreciables. La temperatura interior de la
habitación puede suponerse constante e igual a Tint = 22◦ C, mientras que la exterior varı́a desde
Text = 5◦ C en invierno a Text = 40◦ C en verano. La temperatura a lo largo de la pared varı́a
linealmente como función de x desde la temperatura interior (en x = 0) a la exterior (en x = b).
(a) ¿Cuánto vale la resistencia del cable como función de la temperatura exterior? ¿Cuál es su
valor en verano? ¿Y en invierno?
(b) Teniendo en cuenta el efecto Joule, ¿podrı́a usarse este dispositivo como termómetro, conectándolo a una fuente de tensión de, por ejemplo 1 V, y midiendo la corriente resultante?
¿Por qué? ¿Y si se emplea una tensión de 0.1 mV?
(c) En este último caso, si la precisión del amperı́metro es de 1 mA, ¿cuál es el mı́nimo intervalo
de temperaturas medible?
6.8. La resistividad del aire en la atmósfera decrece exponencialmente con la altura como
σ −1 = r = r1 e−α1 z + r2 e−α2 z + r3 e−α3 z
donde
i ri (1012 Ω · m) αi (km−1 )
1
46.9
4.527
2
22.2
0.375
3
5.9
0.121
El campo eléctrico en zonas despejadas de la superficie de la Tierra vale E0 = −100 V/m. Este
campo es prácticamente constante y va siempre en la dirección vertical.
A partir de estos datos hállese
(a) El valor del campo eléctrico para un punto situado entre la superficie de la Tierra y la ionosfera
(z = 100 km).
(b) La diferencia de potencial entre la superficie y la ionosfera.
(c) La distribución de cargas en la atmósfera.
(d) La corriente total que llega a la superficie de la Tierra.
(e) La potencia necesaria para mantener esta corriente estacionaria
(f) Estı́mese el tiempo que tardarı́a la atmósfera en descargarse si no existiera un mecanismo
generador
Departamento de Fı́sica Aplicada III
Campos Electromagnéticos
6.3
6.9. Entre dos placas metálicas planas y paralelas, de sección S y separadas una distancia a, se encuentra un medio óhmico no homogéneo, cuya resistividad (inversa de la conductividad) varı́a con la
posición como
r2 − r1
z
r = r1 +
a
siendo r1 y r2 constantes, y z la coordenada perpendicular a las placas (situadas en z = 0 y z = a).
La permitividad del material es homogénea y vale ε.
Entre las placas hay establecida una tensión constante V0 . Para este sistema, determı́nese
(a) Los campos J, E y D entre las placas.
(b) Las densidades de carga libre en el sistema.
(c) La resistencia del elemento.
(d) La energı́a almacenada y la potencia disipada en el sistema.
Despréciense los efectos de borde.
6.10. Entre dos placas metálicas planas y paralelas, de sección S y separadas una distancia a, se encuentran cuatro medios dieléctricos con pérdidas, como indica la figura. Cada medio llena un volumen
con la mitad de espesor y de sección que el sistema completo.
Entre las placas hay establecida una diferencia de potencial estacionaria, V0 .
(a) Calcúlese, a partir de los campos en las diferentes regiones, la potencia disipada en los medios
óhmicos.
(b) Hállese la energı́a almacenada en este dispositivo.
(c) ¿Cuánto valen las densidades de carga libre en el sistema?
6.11. Considérese el sistema de la figura, formado por dos semiesferas metálicas de radio a y que distan
una cantidad w. Rodeando a los dos casquetes se encuentra una corteza esférica, también metálica,
de radio interior b y exterior c. Supóngase que el espacio entre los conductores está relleno de un
material de permitividad ε y conductividad σ, mientras que el exterior de la corteza está vacı́o.
(a) Calcúlese la matriz de conductancias del sistema, ¿cómo se relaciona con los coeficientes de
capacidad?
(b) Determı́nense las corrientes que circulan en el sistema y las cargas almacenadas en los conductores cuando un casquete está a potencial V , el otro está a tierra, y la corteza no se encuentra
conectada a ningún generador.
(c) Para la situación anterior, calcúlense la energı́a almacenada en el sistema y la potencia disipada en el mismo.
e0
e,s
a
S/2
a
e1,s2
e2,s2
e1,s1
e2,s1
a/2
b
c
V0
w
Problema 6.10
Problema 6.11
Departamento de Fı́sica Aplicada III
Campos Electromagnéticos
6.4
6.12. Una varilla de hierro (σ = 1.0 × 107 S/m) de radio a = 2 mm y longitud h = 10 cm atraviesa dos
arandelas de aluminio (σ = 3.8 × 107 S/m) de radio interior a y exterior b = 1 cm, con espesor
c = 1 mm. Las arandelas se colocan a h/4 de los extremos. El conjunto es introducido dentro de
un tubo de cobre (σ = 5.7 × 107 S/m), de radio b y espesor e = 1 mm. La longitud del tubo es
también h. El sistema queda como en la figura.
(a) Supóngase que se mide la resistencia entre los extremos del tubo de cobre, ¿cuál será el
resultado?
(b) ¿Cuánto vale la resistencia medida entre los extremos de la varilla de hierro?
(c) ¿Cómo cambian los resultados si las arandelas se alejan entre sı́, acercándose a los extremos?
Sugerencia: Calcúlese previamente la resistencia de una corona circular suponiendo potenciales
distintos en sus radios interior y exterior.
6.13. La caı́da de un rayo puede modelarse como un pulso de corriente de intensidad I0 que, durante
un tiempo muy corto incide sobre el suelo.
(a) Admitiendo que la corriente se distribuye por el suelo en todas direcciones por igual como
J = J(r)ur y no se produce acumulación de carga en ningún punto, hállese la densidad de
corriente en función de I0 y la distancia al punto de impacto.
(b) Si la conductividad del suelo es σ, hállese el campo eléctrico y el potencial eléctrico en el suelo.
Supóngase que en el infinito el potencial se anula.
(c) Un animal, como una vaca, puede modelarse como una resistencia R en paralelo con el suelo
con los puntos de contacto a una distancia a y a + b del punto de impacto. A partir del
resultado anterior, hállese la diferencia de potencial entre las patas de la vaca, la corriente que
circula por ella y la potencia disipada.
(d) Calcúlese el valor numérico para el caso en que I0 = 50 kA, σ = 10−2 S/m, a = 10 m, b = 2 m
y R = 50 Ω.
(e) Considérense las dos situaciones siguientes: Un hombre andando (con b = 1 m, la distancia
entre los pies) y un hombre parado (b = 20 cm, la longitud del pie). ¿En cual de los dos casos
será mayor la descarga eléctrica?
6.14. Los primeros sistemas de distribución de corriente para iluminación eran en serie, con todas las
bombillas conectadas en serie y la fuente puesta al voltaje necesario. Los sistemas actuales son casi
siempre en paralelo.
Supóngase que se desea calcular qué sistema es el más económico en términos de la disipación de
energı́a en el cable. Una calle mide L = 1 km y las farolas están separadas una distancia a = 50 m,
funcionando cada una a V0 = 240 V y con una potencia P0 = 500 W.
La resistencia del hilo de cobre es mucho menor que la de las bombillas, de forma que a la hora de
hallar las corrientes en cada rama no es necesario considerarla (a la hora de hallar las pérdidas sı́).
Supóngase que el sistema trabaja con corriente continua.
c
h/4
I0
a
b
h
Problema 6.12
e
a
s
J
Problema 6.13
b
R
Departamento de Fı́sica Aplicada III
Campos Electromagnéticos
6.5
(a) ¿Cuál es la sección mı́nima necesaria para el cable en cada montaje si la densidad de corriente
no puede superar los Jm = 106 A/m2 y debe tener la misma anchura en todos sus puntos
(σ = 5.7 × 107 S/m para el cobre).
(b) Se usa el hilo calculado en (a). Hállese:
(1). El peso total de cobre usado en el sistema en serie y en paralelo (la densidad del cobre es
aproximadamente ρm = 9000 kg/m3 )
(2). La potencia disipada en el cobre en cada caso.
(c) A la vista de lo anterior, ¿por qué se usan montajes en paralelo en lugar de en serie?
Dato: Puede ser necesario saber que
n2 + (n − 1)2 + (n − 2)2 + · · · + 1 =
n3
n(n + 1)(2n + 1)
∼
6
3
(n grande)
6.15. Una esfera metálica perfectamente conductora, de radio a, se encuentra rodeada de una corteza
material de óhmico, de permitividad ε0 y conductividad σ. La corteza tiene radio interior a y
exterior b.
Inicialmente la esfera y la corteza están descargadas. En t = 0 la esfera interior se conecta, a través
de un cable, con un generador que fija su potencial en V0 .
(a) Determı́nese la evolución en el tiempo de la carga almacenada sobre la esfera y en la superficie exterior. Admı́tase que la densidad de carga es siempre uniforme en cada superficie
(Sugerencia: Constrúyase un circuito equivalente).
(b) Calcúlese la energı́a total disipada en el medio óhmico. ¿Cuál es la energı́a total proporcionada
por el generador? ¿en que caso ésta es nula?
6.16. Entre dos placas planas y paralelas separadas una distancia a + b se coloca una capa de espesor
a de un medio de permitividad ε1 y conductividad σ2 . El resto del espacio lo ocupa una capa de
espesor b de un material de permitividad ε2 y conductividad σ2 .
En el instante t = 0 se conecta una diferencia de potencial V0 .
(a) ¿Cuánto valen E, D y J inmediatamente después de conectar el potencial?
(b) ¿Cuánto valen un tiempo largo después de que se haya establecido?
(c) ¿Cuánto valen en cualquier instante?
a
e0,s
b
b
e2,s2
e1,s1
V1
Problema 6.15
a
V0
Problema 6.16
Departamento de Fı́sica Aplicada III
Campos Electromagnéticos
6.6
6.17. Entre dos placas metálicas, planas y paralelas, de sección S y separadas una distancia a se encuentra un material dieléctrico que posee conductividad nula, pero que para polarizarse requiere un
cierto tiempo, de forma que la ecuación que liga la polarización con el campo eléctrico es
T
∂P
+ P = ε0 χE
∂t
siendo T una constante. Inicialmente, entre las placas no hay establecido ningún voltaje. En t = 0
se cierra un interruptor que conecta un generador de tensión V0 .
(a) Determı́nese la evolución en el tiempo de E, P y D en el material. Puede suponerse que los
campos son uniformes en el material.
(b) Hállese la densidad de corriente de polarización entre las placas, ası́ como la corriente que
llega por los cables hasta las placas.
(c) Calcúlese el trabajo realizado realizado por el generador en el proceso de carga instantánea
inicial y en el transitorio hasta que el material se polariza totalmente.
Problemas de ampliación
6.18. Supóngase que en los problemas 6.15, 6.16 y 6.17, en lugar de una señal escalón aplicamos una
tensión alterna V = V0 cos(ωt).
Para cada una de estas configuraciones:
(a) ¿Cuánto vale la corriente que llega al elemento? ¿Cuál es la impedancia del sistema? ¿Y el
circuito equivalente?
(b) ¿Cuanto vale el promedio de la energı́a aportada por el generador en un periodo? ¿En qué se
emplea esta energı́a?
6.19. Una válvula de vacı́o se basa en el llamado efecto termoiónico, según el cual, cuando se tiene un
electrodo caliente, la energı́a térmica de los electrones es suficiente para que puedan abandonar
el material. La válvula se construye enfrentando un electrodo caliente puesto a tierra frente a otro
frı́o (del cual los electrones no pueden salir) puesto a una tensión V0 . Se desprecian los efectos de
borde.
(a) Si V0 < 0, ¿habrá corriente en el sistema?
(b) A partir de la ley de conservación de la energı́a mecánica, ¿cuál es la velocidad, v, de un
electrón en un punto en el que φ = φ(z)? Admı́tase que los electrones son emitidos con
velocidad nula.
(c) Escrı́base la ecuación de Poisson para el potencial.
(d) En el estado estacionario, ¿a qué se reduce la ley de conservación de la carga? ¿Cómo se
relaciona J con ρ y v? Sustitúyase el resultado en la ecuación de Poisson.
(e) Resuélvase esta ecuación, suponiendo una solución de la forma φ = az p .
(f) Hállese la corriente que atraviesa el elemento y la caracterı́stica I − V .
(g) ¿Que utilidad práctica tiene este elemento?
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Campos Electromagnéticos. Boletı́n 7. Abril de 2004
Problemas básicos
7.1. Una lı́nea de alta tensión está formada por dos cables, que podemos suponer como hilos rectilı́neos
infinitos y paralelos situados a una distancia d = 6 m entre sı́ y a una altura h = 10 m. Por estos
cables circulan corrientes ±I, con I = 2 kA.
(a) Hállese el campo magnético al nivel del suelo.
(b) Calcúlese la fuerza magnética, por unidad de longitud, que los hilos se ejercen entre sı́.
7.2. Una partı́cula de masa m y carga q se mueve en el interior de un campo magnético uniforme
B = B0 uz . Si la partı́cula se halla inicialmente en el origen y moviéndose con velocidad v = v0 .
¿Cuál es la trayectoria posterior? ¿Cuál es la posición en un instante de tiempo t?
7.3. Una espira plana de forma irregular se coloca de forma que parte de ella se encuentra en un campo
magnético uniforme B (en la figura el campo ocupa la región sombreada y apunta perpendicularmente al plano de la espira). Por la espira circula una corriente I. Pruébese que la fuerza magnética
neta sobre la espira es F = IBs, donde s es la cuerda subtendida.
Generalı́cese este resultado para el caso de que la forma de la región ocupada por el campo
magnético sea también irregular. ¿En qué dirección apunta la fuerza?
7.4. Un solenoide de radio a, altura h y n espiras por unidad de longitud, puede aproximarse por una
distribución de corriente superficial sobre un cilindro.
(a) Hállese el valor K equivalente a que por las espiras circule una corriente I.
(b) Empleando la ley de Ampère, calcúlese el campo producido por el solenoide, si h → ∞.
(c) Mediante integración directa, hállese el campo magnético en los puntos del eje del cilindro si
h es finito. Estúdiese el lı́mite h a
7.5. Sobre un cilindro de radio a y longitud infinita fluye una corriente superficial de densidad uniforme
K. Hállese el campo magnético en todos los puntos del espacio.
-l
l
ŸB
I
-I
d
s
I
Problema 7.1
Problema 7.3
Departamento de Fı́sica Aplicada III
Campos Electromagnéticos
7.2
Problemas de nivel medio
7.6. Se desea construir una balanza que en lugar de un resorte funcione por fuerzas magnéticas. Para
ello, se produce un campo magnético uniforme B = B0 uz en una región rectangular. En el interior
de este campo se coloca una espira, por la cual se hace circular una corriente continua, I.
(a) Supóngase que se usa como espira un triángulo rectángulo de hipotenusa a, masa m0 , resistencia eléctrica R y autoinducción despreciable. En el vértice inferior se coloca una aguja
indicadora. Aplicando el resultado del problema anterior, calcúlese a qué distancia del borde
inferior estará la aguja cuando no hay colgado ningún peso.
(b) ¿Cuál será la posición de la aguja cuando se cuelga una masa m de la balanza? ¿Cuál es el
peso máximo que puede medir esta balanza?
(c) ¿Funcionarı́a la balanza con una espira cuadrada? ¿Y con una espira triangular invertida?
(Sugerencia: piénsese en lo que ocurre si la balanza se aleja ligeramente de su posición de
equilibrio)
7.7. Se tiene un solenoide cilı́ndrico de gran longitud formado por un hilo, arrollado formando una
hélice, de radio R y paso de rosca (distancia entre dos espiras consecutivas) b. Por el cable circula
una corriente I.
Hállese el campo magnético en todos los puntos del espacio, teniendo en cuenta la inclinación de
las espiras. (Sugerencia: Combı́nense los resultados de los problemas 7.4 y 7.5.)
7.8. Se dispone de una espira de radio R en el plano xy, con centro el origen por la cual circula una
corriente I. A una distancia d sobre ella se coloca una espira idéntica, por la cual circula la misma
corriente.
(a) ¿Cuánto vale el campo en el eje que pasa por los centros de las espiras?
(b) ¿Cuanto debe valer d si se desea que el campo en el eje sea prácticamente constante? A esta
disposición se la conoce como bobina de Helmholtz.
7.9. Una espira rectangular de lados a y b, recorrida por una corriente I1 , es coplanaria con un conductor
rectilı́neo, por el que circula una corriente I2 . La distancia del centro de la espira al hilo es d. Hállese
la fuerza que aparece entre el hilo y la espira.
ŸB
a
I
a
d
I
g
I2
y
m
z
Problema 7.6
I1
x
R
Problema 7.8
d
Problema 7.9
b
Departamento de Fı́sica Aplicada III
Campos Electromagnéticos
7.3
7.10. En el plano z = 0 se encuentran dos anillos coplanarios concéntricos, de radios a y b (b > a). Por
el anillo interior circula una corriente I0 .
(a) Hállese la corriente I1 que debe circular por el anillo exterior para que el campo magnético en
el centro de los anillos se anule.
(b) Calcúlese el campo magnético en todos los puntos del eje del sistema.
(c) Hállese el campo en todos los puntos del espacio alejados de los anillos.
(d) Supóngase que b = 2a y que nos situamos a una altura z = 10a. ¿Cuál es el error relativo
cometido al aproximar el valor exacto del campo por la aproximación dipolar?
7.11. Por un cable vertical muy largo, se hace circular una corriente I0 . Un pequeño imán (equivalente
a un dipolo magnético m), de peso M g, se suspende de un hilo ideal, de longitud l, cuyo punto
de sujeción se encuentra a una distancia a del cable. El imán está sujeto por su punto central, de
forma que puede orientarse libremente. ¿En que dirección apuntará el imán? Calcúlese la fuerza
magnética sobre el imán, cuando se encuentra a una distancia x del cable. Hállese la ecuación para
el ángulo que el hilo forma con la vertical.
7.12. Sobre una mesa horizontal se colocan dos brújulas (equivalentes a dipolos magnéticos) iguales,
de forma que sus centros distan una cantidad a. Las dos brújulas pueden girar en el plano horizontal. Considerando que la interacción brújula-brújula es mucho mayor que la acción del campo
magnético terrestre, ordénense las cuatro configuraciones de la figura de menor a mayor energı́a.
¿Cómo se orientarán las brújulas?
z
a
a
I
(a)
(b)
(c)
(d)
lq
b
m
Problema 7.10
Problema 7.11
Problema 7.12
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Camino de los Descubrimientos s/n
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Campos Electromagnéticos. Boletı́n 8. Abril de 2004
Problemas básicos
8.1. El momento dipolar magnético de un átomo de hierro es aproximadamente
m 2.22
eh̄
2me
¿Cuál es el valor máximo que puede tener la magnetización de un trozo de hierro?
Supóngase que se tiene un imán cilı́ndrico de gran longitud, magnetizado a lo largo de su eje.
Sabiendo que el campo en el extremo de la barra es aproximadamente B µ0 M/2, calcúlese el
campo que producirá este imán. Estı́mese el valor de las corrientes de magnetización equivalentes
a esta imanación.
Datos: Carga del electrón e = 1.6 × 10−19 C; masa del electrón me = 9.1 × 10−31 kg; constante
de Planck h̄ = 1.054 × 10−34 J·s; peso atómico del hierro pm = 55.8 dalton; densidad de masa del
hierro ρm = 7.87g/cm3 ; permeabilidad del vacı́o µ0 = 4π × 10−7 T·m/A.
8.2. Se tiene un cilindro de longitud L y radio R, magnetizado según la ley
M = Ayux
estando situado el origen de coordenadas en el centro del cilindro y siendo el eje z coincidente con
el del imán.
Hállense las fuentes vectoriales equivalentes a esta magnetización. Calcúlese también la distribución
de fuentes escalares equivalente.
Problemas de nivel medio
8.3. Se dispone de una esfera de radio R con una imanación permanente M = M0 uz .
(a) Determı́nese la expresión integral del potencial vector magnético. Calcúlese el valor de la
integral. Hállese, a partir de A, el valor de B y de H en todos los puntos del espacio.
(b) Descrı́base cualitativamente la forma de B, H y M
(c) Calcúlense las corrientes de magnetización equivalentes, las ecuaciones y las condiciones de
contorno para B.
(d) Hállese la distribución de cargas magnéticas equivalentes y el problema de ecuaciones y condiciones de contorno para H.
8.4. Se construye un imán cilı́ndrico de radio R = 1 cm y longitud L, con una magnetización uniforme
y paralela a su eje M0 = 105 A/m.
(a) Determı́nese aproximadamente los campos H y B cuando L = 1 mm, en el centro del imán y
en un punto ligeramente por encima de su base superior.
• A partir de las corrientes de magnetización.
• A partir de las cargas magnéticas.
(b) Estı́mense H y B cuando L = 1 m en los mismos puntos y con los mismos métodos
(c) Determı́nense exactamente H y B en todos los puntos del eje del imán, tanto dentro como
fuera de él. Compárese con los resultados anteriores
Departamento de Fı́sica Aplicada III
Campos Electromagnéticos
8.2
8.5. Supóngase que se tiene una esfera de radio R un material magnético lineal (de permeabilidad µ)
alrededor de la cual hay vacı́o. En puntos alejados de la esfera hay impuesto un campo magnético
uniforme B0 .
(a) Sabiendo que la magnetización que aparece en la esfera es uniforme, hállese el valor de dicha
magnetización, del momento dipolar inducido en la esfera, y del campo magnético en todos
los puntos del espacio.
(b) ¿En qué se diferencia el resultado para un material diamagnético (µ < µ0 ) de uno paramagnético? ¿A qué se reducen los resultados en los casos de un paramagnético ideal (µ → ∞)
y un superconductor (µ = 0)?
(c) Hállense las corrientes de magnetización que aparecen en la esfera.
(d) Calcúlense los valores numéricos para los apartados anteriores con un campo externo B0 =
10 mT aplicado sobre una esfera de radio 1 cm para los siguientes materiales:
i.
ii.
iii.
iv.
Oro, χm = −3.0 × 10−5
Aluminio χm = 2.1 × 10−5
Hierro χm = 150
Superconductor χm = −1
R
M0
M0
m
m0
L
B0
Problema 8.3
Problema 8.4
Problema 8.5
Departamento de Física Aplicada III
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Camino de los Descubrimientos s/n
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Campos Electromagnéticos. Boletı́n 9. Mayo de 2004
Problemas básicos
9.1. Se tiene un solenoide largo de sección S, por el cual circula una corriente variable en el tiempo
K0 (t). Dos voltı́metros miden el voltaje entre dos puntos A y B, diametralmente opuestos, de un
circuito formado por dos resistencias R1 y R2 , tal como se ve en la figura. Hállense las lecturas de
los voltı́metros. ¿Coincidirán éstas? ¿Por qué?
9.2. Por un hilo de longitud infinita circula una corriente continua I0 . Cerca de este hilo se encuentra
un pequeño anillo metálico, de radio a, coplanario con el hilo, y cuyo centro se encuentra a una
distancia b de éste (b a). El anillo posee resistencia R y autoinducción despreciable.
Si la corriente que circula por el hilo se reduce pasando de valer I0 en t = 0 hasta ser nula en t = T ,
hállese la carga que pasa por un punto del anillo durante el intervalo T .
Supóngase ahora que el anillo tuviera autoinducción L y resistencia nula, ¿qué ocurrirı́a en el anillo,
si se cortara la corriente del hilo en la misma forma que en la situación anterior?
9.3. Se tienen dos anillos metálicos. Ambos anillos están centrados en el origen de coordenadas. Uno
de ellos posee radio b y está situado en el plano xy. El otro es de radio a está inclinado, de forma
que su normal forma un ángulo θ con el eje z. El radio b es mucho mayor que a.
(a) Determı́nese el coeficiente de inducción mutua entre los dos anillos a partir del flujo del campo
del anillo exterior a través del anillo interior (téngase en cuenta que éste es muy pequeño),
cuando por el anillo exterior circula una corriente I1 .
(b) Hállese el coeficiente de inducción mutua a partir del flujo del campo del anillo interior (que
es prácticamente un dipolo) a través del anillo exterior cuando por el anillo interior circula una
corriente I2 . ¿Son iguales los dos coeficientes?
9.4. Supóngase la misma configuración geométrica del problema 9.3. Por el anillo exterior se hace
circular una corriente constante I0 . El anillo interior se hace girar en torno al diámetro común, de
forma que el ángulo θ varı́a con velocidad constante ω. Despreciando los efectos de la autoinducción, hállese la corriente que circula por el anillo interior.
Calcúlese la energı́a disipada en este anillo durante un periodo de revolución. ¿De dónde procede
esta energı́a?
A
·
uz
V1
R1
K0(t)
·
B
Problema 9.1
R2
V2
q
n
a
b
Problemas 9.3 y 9.4
Departamento de Fı́sica Aplicada III
Campos Electromagnéticos
9.2
9.5. Tres solenoides cilı́ndricos muy largos se disponen concéntricamente. Dichos solenoides poseen la
misma longitud L y el mismo número de espiras, las cuales están arrolladas en el mismo sentido.
Los radios de las bobinas son, respectivamente, a, b y c (a < b < c).
(a) Determı́nese la matriz de inducciones mutuas del sistema.
(b) Supóngase que se conectan el extremo superior de la bobina interior con el extremo superior
de la exterior. ¿Cómo queda entonces la matriz de inducciones mutuas del nuevo sistema de
dos conductores?
Problemas de nivel medio
9.6. En una región rectangular existe un campo magnético constante y uniforme B = B0 uz . Sumergida
en este campo se encuentra una espira rectangular, formada por cables perfectamente conductores.
En uno de los lados se encuentra un amperı́metro ideal y en el opuesto un voltı́metro, también ideal.
Entre estos dos lados se encuentra una barra, que posee una resistencia R. Esta barra se mueve
con velocidad v = vux . ¿Cuáles son las lecturas del amperı́metro y del voltı́metro?
Supóngase que se intercambian las posiciones de la barra y el voltı́metro, siendo éste el que se
mueve, ¿Cuáles son entonces las lecturas?
9.7. La figura representa un carril metálico superconductor por el cual puede deslizarse una varilla horizontal, también superconductora. Esta varilla está inmersa en un campo uniforme B0 y cae por la
acción de la gravedad.
Inicialmente se encuentra en reposo y no circula intensidad por el circuito. En este momento se
suelta. Determı́nese la ecuación de movimiento y la posición de la varilla en función del tiempo si
el circuito está cerrado por:
(a) Una resistencia R
(b) Un condensador C
(c) Una autoinducción L.
Estúdiese en cada caso el balance energético del sistema.
9.8. Se construye un solenoide cilı́ndrico de radio b = 2 cm y longitud h = 20 cm con un hilo de cobre
(σ = 5.9 × 107 S/m) de diámetro d = 1 mm. El hilo se arrolla de forma densa, sin espacios entre
vueltas. En el interior del solenoide se coloca una barra, también cilı́ndrica, de radio a = 1 cm, de
un material superconductor (σ → ∞, µ = 0). A los extremos del solenoide se conecta una fuente
de continua de tensión V0 = 10 mV. El circuito se cierra por un interruptor que se conecta en t = 0.
y
B
V
c b
a
Problema 9.5
v
R
A
B
z x
(a)
R
v
V
(b)
Problema 9.6
A
Departamento de Fı́sica Aplicada III
Campos Electromagnéticos
9.3
(a) Descrı́base cualitativamente el comportamiento del sistema tras la conexión del circuito. ¿Qué
ocurre en el núcleo superconductor?
(b) Hállese la autoinducción y la resistencia del sistema.
(c) Determı́nese la corriente que circula por el solenoide como función del tiempo, tras el cierre
del interruptor.
(d) ¿Habrá campo eléctrico en el interior del núcleo superconductor? ¿Y en el espacio intermedio
entre el núcleo y el solenoide? ¿Y en el exterior de éste? De existir este campo, ¿cuál serı́a su
valor?
B
v
y
z
x
V0
h
g
Z
Problema 9.7
b
a
Problema 9.8
Departamento de Física Aplicada III
Escuela Superior de Ingenieros
Camino de los Descubrimientos s/n
41092 Sevilla
Campos Electromagnéticos. Boletı́n 10. Mayo de 2004
10.1. Se tiene un condensador formado por dos placas circulares planas y paralelas, de radio b y separadas una distancia a (a b); entre ellas hay vacı́o. Entre los centros de las placas se establece una
tensión V0 cos ωt.
(a) Hállese, en primera aproximación, el campo eléctrico que se establece entre las placas.
(b) Determı́nese el campo magnético inducido entre las mismas, según la ley de Ampère-Maxwell,
para una distancia r del eje que une los centros de los discos.
(c) Calcúlese, la primera corrección en el campo eléctrico obtenido en (a), de acuerdo con la
ley de Faraday. ¿Para qué valor del radio empieza a ser importante esta corrección (esto es,
comparable al campo estático)?
(d) Indı́quese como serı́an las siguientes correcciones, tanto en E como en B.
10.2. Una nube esférica de carga (compuesta de una distribución de cargas puntuales flotando en el
vacı́o) se encuentra en expansión, creciendo el radio de la esfera como R(t) = R0 + vt. La carga
total de la nube, Q0 , se encuentra distribuida en todo momento de forma uniforme en el volumen
de la esfera.
A partir de la ley de conservación de la carga, calcúlese la densidad de corriente de conducción en
la nube. Puede suponerse que J = J(r)ur y que esta densidad no es infinita en el centro de la
esfera.
Calcúlese el campo eléctrico en los puntos del espacio y, a partir de éste, la corriente de desplazamiento. ¿Cuánto vale la densidad de corriente total?
¿Habrá campo magnético en el sistema?
Nota: La mayor parte de este problema ya aparece en el boletı́n 6.
10.3. El espacio entre dos placas circulares perfectamente conductoras, planas y paralelas, se encuentra lleno de un material óhmico, de permitividad ε, conductividad σ, y permeabilidad magnética
µ0 . El radio de las placas es b, y la distancia entre ellas es a (a b). La placa superior está
permanentemente a tierra, mientras que el centro de la inferior se encuentra a una tensión V (t).
(a) Despreciando los efectos de borde y la inducción electromagnética, hállese el campo eléctrico
entre las placas y la corriente total que fluye entre ellas.
(b) Calcúlese el campo magnético entre las placas, teniendo en cuenta que en el eje B = 0.
(c) Hállese el vector de Poynting en el espacio entre las placas, ası́ como su flujo a través de una
superficie cilı́ndrica de radio b y altura a, concéntrica con el sistema.
(d) ¿A qué equivale este flujo del vector de Poynting? ¿En qué caso es nulo? ¿Qué representa este
caso?
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Campos Electromagnéticos
10.2
10.4. Un cable coaxial ideal está formado por un cilindro interior, de radio a, perfectamente conductor,
y una superficie cilı́ndrica exterior, de radio b, también perfectamente conductora. Los cilindros se
extienden indefinidamente a lo largo de su eje.
El cilindro interior se encuentra a una tensión V0 , mientras que la superficie exterior se encuentra
a tierra. Simultáneamente, por la superficie del núcleo fluye una corriente I0 en la dirección del
eje, distribuida uniformemente. Esta corriente retorna por la superficie exterior, con lo que hay
distribuida uniformemente una corriente −I0 .
(a) Hállense los campos eléctrico y magnético en todos los puntos del espacio.
(b) Calcúlense las densidades de energı́a eléctrica y magnética por unidad de volumen, ası́ como
las energı́a total almacenada en una porción de longitud L del cable coaxial.
(c) Determı́nese el vector de Poynting en el espacio entre los cilindros. ¿En qué dirección fluye la
energı́a? Hállese el flujo de energı́a a través de una sección del cable coaxial.
10.5. En la región en torno al origen de coordenadas, existe un campo electromagnético que deriva de
los potenciales (en esféricas)
A=−
kvrt2
ur
2
V =
k(2r 3 + 3c2 vt3 )
6
(k y v son constantes). Calcúlense los campos E y B en esta región. Repı́tanse los cálculos para los
potenciales
kr 2
(3vt − 2r)
A=0
V =−
6
y para el caso
krt
(vt − 2r) ur
V =0
A=−
2
¿Cuánto valen las fuentes de los campos electromagnéticos en cada caso?
V0
a
I0
e,s,m0
b
V(t)
Problema 10.3
Problema 10.4
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Ingeniería de Telecomunicación
Campos Electromagnéticos
Primer Parcial, Febrero de 2004
Óptica
O.1. (1.25 puntos) Partiendo de la expresión:
δL = nb Tb · δb − na Ta · δa
y a
b ), muy
(que proporciona la diferencia de camino óptico entre dos trayectorias luminosas (ab
próximas entre sı́, que no tienen extremos comunes) y suponiendo un sistema óptico centrado,
estigmático para dos puntos del eje óptico, deduzca la condición de Herschel (extensión o
conservación del estigmatismo en puntos del eje).
O.2. (1.25 puntos) Tras una operación oftálmica de cataratas, en la que se extirpa el cristalino, se ha
implantado una lente de contacto sobre la córnea.
Ası́, el ojo, como sistema óptico, se puede representar esquemáticamente como muestra la figura.
El ı́ndice de refracción del exterior es n0 = 1 y el del interior del ojo n1 = 1.34. La lente de
contacto, de ı́ndice n2 = 1.5, puede considerarse delgada. Si el radio de curvatura de la córnea
vale (r2 = 8 mm), ¿cuál ha de ser el otro radio de curvatura, r1 , de la lente de contacto para que
la imagen de un objeto en el infinito se siga formando en la retina, que dista d = 24 mm de dicha
lente?
Teorı́a
(1 punto) Enúnciese la ley de Coulomb. Descrı́banse la forma en que aparecen los distintos factores en
esta ley, las principales propiedades de la interacción eléctrica,. . .
n2
n1
r1
Retina
n0
··
r2
d
Óptica
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Campos Electromagnéticos
Primer Parcial, Febrero de 2004
Problemas
P.1. (2.5 puntos) El potencial eléctrico en todos los puntos del espacio está dado por la función, expresada en coordenadas esféricas
φ(r) = k
(r + a − |a − r|) cos θ
(r + b + |b − r|)2
siendo |x| el valor absoluto de x.
(a) Suponiendo a < b, hállese el valor del campo eléctrico en todos los puntos del espacio
(b) Determı́nense las densidades de carga que producen este campo.
(c) Calcúlese la carga total y el momento dipolar de esta distribución de carga.
P.2. (2.5 puntos) Una nube de tormenta puede modelarse como un conjunto de dos cargas puntuales,
±q, estando la carga positiva en su parte superior y la negativa en la inferior. La altura media de la
nube es h0 y el espesor de la nube ∆h. Puede suponerse que ∆h h0 .
Para medir el momento dipolar de la nube, se coloca una carga q1 sujeta a un dinamómetro en un
punto sobre el plano de tierra (la carga puede suponerse en z = 0+ ), situado a una distancia x de
la vertical de la nube.
(a) Hállese la fuerza que se mide, para una distancia x dada.
(b) La nube, en su movimiento, modifica la distancia del observador a la vertical de la nube.
Descrı́base como varı́a la fuerza con x y hállese para que valor de x es máxima la fuerza, ası́
como este valor máximo.
(c) Si h0 = 1 km, ∆h = 50 m, q1 = 10 µC y la fuerza máxima medida es de 0.2mN, calcúlese la
carga almacenada en cada extremo de la nube.
Dato: ε0 = 1/(36π × 109 ) F · m−1
Dh
+
-
x
h0
· q1
P.2
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Ingenieros de Telecomunicación
Campos Electromagnéticos
Segundo Parcial, Junio de 2004
Óptica
O.1. (1.25 puntos) Escriba la expresión matemática de una onda monocromática localmente plana y
demuestre que las lı́neas de campo del vector k son normales a los frentes de onda.
O.2. (1.25 puntos) En el experimento de las rendijas de Young, se interpone una lámina delgada de
vidrio en la trayectoria de uno de los rayos que interfieren, de forma que la franja brillante central
se desplaza hasta la posición que inicialmente tenı́a la quinta franja brillante (sin contar la central).
El rayo incide perpendicularmente sobre la lámina. El ı́ndice de refracción de la lámina es 1.5 y la
longitud de onda de la radiación empleada es 600 nm. ¿Qué espesor tiene la lámina?
Teorı́a
(1 punto) Enúnciese la ley de Faraday en forma integral, explicando el significado de cada término que
aparece en ella. Indı́quense las diferencias entre el caso de una espira móvil es un campo estático y el de
una espira fija en un campo variable. Dedúzcase la forma diferencial de esta ley.
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Campos Electromagnéticos
Segundo Parcial, Junio de 2004
Problemas
P.1. (2.5 puntos) Para determinar la conductividad σ del suelo se mide la corriente entre dos electrodos
clavados en tierra y sometidos a una cierta diferencia de potencial.
(a) Supóngase en primer lugar sólo un electrodo hemisférico de radio a, perfectamente conductor, puesto a un potencial V1 respecto a puntos muy alejados. En el estado estacionario,
determı́nese la distribución de potencial en el suelo. Admı́tase que el potencial depende exclusivamente de la distancia al centro del electrodo. A partir de este resultado, calcúlese la
resistencia entre el electrodo y el infinito. Supóngase que el suelo posee conductividad igual
en todos sus puntos.
(b) Supónganse ahora dos electrodos del tipo anterior, del mismo radio, y muy alejados entre sı́.
Si se conectan por el aire mediante un cable ideal y una fuente de continua de tensión V0 ,
¿qué corriente circula de un electrodo al otro?
(c) Si para una tensión de 100 V entre dos electrodos de 10 cm de radio se mide una corriente de
0.63 A, ¿cuánto vale la conductividad del suelo?
P.2. (2.5 puntos) Un amperı́metro de inducción consiste en un solenoide toroidal (de resistencia despreciable y autoinducción L), que se sitúa en torno a la corriente que se pretende medir.
(a) Supóngase un toroide de radio medio b y sección cuadrada pequeña de lado a (a b), con
N espiras arrolladas sobre un núcleo de permeabilidad µ (en este problema, ello solo supone
cambiar µ0 por µ). Calcúlese el coeficiente de autoinducción de este solenoide, a partir del
campo que se crea en su interior cuando por el solenoide circula una corriente I. Supóngase
que dentro del solenoide B es de la forma B = B0 uϕ con B0 uniforme.
(b) El solenoide anterior se coloca concéntricamente con un hilo rectilı́neo por el cual circula una
corriente I0 cos(ωt). Calcúlese la fuerza electromotriz que el hilo induce en el solenoide.
(c) Despreciando la resistencia del solenoide (pero no su autoinducción), hállese la amplitud de
la corriente que circula por el solenoide.
(d) Esta amplitud es proporcional a la de la corriente del hilo, ¿cuánto vale la constante de proporcionalidad para un toroide de radio medio 2 cm, y lado 2 mm, con 300 espiras y con un
núcleo de permeabilidad µ = 10−4 H/m?
I0cos(w t)
A
V0
A
a
a
s
P.1
b
P.2
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Ingeniería de Telecomunicación
Campos Electromagnéticos
Convocatoria ordinaria, Febrero de 2004
Óptica
O.1. (1.25 puntos) ¿Cómo se define la luminancia de un elemento de superficie dS en una determinada
dirección? ¿Cuáles son sus dimensiones? ¿Qué es un emisor o difusor perfecto o lambertiano ?
¿Qué establece la ley de Lambert?
O.2. (1.25 puntos) Un teleobjetivo fotográfico consta de las siguientes lentes delgadas, colocadas en el
sentido de propagación de la luz: la primera es convergente (f1 = 50 cm) y la segunda, divergente
(f2 = −20 cm).
(a) ¿Cuál debe ser la separación a entre estas dos lentes para que la distancia focal del teleobjetivo
valga f = 2 m?
(b) Si queremos fotografiar un árbol, de altura h = 10 m, situado a una distancia b = 1 km de
la primera lente, ¿qué altura tendrá la imagen? ¿Qué altura tendrı́a la imagen si el sistema
constase de esta lente únicamente? ¿Cuál es, por tanto, el interés de este dispositivo?
Teorı́a
(2.5 puntos) Enúnciese el teorema de Poynting para el vacı́o o para un medio lineal isótropo y homogéneo. Escrı́base el teorema tanto en su forma diferencial como en su forma integral. Descrı́base la
interpretación fı́sica tanto del teorema en su conjunto como de cada uno de los términos que aparecen
en él.
Aplicación
Supóngase un cable cilı́ndrico de radio a y longitud indefinida, de un material de conductividad σ, a lo
largo del cual circula una corriente I0 , distribuida uniformemente por su sección.
Aplı́quese el teorema de Poynting a una porción del cable, tomando una superficie cilı́ndrica de radio
a y longitud h, concéntrica con el cable. Para ello, calcúlese cada uno de los términos que aparecen en la
forma integral del teorema, y compruébese que se verifica éste. ¿Cómo se interpreta el resultado?
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Ingeniería de Telecomunicación
Campos Electromagnéticos
Convocatoria ordinaria, Febrero de 2004
Problemas
P.1. (2.5 puntos) En una esfera no conductora de radio 2R, con una carga total inicial q distribuida
uniformemente en su volumen, se hacen dos cavidades esféricas de radio R. La carga que habı́a
en cada hueco se concentra en forma de cargas puntuales en el centro de cada cavidad.
(a) Hállese el valor de cada una de las cargas puntuales.
(b) Calcúlese la fuerza sobre cada carga puntual.
(c) Hállese el potencial al cual se encuentra cada carga puntual.
(d) Determı́nese el trabajo para llevar las dos cargas puntuales al infinito.
P.2. (2.5 puntos) Junto a un cable rectilı́neo de longitud infinita, por el cual circula una corriente
I0 cos(ωt), se halla una espira cuadrada, de lado a. Dos de los lados de la espira son paralelos
al cable, estando el lado más cercano a una distancia a del cable. La espira está construida con un
material de conductividad σ y la sección del cable con que está hecha es A. La autoinducción de
la espira puede considerase despreciable.
(a) Calcúlese la corriente que circula por la espira.
(b) Hállese la fuerza que el cable ejerce sobre la espira.
(c) Calcúlese la energı́a disipada en la espira durante un periodo de oscilación de la corriente del
cable.
(d) Dense valores numéricos para los resultados anteriores si I0 = 1 A, ω = 100π s−1 , a = 1 cm,
σ = 5.9 × 107 S/m, A = 1 mm2
2R
R
I0cos(wt)
·
a
·
P.1
a
a
P.2
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Escuela Superior de Ingenieros
Ingenieros de Telecomunicación
Campos Electromagnéticos
Examen Final, Julio de 2004
• Aquellos que tengan pendiente sólo el Primer Parcial, deberán responder a los ejercicios O.1,
O.2 y T.1
• Aquellos que tengan pendiente sólo el Segundo Parcial, deberán responder a los ejercicios
O.3, O.4 y T.2
• Aquellos que tengan pendiente toda la asignatura, deberán responder los ejercicios O.2, O.3
y T.2
No se corregirán respuestas a problemas diferentes de los indicados
Óptica
O.1. [1P] (1.25 puntos) Describa razonadamente la forma de las superficies estigmáticas por reflexión,
tanto para objetos a distancia finita, como infinita.
O.2. [1P-T] (1.25 puntos) Unas gafas submarinas tienen el cristal en forma de pared esférica con un
grosor de 0.5 cm. Las dos caras están formadas por dos dioptrios esféricos concéntricos, siendo el
radio mayor de 50 cm.
¿En qué lugar y con qué aumento verá el submarinista un pececito situado a 2 m del vértice anterior
de las gafas?
Teorı́a
T.1. [1P] (1 punto) ¿En qué consiste el desarrollo multipolar eléctrico? Explique la idea fı́sica. Obtenga
matemáticamente los dos primeros términos de este desarrollo e interprete el significado de estos
dos términos.
n1= 4/3
n’2= 1
R1
R2
d = 2m
n’1= 1.5
Problema O.2
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Ingenieros de Telecomunicación
Campos Electromagnéticos
Examen Final, Julio de 2004
• Aquellos que tengan pendiente sólo el Primer Parcial, deberán responder a los ejercicios O.1,
O.2 y T.1
• Aquellos que tengan pendiente sólo el Segundo Parcial, deberán responder a los ejercicios
O.3, O.4 y T.2
• Aquellos que tengan pendiente toda la asignatura, deberán responder los ejercicios O.2, O.3
y T.2
No se corregirán respuestas a problemas diferentes de los indicados
Óptica
O.3. [2P-T] (1.25 puntos) Describa y justifique la utilización de lentes convergentes en el experimento
de interferencias de las rendijas de Young.
O.4. [2P] (1.25 puntos) Una fuente luminosa puntual de una intensidad de 20 candelas dista 2 m de
una pantalla vertical en la cual se ha practicado un orificio circular de 2 cm de radio centrado con
el manantial. La luz que sale del orificio ilumina otra pantalla que forma un ángulo de 30o con
la anterior y que se encuentra separada del manantial una distancia de 3m. Determine el flujo
luminoso que atraviesa el orificio y la iluminación en esta última pantalla.
Teorı́a
T.2. [2P-T] (1 punto) Enuncie el teorema de Poynting en forma integral. Describa cada término,
explicando el significado tanto de cada integral como del integrando que aparece en cada una. A
partir de la expresión integral deduzca la forma diferencial del teorema de Poynting.
a = 30 O
PANTALLA
2m
3m
Problema O.4
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Ingenieros de Telecomunicación
Campos Electromagnéticos
Examen Final, Julio de 2004
• Aquellos que tengan pendiente sólo el Primer Parcial, deberán responder a los ejercicios P.1
y P.2.
• Aquellos que tengan pendiente sólo el Segundo Parcial, deberán responder a los ejercicios
P.3 y P.4.
• Aquellos que tengan pendiente toda la asignatura, deberán responder los ejercicios P.2 y P.4.
No se corregirán respuestas a problemas diferentes de los indicados
Problemas
P.1. [1P] (2.5 puntos) En un modelo muy simplificado de la Tierra y su atmósfera, aquella puede
suponerse un conductor perfecto y ésta modelarse como una capa en la que existe una densidad de
carga que va como
ρ = ρ0 e−z/a
siendo z la altura medida desde la superficie terrestre. a es un espesor tı́pico, mucho menor que el radio
terrestre RT , (a RT ).
También se sabe que a alturas superiores a unas cuantas veces a el campo eléctrico terrestre es
prácticamente nulo.
a. Halle el campo eléctrico y el potencial en la atmósfera y en el interior de la Tierra.
b. Calcule la carga almacenada en la superficie terrestre. Si se define la capacidad del sistema como
el cociente entre esta carga y la diferencia de potencial entre la superficie y las capas superiores de la
atmósfera, ¿cuanto vale esta capacidad en función de los datos?
c. Determine la energı́a electrostática almacenada en la atmósfera.
d. Calcule los valores numéricos para los resultados anteriores si a = 3 km, ρ0 = 3 pC/m3 , RT =
6370 km, ε0 = 8.85 × 10−12 F/m.
P.2. [1P-T] (2.5 puntos) Se trata de hallar el campo eléctrico necesario para elevar en el aire una
partı́cula metálica que reposa sobre un plano a tierra. La partı́cula conductora la podemos modelar como
un hemisferio de radio a. Existe un campo eléctrico impuesto que, en puntos alejados de la semiesfera,
es uniforme y normal al plano conductor, E∞ = E0 uz .
a. El potencial en todos los puntos por encima del plano y la partı́cula es de la forma
φ = −E0 z +
A cos θ
r2
(z > 0, r > a)
siendo r la distancia al centro de la semiesfera. Determine el valor de A que hace que se satisfagan todas
las ecuaciones y condiciones de contorno.
E0
b. Halle la densidad de carga en la superficie de la semiesfera.
c. Calcule la presión electrostática en la superficie de la partı́cula. A partir de
a
g
esta presión, halle la fuerza eléctrica sobre la partı́cula, empleando la relación
dF = p dS.
d. Si la partı́cula es de aluminio (ρ = 2700 kg/m3 ) y su radio vale a = 1 mm,
¿qué campo es preciso para levantar esta partı́cula? (g = 9.8 m/s2 ).
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Examen Final, Julio de 2004
• Aquellos que tengan pendiente sólo el Primer Parcial, deberán responder a los ejercicios P.1
y P.2.
• Aquellos que tengan pendiente sólo el Segundo Parcial, deberán responder a los ejercicios
P.3 y P.4.
• Aquellos que tengan pendiente toda la asignatura, deberán responder los ejercicios P.2 y P.4.
No se corregirán respuestas a problemas diferentes de los indicados
Problemas
P.3. [2P] (2.5 puntos) Un sistema industrial para medir las variaciones en el espesor de una cinta
dieléctrica, de permitividad ε, está formado por dos placas conductoras, planas y paralelas, con anchura
∆y = w, la misma de la cinta, y longitud ∆x = L.
La distancia, fija, entre las placas es ∆z = a. El espesor de la cinta
varı́a suavemente, de forma que la porción situada entre las placas puede
A
suponerse prácticamente uniforme en cada instante, h(t).
e0
x
y
v
e
Entre las placas se establece una tensión continua V0 . La cinta se desplaza entre las placas con velocidad constante v. Un amperı́metro mide la
variación de la carga en la placa positiva.
a. ¿Cual será la corriente I(t) que mide este amperı́metro como función
de la variación en el espesor? Desprecie los efectos de borde.
b. En la práctica, el problema es el inverso. Lo que se conoce es I(t) y el espesor en un punto dado h0 .
Con estos datos, ¿cómo se calcuları́a el espesor h correspondiente a una cierta distancia s medida a lo
largo de la cinta?
V0
z
P.4. [2P-T] (2.5 puntos) Se tiene un circuito impreso en forma de “H” de un material de conductividad
σ, con cuatro terminales, una de las cuales se encuentra permanentemente a tierra. Los brazos de la H y
el tabique central poseen longitud b. Los cuatro brazos tienen anchura a, (a b) mientras que el tramo
central posee anchura 2a, según indica la figura. El espesor de toda la pista es c.
1
3
a. Determine la matriz de los coeficientes de conductancia, Gij , correspondiente a
los tres terminales libres. Desprecie la pequeña contribución de las esquinas donde
a
confluyen los brazos.
b. A partir de la matriz anterior, calcule las conductancias Gij y elabore un circuito
2a
equivalente al sistema de tres electrodos, que no emplee nodos intermedios.
b
c. Determine la potencia consumida en la pista cuando el terminal 1 se encuentra
b
a potencial V0 y los otros a tierra.
d. En la configuración anterior se corta la conexión a tierra del electrodo 2. En
2
el nuevo estado estacionario, ¿se consume más o menos potencia que antes de la
desconexión? ¿Cuánto?
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Examen Final, Julio de 2004
Prácticas
Un óhmetro consiste en un aparato que mide resistencias, por aplicación de la ley de Ohm. Está formado
por una fuente de tensión fija, un amperı́metro y una resistencia interna R0 . Para medir una resistencia
R, se coloca ésta en serie con el óhmetro resultando el valor
I=
E
R0 + R
⇒
R=
E
− R0
I
Normalmente R0 y E son desconocidos, pero pueden determinarse calibrando el aparato. Para ello
se colocan valores de R fijados y se mide la intensidad en cada caso. Estas dos cantidades estarán
relacionadas por la ecuación anterior, que se puede poner en forma lineal como
R0
1
1
=
+ R = a + bR
I
E
E
Esto es, si representamos 1/I frente a R obtenemos una recta. Ajustando una recta por el método de
mı́nimos cuadrados hallamos la f.e.m y la resistencia interna como
E=
1
b
R0 =
a
b
Se hicieron estas medidas y se obtuvo la tabla siguiente
R (±10Ω)
0
100
200
300
400
500
600
700
800
900
1000
1250
1500
1750
2000
I (±25µA)
3000
2700
2450
2250
2100
1950
1800
1700
1600
1500
1400
1250
1100
1000
900
1. A partir de la tabla adjunta, hállese la recta de mejor ajuste de 1/I frente a R
2. Conocida la recta, determı́nense los valores de E y R0 .
3. Trácese la gráfica lineal correspondiente.
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Convocatoria ordinaria, Septiembre de 2004
Óptica
O.1. (1.25 puntos) La emisión de un láser se ha analizado por medio de dos procedimientos:
• En un experimento espectroscópico, se constata que la luz del láser es una superposición de
varias ondas estrictamente monocromáticas y de longitud infinita.
• En un experimento interferométrico, se pone de manifiesto que la luz consiste en una sucesión
de pulsos monocromáticos, pero de longitud finita e incoherentes entre sı́.
Demuéstrese que ambas experiencias describen dos aspectos de un mismo fenómeno.
O.2. (1.25 puntos) Una lente convergente, delgada, en el aire, de 10 cm de distancia focal, forma una
imagen real de 1 cm de altura, a 12 cm a la derecha de la lente. Determinar la posición, el tamaño
y la naturaleza del objeto.
Responda a las mismas preguntas, si la lente es divergente y su potencia es de -10 dioptrias.
Teorı́a
(1 punto) Describa las principales consecuencias de que el campo electrostático sea irrotacional. En
particular, demuestre la existencia del potencial electrostático.
Dado un campo electrostático, ¿existe un único potencial del que derive? Justifique la respuesta.
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Convocatoria ordinaria, Septiembre de 2004
Problemas
P.1. (2.5 puntos) Se tiene un sistema formado por tres placas metálicas perfectamente conductoras,
planas y paralelas, de la misma sección S. La placa superior se encuentra a una distancia b de la
intermedia, y ésta a una distancia a de la inferior. El espacio entre las placas inferior e intermedia
está lleno de un material óhmico de permitividad ε y conductividad σ, mientras que en el espacio
entre la intermedia y la superior hay aire (ε = ε0 , σ = 0).
La placa inferior se encuentra puesta a tensión V0 en todo instante, mientras que la superior está a
tierra en todo momento. La placa intermedia se encuentra inicialmente puesta a tierra. En t = 0,
esta placa intermedia se desconecta.
(a) Describa la distribución de campos y de corrientes entre las placas antes de la desconexión.
¿Cuánto vale la energı́a eléctrica almacenada inicialmente?
(b) Describa los campos y corrientes en el sistema mucho tiempo después de la desconexión.
¿Cuál es la energı́a eléctrica almacenada en el estado estacionario final?
(c) Durante el periodo transitorio, la placa central posee una tensión variable V (t). Determine la
ecuación diferencial para este potencial y halle su solución.
(d) Calcule el valor de la energı́a total disipada por efecto Joule en el periodo transitorio, ası́ como
el trabajo realizado por el generador. ¿Se conserva la energı́a durante este proceso?
P.2. (2.5 puntos) Los campos eléctrico y magnético en el interior de un tubo metálico, de sección
cuadrada (que se extiende entre −L < x < L y −L < y < L, e indefinidamente a lo largo del eje
z) vienen dado por las expresiones
E = Ax(L2 − y 2 )ux
B = −2Axytuz
En el exterior de este volumen ambos campos son nulos.
(a) Pruebe que este campo (E, B) verifica todas las ecuaciones y condiciones de salto necesarias
para ser un campo electromagnético.
(b) Calcule las densidades de carga y de corriente, fuentes de este campo.
e0,s=0
b
e,s
a
V0
P.1
Departamento de Física Aplicada III
Escuela Superior de Ingenieros
Ingenieros de Telecomunicación
Campos Electromagnéticos
Convocatoria ordinaria, Septiembre de 2004
Prácticas
El potencial entre dos cilindros conductores concéntricos de radios c y d, puestos a voltajes V0 y tierra,
respectivamente, viene dado por la fórmula
V (r) = −
V0 ln(r/d)
ln(d/c)
Este potencial puede escribirse en la forma de una ecuación de una recta
V (r) =
V0
V0 ln(d)
−
ln(r) = a0 + b0 ln(r)
ln(d/c)
ln(d/c)
a0 =
V0 ln(d)
ln(d/c)
b0 = −
V0
ln(d/c)
Para verificar esta ley teórica se construye un sistema analógo mediante un medio óhmico que sigue la
misma ley. Los datos experimentales obtenidos son
c = 2.00 ± 0.05 cm
d = 9.95 ± 0.05 cm
V0 = 10.00 ± 0.01V
r (cm) V (V)
2.0
10.00
7.08
3.0
5.31
4.0
3.98
5.0
2.86
6.0
1.92
7.0
1.21
8.0
0.57
9.0
0.00
10.0
donde la precisión en la medida de r es de 0.1 cm y la de V es de 0.01 V.
1. A partir de los datos experimentales, halle el logaritmo de las distancias y, conocido este, halle la
recta de mejor ajuste
V = a + b ln(r)
Para evitar fallos, mida todas las distancias en las mismas unidades.
2. Trace la gráfica correspondiente a esta recta.
3. Según la fórmula teórica, pueden predecirse valores para a y b dados por a0 y b0 . Calcule estos
valores teóricos, que también irán acompañados de sus errores.
4. ¿Puede decirse que hay coincidencia entre los valores teóricos y experimentales?
Departamento de Física Aplicada III
Escuela Superior de Ingenieros
Ingenieros de Telecomunicación
Campos Electromagnéticos
Campos Electromagnéticos.
Primer Parcial, Febrero de 2004.
Nombre:
.
La puntuación total del test es de 1.5 puntos. Cada respuesta correcta puntúa 0.15 puntos. Las
respuestas erróneas o en blanco no contribuyen a la nota del test.
En cada pregunta, solo una de las respuestas es correcta. Márquese la respuesta correcta con un aspa
×
( ). Si se desea modificar una respuesta, táchese la ya escrita ( ) y escrı́base una cruz sobre la nueva.
2
2
T.1. El gradiente de un campo escalar
2 A. Es siempre irrotacional.
2 B. Es siempre solenoidal e irrotacional.
2 C. Es siempre solenoidal.
2 D. A veces es irrotacional y a veces solenoidal, pero no las dos cosas al mismo tiempo.
T.2. De un campo vectorial se conoce su divergencia y su rotacional, y se sabe que tiende a cero en el
infinito, ¿podemos determinar el campo vectorial de forma únivoca?
2 A. No, ya que siempre le podremos sumar una constante.
2 B. No, se necesita conocer además el potencial del que deriva el campo.
2 C. Sı́, por el teorema de Helmholtz
2 D. Sı́, por la ley de Gauss
T.3. La ley de Coulomb establece que. . .
2 A. la fuerza sobre una carga es igual a qE.
2 B. dos cargas puntuales se atraen si son del mismo signo y se repelen si son de signos opuestos.
2 C. cuando tenemos tres cargas puntuales, la fuerza sobre una de ellas es la suma de las que
producen las otras dos por separado.
2 D. la fuerza entre dos cargas es proporcional al producto de las cargas.
T.4. Un campo electrostático verifica que. . .
2 A. la integral de camino entre dos puntos A y B es independiente del camino elegido.
2 B. se puede expresar como el gradiente de un campo vectorial.
2 C. la integral de camino a lo largo de cualquier curva es nula
2 D. No se cumple ninguna de las tres propiedades anteriores.
T.5. Cuatro cargas diferentes de valores 1, 2, 3 y 4 µC se colocan en los vértices consecutivos de un
cuadrado de lado a. Se quiere calcular el flujo del campo eléctrico, multiplicado por ε0 , a través de
una esfera centrada en la primera carga y de radio 1.2a.
2 A. Vale 10 µC.
2 B. Vale 6 µC.
2 C. Vale 1 µC.
2 D. Vale 7 µC.
T.6. ¿Cuáles son las unidades de la permitividad del vacı́o en el SI?
2 A. F/m
2 B. N · m /C
2 C. F · m
2 D. N · C /m
2
2
2
2
T.7. En una esfera metálica aislada y descargada se ha hecho un hueco de forma irregular en su interior.
Dentro de este hueco hay una carga puntual q, situada en un punto arbitrario. El campo en el
exterior de la esfera. . .
2 A. es nulo
2 B. equivale al de una carga puntual q situada en el centro de la esfera.
2 C. es el de una carga −q distribuida en las paredes del hueco.
2 D. equivale al de la carga q y al de su imagen q , situada en el exterior de la esfera.
T.8. Se colocan enfrentados dos conductores esféricos metálicos. Uno de ellos está aislado y descargado.
El otro está conectado a una fuente de tensión V0 > 0.
2 A. El potencial del primer conductor es nulo y la carga del segundo positiva.
2 B. El potencial del primer conductor es positivo y la carga del segundo positiva.
2 C. El potencial del primer conductor es negativo y la carga del segundo positiva
2 D. El potencial del primer conductor es nulo y la carga del segundo negativa.
T.9. ¿De qué orden de magnitud serı́a la energı́a almacenada por una carga 1 C si estuviera distribuida
uniformemente en la superficie de una esfera de radio 1 cm? ¿Y la presión eléctrica en la superficie?
2 A. La energı́a gigajulios y la presión billones de pascales.
2 B. La energı́a cientos de gigajulios y la presión más de 10 pascales.
2 C. La energı́a del orden del picojulio y la presión menos de un micropascal.
2 D. La energı́a decenas de Julios y la presión cientos de pascales.
16
T.10. Una carga q se encuentra frente a una esfera metálica puesta a tierra.
2 A. La esfera y la carga se atraen entre sı́.
2 B. La carga atrae a la esfera, pero la esfera no atrae a la carga.
2 C. La fuerza entre ambas es atractiva si q > 0, pero repulsiva si q < 0.
2 D. No hay fuerza entre la carga y la esfera.
Departamento de Física Aplicada III
Escuela Superior de Ingenieros
Ingenieros de Telecomunicación
Campos Electromagnéticos
Campos Electromagnéticos.
Segundo Parcial, Junio de 2004.
Nombre:
.
La puntuación total del test es de 1.5 puntos. Cada respuesta correcta puntúa 0.15 puntos. Las
respuestas erróneas o en blanco no contribuyen a la nota del test.
En cada pregunta, solo una de las respuestas es correcta. Márquese la respuesta correcta con un aspa
×
( ). Si se desea modificar una respuesta, táchese la ya escrita ( ) y escrı́base una cruz sobre la nueva.
2
2
T.1 El vector desplazamiento se define como
2 A. Depende de cada material.
2 B. D = εE + P
2 C. D = εE
2 D. D = ε E + P
0
T.2 Se tiene un condensador coaxial puesto verticalmente, cuyo espacio se llena hasta la mitad de un
dieléctrico lı́quido de permitividad relativa 1/2. ¿Cuanto vale la capacidad de este condensador
comparada con la que habrı́a sin lı́quido?
2 A. 2/3 de la del vacı́o.
2 B. 3/4 de la del vacı́o
2 C. 1/2 de la del vacı́o.
2 D. Tal situación es imposible.
T.3 Un cable de sección S y longitud a, se estira (manteniendo su volumen) reduciendo su sección a
S/2. La resistencia del cable, comparada con la inicial, es
2 A. el doble.
2 B. ocho veces mayor.
2 C. cuatro veces mayor.
2 D. la mitad.
T.4 Se tienen tres sustancias. Una tiene ε1 = 7 × 10−10 F/m y σ1 = 10−3 S/m. La segunda tiene
ε2 = 7 × 10−10 F/m y σ2 = 10−2 S/m. La tercera tiene ε3 = 3 × 10−11 F/m y σ3 = 10−3 S/m. ¿En
cuál de las tres se produce antes la relajación de la carga?
2 A. Depende de la densidad de carga inicial
2 B. En la primera.
2 C. En la segunda.
2 D. En la tercera.
T.5 En un material diamagnético. . .
2 A. Los tres campos van en el mismo sentido.
2 B. B y M van en sentidos opuestos.
2 C. M y H van en sentidos opuestos.
2 D. B y H van en sentidos opuestos.
T.6 ¿Qué diferencia hay entre un material ferromagnético blando y uno duro? ¿Cuál de las siguientes
propiedades es mayor en el ferromagnético duro?
2 A. El campo de saturación.
2 B. La magnetización máxima.
2 C. El campo coercitivo.
2 D. La imanación remanente.
T.7 Un rayo es una corriente que va desde el suelo hacia una nube. ¿Hacia dónde se desvı́a un rayo
por acción del campo magnético terrestre?
2 A. Hacia el este.
2 B. Hacia el norte.
2 C. Hacia el oeste.
2 D. Hacia el sur.
T.8 ¿Cuáles son las unidades de µ0 en el SI?
2 A. H/m.
2 B. T/(A · m).
2 C. N/(A · m).
2 D. T · m /A.
2
T.9 ¿Cuál de las siguientes no es una de las ecuaciones de Maxwell?
2 A. ∇ · B = 0
2 B. ∇ × E = −∂B/∂t
2 C. ∇ × B = µ J + µ ε (∂E/∂t)
2 D. ∇ · E = −ρ/ε
0
0 0
0
T.10 ¿Qué dice el teorema de Poynting cuando se aplica a un volumen en el cual hay una corriente
óhmica estacionaria?
2 A. La potencia disipada entra a través de las paredes del sistema.
2 B. La potencia disipada se escapa a través de las paredes en forma de calor.
2 C. La energı́a almacenada se escapa a través de las paredes en forma de calor.
2 D. La potencia disipada procede de la disminución en la energı́a almacenada.
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Ingenieros de Telecomunicación
Campos Electromagnéticos
Campos Electromagnéticos.
Examen Final (sólo el Primer Parcial), Julio de 2004.
Nombre:
.
La puntuación total del test es de 1.5 puntos. Cada respuesta correcta puntúa 0.15 puntos. Las
respuestas erróneas o en blanco no contribuyen a la nota del test.
En cada pregunta, solo una de las respuestas es correcta. Marque la respuesta correcta con un aspa
×
( ). Si desea modificar una respuesta, tache la ya escrita ( ) y escriba una cruz sobre la nueva.
2
2
T.1 Dados dos campos irrotacionales, F y G, su producto vectorial. . .
2 A. es armónico.
2 B. es solenoidal.
2 C. es irrotacional.
2 D. puede ser irrotacional o solenoidal, o no serlo, dependiendo de los valores de F y G.
T.2 Si un campo es solenoidal en cartesianas, ¿lo es en otros sistemas de coordenadas?
2 A. Sı́, y además su rotacional es el mismo en todos los sistemas de coordenadas.
2 B. No tiene por qué. Su divergencia en esféricas puede ser distinta de cero.
2 C. Sı́, pero no se puede decir lo mismo de los campos irrotacionales, que dependen del sistema.
2 D. Sı́, pero las fuentes vectoriales dependerán del sistema en que se calculen.
T.3 Se tiene el campo escalar r 2 − ρ2 , con r y ρ las coordenadas radiales esférica y cilı́ndrica, ¿cuanto
vale su laplaciano?
2 A. 2.
2 B. 0.
2 C. No puede calcularse porque no son coordenadas del mismo sistema.
2 D. No puede calcularse porque r y ρ no son coordenadas ortogonales.
T.4 Se tienen tres cargas de +1 µC, +2 µC y +3 µC en los vértices de un triángulo equilátero de lado
1 cm. ¿Cuál de las tres cargas experimenta una fuerza mayor?
2 A. La de 1 µC.
2 B. La de 2 µC.
2 C. La de 3 µC.
2 D. Las tres por igual.
T.5 Una carga de +2µC se encuentra distribuida uniformemente en el volumen de una esfera de radio
2 cm. ¿Cuánto vale el flujo del campo eléctrico en una esfera de radio 1 cm concéntrica con esta?
2 A. 2.21 × 10 V · m.
2 B. 0.25 µV · m
2 C. 0 V · m.
2 D. 28.3 kV · m.
−18
T.6 Se tiene una carga total Q distribuida uniformemente en el volumen de una esfera de radio R,
¿cuánto vale el campo en el centro de la esfera?
2 A. Infinito.
2 B. Cero.
2 C. Q/(4πε R ).
2 D. Q/(4πε R).
0
2
0
T.7 ¿Cuáles son las unidades del momento dipolar eléctrico?
2 A. C/m
2 B. C · m
2 C. C/m
2 D. C · m
3
2
T.8 Los coeficientes de inducción Cij , con i = j
2 A. son siempre negativos.
2 B. son siempre positivos.
2 C. son negativos o nulos.
2 D. son positivos o nulos.
T.9 Se tiene un sistema formado por tres conductores: una esfera hueca aislada y descargada y dos
esferas macizas situadas en el interior de la primera y puestas a tensiones V1 y V2 . El circuito
equivalente mı́nimo está formado por
2 A. tres condensadores y tres fuentes de tensión.
2 B. seis condensadores y tres fuentes de tensión.
2 C. cuatro condensadores y dos fuentes de tensión.
2 D. seis condensadores y dos fuentes de tensión.
T.10 Se tiene una esfera conductora de radio R en la que hay almacenada una carga q. Sin variar la
carga, la esfera se comprime, de forma que su radio se reduce a la mitad. ¿Cómo cambia la presión
electrostática en la superficie del conductor?
2 A. se multiplica por dieciséis.
2 B. se reduce a la mitad.
2 C. se multiplica por cuatro.
2 D. aumenta al doble
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Ingenieros de Telecomunicación
Campos Electromagnéticos
Campos Electromagnéticos.
Examen Final (solo el Segundo Parcial), Julio de 2004.
Nombre:
.
La puntuación total del test es de 1.5 puntos. Cada respuesta correcta puntúa 0.15 puntos. Las
respuestas erróneas o en blanco no contribuyen a la nota del test.
En cada pregunta, solo una de las respuestas es correcta. Marque la respuesta correcta con un aspa
×
( ). Si desea modificar una respuesta, tache la ya escrita ( ) y escriba una cruz sobre la nueva.
2
2
T.1 Entre las placas de un condensador se establece una diferencia de potencial ∆V . Si ahora se
introduce una lámina de dieléctrico entre las placas. . .
2 A. La energı́a almacenada en el sistema podrá aumentar o disminuir, dependiendo del valor de
ε.
2 B. La energı́a almacenada aumenta.
2 C. La energı́a almacenada disminuye.
2 D. La energı́a almacenada no cambia.
T.2 Un cable por el cual circula una corriente estacionaria posee sección variable. Donde la sección es
menor
2 A. La densidad de corriente es menor
2 B. La densidad de corriente es mayor
2 C. La intensidad de corriente es menor
2 D. La intensidad de corriente es mayor
T.3 Dentro de un generador de corriente continua conectado a un circuito
2 A. La corriente va en el mismo sentido que el campo electrostático.
2 B. La tensión entre los bornes coincide con la f.e.m. del generador.
2 C. La densidad de corriente fluye en sentido opuesto al campo electrostático.
2 D. El campo electrostático va de las cargas negativas a las positivas.
T.4 Por dos espiras circulares idénticas y paralelas circulan corrientes en el mismo sentido. ¿Cómo es
la fuerza entre ellas si están en distintos planos, una sobre la otra? ¿Y si están en el mismo plano,
separadas una cierta distancia?
2 A. Se atraen el primero y se repelen en el segundo.
2 B. Se repelen en el primero y se atraen en el segundo.
2 C. Se atraen en ambos casos.
2 D. Se repelen en los dos casos.
T.5 ¿En qué se mide el momento dipolar magnético en el SI?
2 A. A/m
2 B. T · m
2 C. T · m/A
2 D. A · m
2
2
2
T.6 ¿Cómo se define el campo magnético H?
2 A. H = µ B + M.
2 B. H = B/µ − M.
2 C. H = B/µ.
2 D. Depende del material.
0
0
T.7 Una espira circular gira en torno a un diámetro situado sobre el eje x. La espira se encuentra en el
seno de un campo uniforme B = B0 uz . ¿Circula corriente por la espira?
2 A. No, porque el flujo magnético es siempre nulo
2 B. No, porque el campo magnético es uniforme y constante.
2 C. Sı́, circula una corriente continua
2 D. Sı́, circula una corriente alterna
T.8 Una espira metálica inmóvil se encuentra sometida a un campo magnético variable B = Atuz . ¿De
cuantos elementos se compone el circuito equivalente a este sistema?
2 A. De uno: la resistencia R de la espira
2 B. De dos: una resistencia R y una autoinducción L
2 C. De tres: una resistencia R, una autoinducción L y un generador de corriente variable en el
tiempo como kt.
2 D. De tres: una resistencia R, una autoinducción L y un generador de corriente continua.
T.9 Se tiene un solenoide de 15 cm de longitud, 300 espiras, 2 cm de diámetro, ¿Cuánto vale aproximadamente su autoinducción? (µ0 = 4π × 10−7 T · m/A)
2 A. 0.24 mH
2 B. 94 mH
2 C. 0.95 mH
2 D. 2.5 mH
T.10 ¿Puede existir un campo magnético variable en el tiempo sin que a la vez exista campo eléctrico?
¿Y un campo eléctrico variable sin que a la vez exista campo magnético?
2 A. No y sı́.
2 B. No y no.
2 C. Sı́ y sı́.
2 D. Sı́ y no.
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Escuela Superior de Ingenieros
Ingenieros de Telecomunicación
Campos Electromagnéticos
Campos Electromagnéticos.
Examen Final (Toda la asignatura), Julio de 2004.
Nombre:
.
La puntuación total del test es de 1.5 puntos. Cada respuesta correcta puntúa 0.15 puntos. Las
respuestas erróneas o en blanco no contribuyen a la nota del test.
En cada pregunta, solo una de las respuestas es correcta. Marque la respuesta correcta con un aspa
×
( ). Si desea modificar una respuesta, tache la ya escrita ( ) y escriba una cruz sobre la nueva.
2
2
T.1 Si un campo es solenoidal en cartesianas, ¿lo es en otros sistemas de coordenadas?
2 A. Sı́, pero las fuentes vectoriales dependerán del sistema en que se calculen.
2 B. Sı́, y además su rotacional es el mismo en todos los sistemas de coordenadas.
2 C. Sı́, pero no se puede decir lo mismo de los campos irrotacionales, que dependen del sistema.
2 D. No tiene por qué. Su divergencia en esféricas puede ser distinta de cero.
T.2 Se tiene el campo escalar r 2 − ρ2 , con r y ρ las coordenadas radiales esférica y cilı́ndrica, ¿cuanto
vale su laplaciano?
2 A. 0
2 B. No puede calcularse porque no son coordenadas del mismo sistema.
2 C. 2
2 D. No puede calcularse porque r y ρ no son coordenadas ortogonales.
T.3 Se tienen tres cargas de +1 µC, +2 µC y +3 µC en los vértices de un triángulo equilátero de lado
1 cm. ¿Cuál de las tres cargas experimenta una fuerza mayor?
2 A. La de 3 µC.
2 B. La de 1 µC.
2 C. La de 2 µC.
2 D. Las tres por igual.
T.4 Una carga de +2µC se encuentra distribuida uniformemente en una esfera de radio 2 cm. ¿Cuánto
vale el flujo del campo eléctrico en una esfera de radio 1 cm concéntrica con esta?’
2 A. 2.21 × 10 V · m.
2 B. 0 V · m.
2 C. 28.3 kV · m.
2 D. 0.25 µV · m
−18
T.5 Se tiene una esfera conductora de radio R en la que hay almacenada una carga q. Sin variar la
carga, la esfera se comprime, de forma que su radio se reduce a la mitad. La presión electrostática
en la superficie del conductor. . .
2 A. se multiplica por dieciséis.
2 B. también se reduce a la mitad.
2 C. se multiplica por cuatro.
2 D. aumenta al doble
T.6 Entre las placas de un condensador se establece una diferencia de potencial ∆V . Si ahora se
introduce una lámina de dieléctrico entre las placas. . .
2 A. La energı́a almacenada disminuye.
2 B. La energı́a almacenada no cambia.
2 C. La energı́a almacenada aumenta.
2 D. La energı́a almacenada en el sistema podrá aumentar o disminuir, dependiendo del valor de
ε.
T.7 Dentro de un generador de corriente continua conectado a un circuito
2 A. La densidad de corriente fluye en sentido opuesto al campo electrostático
2 B. La tensión entre los bornes coincide con la f.e.m. del generador
2 C. El campo electrostático va de las cargas negativas a las positivas.
2 D. La corriente va en el mismo sentido que el campo electrostático.
T.8 Por dos espiras circulares idénticas y paralelas circulan corrientes en el mismo sentido. ¿Cómo es
la fuerza entre ellas si están en distintos planos, una sobre la otra? ¿Y si están en el mismo plano,
separadas una cierta distancia?
2 A. Se atraen el primero y se repelen en el segundo
2 B. Se repelen en el primero y se atraen en el segundo
2 C. Se atraen en ambos casos
2 D. Se repelen en los dos casos.
T.9 Se tiene un solenoide de 15 cm de longitud, 300 espiras, 2 cm de diámetro, ¿Cuánto vale aproximadamente su autoinducción? (µ0 = 4π × 10−7 T · m/A)
2 A. 0.95 mH
2 B. 0.24 mH
2 C. 94 mH
2 D. 2.5 mH
T.10 ¿Puede existir un campo magnético variable en el tiempo sin que a la vez exista campo eléctrico?
¿Y un campo eléctrico variable sin que a la vez existe campo magnético?
2 A. No y no.
2 B. Sı́ y no.
2 C. No y sı́.
2 D. Sı́ y sı́.
Departamento de Física Aplicada III
Escuela Superior de Ingenieros
Ingenieros de Telecomunicación
Campos Electromagnéticos
Campos Electromagnéticos.
Convocatoria ordinaria, Septiembre de 2004.
Nombre:
.
La puntuación total del test es de 1.5 puntos. Cada respuesta correcta puntúa 0.15 puntos. Las
respuestas erróneas o en blanco no contribuyen a la nota del test.
En cada pregunta, solo una de las respuestas es correcta. Marque la respuesta correcta con un aspa
×
( ). Si desea modificar una respuesta, tache la ya escrita ( ) y escriba una cruz sobre la nueva.
2
2
T.1 Dado el campo escalar, expresado en esféricas, φ = A sen θ/(2 + cos θ), ¿cómo son sus superficies
equipotenciales?
2 A. Planos paralelos.
2 B. Cilindros concéntricos.
2 C. Conos con vértice el origen.
2 D. Esferas concéntricas.
T.2 Se tienen dos cargas de valores +1µC, y −2µC en los puntos −1uz y +1uz (mm) respectivamente.
¿Dónde hay que colocar y cuánto debe valer una tercera carga, situada en el mismo eje, si queremos
anular los dos primeros términos del desarrollo multipolar?
2 A. −1µC en −3u (mm)
2 B. −1µC en +1u (mm)
2 C. +1µC en +3u (mm)
2 D. Es imposible anular los dos momentos simultáneamente.
z
z
z
T.3 ¿A qué equivale un Faradio?
2 A. 1 V · C
2 B. 1 J/C
2 C. 1 C /J
2 D. 1 V/C
2
2
T.4 Se coloca una carga puntual q a una cierta distancia de una esfera metálica a tierra, trayéndola
desde el infinito. ¿Cómo es el trabajo que hay que realizar para traer esta carga?
2 A. Siempre positivo.
2 B. Siempre negativo.
2 C. Depende del signo de q.
2 D. Nulo.
T.5 Un condensador de placas planas y paralelas esta relleno de dos capas del mismo espesor de
materiales dieléctricos de permitividades relativas 2 y 3, siendo la interfaz paralela a las placas.
¿Cuánto vale la capacidad de este condensador comparada con la situación en vacı́o?
2 A. Es 2.5 veces mayor.
2 B. Es 5 veces mayor.
2 C. Es 2.4 veces mayor.
2 D. Es 4.8 veces mayor.
T.6 La conductividad de un metal disminuye con la temperatura, mientras que la de un semiconductor
aumenta. Cuando se aplica una diferencia de potencial constante a un hilo de un material, ¿varı́a
la corriente con el tiempo?
2 A. No. Si la tensión es continua, la corriente también.
2 B. Aumenta en todos los casos.
2 C. Aumenta si es un metal y disminuye si es un semiconductor.
2 D. Disminuye si es un metal y aumenta si es un semiconductor.
T.7 Junto a una corriente rectilı́nea I0 se sitúa un segundo hilo, por el cual circula una corriente −I0 .
¿Cómo es la fuerza que aparece sobre esta segunda corriente?
2 A. Nula
2 B. En la dirección perpendicular al plano de los dos hilos.
2 C. Atractiva
2 D. Repulsiva
T.8 ¿Cómo son las corrientes de magnetización equivalentes a una esfera magnetizada radialmente,
M = M (r)ur ?
2 A. J
2 B. J
2 C. J
2 D. J
m
y Km son ambas nulas.
m
es nula, y Km va en la dirección de uθ .
m
es nula, y Km va en la dirección de uϕ .
m
es radial y Km es nulo.
T.9 ¿Qué signo tienen los coeficientes de autoinducción Lii ? ¿Y los de inducción mutua, Lij , con i = j?
2 A. Todos ellos son siempre positivos.
2 B. Los L son siempre positivos. Los L pueden tener cualquier signo.
2 C. Los L son siempre positivos. Los L son siempre negativos o nulos.
2 D. Todos ellos pueden tener cualquier signo.
ii
ij
ii
ij
T.10 Se tienen tres solenoides: uno de 15 cm y 300 espiras, de 1 cm de radio; otro de 20 cm, 400 espiras
y 1 cm de radio; y un tercero de 20 cm, 300 espiras y 2 cm de radio. ¿Cuál de los tres tiene mayor
autoinducción?
2 A. El tercero.
2 B. El segundo.
2 C. El primero.
2 D. Los tres tienen la misma.